Решаване на неравенства чрез дискриминантни примери. Методи за решаване на пълни квадратни уравнения

С тази математическа програма можете решаване на квадратно уравнение.

Програмата не само дава отговор на проблема, но също така показва процеса на решаване по два начина:
- използване на дискриминант
- използване на теоремата на Vieta (ако е възможно).

Освен това отговорът се показва като точен, а не приблизителен.
Например за уравнението \(81x^2-16x-1=0\) отговорът се показва в следната форма:

Тази програмаможе да бъде полезно за учениците в старшите класове на средните училища в подготовка за тестовеи изпити, при проверка на знанията преди Единния държавен изпит, за родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра.

Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да купите нови учебници? Или просто искате да си свършите домашното по математика или алгебра възможно най-бързо? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробни решения.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или обучение на вашите по-малки братя или сестри, докато нивото на образование в областта на решаването на проблеми се повишава.

Ако не сте запознати с правилата за въвеждане на квадратен полином, препоръчваме ви да се запознаете с тях.

Правила за въвеждане на квадратен многочлен
Всяка латинска буква може да действа като променлива.

Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) и т.н.
Числата могат да се въвеждат като цели или дробни числа.

Освен това дробните числа могат да се въвеждат не само под формата на десетична, но и под формата на обикновена дроб.
Правила за въвеждане на десетични дроби.
При десетичните дроби дробната част може да бъде отделена от цялата част с точка или запетая. Например можете да въведетедесетични знаци

така: 2,5x - 3,5x^2
Правила за въвеждане на обикновени дроби.

Само цяло число може да действа като числител, знаменател и цяла част от дроб.

Знаменателят не може да бъде отрицателен. /
При въвеждане на числова дроб числителят се отделя от знаменателя със знак за деление: &
Цялата част е отделена от дробта със знака амперсанд:
Вход: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2

Резултат: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\) При въвеждане на изразможете да използвате скоби . В този случай при решаванеквадратно уравнение
Въведеният израз първо е опростен.

Беше открито, че някои скриптове, необходими за решаване на този проблем, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

защото Има много хора, желаещи да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
моля изчакайте сек...

Ако вие забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
не забравяйте посочете коя задачавие решавате какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Квадратно уравнение и неговите корени. Непълни квадратни уравнения

Всяко от уравненията
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
изглежда като
\(ax^2+bx+c=0, \)
където x е променлива, a, b и c са числа.
В първото уравнение a = -1, b = 6 и c = 1,4, във второто a = 8, b = -7 и c = 0, в третото a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такива уравнения се наричат квадратни уравнения.

Определение.
Квадратно уравнениесе нарича уравнение от формата ax 2 +bx+c=0, където x е променлива, a, b и c са някои числа и \(a \neq 0 \).

Числата a, b и c са коефициентите на квадратното уравнение. Числото a се нарича първи коефициент, числото b е втори коефициент, а числото c е свободен член.

Във всяко от уравненията под формата ax 2 +bx+c=0, където \(a \neq 0 \), най-голямата степен на променливата x е квадрат. Оттук и името: квадратно уравнение.

Обърнете внимание, че квадратното уравнение се нарича още уравнение от втора степен, тъй като лявата му страна е полином от втора степен.

Нарича се квадратно уравнение, в което коефициентът на x 2 е равен на 1 дадено квадратно уравнение. Например дадените квадратни уравнения са уравненията
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ако в квадратно уравнение ax 2 +bx+c=0 поне един от коефициентите b или c равно на нула, тогава такова уравнение се нарича непълно квадратно уравнение. Така уравненията -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 са непълни квадратни уравнения. В първия от тях b=0, във втория c=0, в третия b=0 и c=0.

Има три вида непълни квадратни уравнения:
1) ax 2 +c=0, където \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, където \(b \neq 0 \);
3) брадва 2 =0.

Нека разгледаме решаването на уравнения от всеки от тези типове.

