Векторно произведение на сумата от вектори. векторен продукт
Ъгъл между векторите
За да въведем концепцията за кръстосано произведение на два вектора, първо трябва да се справим с такова понятие като ъгъла между тези вектори.
Нека ни бъдат дадени два вектора $\overline(α)$ и $\overline(β)$. Нека вземем някаква точка $O$ в пространството и отделим от нея векторите $\overline(α)=\overline(OA)$ и $\overline(β)=\overline(OB)$, след което ъгълът $AOB $ ще се нарича ъгъл между тези вектори (фиг. 1).
Нотация: $∠(\overline(α),\overline(β))$
Концепцията за кръстосаното произведение на векторите и формулата за намиране
Определение 1
Векторното произведение на два вектора е вектор, перпендикулярен на двата дадени вектора, като дължината му ще бъде равна на произведението на дължините на тези вектори със синуса на ъгъла между тези вектори, а този вектор с два начални има същото ориентация като декартова координатна система.
Нотация: $\overline(α)х\overline(β)$.
Математически изглежда така:
- $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin∠(\overline(α),\overline(β))$
- $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
- $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ и $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ са еднакво ориентирани (фиг. 2)
Очевидно външният продукт на векторите ще бъде равен на нулевия вектор в два случая:
- Ако дължината на един или и на двата вектора е нула.
- Ако ъгълът между тези вектори е равен на $180^\circ$ или $0^\circ$ (защото в този случай синусът е равен на нула).
За да видите ясно как се намира кръстосаното произведение на векторите, разгледайте следните примери за решение.
Пример 1
Намерете дължината на вектора $\overline(δ)$, който ще бъде резултат от кръстосаното произведение на вектори, с координати $\overline(α)=(0,4,0)$ и $\overline(β) =(3,0,0 )$.
Решение.
Нека изобразим тези вектори в декартовото координатно пространство (фиг. 3):
Фигура 3. Вектори в декартово координатно пространство. Author24 - онлайн обмен на студентски доклади
Виждаме, че тези вектори лежат съответно на осите $Ox$ и $Oy$. Следователно ъгълът между тях ще бъде равен на $90^\circ$. Нека намерим дължините на тези вектори:
$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$
$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$
Тогава, по дефиниция 1, получаваме модула $|\overline(δ)|$
$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$
Отговор: $12 $.
Изчисляване на кръстосаното произведение по координатите на векторите
Определение 1 веднага предполага начин за намиране на кръстосаното произведение за два вектора. Тъй като векторът освен стойност има и посока, е невъзможно да се намери само с помощта на скаларна стойност. Но освен него има и друг начин да намерим дадените ни вектори с помощта на координатите.
Нека ни бъдат дадени вектори $\overline(α)$ и $\overline(β)$, които ще имат координати съответно $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$. Тогава векторът на кръстосаното произведение (а именно неговите координати) може да бъде намерен по следната формула:
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$
В противен случай, разширявайки детерминантата, получаваме следните координати
$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$
Пример 2
Намерете вектора на кръстосаното произведение на колинеарни вектори $\overline(α)$ и $\overline(β)$ с координати $(0,3,3)$ и $(-1,2,6)$.
Решение.
Нека използваме формулата по-горе. Вземи
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k )=(12,-3,3)$
Отговор: $(12,-3,3)$.
Свойства на кръстосаното произведение на вектори
За произволни смесени три вектора $\overline(α)$, $\overline(β)$ и $\overline(γ)$, както и $r∈R$, са валидни следните свойства:
Пример 3
Намерете площта на паралелограм, чиито върхове имат координати $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ и $(3,8,0) $.
Решение.
Първо начертайте този успоредник в координатното пространство (фиг. 5):
Фигура 5. Паралелограм в координатно пространство. Author24 - онлайн обмен на студентски доклади
Виждаме, че двете страни на този паралелограм са конструирани с помощта на колинеарни вектори с координати $\overline(α)=(3,0,0)$ и $\overline(β)=(0,8,0)$. Използвайки четвъртото свойство, получаваме:
$S=|\overline(α)x\overline(β)|$
Намерете вектора $\overline(α)х\overline(β)$:
$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$
Следователно
$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$
Английски:Уикипедия прави сайта по-сигурен. Използвате стар уеб браузър, който няма да може да се свърже с Wikipedia в бъдеще. Моля, актуализирайте устройството си или се свържете с вашия ИТ администратор.
