Синусова и косинусова теореми за правоъгълни триъгълници. Теорема за косинусите, синусите: формулировка, следствия и примери
Тригонометрията се използва широко не само в раздела на алгебрата - началото на анализа, но и в геометрията. В тази връзка е разумно да се приеме съществуването на теореми и техните доказателства, свързани с тригонометрични функции. Наистина, теоремите за косинусите и синусите извеждат много интересни и най-важното полезни връзки между страните и ъглите на триъгълниците.
Използвайки тази формула, можете да извлечете всяка от страните на триъгълника:
Доказателството на твърдението е изведено въз основа на Питагоровата теорема: квадрат на хипотенузата равно на суматаквадрати на краката.
Да разгледаме произволен триъгълник ABC. От върха C спускаме височината h до основата на фигурата; в този случай нейната дължина е абсолютно без значение. Сега, ако разгледаме произволен триъгълник ACB, тогава можем да изразим координатите на точка C чрез тригонометрични функциизащото и грях.
Нека си припомним дефиницията на косинус и запишем отношението на страните на триъгълника ACD: cos α = AD/AC | умножете двете страни на равенството по AC; AD = AC * cos α.
Приемаме дължината AC като b и получаваме израз за първата координата на точка C:
x = b * cosα. По същия начин намираме стойността на ординатата C: y = b * sin α. След това прилагаме Питагоровата теорема и изразяваме h последователно за триъгълника ACD и DCB:
Очевидно е, че двата израза (1) и (2) са равни един на друг. Нека приравним десните страни и представим подобни:
На практика тази формула ви позволява да намерите дължината на неизвестната страна на триъгълник от дадени ъгли. Косинусовата теорема има три следствия: за прав, остър и тъп ъгъл на триъгълник.
Нека заменим стойността на cos α с обичайната променлива x, тогава за острия ъгъл на триъгълник ABC получаваме:
Ако ъгълът се окаже прав, тогава 2bx ще изчезне от израза, тъй като cos 90° = 0. Графично второто следствие може да бъде представено по следния начин:
В случай на тъп ъгъл, знакът „-“ преди двойния аргумент във формулата ще се промени на „+“:
Както се вижда от обяснението, в отношенията няма нищо сложно. Косинусовата теорема не е нищо повече от превод на Питагоровата теорема в тригонометрични величини.
Практическо приложение на теоремата
Упражнение 1. Даден е триъгълник ABC, чиято страна BC = a = 4 cm, AC = b = 5 cm и cos α = ½. Трябва да намерите дължината на страната AB.
За да направите изчислението правилно, трябва да определите ъгъла α. За да направите това, трябва да се обърнете към таблицата със стойности за тригонометрични функции, според които арккосинусът е равен на 1/2 за ъгъл от 60 °. Въз основа на това използваме формулата на първото следствие от теоремата:
Задача 2. За триъгълник ABC всички страни са известни: AB =4√2,BC=5,AC=7. Трябва да намерите всички ъгли на фигурата.
В този случай не можете да направите без чертеж на условията на проблема.
Тъй като стойностите на ъглите остават неизвестни, трябва да използвате пълна формулаза остър ъгъл.
По аналогия не е трудно да се създават формули и да се изчисляват стойностите на други ъгли:
Сумата от трите ъгъла на триъгълника трябва да бъде 180°: 53 + 82 + 45 = 180, следователно решението е намерено.
Теорема за синусите
Теоремата гласи, че всички страни произволен триъгълникпропорционални на синусите на противоположните ъгли. Отношенията се записват под формата на тройно равенство:
Класическото доказателство на твърдението се извършва на примера на фигура, вписана в кръг.
За да проверите истинността на твърдението, като използвате примера на триъгълник ABC на фигурата, е необходимо да потвърдите факта, че 2R = BC / sin A. След това докажете, че другите страни са свързани със синусите на противоположни ъгли, като 2R или D от кръг.
За да направите това, начертайте диаметъра на окръжността от върха B. От свойството на ъглите, вписани в окръжност, ∠GCB е права линия, а ∠CGB е или равно на ∠CAB, или (π - ∠CAB). В случай на синус, последното обстоятелство не е от значение, тъй като sin (π –α) = sin α. Въз основа на горните заключения може да се твърди, че:
sin ∠CGB = BC/ BG или sin A = BC/2R,
Ако разгледаме други ъгли на фигурата, получаваме разширена формула за синусовата теорема:
Типичните задачи за упражняване на синусовата теорема се свеждат до намиране на неизвестна страна или ъгъл на триъгълник.
