Постоянни еластични вълни в пръстеновидно тяло. Стоящи вълни

Глава 7. Механични вълни

Вълни. Вълново уравнение

В допълнение към движенията, които вече разгледахме, в почти всички области на физиката се среща още един вид движение - вълни. Отличителна чертаТова, което прави това движение уникално е, че не самите частици на материята се разпространяват във вълната, а промените в тяхното състояние (смущения).

Наричат ​​се смущения, които се разпространяват в пространството във времето вълни . Вълните са механични и електромагнитни.

Еластични вълнисе разпространяват смущения на еластична среда.

Нарушение на еластична среда е всяко отклонение на частиците на тази среда от равновесното положение. Смущенията възникват в резултат на деформация на средата на някое място.

Наборът от всички точки, до които е достигнала вълната в моментавреме, образува повърхност т.нар фронт на вълната .

Според формата на фронта вълните се делят на сферични и плоски. Посока определя се разпространението на вълновия фронтперпендикулярно на вълновия фронт, т.нар лъч . За сферична вълналъчите са радиално разминаващ се сноп. За плоска вълна лъчите са сноп от успоредни прави.

Във всяка механична вълна съществуват два вида движение едновременно: вибрации на частици от средата и разпространение на смущения.

Вълна, при която трептенията на частиците на средата и разпространението на смущенията протичат в една и съща посока, се нарича надлъжно (фиг. 7.2 А).

Вълна, при която частиците на средата осцилират перпендикулярно на посоката на разпространение на смущенията, се нарича напречен (Фиг. 7.2 b).

При надлъжна вълна смущенията представляват компресия (или разреждане) на средата, а при напречна вълна те представляват измествания (срязвания) на едни слоеве на средата спрямо други. Надлъжните вълни могат да се разпространяват във всички среди (течни, твърди и газообразни), докато напречните вълни могат да се разпространяват само в твърди среди.

Всяка вълна се движи с определена скорост . Под скорост на вълната υ разберете скоростта на разпространение на смущението.Скоростта на вълната се определя от свойствата на средата, в която вълната се разпространява. IN твърди веществаскорост надлъжни вълнипо-голяма от страничната скорост.

Дължина на вълнатаλ е разстоянието, на което вълната се разпространява за време, равно на периода на трептене в нейния източник. Тъй като скоростта на вълната е постоянна величина (за дадена среда), изминатото от вълната разстояние е равно на произведението на скоростта и времето на нейното разпространение. Така че дължината на вълната

От уравнение (7.1) следва, че частиците, разделени една от друга с интервал λ, осцилират в една и съща фаза. Тогава можем да дадем следната дефиниция на дължината на вълната: дължината на вълната е разстоянието между две най-близки точки, осцилиращи в една и съща фаза.

Нека изведем уравнение за плоска вълна, което ни позволява да определим изместването на всяка точка от вълната по всяко време. Нека вълната се разпространява по лъча от източника с определена скорост v.

Източникът възбужда прости хармонични трептения и изместването на всяка точка от вълната по всяко време се определя от уравнението

S = Asinωt (7.2)

Тогава точка от средата, намираща се на разстояние х от източника на вълната, също ще извършва хармонични трептения, но със закъснение във времето от количество, т.е. времето, необходимо за разпространение на вибрациите от източника до тази точка. Преместването на осцилиращата точка спрямо равновесното положение по всяко време ще бъде описано от съотношението

Това е уравнението на равнинната вълна. Тази вълна се характеризира следните параметри:

· S - преместване от равновесното положение на точката на еластичната среда, до която е достигнало трептенето;

· ω - циклична честота на генерираните от източника трептения, с които трептят и точките на средата;

· υ - скорост на разпространение на вълната (фазова скорост);

· x е разстоянието до точката в средата, до която е достигнало трептенето и чието преместване е равно на S;

· t – времето, отчитано от началото на трептенията;

Чрез въвеждане на дължината на вълната λ в израз (7.3), уравнението на равнинната вълна може да бъде написано, както следва:

(7. 4)

Вълнова интерференция. Стоящи вълни. Уравнение на стояща вълна

Стоящите вълни се образуват в резултат на интерференцията на две противоположни равнинни вълни с еднаква честота ω и амплитуда A.