За да решите непълно квадратно уравнение от формата ax 2 +c=0 за \(c \neq 0 \), преместете неговия свободен член в дясната страна и разделете двете страни на уравнението на a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Тъй като \(c \neq 0 \), тогава \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ако \(-\frac(c)(a)>0\), тогава уравнението има два корена.

Ако \(-\frac(c)(a) За решаване на непълно квадратно уравнение от вида ax 2 +bx=0 с \(b \neq 0 \) го разширете лявата странапо фактори и получете уравнението
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (масив)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(масив) \right.

Това означава, че едно непълно квадратно уравнение от вида ax 2 +bx=0 за \(b \neq 0 \) винаги има два корена.

Непълно квадратно уравнение от формата ax 2 =0 е еквивалентно на уравнението x 2 =0 и следователно има един корен 0.

Формула за корените на квадратно уравнение

Нека сега разгледаме как да решаваме квадратни уравнения, в които както коефициентите на неизвестните, така и свободният член са различни от нула.

Нека решим квадратното уравнение в общ изгледи в резултат получаваме формулата за корените. След това тази формула може да се използва за решаване на всяко квадратно уравнение.

Нека решим квадратното уравнение ax 2 +bx+c=0

Разделяйки двете страни на a, получаваме еквивалентното намалено квадратно уравнение
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Нека трансформираме това уравнение, като изберем квадрата на бинома:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Стрелка надясно \)

Коренният израз се нарича дискриминант на квадратно уравнение ax 2 +bx+c=0 ("дискриминант" на латински - дискриминатор). Обозначава се с буквата D, т.е.
\(D = b^2-4ac\)

Сега, използвайки дискриминантната нотация, пренаписваме формулата за корените на квадратното уравнение:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), където \(D= b^2-4ac \)

Очевидно е, че:
1) Ако D>0, тогава квадратното уравнение има два корена.
2) Ако D=0, тогава квадратното уравнение има един корен \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ако D По този начин, в зависимост от стойността на дискриминанта, едно квадратно уравнение може да има два корена (за D > 0), един корен (за D = 0) или да няма корени (за D Когато решавате квадратно уравнение, използвайки това формула, препоръчително е да направите следния начин:
1) изчислете дискриминанта и го сравнете с нула;
2) ако дискриминантът е положителен или равен на нула, тогава използвайте формулата за корен; ако дискриминантът е отрицателен, тогава запишете, че няма корени.

Теорема на Виета

Даденото квадратно уравнение ax 2 -7x+10=0 има корени 2 и 5. Сумата от корените е 7, а произведението е 10. Виждаме, че сумата от корените е равна на втория коефициент, взет от противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член. Всяко редуцирано квадратно уравнение, което има корени, има това свойство.

Сумата от корените на горното квадратно уравнение е равна на втория коефициент, взет с обратен знак, а произведението на корените е равно на свободния член.

Тези. Теоремата на Виета гласи, че корените x 1 и x 2 на редуцираното квадратно уравнение x 2 +px+q=0 имат свойството:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Задачите с квадратни уравнения се изучават както в училищната програма, така и в университетите. Те означават уравнения във формата a*x^2 + b*x + c = 0, където х-променлива, a, b, c – константи; а<>0 . Задачата е да се намерят корените на уравнението.

Геометричен смисъл на квадратно уравнение

Графиката на функция, която е представена от квадратно уравнение, е парабола. Решенията (корените) на квадратно уравнение са точките на пресичане на параболата с абсцисната ос (x). От това следва, че има три възможни случая:
1) параболата няма точки на пресичане с абсцисната ос. Това означава, че е в горната равнина с клони нагоре или в долната с клони надолу. В такива случаи квадратното уравнение няма реални корени (то има два комплексни корена).

2) параболата има една пресечна точка с оста Ox. Такава точка се нарича връх на параболата и квадратното уравнение в нея придобива своята минимална или максимална стойност. В този случай квадратното уравнение има един реален корен (или два еднакви корена).

3) Последният случай е по-интересен практически - има две точки на пресичане на параболата с абсцисната ос. Това означава, че има два реални корена на уравнението.

