Уравнение на стояща вълна през синус. Еластични вълни

Осцилиращо тяло, поставено в еластична среда, е източник на вибрации, разпространяващи се от нея във всички посоки. Процесът на разпространение на трептенията в среда се нарича вълна.

Когато вълната се разпространява, частиците на средата не се движат с вълната, а се колебаят около своите равновесни позиции. Заедно с вълната от частица на частица се предава само състоянието на вибрационно движение и неговата енергия. Следователно основното свойство на всички вълни, независимо от тяхната природа, е преносът на енергия без пренос на материя.

Вълните могат да бъдат напречни (възникват трептения в равнина, перпендикулярна на посоката на разпространение) и надлъжни (кондензация и изхвърляне на частици от средата се появяват в посоката на разпространение).

Когато две еднакви вълни с равни амплитуди и периоди се разпространяват една към друга, стоящите вълни възникват, когато се припокриват. Стоящите вълни могат да бъдат получени чрез отражение от препятствия. Да кажем, че излъчвателят изпраща вълна към препятствие (падаща вълна). Отразената от него вълна ще бъде насложена върху падащата вълна. Уравнение стояща вълнаможе да се получи чрез добавяне на уравнението на падащата вълна

(Много важен случай на интерференция се наблюдава, когато две насрещно разпространяващи се равнинни вълни с еднаква амплитуда се наслагват. Полученият осцилационен процес се нарича стояща вълна. На практика стоящите вълни възникват, когато се отразяват от препятствия.)

Това уравнение се нарича вълново уравнение. Всяка функция, която удовлетворява това уравнение, описва определена вълна.
Вълново уравнение е израз, който дава пристрастие осцилираща точкакато функция на неговите координати ( х, г, z) и време t.

Тази функция трябва да бъде периодична както по отношение на времето, така и по координатите (вълната е разпространяващо се трептене, следователно периодично повтарящо се движение). Освен това точките, разположени на разстояние l една от друга, вибрират по същия начин.

- Това уравнение на равнинна вълна.
Уравнение (5.2.3) ще има същата форма, ако вибрациите се разпространяват по оста гили z
IN общ изглед уравнение на равнинна вълнае написано така:

Изразите (5.2.3) и (5.2.4) са уравнения на пътуващи вълни .

Уравнение (5.2.3) описва вълна, разпространяваща се в посока на нарастване х. Вълна, разпространяваща се в обратна посока, има формата:

Нека се запознаем вълново число , или във векторна форма:

където е вълновият вектор и е нормалата към вълновата повърхност.

От тогава. Оттук. Тогава уравнение на равнинна вълна ще бъде написана така:

сферично вълново уравнение:

Къде Аравна на амплитудата на разстояние от източника, равно на единица.

ВЪЛНОВ ВЕКТОР- вектор к, което определя посоката на разпространение и пространствения период на плосък едноцветен. вълни

където са постоянната амплитуда и фаза на вълната, е кръговата честота, r- радиус вектор. Модул V.V. наречен вълново число k= , Къде - пространствен период или дължина на вълната. В посока Е. настъпва най-бързата промяна във фазата на вълната, поради което тя се приема за посока на разпространение. Скоростта на движение на фазата в тази посока или фазовата скорост се определя чрез вълновото число .. c.

6.1 Стоящи вълни в еластична среда

Според принципа на суперпозицията, когато няколко вълни се разпространяват едновременно в еластична среда, възниква тяхното наслагване и вълните не се смущават взаимно: трептенията на частиците на средата са векторната сума на трептенията, които частиците биха направили ако всяка вълна се разпространява отделно.

Вълни, които създават трептения на средата, фазовите разлики между които са постоянни във всяка точка на пространството, се наричат съгласувана.