Нека си представим, че в точка S има вибратор, от който се разпространява плоска вълна по лъча SO. След като достигне препятствието в точка O, вълната ще се отрази и ще тръгне в обратна посока, т.е. По дължината на лъча се разпространяват две пътуващи плоски вълни: напред и назад. Тези две вълни са кохерентни, тъй като са генерирани от един и същ източник и, насложени една върху друга, ще си взаимодействат.

Осцилаторното състояние на средата в резултат на интерференция се нарича стояща вълна.

Нека запишем уравнението на вълните, пътуващи напред и назад:

прав - ; обратно -

където S 1 и S 2 са преместването на произволна точка от SO лъча. Като се вземе предвид формулата за синуса на сбора, полученото изместване е равно на

По този начин уравнението на стоящата вълна има формата

Коефициентът на cosωt показва, че всички точки от средата на SO лъча извършват прости хармонични трептения с честота. Изразът се нарича амплитуда на стояща вълна. Както можете да видите, амплитудата се определя от позицията на точката върху лъча SO (x).

Максимална стойностамплитудите ще имат точки, за които

Или (n = 0, 1, 2,….)

откъде, или (4.70)

антиноди на стояща вълна .

Минимална стойност , равно на нула, ще има онези точки, за които

или (n = 0, 1, 2,….)

от къде или (4.71)

Точките с такива координати се наричат възли на стояща вълна . Сравнявайки изразите (4.70) и (4.71), виждаме, че разстоянието между съседни антиноди и съседни възли е равно на λ/2.

На снимката плътна линияпоказва изместването на осцилиращи точки на средата в определен момент от времето, пунктираната крива показва позицията на същите тези точки през T/2. Всяка точка вибрира с амплитуда, определена от нейното разстояние от вибратора (x).

За разлика от пътуващата вълна, при стоящата вълна не се извършва трансфер на енергия. Енергията просто преминава от потенциал (при максимално изместване на точките в средата от равновесното положение) към кинетична (като точките преминават през равновесното положение) в границите между възлите, които остават неподвижни.

Всички точки на стояща вълна в границите между възлите осцилират в една и съща фаза и според различни страниот възела - в противофаза.

Стоящи вълни възникват например в опъната струна, фиксирана в двата края, когато в нея се възбуждат напречни вибрации. Освен това в местата на закрепване има възли на стояща вълна.

Ако се установи стояща вълна във въздушен стълб, който е отворен в единия край (звукова вълна), тогава в отворения край се образува антинод, а в противоположния край се образува възел.

Звук. Доплеров ефект

Надлъжните еластични вълни, разпространяващи се в газ, течност и твърди тела, са невидими. Въпреки това, при определени условия те могат да бъдат чути. Така че, ако възбудим вибрации на дълга стоманена линийка, захваната в менгеме, тогава няма да чуем генерираните от нея вълни. Но ако скъсим изпъкналата част на линийката и по този начин увеличим честотата на нейните трептения, ще открием, че линийката ще започне да звучи.

Наричат ​​се еластични вълни, които предизвикват слухови усещания при хората звукови вълниили просто звук.

Човешкото ухо е способно да възприема еластичност механични вълнис честота ν от 16Hz до 20000Hz. Еластични вълни с честота ν<16Гц называют инфразвуком, а волны с частотой ν>20000Hz – ултразвук.

Честотите в диапазона от 16 Hz до 20 000 Hz се наричат ​​звукови честоти. Всяко тяло (твърдо, течно или газообразно), което вибрира на звукова честота, създава средазвукова вълна.

В газове и течности звуковите вълни се разпространяват под формата на вълни на надлъжно свиване и разреждане. Компресията и разреждането на средата, в резултат на вибрации на източника на звук (струни, крака на камертон, гласни струни и др.), След известно време достигат до човешкото ухо и, карайки тъпанчето да извършва принудителни вибрации, предизвикват определени слухови усещания в човек.

