Строги и нестроги неравенства. Събиране и умножение на неравенства

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

При необходимост - в съответствие със закона, съдебен ред, в съдебни производства и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо от съображения за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Неравенството е обратната страна на равенството. Материалът на тази статия дава дефиниция на неравенството и първоначална информация за него в контекста на математиката.

Понятието неравенство, подобно на понятието за равенство, се свързва с момента на сравнение на два обекта. Докато равенството означава „еднакво“, неравенството, напротив, показва разликите в обектите, които се сравняват. Например и са еднакви обекти или равни. и - обекти, които са различни един от друг или неравностойни.

Неравенството на обектите се определя от семантичното натоварване в такива думи като горе - долу (неравенство на базата на височина); по-дебел - по-тънък (неравенство по дебелина); по-дълъг - по-къс (неравенство по дължина) и т.н.

Може да се говори както за равенство-неравенство на обектите като цяло, така и за сравняване на техните индивидуални характеристики. Да предположим, че са дадени два обекта: и . Без съмнение тези обекти не са еднакви, т.е. като цяло те не са равни: на базата на размер и цвят. Но в същото време можем да твърдим, че техните форми са еднакви - и двата обекта са кръгове.

В контекста на математиката семантичното натоварване на неравенството се запазва. Въпреки това, в този случай говорим сиза неравенството на математическите обекти: числа, стойности на изрази, стойности на количества (дължина, площ и т.н.), вектори, фигури и др.

Не равно, повече, по-малко

В зависимост от целите на задачата, самият факт на изясняване на неравенството на обектите може да бъде ценен, но обикновено след установяване на факта на неравенството се изяснява коя стойност е по-голяма и коя по-малка.

Значението на думите "повече" и "по-малко" ни е интуитивно познато от самото начало на нашия живот. Очевидно е умението да се определя превъзходството на даден обект по размер, количество и т.н. Но в крайна сметка всяко сравнение ни води до сравнение на числа, които определят някои характеристики на сравняваните обекти. По същество откриваме кое число е по-голямо и кое по-малко.

Прост пример:

Пример 1

Сутринта температурата на въздуха беше 10 градуса по Целзий; в два часа следобед тази цифра беше 15 градуса. Въз основа на сравнението на естествените числа можем да кажем, че стойността на температурата сутрин е била по-малка от стойността й в два часа следобед (или в два часа следобед температурата се е повишила, станала по-висока от температурата сутринта).

Записване на неравенства със знаци

Има общоприети обозначения за запис на неравенства:

Определение 1

знакът "не е равно", който е зачеркнат знак за "равно": ≠. Този знак се намира между неравни обекти. Например: 5 ≠ 10 пет не е равно на десет;
знак по-голямо от: > и знак по-малко от:< . Первый записывается между большим и меньшим объектами; второй между меньшим и большим. Например, запись о сравнении отрезков вида | A B | >| C D | казва, че сегмент A B е по-голям от сегмент C D ;
знак за по-голямо или равно: ≥ и знак за по-малко или равно: ≤ .

По-долу ще анализираме тяхното значение по-подробно. Нека дадем определение на неравенствата чрез формата на тяхното записване.

Определение 2

неравенства – алгебрични изрази, които имат смисъл и се записват със знаците ≠ , > ,< , ≤ , ≥ .

Строги и нестроги неравенства

Определение 3

Признаци на строги неравенстваса знаците за по-голямо и по-малко от: > и< Неравенства, составленные с их помощью – строги неравенства.

Признаци на нестроги неравенства- това са знаците "по-голямо или равно на" и "по-малко или равно на": ≥ и ≤. Неравенствата, съставени с тяхна помощ, са − нестроги неравенства.

Обсъдихме по-горе как се прилагат строги неравенства. Защо се използват нестроги неравенства? На практика такива неравенства могат да се използват за дефиниране на случаи, описани с думите „не повече“ и „не по-малко“. Фразата „не повече“ означава по-малко или същото – това ниво на сравнение съответства на знака „по-малко или равно на“ ≤ . От своя страна „не по-малко“ означава същото или повече и това е знакът „по-голямо или равно на“ ≥. По този начин нестрогите неравенства, за разлика от строгите, позволяват обектите да бъдат равни.

Верни и грешни неравенства

Определение 4

Истинско неравенство- неравенството, което отговаря на горното значение на неравенството. В противен случай е така неверен.

Да донесем прости примериза яснота:

Пример 2

Неравенството 5 ≠ 5 е невярно, защото всъщност числата 5 и 5 са равни.

