Šta znači specificirati skup vrijednosti funkcije. Pronalaženje skupa vrijednosti funkcije

Funkcija je model. Definirajmo X kao skup vrijednosti nezavisne varijable // nezavisna znači bilo koja.

Funkcija je pravilo po kojem se za svaku vrijednost nezavisne varijable iz skupa X može pronaći jedinu vrijednost zavisne varijable. // tj. za svaki x postoji jedno y.

Iz definicije proizilazi da postoje dva pojma - nezavisna varijabla (koju označavamo sa x i može uzeti bilo koju vrijednost) i zavisna varijabla (koju označavamo sa y ili f (x) i ona se izračunava iz funkcije kada zamjenjujemo x).

NA PRIMJER y=5+x

1. Nezavisno je x, pa uzimamo bilo koju vrijednost, neka je x = 3

2. i sada izračunavamo y, dakle y = 5 + x = 5 + 3 = 8. (y zavisi od x, jer ono što x zamenimo, dobijemo takvo y)

Kažemo da je varijabla y funkcionalno zavisna od varijable x i to se označava na sljedeći način: y = f (x).

NA PRIMJER.

1.y=1/x. (nazvana hiperbola)

2. y=x^2. (naziva se parabola)

3.y=3x+7. (naziva se prava linija)

4. y \u003d √ x. (naziva se grana parabole)

Nezavisna varijabla (koju označavamo sa x) naziva se argument funkcije.

Opseg funkcije

Skup svih vrijednosti koje argument funkcije uzima naziva se domenom funkcije i označava se sa D(f) ili D(y).

Uzmimo D(y) za 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) i (0;+∞) //cijeli skup realnih brojeva osim nule.

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / svi mnogi realni brojevi

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / svi mnogi realni brojevi

4. D (y) \u003d. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na ovom segmentu.

Izvod je pozitivan za sve x iz intervala (-1; 1) , odnosno, arcsinusna funkcija raste u cijelom domenu definicije. Stoga, uzima najmanju vrijednost pri x=-1, a najveći at x=1.

Dobili smo opseg funkcije arcsinusa .

Pronađite skup vrijednosti funkcije na segmentu .

Rješenje.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na datom segmentu.

Odredimo tačke ekstrema koje pripadaju segmentu :

Mnogi zadaci nas dovode do traženja skupa vrijednosti funkcije na određenom segmentu ili na cijeloj domeni definicije. Takvi zadaci uključuju različite evaluacije izraza, rješavanje nejednačina.

U ovom članku ćemo definirati opseg funkcije, razmotriti metode za njeno pronalaženje i detaljno analizirati rješenje primjera od jednostavnih do složenijih. Sav materijal će biti opremljen grafičkim ilustracijama radi jasnoće. Dakle, ovaj članak je detaljan odgovor na pitanje kako pronaći opseg funkcije.

Definicija.

Skup vrijednosti funkcije y = f(x) na intervalu X naziva skup svih vrijednosti funkcije koje preuzima kada se ponavlja preko svih .

Definicija.

Opseg funkcije y = f(x) naziva se skup svih vrijednosti funkcije koje preuzima pri iteraciji preko svih x iz domene definicije.

Opseg funkcije je označen kao E(f) .

Opseg funkcije i skup vrijednosti funkcije nisu ista stvar. Ovi koncepti će se smatrati ekvivalentnim ako se interval X pri pronalaženju skupa vrijednosti funkcije y = f(x) poklapa s domenom funkcije.

Takođe, nemojte brkati opseg funkcije sa promenljivom x za izraz na desnoj strani jednačine y=f(x) . Područje dozvoljenih vrijednosti varijable x za izraz f(x) je područje definicije funkcije y=f(x).

Na slici je prikazano nekoliko primjera.

Grafovi funkcija su prikazani podebljanim plavim linijama, tanke crvene linije su asimptote, crvene tačke i linije na osi Oy pokazuju raspon odgovarajuće funkcije.