Когато се добавят кохерентни вълни, възниква феноменът намеса, което се състои в това, че в едни точки на пространството вълните взаимно се засилват, а в други точки взаимно се отслабват. Важен случай на интерференция се наблюдава, когато се наслагват две насрещно разпространяващи се равнинни вълни с еднаква честота и амплитуда. Получените трептения се наричат стояща вълна. Най-често стоящите вълни възникват, когато пътуваща вълна се отразява от препятствие. В този случай падащата вълна и отразената към нея вълна, когато се добавят, дават стояща вълна.

Получаваме уравнението на стоящата вълна. Нека вземем две равнинни хармонични вълни, разпространяващи се една към друга по оста Xи имат еднаква честота и амплитуда:

Къде – фаза на трептене на точки от средата по време на преминаването на първата вълна;

– фаза на трептения на точки в средата при преминаване на втората вълна.

Фазова разлика във всяка точка на оста Xмрежата няма да зависи от времето, т.е. ще бъде постоянно:

Следователно и двете вълни ще бъдат кохерентни.

Вибрацията на частиците на средата в резултат на добавянето на разглежданите вълни ще бъде както следва:

Нека преобразуваме сумата от косинусите на ъглите съгласно правило (4.4) и получаваме:

Прегрупирайки факторите, получаваме:

За да опростим израза, ние избираме референтната точка, така че фазовата разлика и началото на отброяването на времето, така че сумата от фазите да е равна на нула: .

Тогава уравнението за сумата от вълни ще приеме формата:

Уравнение (6.6) се нарича уравнение на стояща вълна. Това показва, че честотата на стояща вълна е равна на честотата на пътуваща вълна, а амплитудата, за разлика от пътуващата вълна, зависи от разстоянието от началото:

. (6.7)

Като се вземе предвид (6.7), уравнението на стоящата вълна приема формата:

. (6.8)

По този начин точките на средата осцилират с честота, съвпадаща с честотата на пътуващата вълна и амплитудата а, в зависимост от позицията на точката върху оста X. Съответно амплитудата се променя по косинусния закон и има своите максимуми и минимуми (фиг. 6.1).

За да представим визуално местоположението на минимумите и максимумите на амплитудата, заместваме, съгласно (5.29), вълновото число с неговата стойност:

Тогава изразът (6.7) за амплитудата ще приеме формата

(6.10)

От това става ясно, че амплитудата на преместване е максимална при , т.е. в точки, чиито координати отговарят на условието:

, (6.11)

Къде

От тук получаваме координатите на точките, където амплитудата на преместване е максимална:

; (6.12)

Наричат се точките, в които амплитудата на вибрациите на средата е максимална антивъзли на вълната.

Амплитудата на вълната е нула в точки, където . Координатите на такива точки, т.нар вълнови възли, отговаря на условието:

, (6.13)

Къде

От (6.13) става ясно, че координатите на възлите имат стойностите:

, (6.14)

На фиг. Фигура 6.2 показва приблизителен изглед на стояща вълна, местоположението на възлите и антинодите е маркирано. Може да се види, че съседните възли и антивъзлите на изместване са отдалечени един от друг на същото разстояние.

Нека намерим разстоянието между съседните антиноди и възли. От (6.12) получаваме разстоянието между антивъзлите:

(6.15)

Разстоянието между възлите се получава от (6.14):

(6.16)

От получените съотношения (6.15) и (6.16) става ясно, че разстоянието между съседните възли, както и между съседните антивъзли, е постоянно и равно на ; възли и антиноди са изместени един спрямо друг с (фиг. 6.3).

От определението за дължина на вълната можем да напишем израз за дължината на стояща вълна: тя е равна на половината от дължината на пътуваща вълна:

Нека напишем, като вземем предвид (6.17), изрази за координатите на възли и антиноди:

, (6.18)

, (6.19)

Факторът, който определя амплитудата на стояща вълна, променя знака си при преминаване през нулевата стойност, в резултат на което фазата на трептенията от различните страни на възела се различава с . Следователно, всички точки лежат заедно различни страниот възела, трептят в противофаза. Всички точки, разположени между съседни възли, осцилират във фаза.