Във вакуум звуковите вълни не могат да се разпространяват, тъй като там няма какво да вибрира. Това може да се провери на прост опит. Ако се постави под стъклен капак въздушна помпаелектрическа камбана, след като въздухът се изпомпва, ще открием, че звукът ще става все по-слаб и по-слаб, докато спре напълно.

Звук в газове. Известно е, че по време на гръмотевична буря първо виждаме светкавица и едва след това чуваме тътен на гръмотевици. Това забавяне възниква, защото скоростта на звука във въздуха е много по-малка от скоростта на светлината. Скоростта на звука във въздуха е измерена за първи път от френския учен Марин Мерсен през 1646 г. При температура +20ºС тя е равна на 343 m/s, т.е. 1235 км/ч.

Скоростта на звука зависи от температурата на средата. С повишаване на температурата се увеличава, а с понижаване намалява.

Скоростта на звука не зависи от плътността на газа, в който се разпространява този звук. Това обаче зависи от масата на неговите молекули. Колкото по-голяма е масата на газовите молекули, толкова по-ниска е скоростта на звука в него. И така, при температура

0 ºС скоростта на звука във водорода е 1284 m/s, а в въглероден диоксид– 259 m/s.

Звук в течности. Скоростта на звука в течностите обикновено е по-голяма от скоростта на звука в газовете. Скоростта на звука във водата е измерена за първи път през 1826 г. Експериментите са проведени на Женевското езеро в Швейцария. На една лодка запалиха барут и в същото време удариха камбана, спусната във водата. Звукът на тази камбана, с помощта на специален клаксон, също спуснат във водата, беше уловен на друга лодка, която се намираше на разстояние 14 км от първата. Въз основа на разликата във времето между светкавицата и пристигането на звуковия сигнал е определена скоростта на звука във водата. При температура 8 ºС тя се оказа равна на 1435 m/s.

В течностите скоростта на звука обикновено намалява с повишаване на температурата. Водата е изключение от това правило. При нея скоростта на звука нараства с повишаване на температурата и достига максимум при температура 74 ºС, а с по-нататъшно повишаване на температурата намалява.

Трябва да се каже, че човешкото ухо не „работи“ добре под вода. По-голямата част от звука се отразява от тъпанчето и следователно не предизвиква слухови усещания. Това е, което някога е дало основание на нашите предци да смятат подводния свят за „свят на тишината“. Оттук и изразът „тъп като риба“. Въпреки това, Леонардо да Винчи също предложи да слушате подводни звуци, като поставите ухото си на гребло, спуснато във водата. Използвайки този метод, можете да видите, че рибите всъщност са доста приказливи.

Звук в твърди тела. Скоростта на звука в твърди тела е дори по-голяма, отколкото в течности. Само тук трябва да се има предвид, че както надлъжните, така и напречни вълни. Скоростта на тези вълни, както знаем, е различна. Например в стоманата напречните вълни се разпространяват със скорост 3300 m/s, а надлъжните вълни със скорост 6100 m/s. Фактът, че скоростта на звука в твърдо тяло е по-голяма от тази във въздуха, може да се провери по следния начин. Ако вашият приятел удари единия край на релсата и вие поставите ухото си в другия край, ще се чуят два удара. Звукът първо ще достигне до ухото ви през релсата, а след това през въздуха.

Земята има добра проводимост. Затова в старите времена по време на обсада в крепостните стени са поставяли „слушатели“, които по звука, предаван от земята, са определяли дали врагът се вкопава в стените или не. Поставянето на ухото на земята също позволяваше да се открие приближаването на вражеската кавалерия.

В допълнение към звуковите звуци, земната кораРазпространяват се и инфразвукови вълни, които човешкото ухо вече не възприема. Такива вълни могат да възникнат по време на земетресения.