Въз основа на анализа на коефициентите на степените на променливите могат да се направят интересни заключения относно разположението на параболата.

1) Ако коефициентът a е по-голям от нула, тогава клоновете на параболата са насочени нагоре; ако е отрицателен, клоновете на параболата са насочени надолу.

2) Ако коефициентът b е по-голям от нула, тогава върхът на параболата лежи в лявата полуравнина, ако вземе отрицателна стойност- след това вдясно.

Извеждане на формулата за решаване на квадратно уравнение

Нека прехвърлим константата от квадратното уравнение

за знака за равенство получаваме израза

Умножете двете страни по 4а

За да получите пълен квадрат отляво, добавете b^2 от двете страни и извършете трансформацията

От тук намираме

Формула за дискриминант и корени на квадратно уравнение

Дискриминантът е стойността на радикалния израз, ако е положителен, тогава уравнението има два реални корена, изчислени по формулата Когато дискриминантът е нула, квадратното уравнение има едно решение (два съвпадащи корена), което може лесно да се получи от горната формула за D = 0. отрицателен дискриминантняма реални коренни уравнения. Решенията на квадратното уравнение обаче се намират в комплексната равнина и стойността им се изчислява по формулата

Теорема на Виета

Нека разгледаме два корена на квадратно уравнение и да построим квадратно уравнение на тяхна основа. Самата теорема на Виета лесно следва от нотацията: ако имаме квадратно уравнение от вида. тогава сумата от неговите корени е равна на коефициента p, взет с обратен знак, а произведението от корените на уравнението е равно на свободния член q. Формулата за горното ще изглежда така. Ако в класическо уравнение константата a е различна от нула, тогава трябва да разделите цялото уравнение на нея и след това да приложите теоремата на Vieta.

График за разлагане на квадратни уравнения

Нека задачата е поставена: факторизирайте квадратно уравнение. За да направите това, първо решаваме уравнението (намерете корените). След това заместваме намерените корени във формулата за разлагане на квадратното уравнение. Това ще реши проблема.

Задачи с квадратно уравнение

Задача 1. Намерете корените на квадратно уравнение

x^2-26x+120=0 .

Решение: Запишете коефициентите и ги заменете във формулата за дискриминант

Корен от дадена стойносте равно на 14, лесно се намира с калкулатор или се помни при честа употреба, но за удобство в края на статията ще ви дам списък с квадрати с числа, които често могат да се срещнат при такива задачи.
Заместваме намерената стойност във формулата на корена

и получаваме

Задача 2. Решете уравнението

2x 2 +x-3=0.

Решение: Имаме пълно квадратно уравнение, напишете коефициентите и намерете дискриминанта


от известни формулинамиране на корените на квадратно уравнение

Задача 3. Решете уравнението

9x 2 -12x+4=0.

Решение: Имаме пълно квадратно уравнение. Определяне на дискриминанта

Имаме случай, в който корените съвпадат. Намерете стойностите на корените с помощта на формулата

Задача 4. Решете уравнението

x^2+x-6=0 .

Решение: В случаите, когато има малки коефициенти за x, е препоръчително да се приложи теоремата на Vieta. По условието му получаваме две уравнения

От второто условие намираме, че произведението трябва да е равно на -6. Това означава, че един от корените е отрицателен. Имаме следната възможна двойка решения (-3;2), (3;-2) . Като вземем предвид първото условие, отхвърляме втората двойка решения.
Корените на уравнението са равни

Задача 5. Намерете дължините на страните на правоъгълник, ако неговият периметър е 18 cm, а площта му е 77 cm 2.

Решение: Половината от периметъра на правоъгълник е равна на сбора от съседните му страни. Нека означим х като по-голямата страна, тогава 18-х е по-малката страна. Площта на правоъгълника е равна на произведението на тези дължини:
x(18-x)=77;
или
x 2 -18x+77=0.
Нека намерим дискриминанта на уравнението

Изчисляване на корените на уравнението

Ако x=11,това 18=7 ,обратното също е вярно (ако x=7, тогава 21's=9).