Възлите условно разделят околната среда на автономни области, в които хармоничните трептения възникват независимо. Няма трансфер на движение между регионите и следователно няма поток на енергия между регионите. Тоест няма предаване на смущението по оста. Ето защо вълната се нарича стояща вълна.

И така, стояща вълна се образува от две противоположно насочени пътуващи вълни с еднакви честоти и амплитуди. Векторите на Umov на всяка от тези вълни са равни по големина и противоположни по посока и при сумиране дават нула. Следователно стоящата вълна не пренася енергия.

6.2 Примери за стоящи вълни

6.2.1 Стояща вълна в струна

Нека разгледаме низ с дължина Л, фиксирани в двата края (фиг. 6.4).

Нека поставим ос по протежение на низа Xтака че левият край на низа да има координатата х=0, а дясната – х=L. В струната възникват вибрации, описани с уравнението:

Нека запишем граничните условия за разглеждания низ. Тъй като краищата му са фиксирани, тогава в точки с координати х=0и х=Lбез колебание:

(6.22)

Нека намерим уравнението на трептенията на струната въз основа на написаните гранични условия. Нека напишем уравнение (6.20) за левия край на низа, като вземем предвид (6.21):

Отношението (6.23) е изпълнено за всяко време tв два случая:

1. . Това е възможно, ако няма вибрации в струната (). Този случай не представлява интерес и няма да го разглеждаме.

2. . Ето фазата. Този случай ще ни позволи да получим уравнението на вибрациите на струната.

Нека заместим получената стойност на фазата в граничното условие (6.22) за десния край на низа:

. (6.25)

Като се има предвид това

, (6.26)

от (6.25) получаваме:

Отново възникват два случая, в които отношението (6.27) е изпълнено. Няма да разглеждаме случая, когато няма вибрации в струната ().

Във втория случай трябва да е спазено равенството:

и това е възможно само когато аргументът на синус е кратно на цяло число:

Изхвърляме стойността, т.к в този случай и това би означавало или нулева дължина на низа ( L=0) или вълново число k=0. Като се има предвид връзката (6.9) между вълновото число и дължината на вълната, става ясно, че за да бъде вълновото число равно на нула, дължината на вълната трябва да е безкрайна, а това би означавало липса на трептения.

От (6.28) става ясно, че вълновото число при осцилиране на струна, фиксирана в двата края, може да приема само определени дискретни стойности:

Като вземем предвид (6.9), записваме (6.30) във формата:

от което получаваме израза за възможните дължини на вълните в низа:

С други думи, по дължината на низа Лтрябва да се побере в цяло число пполувълни:

Съответните честоти на трептене могат да бъдат определени от (5.7):

Ето фазовата скорост на вълната в зависимост, съгласно (5.102), от линейната плътност на струната и силата на опън на струната:

Замествайки (6.34) в (6.33), получаваме израз, описващ възможните честоти на вибрация на струната:

, (6.36)

Честотите се наричат естествени честотиструни. Честота (при п = 1):

(6.37)

наречен основна честота(или основен тон) низове. Честотите, определени при n>1се наричат обертоновеили хармоници. Хармоничното число е n-1. Например честота:

съответства на първия хармоник и честота:

съответства на втория хармоник и т.н. Тъй като една струна може да бъде представена като дискретна система с безкраен брой степени на свобода, тогава всяка хармонична е модавибрации на струните. В общия случай вибрациите на струните представляват суперпозиция на режими.

Всеки хармоник има своя собствена дължина на вълната. За основния тон (с n= 1) дължина на вълната:

съответно за първия и втория хармоник (при n= 2 и n= 3) дължините на вълните ще бъдат:

Фигура 6.5 показва появата на няколко режима на вибрации, извършвани от струна.