Kao što vidite, opseg funkcije se dobija projektovanjem grafika funkcije na y-osu. To može biti jedan broj (prvi slučaj), skup brojeva (drugi slučaj), segment (treći slučaj), interval (četvrti slučaj), otvoreni zrak (peti slučaj), unija (šesti slučaj) itd. .

Dakle, šta trebate učiniti da pronađete raspon funkcije.

Počnimo s najjednostavnijim slučajem: pokazat ćemo kako odrediti skup vrijednosti neprekidne funkcije y = f(x) na intervalu.

Poznato je da funkcija kontinuirana na segmentu dostiže svoju maksimalnu i minimalnu vrijednost na njemu. Dakle, skup vrijednosti originalne funkcije na segmentu će biti segment . Stoga se naš zadatak svodi na pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na intervalu.

Na primjer, pronađimo raspon funkcije arcsinusa.

Primjer.

Navedite raspon funkcije y = arcsinx.

Rješenje.

Domen definicije arcsinusa je segment [-1; 1] . Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na ovom segmentu.

Izvod je pozitivan za sve x iz intervala (-1; 1), to jest, arcsinusna funkcija raste u cijeloj domeni definicije. Stoga, najmanju vrijednost uzima pri x = -1, a najveću pri x = 1.

Dobili smo opseg funkcije arcsinusa .

Primjer.

Pronađite skup vrijednosti funkcije na segmentu.

Rješenje.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na datom segmentu.

Definirajmo tačke ekstrema koje pripadaju segmentu:

Izračunavamo vrijednosti originalne funkcije na krajevima segmenta i u tačkama :

Dakle, skup vrijednosti funkcije na segmentu je segment .

Sada ćemo pokazati kako pronaći skup vrijednosti neprekidne funkcije y = f(x) u intervalima (a; b), .

Prvo određujemo tačke ekstrema, ekstreme funkcije, intervale povećanja i smanjenja funkcije na datom intervalu. Zatim izračunavamo na krajevima intervala i (ili) granice na beskonačnosti (to jest, proučavamo ponašanje funkcije na granicama intervala ili na beskonačnosti). Ova informacija je dovoljna za pronalaženje skupa vrijednosti funkcije na takvim intervalima.

Primjer.

Odredite skup vrijednosti funkcije na intervalu (-2; 2).

Rješenje.

Nađimo tačke ekstrema funkcije koje padaju na interval (-2; 2):

Dot x = 0 je maksimalna tačka, pošto derivacija menja predznak sa plusa na minus kada prolazi kroz nju, a grafik funkcije ide od rastućeg ka opadajućem.

je odgovarajući maksimum funkcije.

Otkrijmo ponašanje funkcije kada x teži -2 na desnoj strani i kada x teži 2 na lijevoj strani, odnosno nalazimo jednostrane granice:

Šta smo dobili: kada se argument promijeni sa -2 na nulu, vrijednosti funkcije se povećavaju sa minus beskonačnosti na minus jednu četvrtinu (maksimum funkcije pri x = 0), kada se argument promijeni sa nule na 2, funkcija vrijednosti se smanjuju na minus beskonačnost. Dakle, skup vrijednosti funkcije na intervalu (-2; 2) je .

Primjer.

Navedite skup vrijednosti tangentne funkcije y = tgx na intervalu.

Rješenje.

Izvod tangentne funkcije na intervalu je pozitivan , što ukazuje na povećanje funkcije. Proučavamo ponašanje funkcije na granicama intervala:

Dakle, kada se argument promijeni od do, vrijednosti funkcije rastu od minus beskonačnosti do plus beskonačnosti, odnosno skup vrijednosti tangente u ovom intervalu je skup svih realnih brojeva.

Primjer.

Pronađite opseg funkcije prirodnog logaritma y = lnx .

Rješenje.