Мощни инфразвукови вълни, разпространяващи се както в земята, така и във въздуха, възникват по време на вулканични изригвания и експлозии атомни бомби. Източниците на инфразвук могат също да включват въздушни вихри в атмосферата, изхвърляне на товари, изстрели, вятър, течащи гребени на морски вълни, работещи реактивни двигатели и др.

Ултразвукът също не се възприема от човешкото ухо. Някои животни обаче са способни да го излъчват и улавят напр прилепии делфини. В технологията се използват специални устройства за получаване на ултразвук.

Осцилиращо тяло, поставено в еластична среда, е източник на вибрации, разпространяващи се от нея във всички посоки. Процесът на разпространение на трептенията в среда се нарича вълна.

Когато вълната се разпространява, частиците на средата не се движат с вълната, а се колебаят около своите равновесни позиции. Заедно с вълната от частица на частица се предава само състоянието на вибрационно движение и неговата енергия. Следователно основното свойство на всички вълни, независимо от тяхната природа, е преносът на енергия без пренос на материя.

Вълните могат да бъдат напречни (възникват трептения в равнина, перпендикулярна на посоката на разпространение) и надлъжни (кондензация и изхвърляне на частици от средата се появяват в посоката на разпространение).

Когато две еднакви вълни с равни амплитуди и периоди се разпространяват една към друга, стоящите вълни възникват, когато се припокриват. Стоящите вълни могат да бъдат получени чрез отражение от препятствия. Да кажем, че излъчвателят изпраща вълна към препятствие (падаща вълна). Отразената от него вълна ще бъде насложена върху падащата вълна. Уравнението на стоящата вълна може да се получи чрез добавяне на уравнението на падащата вълна

(Много важен случай на интерференция се наблюдава, когато две насрещно разпространяващи се равнинни вълни с еднаква амплитуда се наслагват. Полученият осцилационен процес се нарича стояща вълна. На практика стоящите вълни възникват, когато се отразяват от препятствия.)

Това уравнение се нарича вълново уравнение. Всяка функция, която удовлетворява това уравнение, описва определена вълна.
Вълново уравнение е израз, който дава пристрастие осцилираща точкакато функция на неговите координати ( х, г, z) и време t.

Тази функция трябва да бъде периодична както по отношение на времето, така и по координатите (вълната е разпространяващо се трептене, следователно периодично повтарящо се движение). Освен това точките, разположени на разстояние l една от друга, вибрират по същия начин.

- Това уравнение на равнинна вълна.
Уравнение (5.2.3) ще има същата форма, ако вибрациите се разпространяват по оста гили z
IN общ изглед уравнение на равнинна вълнае написано така:

Изразите (5.2.3) и (5.2.4) са уравнения на пътуващи вълни .

Уравнение (5.2.3) описва вълна, разпространяваща се в посока на нарастване х. Вълна, разпространяваща се в обратна посока, има формата:

Нека се запознаем вълново число , или във векторна форма:

където е вълновият вектор и е нормалата към вълновата повърхност.

От тогава. Оттук. Тогава уравнение на равнинна вълна ще бъде написана така:

сферично вълново уравнение:

Къде Аравна на амплитудата на разстояние от източника, равно на единица.

ВЪЛНОВ ВЕКТОР- вектор к, което определя посоката на разпространение и пространствения период на плосък едноцветен. вълни

където са постоянната амплитуда и фаза на вълната, е кръговата честота, r- радиус вектор. Модул V.V. наречен вълново число k= , Къде - пространствен период или дължина на вълната. В посока Е. настъпва най-бързата промяна във фазата на вълната, поради което тя се приема за посока на разпространение. Скоростта на движение на фазата в тази посока или фазовата скорост се определя чрез вълновото число .. c.

6.1 Стоящи вълни в еластична среда

Според принципа на суперпозицията, когато няколко вълни се разпространяват едновременно в еластична среда, възниква тяхното наслагване и вълните не се смущават взаимно: трептенията на частиците на средата са векторната сума на трептенията, които частиците биха направили ако всяка вълна се разпространява отделно.