中文: 维基 百科 正在 使 网站 更加 安全 您 正在 使用 旧 的 ， 这 在 将来 无法 连接 维基百科。 更新 您 的 设备 或 您 的 的 管理员。 提供 更 长 ， 具 技术性 的 更新 仅 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语Здрасти).
испански: Wikipedia е haciendo el sitio más seguro. Използвате уеб сайт, който не се свързва с Wikipedia в бъдещето. Актуализирайте диспозитивно или се свържете с информационния администратор. Más abajo hay una actualizacion más larga y más técnica en inglés.
ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.
Francais:Уикипедия е допълнителен елемент на защитения сайт. Можете да използвате actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Допълнителна информация плюс техники и английска достъпна информация.
日本語: ウィキペディア で は サイト の セキュリティ を 高め い ます。 ご 利用 の ブラウザ は が が 、 今後 、 ウィキペディア に でき なく なる 可能 性 が ます デバイス を 更新 か 、 管理 管理 者 ご ください。 技術 面 の 更新 更新 更新 更新 更新 更新更新 更新 更新 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい AH情報は以下に英下に英
Немски: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät ili sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.
италиански: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Използвайте уеб браузъра, който не е свързан с уикипедия в бъдеще. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e technico на английски.
маджар: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).
Швеция:Уикипедия е мястото за търсене. Добавяте и други уеб сайтове като инте коммер и книгата в Wikipedia и Framtiden. Актуализирайте актуализацията или контактите на ИТ администратора. Det finns en längre и mer technisk förklaring på engelska längre ned.
हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।
Премахваме поддръжката за несигурни версии на протокола TLS, по-специално TLSv1.0 и TLSv1.1, на които софтуерът на вашия браузър разчита, за да се свърже с нашите сайтове. Това обикновено се причинява от остарели браузъри или по-стари смартфони с Android. Или може да е намеса от корпоративен или личен софтуер "Web Security", който всъщност понижава сигурността на връзката.
Трябва да надстроите своя уеб браузър или по друг начин да коригирате този проблем, за да получите достъп до нашите сайтове. Това съобщение ще остане до 1 януари 2020 г. След тази дата вашият браузър няма да може да установи връзка с нашите сървъри.
В този урок ще разгледаме още две операции с вектори: кръстосано произведение на вектории смесен продукт на вектори (незабавен линк за тези, които имат нужда). Нищо, понякога се случва, че за пълно щастие, освен точково произведение на вектори, необходими са все повече и повече. Такава е векторната зависимост. Може да се създаде впечатлението, че навлизаме в джунглата на аналитичната геометрия. Това не е вярно. В този раздел на висшата математика обикновено има малко дърва за огрев, освен може би достатъчно за Пинокио. Всъщност материалът е много разпространен и прост - едва ли по-труден от същия скаларен продукт, дори ще има по-малко типични задачи. Основното нещо в аналитичната геометрия, както мнозина ще видят или вече са видели, е ДА НЕ ГРЕШИТЕ ИЗЧИСЛЕНИЯТА. Повторете като заклинание и ще бъдете щастливи =)
Ако векторите блестят някъде далеч, като светкавици на хоризонта, няма значение, започнете с урока Вектори за манекениза възстановяване или повторно придобиване на основни знания за векторите. По-подготвените читатели могат да се запознаят с информацията избирателно, опитах се да събера най-пълната колекция от примери, които често се срещат в практическата работа
Какво ще те направи щастлив? Когато бях малък, можех да жонглирам с две и дори три топки. Получи се добре. Сега изобщо няма нужда да жонглираме, тъй като ще разгледаме само космически вектори, а плоските вектори с две координати ще бъдат пропуснати. Защо? Така се раждат тези действия - векторът и смесеното произведение на векторите се дефинират и работят в триизмерно пространство. Вече по-лесно!
При тази операция, по същия начин както при скаларното произведение, два вектора. Нека бъдат нетленни букви.