Funkcija prirodnog logaritma definirana je za pozitivne vrijednosti argumenta . Na ovom intervalu izvod je pozitivan , to ukazuje na povećanje funkcije na njemu. Nađimo jednostrano ograničenje funkcije jer argument teži nuli s desne strane, a ograničenje kao x teži plus beskonačnosti:

Vidimo da kada se x promijeni od nule do plus beskonačnosti, vrijednosti funkcije rastu od minus beskonačnosti do plus beskonačnosti. Stoga je raspon funkcije prirodnog logaritma cijeli skup realnih brojeva.

Primjer.

Rješenje.

Ova funkcija je definirana za sve realne x vrijednosti. Odredimo tačke ekstrema, kao i intervale povećanja i smanjenja funkcije.

Dakle, funkcija opada na , raste na , x = 0 je maksimalna tačka, odgovarajući maksimum funkcije.

Pogledajmo ponašanje funkcije u beskonačnosti:

Dakle, u beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju nuli.

Otkrili smo da kada se argument promijeni sa minus beskonačnosti na nulu (maksimalna tačka), vrijednosti funkcije se povećavaju sa nule na devet (do maksimuma funkcije), a kada se x promijeni sa nule na plus beskonačnost, vrijednosti funkcije se smanjuju sa devet na nulu.

Pogledajte šematski crtež.

Sada se jasno vidi da je raspon funkcije .

Pronalaženje skupa vrijednosti funkcije y = f(x) na intervalima zahtijeva slične studije. Nećemo se sada detaljnije zadržavati na ovim slučajevima. Vidjet ćemo ih u primjerima u nastavku.

Neka je domen funkcije y = f(x) unija nekoliko intervala. Prilikom pronalaženja raspona takve funkcije određuju se skupovi vrijednosti na svakom intervalu i uzima se njihova unija.

Primjer.

Pronađite opseg funkcije.

Rješenje.

Nazivnik naše funkcije ne bi trebao ići na nulu, odnosno, .

Prvo, pronađimo skup vrijednosti funkcije na otvorenom zraku.

Derivat funkcije je negativna na ovom intervalu, odnosno funkcija opada na njemu.

Otkrili smo da kako argument teži minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju jedinici. Kada se x promijeni sa minus beskonačnosti na dva, vrijednosti funkcije se smanjuju sa jedan na minus beskonačnost, odnosno na razmatranom intervalu funkcija poprima skup vrijednosti. Jedinstvo ne uključujemo, jer vrijednosti funkcije je ne dostižu, već joj samo asimptotički teže na minus beskonačnosti.

Slično postupamo i za otvorenu gredu.

Funkcija se također smanjuje na ovom intervalu.

Skup vrijednosti funkcije na ovom intervalu je skup .

Dakle, željeni raspon vrijednosti funkcije je unija skupova i .

Grafička ilustracija.

Odvojeno, trebalo bi da se zadržimo na periodičnim funkcijama. Raspon periodičnih funkcija poklapa se sa skupom vrijednosti na intervalu koji odgovara periodu ove funkcije.

Primjer.

Pronađite opseg sinusne funkcije y = sinx .

Rješenje.

Ova funkcija je periodična s periodom od dva pi. Uzmimo segment i definiramo skup vrijednosti na njemu.

Segment sadrži dvije točke ekstrema i .

Izračunavamo vrijednosti funkcije u ovim točkama i na granicama segmenta biramo najmanju i najveću vrijednost:

dakle, .

Primjer.

Pronađite opseg funkcije .

Rješenje.

Znamo da je opseg arkosinusa segment od nule do pi, tj. ili u drugom postu. Funkcija može se dobiti iz arccosx pomicanjem i rastezanjem duž x-ose. Takve transformacije ne utječu na raspon, dakle, . Funkcija dolazi od istezanje tri puta duž ose Oy, tj. . I posljednja faza transformacije je pomak za četiri jedinice prema dolje duž y-ose. To nas dovodi do dvostruke nejednakosti

Dakle, željeni raspon vrijednosti je .