Вълни, които създават трептения на средата, фазовите разлики между които са постоянни във всяка точка на пространството, се наричат съгласувана.

Когато се добавят кохерентни вълни, възниква феноменът намеса, което се състои в това, че в едни точки на пространството вълните взаимно се засилват, а в други точки взаимно се отслабват. Важен случай на интерференция се наблюдава, когато се наслагват две насрещно разпространяващи се равнинни вълни с еднаква честота и амплитуда. Получените трептения се наричат стояща вълна. Най-често стоящите вълни възникват, когато пътуваща вълна се отразява от препятствие. В този случай падащата вълна и отразената към нея вълна, когато се добавят, дават стояща вълна.

Получаваме уравнението на стоящата вълна. Нека вземем две равнинни хармонични вълни, разпространяващи се една към друга по оста Xи имат еднаква честота и амплитуда:

Къде – фаза на трептене на точки от средата по време на преминаването на първата вълна;

– фаза на трептения на точки в средата при преминаване на втората вълна.

Фазова разлика във всяка точка на оста Xмрежата няма да зависи от времето, т.е. ще бъде постоянно:

Следователно и двете вълни ще бъдат кохерентни.

Вибрацията на частиците на средата в резултат на добавянето на разглежданите вълни ще бъде както следва:

Нека преобразуваме сумата от косинусите на ъглите съгласно правило (4.4) и получаваме:

Прегрупирайки факторите, получаваме:

За да опростим израза, ние избираме референтната точка, така че фазовата разлика и началото на отброяването на времето, така че сумата от фазите да е равна на нула: .

Тогава уравнението за сумата от вълни ще приеме формата:

Уравнение (6.6) се нарича уравнение на стояща вълна. Това показва, че честотата на стояща вълна е равна на честотата на пътуваща вълна, а амплитудата, за разлика от пътуващата вълна, зависи от разстоянието от началото:

. (6.7)

Като се вземе предвид (6.7), уравнението на стоящата вълна приема формата:

. (6.8)

По този начин точките на средата осцилират с честота, съвпадаща с честотата на пътуващата вълна и амплитудата а, в зависимост от позицията на точката върху оста X. Съответно амплитудата се променя по косинусния закон и има своите максимуми и минимуми (фиг. 6.1).

За да представим визуално местоположението на минимумите и максимумите на амплитудата, заместваме, съгласно (5.29), вълновото число с неговата стойност:

Тогава изразът (6.7) за амплитудата ще приеме формата

(6.10)

От това става ясно, че амплитудата на преместване е максимална при , т.е. в точки, чиито координати отговарят на условието:

, (6.11)

Къде

От тук получаваме координатите на точките, където амплитудата на преместване е максимална:

; (6.12)

Наричат ​​се точките, в които амплитудата на вибрациите на средата е максимална антивъзли на вълната.

Амплитудата на вълната е нула в точки, където . Координатите на такива точки, т.нар вълнови възли, отговаря на условието:

, (6.13)

Къде

От (6.13) става ясно, че координатите на възлите имат стойностите:

, (6.14)

На фиг. Фигура 6.2 показва приблизителен изглед на стояща вълна, местоположението на възлите и антинодите е маркирано. Може да се види, че съседните възли и антивъзлите на изместване са отдалечени един от друг на същото разстояние.

Нека намерим разстоянието между съседните антиноди и възли. От (6.12) получаваме разстоянието между антивъзлите:

(6.15)

Разстоянието между възлите се получава от (6.14):

(6.16)

От получените съотношения (6.15) и (6.16) става ясно, че разстоянието между съседните възли, както и между съседните антивъзли, е постоянно и равно на ; възли и антиноди са изместени един спрямо друг с (фиг. 6.3).