Или това сравнение:

Пример 3

Да предположим, че S е площта на определена фигура, в този случай S< - 4 является верным неравенством, поскольку площадь всегда выражена неотрицательным числом.

Близки по смисъл до термина „истинско неравенство“ са изразите „просто неравенство“, „има неравенство“ и т.н.

Свойства на неравенствата

Нека опишем свойствата на неравенствата. Очевиден факт е, че един обект не може да бъде неравен на себе си и това е първото свойство на неравенството. Второто свойство звучи така: ако първият обект не е равен на втория, то вторият не е равен на първия.

Нека опишем свойствата, съответстващи на знаците за по-голямо или по-малко от:

Определение 5

антирефлексност. Това свойство може да се изрази по следния начин: за всеки обект k, неравенствата k > k и k< k неверны;
антисиметрия. Това свойство казва, че ако първият обект е по-голям или по-малък от втория, тогава вторият обект съответно е по-малък или по-голям от първия. Пишем: ако m > n, тогава n< m . Или: если m < n , то n >м
преходност. В буквален запис посоченото свойство ще изглежда така: ако е посочено, че a< b и b < с, то a < c . Наоборот: a >b и b > c, което означава a > c . Това свойство е интуитивно и естествено: ако първият обект е по-голям от втория, а вторият е по-голям от третия, тогава става ясно, че първият обект е дори повече от третия.

Признаците на нестроги неравенства също имат някои свойства:

Определение 6

рефлексивност: a ≥ a и a ≤ a (това включва и случая, когато a = a);
антисиметрия: ако a ≤ b, тогава b ≥ a. Ако a ≥ b , то b ≤ a ;
преходност: ако a ≤ b и b ≤ c, тогава очевидно a ≤ c. И също така: ако a ≥ b и b ≥ c, тогава a ≥ c.

Двойна, тройна и т.н. неравенства

Свойството на транзитивност прави възможно записването на двойни, тройни и т.н. неравенства, които по същество са вериги от неравенства. Например: двойно неравенство - e > f > g или тройно неравенство k 1 ≤ k 2 ≤ k 3 ≤ k 4.

Обърнете внимание, че е удобно неравенствата да се записват като вериги, които включват различни знаци: равни, неравни и знаци за строги и нестроги неравенства. Например x = 2< y ≤ z < 15 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

„Числени неравенства“ – Ако a>b и m<0, то amb, след това a на степен n > b на степен n, където n е всяко естествено число. Познаването на свойствата на числените неравенства също ще бъде полезно за изучаването на функциите. Ако a>b и c>d, тогава a+c>b+d. Имот 5. Имот 1.

„Решаване на показателни неравенства” – Структура на урока. Кога едно експоненциално неравенство няма решения? Алберт Айнщайн. 1 Обхват на функцията. 3. Интервали за сравняване на стойностите на функцията с единица. Намалява в цялата област на дефиниция, 8. За всякакви реални стойности на x и y; а>0, а?1; b>0, b?1. План на лекцията. Как се решават неравенствата, сведени до квадратни?

„Решаване на дробни рационални неравенства“ – Решете неравенството. Знаменател. Решение. Перфорирани и неперфорирани точки. Назовете числата. Числител и знаменател. Назовете пунктираните и непунктираните точки. Точки. Намерете нули. Рей. Умножете по знаменателя, съдържащ неизвестното. Решение дробни рационални неравенства. Определете знак. Реши. Изразяване.

„Решаване на системи неравенства” – Затвърдяване. Запишете неравенства, чиито решения са интервали. Решаване на системи от неравенства. Повторение. Сегменти. Половин интервали. За да се реши система от линейни неравенства, е достатъчно да се реши всяко от неравенствата, включени в нея, и да се намери пресечната точка на множествата от техните решения. интервали. Математическа диктовка.

„Показателни неравенства“ – Какво трябва да се има предвид при решаване на показателни неравенства? Решение на най-простите експоненциални неравенства. Какво трябва да се има предвид при решаването на най-простите показателни неравенства? Решение на неравенство. Решение на най-простите експоненциални неравенства. Решете неравенството. Знак за неравенство. Неравенство, съдържащо неизвестно в показателя, се нарича експоненциално неравенство.

"Числени неравенства и числови пропуски" - Самостоятелна работа. номер лъч. Неравенство. Преглед. пропуски в числата. Концепцията за числов интервал. Цифров ред. Набор от реални числа. Полуинтервал. Начертайте празнини на координатната линия. Числова празнина. отворена греда. Назовете празнините. Наборът от всички числа. Номер.