Dajemo rješenje za još jedan primjer, ali bez objašnjenja (nisu potrebna, jer su potpuno slični).

Primjer.

Definirajte raspon funkcija .

Rješenje.

Originalnu funkciju zapisujemo u formu . Raspon eksponencijalne funkcije je interval . To je, . Onda

dakle, .

Da bismo upotpunili sliku, trebalo bi da govorimo o pronalaženju opsega funkcije koja nije kontinuirana u domenu definicije. U ovom slučaju, domen definicije je podijeljen tačkama prekida na intervale, a na svakom od njih nalazimo skupove vrijednosti. Kombinirajući dobivene skupove vrijednosti, dobijamo raspon vrijednosti originalne funkcije. Preporučujemo da zapamtite 3 na lijevoj strani, vrijednosti funkcije teže minus jedan, a kada x teži 3 na desnoj strani, vrijednosti funkcije teže plus beskonačnosti.

Dakle, domen definicije funkcije podijeljen je na tri intervala.

Na intervalu imamo funkciju . Od tada

Dakle, skup vrijednosti originalne funkcije na intervalu je [-6;2] .

Na poluintervalu imamo konstantnu funkciju y = -1. To jest, skup vrijednosti originalne funkcije na intervalu sastoji se od jednog elementa.

Funkcija je definirana za sve važeće vrijednosti argumenta. Pronađite intervale povećanja i smanjenja funkcije.

Izvod nestaje na x=-1 i x=3. Ove tačke označavamo na realnoj osi i određujemo predznake izvoda na dobijenim intervalima.

Funkcija se smanjuje za , povećava se za [-1; 3] , x=-1 minimalni bod, x=3 maksimalni bod.

Izračunavamo odgovarajuće minimalne i maksimalne funkcije:

Provjerimo ponašanje funkcije u beskonačnosti:

Druga granica je izračunata iz .

Napravimo šematski crtež.

Kada se argument promijeni sa minus beskonačnost na -1, vrijednosti funkcije se smanjuju sa plus beskonačnost na -2e, kada se argument promijeni sa -1 na 3, vrijednosti funkcije se povećavaju sa -2e na, kada se argument promijeni iz 3 do plus beskonačnost, vrijednosti funkcije se smanjuju od nule, ali ne dostižu nulu.

Zavisnost jedne varijable od druge se naziva funkcionalna zavisnost. Zavisnost od varijable y iz varijable x pozvao funkcija, ako je svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y.

Oznaka:

varijabla x naziva se nezavisna varijabla ili argument, i varijabla y- zavisna. Kažu to y je funkcija od x. Značenje y odgovara datoj vrijednosti x, zvao vrijednost funkcije.

Sve vrednosti koje su potrebne x, obrazac opseg funkcije; sve vrednosti koje uzima y, obrazac skup vrijednosti funkcije.

Oznake:

D(f)- vrijednosti argumenata. E(f)- vrijednosti funkcije. Ako je funkcija data formulom, onda se smatra da se domen definicije sastoji od svih vrijednosti varijable za koje ova formula ima smisla.

Funkcija Graf poziva se skup svih točaka na koordinatnoj ravni, čije su apscise jednake vrijednostima argumenta, a ordinate jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije. Ako neka vrijednost x=x0 odgovara više vrijednosti (ne samo jednoj) y, onda takva korespondencija nije funkcija. Da bi skup tačaka koordinatne ravni bio graf neke funkcije, potrebno je i dovoljno da se svaka prava linija paralelna sa Oy osi siječe sa grafikom u najviše jednoj tački.

Načini postavljanja funkcije

1) Funkcija se može podesiti analitički u obliku formule. Na primjer,

2) Funkcija se može definirati tablicom sa više parova (x; y).

3) Funkcija se može podesiti grafički. Parovi vrijednosti (x; y) prikazano na koordinatnoj ravni.