Задача 6. Разложете на множители квадратното уравнение 10x 2 -11x+3=0.

Решение: Нека изчислим корените на уравнението, за да направим това, намираме дискриминанта

Заместваме намерената стойност в коренната формула и изчисляваме

Прилагаме формулата за разлагане на квадратно уравнение по корени

Отваряйки скобите, получаваме идентичност.

Квадратно уравнение с параметър

Пример 1. При какви стойности на параметъра а ,уравнението (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 има ли един корен?

Решение: Чрез директно заместване на стойността a=3 виждаме, че тя няма решение. След това ще използваме факта, че с нулев дискриминант уравнението има един корен с кратност 2. Нека напишем дискриминанта

Нека го опростим и го приравним към нула

Получихме квадратно уравнение по отношение на параметъра a, чието решение може лесно да се получи с помощта на теоремата на Виета. Сборът на корените е 7, а произведението им е 12. Чрез просто търсене установяваме, че числата 3,4 ще бъдат корените на уравнението. Тъй като вече отхвърлихме решението a=3 в началото на изчисленията, единственото правилно ще бъде - а=4.Така за a=4 уравнението има един корен.

Пример 2. При какви стойности на параметъра а ,уравнение a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0има повече от един корен?

Решение: Нека първо разгледаме сингулярните точки, те ще бъдат стойностите a=0 и a=-3. Когато a=0, уравнението ще бъде опростено до формата 6x-9=0; x=3/2 и ще има един корен. За a= -3 получаваме идентичността 0=0.
Нека изчислим дискриминанта

и намерете стойността на a, при която то е положително

От първото условие получаваме a>3. За второто намираме дискриминанта и корените на уравнението


Нека определим интервалите, в които функцията приема положителни стойности. Като заместим точката a=0 получаваме 3>0 . И така, извън интервала (-3;1/3) функцията е отрицателна. Не забравяйте смисъла а=0,което трябва да се изключи, тъй като първоначалното уравнение има един корен в него.
В резултат на това получаваме два интервала, които отговарят на условията на проблема

На практика ще има много подобни задачи, опитайте се сами да разберете задачите и не забравяйте да вземете предвид условията, които се изключват взаимно. Изучете добре формулите за решаване на квадратни уравнения; често са необходими при изчисления в различни задачи и науки.

Сред цялата училищна програма по алгебра една от най-обширните теми е темата за квадратните уравнения. В този случай квадратно уравнение се разбира като уравнение във формата ax 2 + bx + c = 0, където a ≠ 0 (да се чете: a умножено по x на квадрат плюс be x плюс ce е равно на нула, където a не е равно на нула). В този случай основното място заемат формулите за намиране на дискриминанта на квадратно уравнение от посочения тип, което се разбира като израз, който позволява да се определи наличието или отсъствието на корени на квадратно уравнение, както и техните номер (ако има такъв).

Формула (уравнение) на дискриминанта на квадратно уравнение

Общоприетата формула за дискриминанта на квадратно уравнение е следната: D = b 2 – 4ac. Чрез изчисляване на дискриминанта по посочената формула можете не само да определите наличието и броя на корените на квадратното уравнение, но и да изберете метод за намиране на тези корени, от които има няколко в зависимост от вида на квадратното уравнение.

Какво означава, ако дискриминантът е нула \ Формула за корените на квадратно уравнение, ако дискриминантът е нула

Дискриминантът, както следва от формулата, е означен латиницаГ. В случай, че дискриминантът е равен на нула, трябва да се заключи, че квадратно уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където a ≠ 0, има само един корен, който се изчислява с помощта на опростена формула . Тази формула се прилага само когато дискриминантът е нула и изглежда така: x = –b/2a, където x е коренът на квадратното уравнение, b и a са съответните променливи на квадратното уравнение. За да намерите корена на квадратно уравнение, трябва да разделите отрицателната стойност на променливата b на удвоената стойност на променливата a. Полученият израз ще бъде решението на квадратно уравнение.