В темата има общо 38 презентации

Какво трябва да знаете за иконите за неравенство? Икони неравенства Повече ▼ (> ), или по-малко (< ) са наречени строг.С икони повече или равно (≥ ), по-малко или равно (≤ ) са наречени нестроги.Икона не е равно (≠ ) стои самостоятелно, но вие също трябва да решавате примери с такава икона през цялото време. И ние ще го направим.)

Самата икона няма голям ефект върху процеса на решение. Но в края на решението, при избора на окончателния отговор, значението на иконата се появява с пълна сила! Както ще видим по-долу, в примерите. Има вицове...

Неравенствата, като равенствата, са верни и неверни.Тук всичко е просто, без трикове. Да речем 5 > 2 е правилното неравенство. 5 < 2 е неправилно.

Такава подготовка работи за неравности всякакъв види просто до ужас.) Просто трябва правилно да изпълните две (само две!) елементарни действия. Тези действия са познати на всички. Но, което е типично, задръстванията в тези действия са основната грешка при решаването на неравенства, да ... Следователно тези действия трябва да се повтарят. Тези действия се наричат така:

Тъждествени трансформации на неравенства.

Тъждествените трансформации на неравенства са много подобни на идентичните трансформации на уравнения. Всъщност това е основният проблем. Разликите се изплъзват покрай главата и ... пристигнаха.) Затова ще подчертая тези разлики по-специално. И така, първата идентична трансформация на неравенства:

1. Към двете части на неравенството може да се добави (извади) едно и също число или израз. Всякакви. Знакът за неравенство няма да се промени.

На практика това правило се прилага като прехвърляне на членове от лявата страна на неравенството в дясната страна (и обратно) с промяна на знака. Със смяна на знака на члена, а не с неравенство! Правилото едно към едно е същото като правилото за уравненията. Но следващите идентични трансформации в неравенствата се различават значително от тези в уравненията. Затова ги маркирам в червено:

2. И двете части на неравенството могат да се умножат (делят) по едно и същоположителенномер. За всякаквиположителен Няма да се промени.

3. И двете части на неравенството могат да се умножат (делят) по едно и същоотрицателенномер. За всякаквиотрицателенномер. Знакът за неравенство от товаще се промени на обратното.

Спомняте си (надявам се...), че едно уравнение може да бъде умножено/разделено по всичко. И за произволно число, и за израз с х. Стига да не е нула. Нему, уравнението, от това ни е топло, ни студено.) Не се променя. Но неравенствата са по-чувствителни към умножение/деление.

илюстративен примерза дългата памет. Пишем неравенство, което не предизвиква съмнения:

5 > 2

Умножете двете страни по +3, получаваме:

15 > 6

Има ли възражения? Няма възражения.) И ако умножим двете части на първоначалното неравенство по -3, получаваме:

15 > -6

И това е откровена лъжа.) Пълна лъжа! Заблудяване на народа! Но щом знакът за неравенство се обърне, всичко си идва на мястото:

15 < -6

Относно лъжата и измамата - не се кълна само.) „Забравих да сменя знака за неравенство...“- Това У домагрешка при решаване на неравенства. Това дребно и неусложнено правило нарани толкова много хора! Който е забравил ...) Затова се кълна. Може би си спомняте...)

Особено внимателните ще забележат, че неравенството не може да се умножи с израз с x. Уважавайте внимателно!) И защо не? Отговорът е лесен. Не знаем знака на този израз с х. То може да бъде положително, отрицателно... Следователно не знаем какъв знак за неравенство да поставим след умножението. Промени го или не? неизвестен Разбира се, това ограничение (забраната за умножаване / деление на неравенство с израз с x) може да бъде заобиколено. Ако наистина имате нужда. Но това е тема за други уроци.

Това са всички тъждествени трансформации на неравенства. Нека ви напомня отново, че те работят за всякаквинеравенства. И сега можете да преминете към конкретни видове.

Линейни неравенства. Решение, примери.

Линейни неравенства се наричат неравенства, в които х е на първа степен и няма деление на х. Тип:

х+3 > 5x-5

Как се решават тези неравенства? Решават се много лесно! А именно: с помощта редуцираме най-обърканото линейно неравенство направо към отговора.Това е цялото решение. Ще подчертая основните точки на решението. За да избегнете глупави грешки.)

Решаваме това неравенство:

х+3 > 5x-5

Решаваме по същия начин като линейно уравнение. С единствената разлика:

Обърнете внимание на знака за неравенство!

Първата стъпка е най-честата. С x - наляво, без x - надясно ... Това е първата идентична трансформация, проста и безпроблемна.) Само не забравяйте да промените знаците на прехвърлените членове.