Така струна с фиксирани краища реализира изключителен случай в рамките на класическата физика - дискретен спектър от вибрационни честоти (или дължини на вълните). Еластичен прът с единия или двата захванати края и колебанията на въздушен стълб в тръби се държат по същия начин, което ще бъде обсъдено в следващите раздели.

6.2.2 Влияние на началните условия върху движението

непрекъснат низ. Анализ на Фурие

В допълнение към дискретния спектър от честоти на трептене, трептенията на струна със захванати краища имат друго важно свойство: специфичната форма на трептенията на струната зависи от метода на възбуждане на трептенията, т.е. от началните условия. Нека да разгледаме по-отблизо.

Уравнение (6.20), което описва един вид на стояща вълна в струна, е конкретно решение на диференциалното вълново уравнение (5.61). Тъй като вибрацията на струна се състои от всички възможни режими (за струна - безкраен брой), тогава общо решениевълновото уравнение (5.61) се състои от безкраен брой частични решения:

, (6.43)

Къде аз– номер на режим на вибрация. Изразът (6.43) е написан, като се вземе предвид фактът, че краищата на низа са фиксирани:

а също и като се вземе предвид честотната връзка аз-ти режим и неговото вълново число:

(6.46)

тук – вълново число азта мода;

– вълново число на 1-ва мода;

Нека намерим стойността на началната фаза за всеки режим на трептене. За това, в момента t=0нека придадем на низа форма, описана от функцията f 0 (х), изразът, за който получаваме от (6.43):

. (6.47)

На фиг. Фигура 6.6 показва пример за формата на низ, описан от функцията f 0 (х).

В даден момент t=0низът все още е в покой, т.е. скоростта на всички негови точки е нула. От (6.43) намираме израз за скоростта на точките на низа:

и, замествайки в него t=0, получаваме израз за скоростта на точките на низа в началния момент от време:

. (6.49)

Тъй като в началния момент скоростта е равна на нула, то изразът (6.49) ще бъде равен на нула за всички точки на низа, ако . От това следва, че началната фаза за всички режими също е нула (). Като се има предвид това, изразът (6.43), който описва движението на струната, приема формата:

, (6.50)

и израз (6.47), описващ начална форманизове, изглежда така:

. (6.51)

Стояща вълна в струна се описва от функция, която е периодична в интервала , където е равна на две дължини на струната (фиг. 6.7):

Това може да се види от факта, че периодичността на интервал означава:

следователно

което ни води до израз (6.52).

От математическия анализ е известно, че всяка периодична функция може да бъде разширена с висока точност в ред на Фурие:

, (6.57)

където , , са коефициенти на Фурие.

Ако няколко вълни се разпространяват едновременно в една среда, тогава трептенията на частиците на средата се оказват геометричната сума на трептенията, които частиците биха направили, ако всяка от вълните се разпространява поотделно. Следователно вълните просто се наслагват една върху друга, без да си пречат. Това твърдение се нарича принцип на вълновата суперпозиция. Принципът на суперпозицията гласи, че движението, причинено от разпространението на няколко вълни едновременно, отново е определен вълнов процес. Такъв процес например е звукът на оркестър. Възниква от едновременно възбуждане звукови вибрацииефир с отделни музикални инструменти. Забележително е, че когато вълните се наслагват, могат да възникнат специални явления. Наричат се адитивни ефекти или, както се казва още, суперпозиция на вълни. Сред тези ефекти най-важни са интерференцията и дифракцията.

Интерференцията е явление на продължително във времето преразпределение на енергията на трептенията в пространството, в резултат на което трептенията се засилват на едни места и отслабват на други. Това явление възниква, когато вълни с фазова разлика, която продължава във времето, се добавят заедно, така наречените кохерентни вълни. Намеса голям бройвълни се нарича дифракция. Фундаментална разликаНяма разлика между интерференция и дифракция. Естеството на тези явления е едно и също. Ще се ограничим до обсъждането само на един много важен интерференчен ефект, който е образуването на стоящи вълни.