Monotonost funkcije

Funkcija f(x) pozvao povećanje na datom numeričkom intervalu, ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije. Zamislite da se određena tačka kreće duž grafika s lijeva na desno. Tada će se tačka nekako "popeti" na grafikonu.

Funkcija f(x) pozvao opadanje na datom numeričkom intervalu, ako veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije. Zamislite da se određena tačka kreće duž grafika s lijeva na desno. Tada će se tačka, takoreći, "skotrljati" niz grafikon.

Poziva se funkcija koja samo raste ili opada u datom numeričkom intervalu monotono na ovom intervalu.

Nule funkcije i intervali konstantnosti

Vrijednosti X, pri čemu y=0, zove se nule funkcije. Ovo su apscise tačaka preseka grafika funkcije sa x-osom.

Takvi rasponi vrijednosti x, na kojem su vrijednosti funkcije y nazivaju se samo pozitivni ili samo negativni intervali konstantnosti predznaka funkcije.

Parne i neparne funkcije

Ravnomjerna funkcija
1) Domen definicije je simetričan u odnosu na tačku (0; 0), odnosno ako je tačka a pripada domenu definicije, zatim tačka -a takođe pripada domenu definicije.
2) Za bilo koju vrijednost x f(-x)=f(x)
3) Grafikon parne funkcije je simetričan oko ose Oy.

neparna funkcija ima sljedeća svojstva:
1) Područje definicije je simetrično u odnosu na tačku (0; 0).
2) za bilo koju vrijednost x, koji pripada domenu definicije, jednakosti f(-x)=-f(x)
3) Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište (0; 0).

Nije svaka funkcija parna ili neparna. Funkcije opšti pogled nisu ni parni ni neparni.

Periodične funkcije

Funkcija f se naziva periodičnim ako postoji broj takav da za bilo koji x iz domena definicije jednakost f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je period funkcije.

Svaka periodična funkcija ima beskonačan broj perioda. U praksi se obično uzima u obzir najmanji pozitivni period.

Vrijednosti periodične funkcije se ponavljaju nakon intervala jednakog periodu. Ovo se koristi kada se crtaju grafovi.

Danas ćemo se u lekciji obratiti jednom od osnovnih pojmova matematike – pojmu funkcije; Pogledajmo pobliže jedno od svojstava funkcije - skup njenih vrijednosti.

Tokom nastave

Učitelju. Prilikom rješavanja problema primjećujemo da je ponekad upravo pronalaženje skupa vrijednosti funkcije ono što nas dovodi u teške situacije. Zašto? Čini se da proučavajući funkciju od 7. razreda, znamo dosta o njoj. Stoga, imamo sve razloge da preduzmemo preventivni potez. Hajdemo danas da se "igramo" sa puno vrednosti funkcija kako bismo rešili mnoga pitanja na ovu temu na predstojećem ispitu.

Skupovi vrijednosti elementarnih funkcija

Učitelju. Za početak, potrebno je ponoviti grafove, jednadžbe i skupove vrijednosti osnovnih elementarnih funkcija u cijeloj domeni definicije.

Na ekran se projektuju grafovi funkcija: linearni, kvadratni, razlomačno-racionalni, trigonometrijski, eksponencijalni i logaritamski, za svaku od njih se verbalno određuje skup vrijednosti. Obratite pažnju na činjenicu da je linearna funkcija E(f) = R ili jedan broj, za linearni razlomak

Ovo je naša abeceda. Dodajući tome naše znanje o transformacijama grafova: paralelno prevođenje, rastezanje, kompresija, refleksija, možemo riješiti probleme iz prvog dijela UPOTREBA pa čak i malo teže. Hajde da to proverimo.

Samostalan rad

At riječi zadataka i koordinatni sistemi štampani za svakog učenika.