Както може да се види от примерите, решаването на такива проблеми не е трудно и се състои в извършване на математически изчисления.
Ще започнем изучаването на тригонометрията с правоъгълен триъгълник. Нека да определим какво са синус и косинус, както и тангенс и котангенс на остър ъгъл. Това са основите на тригонометрията.
Нека си припомним това прав ъгъле ъгъл, равен на 90 градуса. С други думи, половин завъртян ъгъл.
Остър ъгъл- по-малко от 90 градуса.
Тъп ъгъл- повече от 90 градуса. Във връзка с такъв ъгъл, "тъп" не е обида, а математически термин :-)
Нека начертаем правоъгълен триъгълник. Правият ъгъл обикновено се означава с . Моля, обърнете внимание, че страната срещу ъгъла е обозначена със същата буква, само малка. По този начин страната срещу ъгъл A е обозначена.
Ъгълът се обозначава със съответната гръцка буква.
хипотенузана правоъгълен триъгълник е страната срещу правия ъгъл.
Крака- страни, разположени срещу остри ъгли.
Кракът, лежащ срещу ъгъла, се нарича противоположност(спрямо ъгъла). Другият крак, който лежи на една от страните на ъгъла, се нарича съседен.
синуситеОстрият ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на противоположната страна към хипотенузата:
Косинусостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - отношението на съседния крак към хипотенузата:
Допирателнаостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на противоположната страна към съседната:
Друго (еквивалентно) определение: тангенсът на остър ъгъл е отношението на синуса на ъгъла към неговия косинус:
Котангенсостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на съседната страна към противоположната (или, което е същото, съотношението на косинус към синус):
Обърнете внимание на основните отношения за синус, косинус, тангенс и котангенс по-долу. Те ще ни бъдат полезни при решаване на проблеми.
Нека докажем някои от тях.
Добре, дадохме определения и записахме формули. Но защо все още се нуждаем от синус, косинус, тангенс и котангенс?
Ние знаем това сумата от ъглите на всеки триъгълник е равна на.
Знаем връзката между партииправоъгълен триъгълник. Това е Питагоровата теорема: .
Оказва се, че като знаете два ъгъла в триъгълник, можете да намерите третия. Познавайки двете страни на правоъгълен триъгълник, можете да намерите третата. Това означава, че ъглите имат свое съотношение, а страните имат свое собствено. Но какво трябва да направите, ако в правоъгълен триъгълник знаете един ъгъл (с изключение на правия ъгъл) и една страна, но трябва да намерите другите страни?
С това са се сблъсквали хората в миналото, правейки карти на местността и звездното небе. В крайна сметка не винаги е възможно директно да се измерят всички страни на триъгълник.
Синус, косинус и тангенс - те също се наричат функции на тригонометричен ъгъл- дават връзки между партииИ ъглитриъгълник. Познавайки ъгъла, можете да намерите всичките му тригонометрични функции, като използвате специални таблици. И като знаете синусите, косинусите и тангенсите на ъглите на триъгълник и една от страните му, можете да намерите останалите.
Ще начертаем и таблица със стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за „добри“ ъгли от до.
Моля, обърнете внимание на двете червени тирета в таблицата. При подходящи стойности на ъгъл тангенс и котангенс не съществуват.
Нека да разгледаме няколко тригонометрични задачи от банката задачи на FIPI.
1. В триъгълник ъгълът е , . Намирам .
Проблемът се решава за четири секунди.
Тъй като , .
2. В триъгълник ъгълът е , , . Намирам .
Нека го намерим с помощта на Питагоровата теорема.
Проблемът е решен.
Често в задачи има триъгълници с ъгли и или с ъгли и. Запомнете наизуст основните съотношения за тях!
За триъгълник с ъгли и катет срещу ъгъла при е равно на половината от хипотенузата.
Триъгълник с ъгли и е равнобедрен. При него хипотенузата е пъти по-голяма от катета.
Разгледахме задачи за решаване на правоъгълни триъгълници – тоест намиране на неизвестни страни или ъгли. Но това не е всичко! IN Опции за единен държавен изпитв математиката има много задачи, в които се появява синус, косинус, тангенс или котангенс на външния ъгъл на триъгълник. Повече за това в следващата статия.