От определението за дължина на вълната можем да напишем израз за дължината на стояща вълна: тя е равна на половината от дължината на пътуваща вълна:

Нека напишем, като вземем предвид (6.17), изрази за координатите на възли и антиноди:

, (6.18)

, (6.19)

Факторът, който определя амплитудата на стояща вълна, променя знака си при преминаване през нулевата стойност, в резултат на което фазата на трептенията от различните страни на възела се различава с . Следователно всички точки, разположени от противоположните страни на възела, осцилират в противофаза. Всички точки, разположени между съседни възли, осцилират във фаза.

Възлите условно разделят околната среда на автономни области, в които хармоничните трептения възникват независимо. Няма трансфер на движение между регионите и следователно няма поток на енергия между регионите. Тоест няма предаване на смущението по оста. Ето защо вълната се нарича стояща вълна.

И така, стояща вълна се образува от две противоположно насочени пътуващи вълни с еднакви честоти и амплитуди. Векторите на Umov на всяка от тези вълни са равни по големина и противоположни по посока и при сумиране дават нула. Следователно стоящата вълна не пренася енергия.

6.2 Примери за стоящи вълни

6.2.1 Стояща вълна в струна

Нека разгледаме низ с дължина Л, фиксирани в двата края (фиг. 6.4).

Нека поставим ос по протежение на низа Xтака че левият край на низа да има координатата х=0, а дясната – х=L. В струната възникват вибрации, описани с уравнението:

Нека запишем граничните условия за разглеждания низ. Тъй като краищата му са фиксирани, тогава в точки с координати х=0и х=Lбез колебание:

(6.22)

Нека намерим уравнението на трептенията на струната въз основа на написаните гранични условия. Нека напишем уравнение (6.20) за левия край на низа, като вземем предвид (6.21):

Отношението (6.23) е изпълнено за всяко време tв два случая:

1. . Това е възможно, ако няма вибрации в струната (). Този случай не представлява интерес и няма да го разглеждаме.

2. . Ето фазата. Този случай ще ни позволи да получим уравнението на вибрациите на струната.

Нека заместим получената стойност на фазата в граничното условие (6.22) за десния край на низа:

. (6.25)

Като се има предвид това

, (6.26)

от (6.25) получаваме:

Отново възникват два случая, в които отношението (6.27) е изпълнено. Няма да разглеждаме случая, когато няма вибрации в струната ().

Във втория случай трябва да е спазено равенството:

и това е възможно само когато аргументът на синус е кратно на цяло число:

Изхвърляме стойността, т.к в този случай и това би означавало или нулева дължина на низа ( L=0) или вълново число k=0. Като се има предвид връзката (6.9) между вълновото число и дължината на вълната, става ясно, че за да бъде вълновото число равно на нула, дължината на вълната трябва да е безкрайна, а това би означавало липса на трептения.

От (6.28) става ясно, че вълновото число при осцилиране на струна, фиксирана в двата края, може да приема само определени дискретни стойности:

Като вземем предвид (6.9), записваме (6.30) във формата:

от което получаваме израза за възможните дължини на вълните в низа:

С други думи, по дължината на низа Лтрябва да се побере в цяло число пполувълни:

Съответните честоти на трептене могат да бъдат определени от (5.7):

Ето фазовата скорост на вълната в зависимост, съгласно (5.102), от линейната плътност на струната и силата на опън на струната:

Замествайки (6.34) в (6.33), получаваме израз, описващ възможните честоти на вибрация на струната:

, (6.36)

Честотите се наричат естествени честотиструни. Честота (при п = 1):

(6.37)

наречен основна честота(или основен тон) низове. Честотите, определени при n>1се наричат обертоновеили хармоници. Хармоничното число е n-1. Например честота:

съответства на първия хармоник и честота:

съответства на втория хармоник и т.н. Тъй като една струна може да бъде представена като дискретна система с безкраен брой степени на свобода, тогава всяка хармонична е модавибрации на струните. В общия случай вибрациите на струните представляват суперпозиция на режими.

Всеки хармоник има своя собствена дължина на вълната. За основния тон (с n= 1) дължина на вълната:

съответно за първия и втория хармоник (при n= 2 и n= 3) дължините на вълните ще бъдат:

Фигура 6.5 показва появата на няколко режима на вибрации, извършвани от струна.