Самото действие обозначенопо следния начин:. Има и други опции, но аз съм свикнал да обозначавам кръстосаното произведение на векторите по този начин, в квадратни скоби с кръст.
И веднага въпрос: ако е в точково произведение на векториучастват два вектора и тук два вектора също се умножават, тогава каква е разликата? Ясна разлика, на първо място, в РЕЗУЛТАТА:
Резултатът от скаларното произведение на векторите е ЧИСЛО:
Резултатът от кръстосаното произведение на векторите е ВЕКТОР: , тоест умножаваме векторите и отново получаваме вектор. Закрит клуб. Всъщност оттук идва и името на операцията. В различна образователна литература обозначенията също могат да варират, ще използвам буквата .
Определение на кръстосания продукт
Първо ще има дефиниция със снимка, след това коментари.
Определение: кръстосано изделие неколинеарнивектори, взети в този ред, се нарича ВЕКТОР, дължинакоето е числено равна на площта на паралелограма, изградена върху тези вектори; вектор ортогонална на векторите, и е насочена така, че основата да има правилна ориентация: 
Анализираме определението по кости, има много интересни неща!
Така че можем да подчертаем следните важни точки:
1) Изходни вектори, обозначени с червени стрелки, по дефиниция не колинеарен. Ще бъде уместно да разгледаме случая на колинеарните вектори малко по-късно.
2) Взети вектори в строг ред: – "а" се умножава по "бъди", а не "бъди" към "а". Резултат от векторно умножениее VECTOR , което е обозначено в синьо. Ако векторите се умножат в обратен ред, тогава получаваме вектор с еднаква дължина и противоположна посока (пурпурен цвят). Тоест равенството 
.
3) Сега нека се запознаем с геометричното значение на векторното произведение. Това е много важен момент! ДЪЛЖИНАТА на синия вектор (и следователно на пурпурния вектор) е числено равна на ПЛОЩАТА на паралелограма, изграден върху векторите. На фигурата този паралелограм е оцветен в черно.
Забележка : чертежът е схематичен и, разбира се, номиналната дължина на напречния продукт не е равна на площта на успоредника.
Припомняме една от геометричните формули: площта на успоредник е равна на произведението на съседните страни и синуса на ъгъла между тях. Следователно, въз основа на горното, формулата за изчисляване на ДЪЛЖИНАТА на векторно произведение е валидна:
Подчертавам, че във формулата говорим за ДЪЛЖИНА на вектора, а не за самия вектор. Какъв е практическият смисъл? И смисълът е такъв, че в задачите на аналитичната геометрия площта на успоредника често се намира чрез концепцията за векторно произведение:
Получаваме втората важна формула. Диагоналът на паралелограма (червена пунктирана линия) го разделя на два равни триъгълника. Следователно площта на триъгълник, изграден върху вектори (червено засенчване), може да се намери по формулата:
4) Също толкова важен факт е, че векторът е ортогонален на векторите, т.е 
. Разбира се, противоположно насоченият вектор (пурпурната стрелка) също е ортогонален на оригиналните вектори.
5) Векторът е насочен така, че основаТо има правоориентация. В урок за преход към нова основаГоворих подробно за равнинна ориентация, а сега ще разберем каква е ориентацията на пространството. Ще обясня на пръсти дясна ръка. Психически комбинирайте показалецс вектор и среден пръстс вектор. Безимен пръст и малък пръстнатиснете в дланта си. Като резултат палец- векторният продукт ще търси нагоре. Това е дясно ориентираната основа (тя е на фигурата). Сега разменете векторите ( показалец и среден пръст) на някои места в резултат палецът ще се обърне и векторният продукт вече ще гледа надолу. Това също е дясно ориентирана основа. Може би имате въпрос: каква основа има лява ориентация? „Присвоете“ същите пръсти лява ръкавектори и получете лявата основа и ориентацията на лявото пространство (в този случай палецът ще бъде разположен в посока на долния вектор). Образно казано, тези основи „усукват“ или ориентират пространството в различни посоки. И тази концепция не трябва да се счита за нещо премислено или абстрактно - например най-обикновеното огледало променя ориентацията на пространството и ако „издърпате отразения обект от огледалото“, тогава като цяло няма да е възможно да комбинирайте го с „оригинала“. Между другото, донесете три пръста до огледалото и анализирайте отражението ;-)
... колко е хубаво това, за което сега знаеш дясно и ляво ориентиранибази, защото твърденията на някои лектори за смяната на ориентацията са ужасни =)
Векторно произведение на колинеарни вектори
Дефиницията е разработена подробно, остава да разберем какво се случва, когато векторите са колинеарни. Ако векторите са колинеарни, тогава те могат да бъдат поставени на една права линия и нашият паралелограм също се „сгъва“ в една права линия. Областта на такава, както казват математиците, изроденипаралелограма е нула. Същото следва и от формулата - синусът на нула или 180 градуса е равен на нула, което означава, че площта е нула
По този начин, ако , тогава 
и 
. Моля, имайте предвид, че самото кръстосано произведение е равно на нулевия вектор, но на практика това често се пренебрегва и се пише, че също е равно на нула.