Не всички ученици и особено възрастните знаят, че косинусовата теорема е пряко свързана с теоремата на Питагор. По-точно, второто е частен случай на първото. Тази точка, както и два начина за доказване на косинусовата теорема, ще ви помогнат да станете повече знаещ човек. Освен това се развива добре практиката за изразяване на количества от начални изрази логично мислене. Дългата формула на изучаваната теорема определено ще ви принуди да работите усилено и да се усъвършенствате.
Започване на разговор: въвеждане на нотация
Тази теорема е формулирана и доказана за произволен триъгълник. Следователно винаги може да се използва, във всяка ситуация, ако са дадени две страни, а в някои случаи три, и ъгъл, а не непременно между тях. Какъвто и да е типът на триъгълника, теоремата винаги ще работи.
А сега за обозначаването на количествата във всички изрази. По-добре е да се съгласите веднага, за да не се налага да обяснявате няколко пъти по-късно. За тази цел е съставена следната таблица.
Формулиране и математически запис
И така, косинусовата теорема се формулира, както следва:
Квадратът на една страна на всеки триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите му две страни минус удвоеното произведение на същите тези страни и косинуса на ъгъла, разположен между тях.
Разбира се, той е дълъг, но ако разберете същността му, ще бъде лесен за запомняне. Можете дори да си представите да нарисувате триъгълник. Винаги е по-лесно да запомните визуално.
Формулата на тази теорема ще изглежда така:
Малко дълго, но всичко е логично. Ако се вгледате малко по-внимателно, можете да видите, че буквите се повтарят, което означава, че не е трудно да се запомни.
Често срещано доказателство на теоремата
Тъй като е вярно за всички триъгълници, можете да изберете всеки от типовете за разсъждение. Нека бъде фигура с всички остри ъгли. Помислете за произволно остроъгълен триъгълник, чийто ъгъл C е по-голям от ъгъл B. От върха с това висок ъгълтрябва да спуснете перпендикуляра към противоположната страна. Начертаната височина ще раздели триъгълника на два правоъгълни. Това ще бъде необходимо за доказателство.
Страната ще бъде разделена на два сегмента: x, y. Те трябва да бъдат изразени чрез известни количества. Частта, която завършва в триъгълник с хипотенуза, равна на b, ще бъде изразена чрез нотацията:
x = b * cos A.
Другият ще бъде равен на тази разлика:
y = c - in * cos A.
Сега трябва да запишете Питагоровата теорема за двата получени правоъгълни триъгълника, като вземете височината като неизвестна стойност. Тези формули ще изглеждат така:
n 2 = in 2 - (in * cos A) 2,
n 2 = a 2 - (c - b * cos A) 2.
Тези равенства съдържат същите изрази отляво. Това означава, че техните десни страни също ще бъдат равни. Лесно е да го запишете. Сега трябва да отворите скобите:
в 2 - в 2 * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 c * в * cos A - в 2 * (cos A) 2.
Ако извършите прехвърлянето и намаляването на подобни термини тук, ще получите първоначалната формула, която е написана след формулировката, тоест косинусовата теорема. Доказателството е пълно.
Доказателство на теоремата с помощта на вектори
Той е много по-къс от предишния. И ако знаете свойствата на векторите, тогава косинусовата теорема за триъгълник ще бъде доказана просто.
Ако страните a, b, c са обозначени съответно с векторите BC, AC и AB, тогава равенството е в сила:
BC = AC - AB.
Сега трябва да направите някои стъпки. Първият от тях е повдигане на квадрат на двете страни на равенството:
BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.
Тогава равенството трябва да се пренапише в скаларна форма, като се има предвид, че произведението на векторите е равно на косинуса на ъгъла между тях и техните скаларни стойности:
BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.
Всичко, което остава, е да се върнем към старата нотация и отново получаваме косинусовата теорема:
a 2 = b 2 + c 2 - 2 * b * c * cos A.
Формули за други страни и всички ъгли
За да намерите страната, трябва да вземете корен квадратен от косинусовата теорема. Формулата за квадратите на една от другите страни ще изглежда така:
c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.
Да напиша израза за квадрат на страна V, трябва да замените в предишното равенство сНа V, и обратно, и поставете ъгъл B под косинуса.