Необходимо условиеОбразуването на стоящи вълни е наличието на граници, които отразяват падащите върху тях вълни. Стоящите вълни се образуват в резултат на добавянето на падащи и отразени вълни. Такива явления се срещат доста често. Така всеки тон на всеки музикален инструмент се възбужда от стояща вълна. Тази вълна се генерира или в струна (струнни инструменти), или във въздушен стълб ( духови инструменти). Отражателните граници в тези случаи са точките на закрепване на струната и повърхностите на вътрешните кухини на духовите инструменти.

Всяка стояща вълна има следните свойства. Цялата област на пространството, в която се възбужда вълната, може да бъде разделена на клетки по такъв начин, че трептенията напълно да липсват на границите на клетките. Точките, разположени на тези граници, се наричат възли на стоящи вълни. Фазите на трептенията във вътрешните точки на всяка клетка са еднакви. Трептенията в съседните клетки възникват една към друга, тоест в противофаза. В рамките на една клетка амплитудата на трептенията варира в пространството и на някое място достига максимална стойност. Точките, в които се наблюдава това, се наричат антиноди на стояща вълна. И накрая, характерно свойство на стоящите вълни е дискретността на техния честотен спектър. При стояща вълна трептенията могат да възникнат само със строго определени честоти и преходът от една от тях към друга става рязко.

Нека да разгледаме прост пример за стояща вълна. Да приемем, че низ с ограничена дължина е опънат по оста; краищата му са неподвижно фиксирани, като левият край е разположен в началото на координатите. Тогава координатата на десния край ще бъде . Да възбудим вълна в струната

разпространявайки се отляво надясно. Вълната ще се отрази от десния край на струната. Да приемем, че това става без загуба на енергия. В този случай отразената вълна ще има същата амплитуда и същата честота като падащата. Следователно отразената вълна трябва да има формата:

Неговата фаза съдържа константа, която определя промяната във фазата при отражение. Тъй като отражението възниква в двата края на струната и без загуба на енергия, вълни с еднакви честоти ще се разпространяват едновременно в струната. Следователно трябва да възникне смущение по време на добавянето. Нека намерим получената вълна.

Това е уравнението на стоящата вълна. От него следва, че във всяка точка на струната възникват трептения с честота. В този случай амплитудата на трептенията в дадена точка е равна на

Тъй като краищата на струната са фиксирани, там няма вибрации. От условието следва, че . Следователно накрая получаваме:

Сега е ясно, че в точките, където , изобщо няма трептения. Тези точки са възлите на стоящата вълна. Където , амплитудата на трептенията е максимална, тя е равна на удвоената амплитуда на добавените трептения. Тези точки са антинодите на стояща вълна. Появата на антиноди и възли е именно мястото, където се крие смущението: на някои места трептенията се засилват, а на други изчезват. Разстоянието между съседни възли и антиноди се намира от очевидното условие: . Защото тогава. Следователно разстоянието между съседните възли е .

От уравнението на стоящата вълна става ясно, че факторът При преминаване през нулевата стойност той променя знака. В съответствие с това фазата на трептенията на противоположните страни на възела се различава с . Това означава, че точките, разположени от противоположните страни на възела, осцилират в противофаза. Всички точки между два съседни възела осцилират в една и съща фаза.

По този начин, чрез добавяне на падащите и отразените вълни, наистина е възможно да се получи картината на вълновото движение, която беше характеризирана по-рано. В този случай клетките, обсъждани в едномерния случай, са сегменти, затворени между съседни възли и имащи дължина .

Нека най-накрая се уверим, че вълната, която разгледахме, може да съществува само при строго определени честоти на трептене. Да се възползваме от факта, че в десния край на струната няма вибрации, т.е. Оказва се, че. Това равенство е възможно, ако , където е произволно положително цяло число.