Специален случай е векторното произведение на вектор и себе си:
Използвайки кръстосаното произведение, можете да проверите колинеарността на триизмерните вектори и ние също ще анализираме този проблем, наред с други.
За решаване на практически примери може да е необходимо тригонометрична таблицаза да намерите стойностите на синусите от него.
Е, нека запалим огън:
Пример 1
а) Намерете дължината на векторното произведение на векторите, ако 
б) Намерете площта на успоредник, изграден върху вектори, ако 
Решение: Не, това не е печатна грешка, умишлено направих еднакви първоначалните данни в елементите на условието. Защото дизайнът на решенията ще бъде различен!
а) Според условието се изисква да се намери дължинавектор (векторен продукт). Според съответната формула:
Отговор:
Тъй като беше запитано за дължината, тогава в отговора посочваме размерността - единици.
б) Според условието се изисква да се намери квадратпаралелограм, изграден върху вектори. Площта на този паралелограм е числено равна на дължината на напречното произведение:
Отговор:
Моля, имайте предвид, че в отговора за векторния продукт изобщо не се говори, за което ни попитаха площ на фигурата, съответно размерността е квадратни единици.
Винаги гледаме КАКВО се изисква, за да бъде намерено от условието, и въз основа на това формулираме ясноотговор. Може да изглежда като буквализъм, но сред учителите има достатъчно буквалисти и задачата с добри шансове ще бъде върната за доработка. Въпреки че това не е особено напрегната придирка - ако отговорът е неправилен, тогава човек остава с впечатлението, че човекът не разбира прости неща и/или не е разбрал същността на задачата. Този момент винаги трябва да се държи под контрол, като се решава всеки проблем по висша математика, а и по други предмети.
Къде отиде голямата буква "en"? По принцип можеше допълнително да се залепи за решението, но за да съкратя записа, не го направих. Надявам се, че всички разбират това и е обозначението на едно и също нещо.
Популярен пример за решение "направи си сам":
Пример 2
Намерете площта на триъгълник, изграден върху вектори, ако 
Формулата за намиране на площта на триъгълник през векторното произведение е дадена в коментарите към определението. Решение и отговор в края на урока.
На практика задачата наистина е много често срещана, триъгълниците по принцип могат да се измъчват.
За да решим други проблеми, ни трябва:
Свойства на кръстосаното произведение на вектори
Вече разгледахме някои свойства на векторния продукт, но ще ги включа в този списък.
За произволни вектори и произволно число са верни следните свойства:
1) В други източници на информация този елемент обикновено не се разграничава в свойствата, но е много важен в практически план. Така че нека бъде.
2) 
- имотът също е обсъден по-горе, понякога се нарича антикомутативност. С други думи, редът на векторите има значение.
3) - комбинация или асоциативензакони за векторни продукти. Константите лесно се изваждат от границите на векторното произведение. Наистина, какво правят там?
4) - разпространение или разпределениезакони за векторни продукти. Няма проблеми и с отварянето на скоби.
Като демонстрация помислете за кратък пример:
Пример 3
Намерете ако 
решение:По условие отново се изисква да се намери дължината на векторното произведение. Нека нарисуваме нашата миниатюра: 
(1) Съгласно асоциативните закони изваждаме константите извън границите на векторното произведение.