Знакът за неравенство се запазва:

х-5х > -5-3

Представяме подобни.

Знакът за неравенство се запазва:

4x > -8

Остава да приложим последната идентична трансформация: разделете двете части на -4.

Разделете на отрицателенномер.

Знакът за неравенство ще бъде обърнат:

х < 2

Това е отговорът.

Така се решават всички линейни неравенства.

внимание! Точка 2 е изчертана бяла, т.е. небоядисана. Празно вътре. Това означава, че тя не е включена в отговора! Нарочно я нарисувах толкова здрава. Такава точка (празна, нездрава!)) в математиката се нарича перфорирана точка.

Останалите числа на оста могат да бъдат маркирани, но не е необходимо. Странни числа, които не са свързани с нашето неравенство, могат да бъдат объркващи, да ... Просто трябва да запомните, че увеличението на числата върви по посока на стрелката, т.е. числа 3, 4, 5 и т.н. са надяснодвойки и числата 1, 0, -1 и т.н. - наляво.

Неравенство x < 2 - строг. X е строго по-малко от две. Когато се съмнявате, проверката е проста. Заместваме съмнително число в неравенството и си мислим: "Две е по-малко от две? Разбира се, че не!" Точно. Неравенство 2 < 2 грешно.Двойката не е добра за отговор.

Един единствен достатъчно добър ли е? Със сигурност. По-малко ... И нулата е добра, и -17, и 0,34 ... Да, всички числа, които са по-малки от две, са добри! И дори 1.9999 .... Поне малко, но по-малко!

Така че отбелязваме всички тези числа на числовата ос. как? Тук има опции. Първият вариант е излюпване. Задръжте курсора на мишката върху картината (или докоснете снимката на таблета) и виждаме, че областта на всички x, които отговарят на условието x, е засенчена < 2 . Това е всичко.

Нека разгледаме втората опция във втория пример:

х ≥ -0,5

Начертайте ос, маркирайте числото -0,5. Като този:

Забелязахте ли разликата?) Е, да, трудно е да не забележите... Тази точка е черна! Боядисани. Това означава, че -0,5 включени в отговора.Тук, между другото, проверка и обърка някого. Заменяме:

-0,5 ≥ -0,5

Как така? -0,5 не е нищо повече от -0,5! Има още икона...

Всичко е наред. При нестрого неравенство всичко, което пасва на иконата, е подходящо. И равно нагодни и Повече ▼добре. Следователно -0,5 е включено в отговора.

И така, отбелязахме -0,5 на оста, остава да маркираме всички числа, които са по-големи от -0,5. Този път маркирам диапазона от подходящи x стойности окови(от думата дъга), а не люпене. Задръжте курсора на мишката върху снимката и вижте този лък.

Няма особена разлика между люпенето и арките. Направете както казва учителят. Ако няма учител, нарисувайте ръцете. При по-сложни задачи люпенето е по-малко очевидно. Можете да се объркате.

Така се начертават линейни неравенства по оста. Преминаваме към следващата особеност на неравенствата.

Напишете отговор за неравенства.

Беше добре в уравненията.) Намерихме x и записахме отговора, например: x \u003d 3. В неравенствата има две форми на писане на отговорите. Единият - под формата на крайно неравенство. Добър за прости случаи. Например:

х< 2.

Това е пълен отговор.

Понякога се изисква да се напише едно и също нещо, но в различна форма, през числови пропуски. Тогава записът започва да изглежда много научен):

x ∈ (-∞; 2)

Под иконата ∈ скриване на думата "принадлежи".

Записът гласи така: x принадлежи на интервала от минус безкрайност до две без да включва. Съвсем логично. X може да бъде всяко число от всички възможни числа от минус безкрайност до две. Двойно X не може да бъде, което ни казва думата "без да включва".

Къде е в отговора, че "без да включва"? Този факт е отбелязан в отговора. кръгълскоба непосредствено след двойката. Ако беше включена двойката, скобата щеше да бъде квадрат.Ето го: ]. Следващият пример използва такава скоба.

Нека запишем отговора: x ≥ -0,5 през интервали:

x ∈ [-0,5; +∞)

Чете: x принадлежи на интервала от минус 0,5, включително,до плюс безкрайност.

Infinity никога не може да се включи. Това не е число, а символ. Следователно в такива записи безкрайността винаги съществува заедно със скоба.

Тази форма на запис е удобна за сложни отговори, състоящи се от няколко пропуска. Но – само за крайните отговори. При междинни резултати, където се очаква по-нататъшно решение, е по-добре да се използва обичайната форма, под формата на просто неравенство. Ще се занимаваме с това в съответните теми.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.