Решаване на квадратно уравнение с помощта на дискриминант

Ако при изчисляване на дискриминанта по горната формула се получи положителна стойност (D е по-голямо от нула), тогава квадратното уравнение има два корена, които се изчисляват по следните формули: x 1 = (–b + vD)/ 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. Най-често дискриминантът не се изчислява отделно, а радикалният израз под формата на дискриминантната формула просто се замества в стойността D, от която се извлича коренът. Ако променливата b има четна стойност, тогава за изчисляване на корените на квадратно уравнение под формата ax 2 + bx + c = 0, където a ≠ 0, можете също да използвате следните формули: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a, x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, където k = b/2.

В някои случаи за практическо решаване на квадратни уравнения можете да използвате теоремата на Виета, която гласи, че за сумата от корените на квадратно уравнение от вида x 2 + px + q = 0 стойността x 1 + x 2 = –p ще бъде вярно, а за произведението на корените на посоченото уравнение – израз x 1 x x 2 = q.

Може ли дискриминантът да бъде по-малък от нула?

При изчисляване на дискриминантната стойност може да срещнете ситуация, която не попада в нито един от описаните случаи - когато дискриминантът има отрицателна стойност (т.е. по-малко от нула). В този случай е общоприето, че квадратно уравнение под формата ax 2 + bx + c = 0, където a ≠ 0, няма реални корени, следователно неговото решение ще бъде ограничено до изчисляване на дискриминанта и горните формули за корените на квадратно уравнение няма да се прилагат в този случай ще има. В същото време в отговора на квадратното уравнение е написано, че „уравнението няма реални корени“.

Обяснително видео:

Дискриминантът, подобно на квадратните уравнения, започва да се изучава в курса по алгебра в 8 клас. Можете да решите квадратно уравнение чрез дискриминант и с помощта на теоремата на Vieta. Методът за изучаване на квадратни уравнения, както и дискриминантни формули, се преподава доста неуспешно на учениците, както много неща в истинското образование. Следователно учебните години минават, образованието в 9-11 клас замества " висше образование"и всички гледат отново - „Как да решим квадратно уравнение?“, „Как да намерим корените на уравнението?“, „Как да намерим дискриминанта?“ и...

Дискриминантна формула

Дискриминантът D на квадратното уравнение a*x^2+bx+c=0 е равен на D=b^2–4*a*c.
Корените (решенията) на квадратно уравнение зависят от знака на дискриминанта (D):
D>0 – уравнението има 2 различни реални корена;
D=0 - уравнението има 1 корен (2 съвпадащи корена):
г<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Формулата за изчисляване на дискриминанта е доста проста, така че много уебсайтове предлагат онлайн калкулатор на дискриминанта. Все още не сме измислили този вид скриптове, така че ако някой знае как да ги приложим, моля, пишете ни по имейл Този имейл адрес е защитен от спам ботове. Трябва да имате активиран JavaScript, за да го видите. .

Обща формула за намиране на корените на квадратно уравнение:

Намираме корените на уравнението с помощта на формулата
Ако коефициентът на квадратна променлива е сдвоен, тогава е препоръчително да се изчисли не дискриминантът, а неговата четвърта част
В такива случаи корените на уравнението се намират с помощта на формулата

Вторият начин за намиране на корени е теоремата на Виета.

Теоремата е формулирана не само за квадратни уравнения, но и за полиноми. Можете да прочетете това в Wikipedia или други електронни ресурси. Въпреки това, за да опростим, нека разгледаме частта, която се отнася до горните квадратни уравнения, тоест уравнения от вида (a=1)
Същността на формулите на Виета е, че сумата от корените на уравнението е равна на коефициента на променливата, взета с обратен знак. Произведението на корените на уравнението е равно на свободния член. Теоремата на Виета може да бъде записана във формули.
Извеждането на формулата на Vieta е доста просто. Нека напишем квадратното уравнение чрез прости множители
Както можете да видите, всичко гениално е просто в същото време. Ефективно е да се използва формулата на Vieta, когато разликата в модулите на корените или разликата в модулите на корените е 1, 2. Например следните уравнения, съгласно теоремата на Vieta, имат корени