От основната формула на теоремата можем да изразим стойността на косинуса на ъгъл A:
cos A = (в 2 + c 2 - a 2) / (2 в * c).
Формулите за други ъгли се извеждат по подобен начин. Това добра практика, така че можете да опитате да ги напишете сами.
Естествено, няма нужда да запомняте тези формули. Достатъчно е да разберете теоремата и способността да изведете тези изрази от нейната основна нотация.
Оригиналната формула на теоремата дава възможност да се намери страната, ако ъгълът не лежи между два известни. Например, трябва да намерите V, когато са дадени стойностите: а, в, а. Или непознат с, но има значения а, б, а.
В тази ситуация трябва да прехвърлите всички членове на формулата към лява страна. Получавате следното равенство:
c 2 - 2 * c * c * cos A + b 2 - a 2 = 0.
Нека го пренапишем в малко по-различна форма:
c 2 - (2 * in * cos A) * c + (in 2 - a 2) = 0.
Може лесно да се види квадратно уравнение. В него има неизвестно количество - с, а всички останали са дадени. Следователно е достатъчно да го решите с помощта на дискриминант. По този начин непознатата страна ще бъде открита.
Формулата за втората страна се получава по подобен начин:
in 2 - (2 * c * cos A) * in + (c 2 - a 2) = 0.
От други изрази такива формули също лесно се получават независимо.
Как можете да разберете вида на ъгъла, без да пресмятате косинуса?
Ако се вгледате внимателно във формулата за ъглов косинус, получена по-рано, ще забележите следното:
- знаменателят на дроб винаги е положително число, тъй като съдържа произведението на страни, които не могат да бъдат отрицателни;
- стойността на ъгъла ще зависи от знака на числителя.
Ъгъл А ще бъде:
- остър в ситуация, в която числителят е по-голям от нула;
- глупав, ако този израз е отрицателен;
- пряк, когато е равен на нула.
Между другото, последната ситуация превръща косинусовата теорема в Питагоровата теорема. Защото за ъгъл от 90º неговият косинус е равен на нула, а последният член изчезва.
Първа задача
Състояние
Тъпият ъгъл на произволен триъгълник е 120º. За страните, с които е ограничен, е известно, че едната е с 8 см по-голяма от другата, тя е 28 см. Необходимо е да се намери периметърът на триъгълника.
Решение
Първо трябва да маркирате една от страните с буквата "x". В този случай другото ще бъде равно на (x + 8). Тъй като има изрази и за трите страни, можем да използваме формулата, предоставена от косинусовата теорема:
28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120º.
В таблиците за косинуси трябва да намерите стойността, съответстваща на 120 градуса. Това ще бъде числото 0,5 със знак минус. Сега трябва да отворите скобите, като следвате всички правила и да въведете подобни условия:
784 = x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0,5) * (x + 8);
784 = 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;
3x 2 + 24x - 720 = 0.
Това квадратно уравнение се решава чрез намиране на дискриминанта, който ще бъде равен на:
D = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.
Тъй като стойността му е по-голяма от нула, уравнението има два основни отговора.
x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;
x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.
Последният корен не може да бъде отговор на задачата, защото страната трябва да е положителна.
Всеки от нас прекара много часове в решаването на една или друга геометрична задача. Разбира се, възниква въпросът: защо изобщо трябва да учите математика? Въпросът е особено актуален за геометрията, познаването на която, ако е полезно, е много рядко. Но математиката има предназначение и за тези, които нямат намерение да стават работници. Тя кара човек да работи и да се развива.
Първоначалната цел на математиката не беше да предостави на учениците знания по предмета. Учителите си поставят за цел да научат децата да мислят, разсъждават, анализират и спорят. Точно това откриваме в геометрията с нейните многобройни аксиоми и теореми, следствия и доказателства.
Косинусова теорема
Използване
В допълнение към уроците по математика и физика, тази теорема се използва широко в архитектурата и строителството за изчисляване на необходимите страни и ъгли. Използва се за определяне изисквани размерисгради и количеството материали, които ще бъдат необходими за нейното изграждане. Разбира се, повечето процеси, които преди са изисквали пряко човешко участие и знания, днес са автоматизирани. Има огромен брой програми, които ви позволяват да симулирате такива проекти на компютър. Тяхното програмиране също се извършва, като се вземат предвид всички математически закони, свойства и формули.