(2) Изваждаме константата от модула, докато модулът „изяжда” знака минус. Дължината не може да бъде отрицателна.
(3) Това, което следва, е ясно.
Отговор: 
Време е да хвърлите дърва в огъня:
Пример 4
Изчислете площта на триъгълник, изграден върху вектори, ако 
Решение: Намерете площта на триъгълник с помощта на формулата 
. Пречката е, че самите вектори "ce" и "te" са представени като суми от вектори. Алгоритъмът тук е стандартен и донякъде напомня на примери No3 и 4 от урока. Точково произведение на вектори. Нека го разделим на три стъпки за по-голяма яснота:
1) На първата стъпка изразяваме векторното произведение чрез векторното произведение, всъщност изразете вектора по отношение на вектора. Все още няма информация за дължината!
(1) Ние заместваме изрази на вектори.
(2) Използвайки разпределителни закони, отворете скобите според правилото за умножение на полиномите.
(3) Използвайки асоциативните закони, изваждаме всички константи извън векторните произведения. С малко опит действия 2 и 3 могат да се извършват едновременно.
(4) Първият и последният член са равни на нула (нулев вектор) поради приятното свойство . Във втория член използваме свойството антикомутативност на векторното произведение:
(5) Представяме подобни термини.
В резултат на това векторът се оказва изразен чрез вектор, което е необходимо да се постигне: 
2) На втората стъпка намираме дължината на векторния продукт, от който се нуждаем. Това действие е подобно на пример 3: 
3) Намерете площта на желания триъгълник: 
Стъпки 2-3 от решението могат да бъдат подредени в един ред.
Отговор:
Разглежданият проблем е доста често срещан в тестовете, ето пример за независимо решение:
Пример 5
Намерете ако
Кратко решение и отговор в края на урока. Нека видим колко внимателни бяхте, когато изучавахте предишните примери ;-)
Кръстосано произведение на вектори в координати
, дадено в ортонормирана основа , се изразява с формулата:
Формулата е наистина проста: записваме координатните вектори в горния ред на детерминанта, „опаковаме“ координатите на векторите във втория и третия ред и поставяме в строг ред- първо, координатите на вектора "ve", след това координатите на вектора "double-ve". Ако векторите трябва да бъдат умножени в различен ред, тогава редовете също трябва да бъдат разменени: 
Пример 10
Проверете дали следните пространствени вектори са колинеарни:
а)
б) 
Решение: Тестът се основава на едно от твърденията в този урок: ако векторите са колинеарни, тогава тяхното кръстосано произведение е нула (нулев вектор): 
.
а) Намерете векторното произведение: 
Значи векторите не са колинеарни.
б) Намерете векторното произведение: 
Отговор: а) не е колинеарен, б)
Тук, може би, е цялата основна информация за векторното произведение на векторите.
Този раздел няма да е много голям, тъй като има малко проблеми, когато се използва смесеното произведение на векторите. Всъщност всичко ще се основава на определението, геометричния смисъл и няколко работещи формули.
Смесеният продукт на векторите е продукт на три вектора:
Ето как се наредиха като влак и чакат, нямат търпение да се изчислят.
Първо отново дефиницията и снимката:
Определение: Смесен продукт некомпланаренвектори, взети в този ред, е наречен обем на паралелепипеда, изграден върху тези вектори, снабден със знак "+", ако основата е дясна, и знак "-", ако основата е лява.
Нека направим рисунката. Невидимите за нас линии се начертават с пунктирана линия: 
Нека се потопим в определението:
2) Взети вектори в определен ред, тоест пермутацията на векторите в продукта, както се досещате, не минава без последствия.
3) Преди да коментирам геометричното значение, ще отбележа очевидния факт: смесеното произведение на векторите е ЧИСЛО: . В образователната литература дизайнът може да е малко по-различен, използвах за обозначаване на смесен продукт чрез, а резултатът от изчисленията с буквата "pe".
А-приорат смесеното произведение е обемът на паралелепипеда, изградена върху вектори (фигурата е нарисувана с червени вектори и черни линии). Тоест числото е равно на обема на дадения паралелепипед.
Забележка : Чертежът е схематичен.