1. Pronađite skup vrijednosti funkcije na cijeloj domeni definicije:

A) y= 3 sin X ;
b) y = 7 – 2 X ;
V) y= -arccos( x + 5):
G) y= | arctg x |;
e)

2. Pronađite skup vrijednosti funkcije y = x 2 između J, Ako:

A) J = ;
b) J = [–1; 5).

3. Definirajte funkciju analitički (jednakom) ako je skup njenih vrijednosti:

1) E(f(x)) = (–∞ ; 2] i f(x) - funkcija

a) kvadrat
b) logaritamski,
c) demonstrativna;

2) E(f(x)) = R \{7}.

Kada raspravljate o zadatku 2samostalnog rada skrenuti pažnju učenicima da, u slučaju monotonosti i kontinuiteta funkcije y=f(x)u datom intervalu[a;b],skup njegovih značenja-jaz,čiji su krajevi vrijednosti f(a)i f(b).

Opcije odgovora za zadatak 3.

1.
A) y = –x 2 + 2 , y = –(x + 18) 2 + 2,
y= a(x – x c) 2 + 2 at A < 0.

b) y= -| dnevnik 8 x | + 2,

V) y = –| 3 x – 7 | + 2, y = –5 | x | + 3.

2.
a) b)

V) y = 12 – 5x, Gdje x ≠ 1 .

Pronalaženje skupa vrijednosti funkcije pomoću izvoda

Učitelju. U 10. razredu smo se upoznali sa algoritmom za pronalaženje ekstrema funkcije kontinuirane na segmentu i pronalaženje njenog skupa vrijednosti bez oslanjanja na graf funkcije. Sjećate se kako smo to uradili? ( Uz pomoć izvedenice.) Prisjetimo se ovog algoritma .

Zadaci za primenu ovog algoritma nalaze se u varijantama ispita. Na primjer, 2008. je predložen takav zadatak. Moraš to riješiti Kuće .

Zadatak C1. Pronađite najveću vrijednost funkcije

f(x) = (0,5x + 1) 4 – 50(0,5x + 1) 2

kod | x + 1| ≤ 3.

Uslovi domaćeg zadatka štampani za svakog učenika .

Pronalaženje skupa vrijednosti složene funkcije

Učitelju. Glavni dio naše lekcije bit će nestandardni zadaci koji sadrže složene funkcije, čiji su derivati ​​vrlo složeni izrazi. A grafovi ovih funkcija su nam nepoznati. Stoga ćemo za rješenje koristiti definiciju složene funkcije, odnosno ovisnost između varijabli po redoslijedu njihovog ugniježđenja u ovoj funkciji i procjenu njihovog raspona (interval promjene njihovih vrijednosti). Problemi ovog tipa nalaze se u drugom dijelu ispita. Okrenimo se primjerima.

Vježba 1. Za funkcije y = f(x) I y = g(x) napisati složenu funkciju y = f(g(x)) i pronađite njegov skup vrijednosti:

A) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = grijeh x;
b) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = log 7 x;
V) g(x) = x 2 + 1;
G)

Rješenje. a) Kompleksna funkcija ima oblik: y= -sin 2 x+2sin x + 3.

Uvođenje srednjeg argumenta t, ovu funkciju možemo napisati ovako:

y= –t 2 + 2t+ 3, gdje t= grijeh x.

Na unutrašnjoj funkciji t= grijeh x argument uzima bilo koju vrijednost, a skup njegovih vrijednosti je segment [–1; 1].

Dakle, za vanjsku funkciju y = –t 2 +2t+ 3 naučili smo interval promjene vrijednosti njegovog argumenta t: t[-1; 1]. Pogledajmo graf funkcije y = –t 2 +2t + 3.

Imajte na umu da je kvadratna funkcija za t[-1; 1] uzima najmanju i najveću vrijednost na svojim krajevima: y zapošljavanje = y(–1) = 0 i y naib = y(1) = 4. A pošto je ova funkcija kontinuirana na intervalu [–1; 1], tada također preuzima sve vrijednosti između njih.