В случай, че трептенията, причинени от отделни вълни във всяка точка на средата, имат постоянна фазова разлика, вълните се наричат кохерентни. (По-строга дефиниция на кохерентността ще бъде дадена в § 120.) Когато се добавят кохерентни вълни, възниква явлението интерференция, което се състои в това, че трептенията в някои точки се засилват, а в други точки се отслабват взаимно.

Много важен случай на интерференция се наблюдава, когато се наслагват две насрещно разпространяващи се равнинни вълни с еднаква амплитуда. Възникналият колебателен процес се нарича стояща вълна. Почти стоящите вълни възникват, когато вълните се отразяват от препятствия. Вълна, падаща върху препятствие, и отразена вълна, която се движи към него, наслагвайки се една върху друга, създават стояща вълна.

Нека напишем уравненията на две равнинни вълни, разпространяващи се по оста x в противоположни посоки:

Събирайки тези уравнения заедно и трансформирайки резултата с помощта на формулата за сумата от косинусите, получаваме

Уравнение (99.1) е уравнението на стояща вълна. За да го опростим, ние избираме произхода, така че разликата да стане равно на нула, а референтната точка - така че сумата да е равна на нула Освен това заместваме вълновото число k с неговата стойност

Тогава уравнение (99.1) ще приеме формата

От (99.2) става ясно, че във всяка точка на стоящата вълна възникват трептения със същата честота като насрещно разпространяващите се вълни, а амплитудата зависи от x:

амплитудата на трептенията достига максималната си стойност. Тези точки се наричат антиноди на стояща вълна. От (99.3) се получават стойностите на координатите на антинодите:

Трябва да се има предвид, че антинодът не е една единствена точка, а равнина, чиито точки имат x координатни стойности, определени по формула (99.4).

В точки, чиито координати отговарят на условието

амплитудата на трептенията става нула. Тези точки се наричат възли на стоящи вълни. Точките на средата, разположени във възлите, не осцилират. Координатите на възлите имат значение

Възелът, подобно на антинода, не е една точка, а равнина, чиито точки имат x координатни стойности, определени по формула (99.5).

От формули (99.4) и (99.5) следва, че разстоянието между съседни антиноди, както и разстоянието между съседни възли, е равно на . Антинодите и възлите са изместени един спрямо друг с една четвърт от дължината на вълната.

Нека се обърнем отново към уравнение (99.2). Множителят променя знака при преминаване през нула. В съответствие с това фазата на трептенията от противоположните страни на възела се различава от Това означава, че точките, разположени от противоположните страни на възела, осцилират в противофаза. Всички точки, разположени между два съседни възела, осцилират във фаза (т.е. в една и съща фаза). На фиг. 99.1 предоставя поредица от „моментни снимки“ на отклонения на точката от равновесното положение.

Първата „снимка“ съответства на момента, в който отклоненията достигат най-голямата си абсолютна стойност. Следващите „снимки“ се правят на интервали от четвърт период. Стрелките показват скоростите на частиците.

След като диференцираме уравнение (99.2) веднъж по отношение на t и друг път по отношение на x, намираме изрази за скоростта на частиците и за деформацията на средата:

Уравнение (99.6) описва стояща скоростна вълна, а (99.7) описва стояща деформационна вълна.

На фиг. 99.2 сравнява „моментни снимки” на преместване, скорост и деформация за моменти от време 0 и От графиките е ясно, че възлите и антивъзлите на скоростта съвпадат с възлите и антивъзлите на преместването; възлите и антивъзлите на деформация съвпадат съответно с антивъзлите и възлите на изместване. При достигане на максимални стойности се връща към нула и обратно.

Съответно, два пъти на период енергията на стояща вълна се преобразува или напълно в потенциална, концентрирана главно близо до вълновите възли (където са разположени деформационните антиноди), или напълно в кинетична енергия, концентрирана главно близо до вълновите антиноди (където антивъзлите на скоростта се намират). В резултат на това енергията се прехвърля от всеки възел към съседните антиноди и обратно. Осредненият във времето енергиен поток във всеки участък от вълната е нула.