До уравнение 4 анализът трябва да изглежда така. Продуктът на корените на уравнението е 6, следователно корените могат да бъдат стойностите (1, 6) и (2, 3) или двойки с противоположни знаци. Сумата от корените е 7 (коефициентът на променливата с обратен знак). От тук заключаваме, че решенията на квадратното уравнение са x=2; х=3.
По-лесно е да изберете корените на уравнението сред делителите на свободния член, коригирайки техния знак, за да изпълните формулите на Vieta. Първоначално това изглежда трудно изпълнимо, но с практика върху редица квадратни уравнения тази техника ще се окаже по-ефективна от изчисляването на дискриминанта и намирането на корените на квадратното уравнение по класическия начин.
Както можете да видите, училищната теория за изучаване на дискриминанта и методите за намиране на решения на уравнението е лишена от практическо значение - „Защо учениците имат нужда от квадратно уравнение?“, „Какво е физическото значение на дискриминанта?“

Нека се опитаме да го разберем Какво описва дискриминантът?

В курса по алгебра се изучават функции, схеми за изучаване на функции и построяване на графика на функции. От всички функции важно място заема параболата, чието уравнение може да бъде написано във формата
Така че физическият смисъл на квадратното уравнение е нулите на параболата, тоест точките на пресичане на графиката на функцията с абсцисната ос Ox
Моля ви да запомните свойствата на параболите, които са описани по-долу. Ще дойде време за полагане на изпити, тестове или приемни изпити и ще бъдете благодарни за справочния материал. Знакът на променливата на квадрат съответства на това дали клоновете на параболата на графиката ще се издигнат нагоре (a>0),

или парабола с клони надолу (а<0) .

Върхът на параболата се намира по средата между корените

Физическо значение на дискриминанта:

Ако дискриминантът е по-голям от нула (D>0), параболата има две точки на пресичане с оста Ox.
Ако дискриминантът е нула (D=0), тогава параболата във върха докосва оста x.
И последният случай, когато дискриминантът е по-малък от нула (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Непълни квадратни уравнения

Квадратни уравнения. Дискриминант. Решение, примери.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

Видове квадратни уравнения

Какво е квадратно уравнение? как изглежда В срок квадратно уравнениеключовата дума е "квадрат".Това означава, че в уравнението Задължителнотрябва да има x на квадрат. В допълнение към него уравнението може (или не!) да съдържа само X (на първа степен) и само число (безплатен член).И не трябва да има X на степен по-голяма от две.

От гледна точка на математиката, квадратното уравнение е уравнение от формата:

тук a, b и c- някои числа. b и c- абсолютно всякакви, но А– нещо различно от нула. Например:

тук А =1; b = 3; c = -4

тук А =2; b = -0,5; c = 2,2

тук А =-3; b = 6; c = -18

Е, разбирате...

В тези квадратни уравнения отляво има пълен комплектчленове. Х на квадрат с коефициент а, x на първа степен с коефициент bИ безплатен член s.

Такива квадратни уравнения се наричат пълен.

Ами ако b= 0, какво получаваме? Имаме X ще изчезне на първа степен.Това се случва, когато се умножи по нула.) Оказва се, например:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

и т.н. И ако и двата коефициента bИ cса равни на нула, тогава е още по-просто:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Такива уравнения, при които нещо липсва, се наричат непълни квадратни уравнения.Което е съвсем логично.) Моля, обърнете внимание, че x на квадрат присъства във всички уравнения.

Между другото защо Ане може да е равно на нула? И вие замествате вместо това Анула.) Нашият X на квадрат ще изчезне! Уравнението ще стане линейно. И решението е съвсем друго...

Това са всички основни типове квадратни уравнения. Пълна и непълна.

Решаване на квадратни уравнения.

Решаване на пълни квадратни уравнения.