Odgovori: y .

b) Kompozicija ovih funkcija nas vodi do složene funkcije koja se, nakon uvođenja međuargumenata, može predstaviti na sljedeći način:

y= –t 2 + 2t+ 3, gdje t= dnevnik 7 x,

Funkcija t= dnevnik 7 x

x (0; +∞ ), t (–∞ ; +∞ ).

Funkcija y = –t 2 + 2t+ 3 (vidi grafikon) argument t uzima bilo koju vrijednost, a sama kvadratna funkcija uzima sve vrijednosti ne veće od 4.

Odgovori: y (–∞ ; 4].

c) Kompleksna funkcija ima sljedeći oblik:

Uvodeći međuargument, dobijamo:

Gdje t = x 2 + 1.

Pošto za unutrašnju funkciju x R , A t .

Odgovori: y (0; 3].

d) Kompozicija ove dvije funkcije daje nam složenu funkciju

koji se može napisati kao

primeti, to

Dakle, u

Gdje k Z , t [–1; 0) (0; 1].

Crtanje grafa funkcije vidimo da za ove vrijednosti t

y(–∞ ; –4] c ;

b) u cijelom domenu definicije.

Rješenje. Prvo, ispitujemo monotonost ove funkcije. Funkcija t= arcctg x- kontinuirano i opadajuće na R i skup njegovih vrijednosti (0; π). Funkcija y= dnevnik 5 t je definisan na intervalu (0; π), kontinuiran je i na njemu raste. To znači da se ova složena funkcija smanjuje na skupu R . I ona će, kao sastav od dvije kontinuirane funkcije, biti kontinuirana R .

Hajde da rešimo problem "a".

Pošto je funkcija neprekidna na cijeloj brojevnoj pravoj, kontinuirana je na bilo kojem njenom dijelu, posebno na datom segmentu. I onda na ovom segmentu ima najmanju i najveću vrijednost i uzima sve vrijednosti između njih:

f

Koja je od dobijenih vrijednosti veća? Zašto? A kakav će biti skup vrijednosti?

odgovor:

Hajde da rešimo problem "b".

odgovor: at(–∞ ; log 5 π) u cijelom domenu definicije.

Zadatak sa parametrom

Pokušajmo sada sastaviti i riješiti jednostavnu jednačinu s parametrom forme f(x) = a, Gdje f(x) - ista funkcija kao u zadatku 4.

Zadatak 5. Odredite broj korijena log 5 jednadžbe (arcctg x) = A za svaku vrijednost parametra A.

Rješenje. Kao što smo već pokazali u zadatku 4, funkcija at= log 5 (arctg x) se smanjuje i nastavlja R i uzima vrijednosti manje od log 5 π. Ova informacija je dovoljna da se da odgovor.

odgovor: Ako A < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

Ako A≥ log 5 π, tada nema korijena.

Učitelju. Danas smo razmatrali probleme vezane za pronalaženje skupa vrijednosti funkcije. Na tom putu smo otkrili novu metodu za rješavanje jednadžbi i nejednačina - metodu procjene, pa je pronalaženje skupa vrijednosti funkcije postalo sredstvo rješavanja problema višeg nivoa. Istovremeno smo vidjeli kako se takvi problemi konstruiraju i kako svojstva monotonosti funkcije olakšavaju njihovo rješavanje.

I nadam se da vas je logika koja povezuje zadatke koji se danas razmatraju iznenadila, ili barem iznenadila. Ne može drugačije: penjanje na novi vrh nikoga ne ostavlja ravnodušnim! Primjećujemo i cijenimo lijepe slike, skulpture itd. Ali matematika ima i svoju ljepotu, privlačnu i očaravajuću - ljepotu logike. Matematičari kažu da je lijepo rješenje obično ispravno rješenje, a ne samo fraza. Sada i sami morate pronaći takva rješenja, a mi smo danas naznačili jedan od načina do njih. Sretno ti! I zapamtite: put će savladati onaj koji hoda!