Така струна с фиксирани краища реализира изключителен случай в рамките на класическата физика - дискретен спектър от вибрационни честоти (или дължини на вълните). Еластичен прът с единия или двата захванати края и колебанията на въздушен стълб в тръби се държат по същия начин, което ще бъде обсъдено в следващите раздели.

6.2.2 Влияние на началните условия върху движението

непрекъснат низ. Анализ на Фурие

В допълнение към дискретния спектър от честоти на трептене, трептенията на струна със захванати краища имат друго важно свойство: специфичната форма на трептенията на струната зависи от метода на възбуждане на трептенията, т.е. от началните условия. Нека да разгледаме по-отблизо.

Уравнение (6.20), което описва един вид на стояща вълна в струна, е конкретно решение на диференциалното вълново уравнение (5.61). Тъй като вибрацията на струна се състои от всички възможни режими (за струна - безкраен брой), тогава общо решениевълновото уравнение (5.61) се състои от безкраен брой частични решения:

, (6.43)

Къде аз– номер на режим на вибрация. Изразът (6.43) е написан, като се вземе предвид фактът, че краищата на низа са фиксирани:

а също и като се вземе предвид честотната връзка аз-ти режим и неговото вълново число:

(6.46)

тук – вълново число азта мода;

– вълново число на 1-ва мода;

Нека намерим стойността на началната фаза за всеки режим на трептене. За това, в момента t=0нека придадем на низа форма, описана от функцията f 0 (х), изразът, за който получаваме от (6.43):

. (6.47)

На фиг. Фигура 6.6 показва пример за формата на низ, описан от функцията f 0 (х).

В даден момент t=0низът все още е в покой, т.е. скоростта на всички негови точки е нула. От (6.43) намираме израз за скоростта на точките на низа:

и, замествайки в него t=0, получаваме израз за скоростта на точките на низа в началния момент от време:

. (6.49)

Тъй като в началния момент скоростта е равна на нула, то изразът (6.49) ще бъде равен на нула за всички точки на низа, ако . От това следва, че началната фаза за всички режими също е нула (). Като се има предвид това, изразът (6.43), който описва движението на струната, приема формата:

, (6.50)

и израз (6.47), описващ начална форманизове, изглежда така:

. (6.51)

Стояща вълна в струна се описва от функция, която е периодична в интервала , където е равна на две дължини на струната (фиг. 6.7):

Това може да се види от факта, че периодичността на интервал означава:

следователно

което ни води до израз (6.52).

От математическия анализ е известно, че всяка периодична функция може да бъде разширена с висока точност в ред на Фурие:

, (6.57)

където , , са коефициенти на Фурие.

Ако няколко вълни се разпространяват едновременно в една среда, тогава трептенията на частиците на средата се оказват геометричната сума на трептенията, които частиците биха направили, ако всяка от вълните се разпространява поотделно. Следователно вълните просто се наслагват една върху друга, без да си пречат. Това твърдение се нарича принцип на вълновата суперпозиция. Принципът на суперпозицията гласи, че движението, причинено от разпространението на няколко вълни едновременно, отново е определен вълнов процес. Такъв процес например е звукът на оркестър. Възниква от едновременно възбуждане звукови вибрацииефир с отделни музикални инструменти. Забележително е, че когато вълните се наслагват, могат да възникнат специални явления. Наричат ​​се адитивни ефекти или, както се казва още, суперпозиция на вълни. Сред тези ефекти най-важни са интерференцията и дифракцията.

Интерференцията е явление на продължително във времето преразпределение на енергията на трептенията в пространството, в резултат на което трептенията се засилват на едни места и отслабват на други. Това явление възниква, когато вълни с фазова разлика, която продължава във времето, се добавят заедно, така наречените кохерентни вълни. Намеса голям бройвълни се нарича дифракция. Фундаментална разликаНяма разлика между интерференция и дифракция. Естеството на тези явления е едно и също. Ще се ограничим до обсъждането само на един много важен интерференчен ефект, който е образуването на стоящи вълни.