Квадратните уравнения са лесни за решаване. По формули и ясни, прости правила. На първия етап е необходимо даденото уравнение да се приведе в стандартна форма, т.е. към формата:

Ако уравнението вече ви е дадено в тази форма, не е необходимо да правите първия етап.) Основното е да определите правилно всички коефициенти, А, bИ c.

Формулата за намиране на корените на квадратно уравнение изглежда така:

Изразът под знака за корен се нарича дискриминант. Но повече за него по-долу. Както можете да видите, за да намерим X, използваме само a, b и c. Тези. коефициенти от квадратно уравнение. Просто внимателно заменете стойностите a, b и cИзчисляваме по тази формула. Да заместим със собствените си знаци! Например в уравнението:

А =1; b = 3; c= -4. Тук го записваме:

Примерът е почти решен:

Това е отговорът.

Много е просто. И какво, мислите, че е невъзможно да направите грешка? Ами да, как...

Най-честите грешки са объркване със стойностите на знаците a, b и c. Или по-скоро не с техните знаци (къде да се объркате?), А със заместването на отрицателни стойности във формулата за изчисляване на корените. Това, което помага тук, е подробен запис на формулата с конкретни числа. Ако има проблеми с изчисленията, направи това!

Да предположим, че трябва да решим следния пример:

тук а = -6; b = -5; c = -1

Да приемем, че знаете, че рядко получавате отговори от първия път.

Е, не бъдете мързеливи. Ще отнеме около 30 секунди, за да напишете допълнителен ред и броя на грешките рязко ще намалее. Така че ние пишем подробно, с всички скоби и знаци:

Изглежда невероятно трудно да се пише толкова внимателно. Но така само изглежда. Опитайте го. Е, или изберете. Кое е по-добро, бързо или правилно?

Освен това ще те направя щастлив. След известно време няма да има нужда да записвате всичко толкова внимателно. Ще се оправи от само себе си. Особено ако използвате практически техники, описани по-долу. Този зъл пример с куп минуси се решава лесно и без грешки!

Но често квадратните уравнения изглеждат малко по-различно. Например така: Разпознахте ли го?) Да! това.

непълни квадратни уравнения

Решаване на непълни квадратни уравнения. a, b и c.

Те могат да бъдат решени и с обща формула. Просто трябва да разберете правилно на какво са равни тук. Разбрахте ли го? В първия примера = 1; b = -4; cА ? Изобщо го няма! Ами да, точно така. В математиката това означава, че c = 0 ! Това е. Вместо това заменете нула във формулатав, и ще успеем. Същото и с втория пример. Само ние нямаме нула тукс b !

Но непълните квадратни уравнения могат да бъдат решени много по-лесно. Без никакви формули. Нека разгледаме първото непълно уравнение. Какво можете да направите от лявата страна? Можете да извадите X от скоби! Да го извадим.

И какво от това? И фактът, че продуктът е равен на нула тогава и само ако някой от факторите е равен на нула! не ми вярваш Добре, тогава измислете две ненулеви числа, които, когато се умножат, ще дадат нула!
не работи? това е...
Следователно можем уверено да напишем: x 1 = 0, х 2 = 4.

Всички. Това ще бъдат корените на нашето уравнение. И двете са подходящи. Когато заместваме някое от тях в оригиналното уравнение, получаваме правилната идентичност 0 = 0. Както можете да видите, решението е много по-просто от използването на общата формула. Между другото да отбележа кое X ще е първото и кое второто - абсолютно безразлично. Удобно е да пишете в ред, х 1- какво е по-малък и х 2- това, което е по-голямо.

Второто уравнение също може да бъде решено просто. Преместете 9 надясно. Получаваме:

Всичко, което остава, е да извлечем корена от 9 и това е. Ще се окаже:

Също така два корена . х 1 = -3, х 2 = 3.

Ето как се решават всички непълни квадратни уравнения. Или като поставите X извън скоби, или просто като преместите числото надясно и след това извлечете корена.
Изключително трудно е да се объркат тези техники. Просто защото в първия случай ще трябва да извлечете корена на X, което е някак неразбираемо, а във втория случай няма какво да извадите от скоби...