4) Нека не се занимаваме отново с концепцията за ориентацията на основата и пространството. Значението на последната част е, че към обема може да се добави знак минус. Казано по-просто, смесеният продукт може да бъде отрицателен: .
Формулата за изчисляване на обема на паралелепипед, изграден върху вектори, следва директно от определението.
Преди да дадем понятието за векторно произведение, нека се обърнем към въпроса за ориентацията на подредената тройка от вектори a → , b → , c → в триизмерно пространство.
Като начало нека отделим векторите a → , b → , c → от една точка. Ориентацията на тройката a → , b → , c → е дясна или лява, в зависимост от посоката на вектора c → . От посоката, в която се прави най-краткият завой от вектора a → до b → от края на вектора c → , ще се определи формата на тройката a → , b → , c →.
Ако най-краткото завъртане е обратно на часовниковата стрелка, тогава тройката на векторите a → , b → , c → се нарича правоако по посока на часовниковата стрелка - наляво.
След това вземете два неколинеарни вектора a → и b → . Нека тогава да отложим векторите A B → = a → и A C → = b → от точка A. Нека построим вектор A D → = c → , който е едновременно перпендикулярен на A B → и A C → . По този начин, когато конструираме вектора A D → = c →, можем да направим две неща, като му дадем една посока или противоположна (виж илюстрацията).
Подреденото трио от вектори a → , b → , c → може да бъде, както разбрахме, дясно или ляво в зависимост от посоката на вектора.
От горното можем да въведем дефиницията на векторно произведение. Това определение е дадено за два вектора, дефинирани в правоъгълна координатна система на триизмерно пространство.
Определение 1
Векторното произведение на два вектора a → и b → ще наречем такъв вектор, даден в правоъгълна координатна система на триизмерно пространство, така че:
- ако векторите a → и b → са колинеарни, той ще бъде нула;
- той ще бъде перпендикулярен както на вектор a →, така и на вектор b → т.е. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
- дължината му се определя по формулата: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
- триплетът на векторите a → , b → , c → има същата ориентация като дадена координатна система.
Кръстосаното произведение на вектори a → и b → има следното обозначение: a → × b → .
Координати на кръстосани продукти
Тъй като всеки вектор има определени координати в координатната система, е възможно да се въведе второ определение на кръстосаното произведение, което ще ви позволи да намерите неговите координати от дадените координати на векторите.
Определение 2
В правоъгълна координатна система на триизмерно пространство векторно произведение на два вектора a → = (a x ; a y ; a z) и b → = (b x ; b y ; b z) наричаме вектора c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , където i → , j → , k → са координатни вектори.
Векторният продукт може да бъде представен като детерминанта на квадратна матрица от трети порядък, където първият ред са орта векторите i → , j → , k → , вторият ред съдържа координатите на вектора a → , а третият е координатите на вектора b → в дадена правоъгълна координатна система, този детерминант на матрицата изглежда така: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z
Разширявайки тази детерминанта върху елементите от първия ред, получаваме равенството: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = ( a → × b → = a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →
Кръстосани свойства на продукта
Известно е, че векторното произведение в координати се представя като детерминанта на матрицата c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , след което на основата свойства на детерминанта на матрицатаследното векторни свойства на продукта:
- антикомутативност a → × b → = - b → × a → ;
- дистрибутивност a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → или a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
- асоциативност λ a → × b → = λ a → × b → или a → × (λ b →) = λ a → × b → , където λ е произволно реално число.
Тези свойства нямат сложни доказателства.
Например, можем да докажем свойството на антикомутативност на векторно произведение.
Доказателство за антикомутативност
По дефиниция a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z и b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . И ако два реда на матрицата се разменят, тогава стойността на детерминанта на матрицата трябва да се промени на обратното, следователно, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , което и доказва антикомутативността на векторното произведение.
Векторен продукт - примери и решения
В повечето случаи има три вида задачи.
В задачи от първия тип обикновено се дават дължините на два вектора и ъгълът между тях, но трябва да намерите дължината на кръстосаното произведение. В този случай използвайте следната формула c → = a → b → sin ∠ a → , b → .
Пример 1
Намерете дължината на кръстосаното произведение на вектори a → и b →, ако a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 е известно.