Необходимо условиеОбразуването на стоящи вълни е наличието на граници, които отразяват падащите върху тях вълни. Стоящите вълни се образуват в резултат на добавянето на падащи и отразени вълни. Такива явления се срещат доста често. Така всеки тон на всеки музикален инструмент се възбужда от стояща вълна. Тази вълна се генерира или в струна (струнни инструменти), или във въздушен стълб ( духови инструменти). Отражателните граници в тези случаи са точките на закрепване на струната и повърхностите на вътрешните кухини на духовите инструменти.

Всяка стояща вълна има следните свойства. Цялата област на пространството, в която се възбужда вълната, може да бъде разделена на клетки по такъв начин, че трептенията напълно да липсват на границите на клетките. Точките, разположени на тези граници, се наричат ​​възли на стоящи вълни. Фазите на трептенията във вътрешните точки на всяка клетка са еднакви. Трептенията в съседните клетки възникват една към друга, тоест в противофаза. В рамките на една клетка амплитудата на трептенията варира в пространството и на някое място достига максимална стойност. Точките, в които се наблюдава това, се наричат ​​антиноди на стояща вълна. И накрая, характерно свойство на стоящите вълни е дискретността на техния честотен спектър. При стояща вълна трептенията могат да възникнат само със строго определени честоти и преходът от една от тях към друга става рязко.

Нека да разгледаме прост пример за стояща вълна. Да приемем, че низ с ограничена дължина е опънат по оста; краищата му са неподвижно фиксирани, като левият край е разположен в началото на координатите. Тогава координатата на десния край ще бъде . Да възбудим вълна в струната

,

разпространявайки се отляво надясно. Вълната ще се отрази от десния край на струната. Да приемем, че това става без загуба на енергия. В този случай отразената вълна ще има същата амплитуда и същата честота като падащата. Следователно отразената вълна трябва да има формата:

Неговата фаза съдържа константа, която определя промяната във фазата при отражение. Тъй като отражението възниква в двата края на струната и без загуба на енергия, вълни с еднакви честоти ще се разпространяват едновременно в струната. Следователно трябва да възникне смущение по време на добавянето. Нека намерим получената вълна.

Това е уравнението на стоящата вълна. От него следва, че във всяка точка на струната възникват трептения с честота. В този случай амплитудата на трептенията в дадена точка е равна на

.

Тъй като краищата на струната са фиксирани, там няма вибрации. От условието следва, че . Следователно накрая получаваме:

.

Сега е ясно, че в точките, където , изобщо няма трептения. Тези точки са възлите на стоящата вълна. Където , амплитудата на трептенията е максимална, тя е равна на удвоената амплитуда на добавените трептения. Тези точки са антинодите на стояща вълна. Появата на антиноди и възли е именно мястото, където се крие смущението: на някои места трептенията се засилват, а на други изчезват. Разстоянието между съседни възли и антиноди се намира от очевидното условие: . Защото тогава. Следователно разстоянието между съседните възли е .

От уравнението на стоящата вълна става ясно, че факторът При преминаване през нулевата стойност той променя знака. В съответствие с това фазата на трептенията на противоположните страни на възела се различава с . Това означава, че точките, разположени от противоположните страни на възела, осцилират в противофаза. Всички точки между два съседни възела осцилират в една и съща фаза.

По този начин, чрез добавяне на падащите и отразените вълни, наистина е възможно да се получи картината на вълновото движение, която беше характеризирана по-рано. В този случай клетките, обсъждани в едномерния случай, са сегменти, затворени между съседни възли и имащи дължина .

Нека най-накрая се уверим, че вълната, която разгледахме, може да съществува само при строго определени честоти на трептене. Да се ​​възползваме от факта, че в десния край на струната няма вибрации, т.е. Оказва се, че. Това равенство е възможно, ако , където е произволно положително цяло число.