Решение
Използвайки дефиницията на дължината на векторното произведение на вектори a → и b →, решаваме тази задача: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .
Отговор: 15 2 2 .
Задачите от втория тип имат връзка с координатите на векторите, съдържат векторно произведение, неговата дължина и т.н. се търсят през известните координати на дадените вектори a → = (a x ; a y ; a z) и b → = (b x ; b y ; b z) .
За този тип задачи можете да решите много опции за задачи. Например не координатите на векторите a → и b → , а техните разширения в координатни вектори от вида b → = b x i → + b y j → + b z k → и c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , или векторите a → и b → могат да бъдат дадени от координатите на техните начална и крайна точка.
Помислете за следните примери.
Пример 2
Два вектора са зададени в правоъгълна координатна система a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Намерете техния векторен продукт.
Решение
Съгласно второто определение намираме кръстосаното произведение на два вектора в дадени координати: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Ако запишем векторното произведение по отношение на детерминанта на матрицата, тогава решението на този пример е както следва: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Отговор: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Пример 3
Намерете дължината на кръстосаното произведение на вектори i → - j → и i → + j → + k → , където i → , j → , k → - орти на правоъгълна декартова координатна система.
Решение
Първо, нека намерим координатите на даден векторен продукт i → - j → × i → + j → + k → в дадена правоъгълна координатна система.
Известно е, че векторите i → - j → и i → + j → + k → имат съответно координати (1 ; - 1 ; 0) и (1 ; 1 ; 1). Намерете дължината на векторното произведение с помощта на детерминанта на матрицата, тогава имаме i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .
Следователно векторното произведение i → - j → × i → + j → + k → има координати (- 1 ; - 1 ; 2) в дадена координатна система.
Намираме дължината на векторното произведение по формулата (вижте раздела за намиране на дължината на вектора): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .
Отговор: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .
Пример 4
Координатите на три точки A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) са дадени в правоъгълна декартова координатна система. Намерете вектор, перпендикулярен на A B → и A C → едновременно.
Решение
Векторите A B → и A C → имат следните координати (- 1 ; 2 ; 2) и (0 ; 4 ; 1) съответно. След като се намери векторното произведение на векторите A B → и A C → , е очевидно, че той е перпендикулярен вектор по дефиниция както на A B →, така и на A C → , тоест това е решението на нашия проблем. Намерете го A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .
Отговор: - 6 i → + j → - 4 k → . е един от перпендикулярните вектори.
Проблемите от третия тип са фокусирани върху използването на свойствата на векторното произведение на векторите. След прилагане на който ще получим решение на дадения проблем.
Пример 5
Векторите a → и b → са перпендикулярни и дължините им са съответно 3 и 4. Намерете дължината на кръстосаното произведение 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .
Решение
Чрез свойството на дистрибутивност на векторното произведение можем да напишем 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →
Чрез свойството на асоциативност изваждаме числовите коефициенти извън знака на векторните произведения в последния израз: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →
Кръстосаните произведения a → × a → и b → × b → са равни на 0, тъй като a → × a → = a → a → sin 0 = 0 и b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , тогава 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .
От антикомутативността на векторното произведение следва - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .
Използвайки свойствата на векторното произведение, получаваме равенството 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .
По условие векторите a → и b → са перпендикулярни, тоест ъгълът между тях е равен на π 2 . Сега остава само да замените намерените стойности в съответните формули: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.
Отговор: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .
Дължината на кръстосаното произведение на векторите по дефиниция е a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Тъй като вече е известно (от училищния курс), че площта на триъгълник е равна на половината от произведението на дължините на двете му страни, умножено по синуса на ъгъла между тези страни. Следователно дължината на векторния продукт е равна на площта на успоредник - удвоен триъгълник, а именно произведението на страните под формата на вектори a → и b → , отложени от една точка, от синуса на ъгъла между тях sin ∠ a → , b → .
Това е геометричното значение на векторното произведение.
Физическото значение на векторния продукт
В механиката, един от клоновете на физиката, благодарение на векторния продукт, можете да определите момента на сила спрямо точка в пространството.
Определение 3
Под момента на сила F → , приложен към точка B , спрямо точка A ще разбираме следното векторно произведение A B → × F → .
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