Дискриминант. Дискриминантна формула.

Вълшебна дума дискриминант ! Рядко гимназист не е чувал тази дума! Фразата „ние решаваме чрез дискриминант“ вдъхва увереност и увереност. Защото няма нужда да очаквате трикове от дискриминанта! Използва се лесно и безпроблемно.) Напомням ви най-общата формула за решаване всякаквиквадратни уравнения:

Изразът под знака за корен се нарича дискриминант. Обикновено дискриминантът се обозначава с буквата г. Дискриминантна формула:

D = b 2 - 4ac

И какво е толкова забележително в този израз? Защо заслужаваше специално име? Какво значението на дискриминанта?Все пак -б,или 2ав тази формула не го наричат ​​конкретно... Букви и букви.

Ето това е нещото. При решаване на квадратно уравнение с помощта на тази формула е възможно само три случая.

1. Дискриминантът е положителен.Това означава, че коренът може да бъде извлечен от него. Друг е въпросът дали коренът се извлича добре или зле. Важно е какво се извлича по принцип. Тогава вашето квадратно уравнение има два корена. Две различни решения.

2. Дискриминантът е нула.Тогава ще имате едно решение. Тъй като добавянето или изваждането на нула в числителя не променя нищо. Строго погледнато, това не е един корен, а две еднакви. Но в опростена версия е обичайно да се говори за едно решение.

3. Дискриминантът е отрицателен.Не може да се извади корен квадратен от отрицателно число. О, добре. Това означава, че няма решения.

Честно казано, когато просто решаваме квадратни уравнения, концепцията за дискриминант не е наистина необходима. Заместваме стойностите на коефициентите във формулата и броим. Там всичко става от само себе си, два корена, един и нито един. При решаване на по-сложни задачи обаче, без знания значение и формула на дискриминантане мога да мина. Особено в уравненията с параметри. Такива уравнения са висш пилотаж за държавния изпит и единния държавен изпит!)

така че как се решават квадратни уравнениячрез дискриминанта, който запомнихте. Или сте научили, което също не е лошо.) Знаете как да определите правилно a, b и c. знаеш ли как внимателнозаменете ги в коренната формула и внимателнопребройте резултата. Разбирате, че ключовата дума тук е внимателно?

Сега вземете под внимание практическите техники, които значително намаляват броя на грешките. Същите, които са от невнимание... За които после става болезнено и обидно...

Първа среща . Не бъдете мързеливи, преди да решите квадратно уравнение и да го приведете в стандартна форма. какво значи това
Да кажем, че след всички трансформации получавате следното уравнение:

Не бързайте да пишете коренната формула! Почти сигурно ще объркате шансовете a, b и c.Конструирайте примера правилно. Първо X на квадрат, след това без квадрат, след това свободният член. като това:

И отново, не бързайте! Минус пред Х на квадрат може наистина да ви разстрои. Лесно се забравя... Махни минуса. как? Да, както беше казано в предишната тема! Трябва да умножим цялото уравнение по -1. Получаваме:

Но сега можете спокойно да запишете формулата за корените, да изчислите дискриминанта и да завършите решаването на примера. Решете сами.

Сега трябва да имате корени 2 и -1. Рецепция втори. Проверете корените! Според теоремата на Виета. Не се страхувайте, ще ви обясня всичко! Проверкапоследно уравнение. Тези. тази, която използвахме, за да запишем формулата на корена. Ако (както в този пример) коефа = 1 , проверката на корените е лесна. Достатъчно е да ги умножите. Резултатът трябва да е безплатен член, т.е. в нашия случай -2. Моля, обърнете внимание, не 2, а -2! Безплатен член с твоя знак

. Ако не се получи, значи вече са се прецакали някъде. Потърсете грешката. bАко работи, трябва да добавите корените. Последна и последна проверка. Коефициентът трябва да бъде противоположност познат. В нашия случай -1+2 = +1. Коефициент b, което е преди X, е равно на -1. Значи всичко е точно!
Жалко е, че това е толкова просто само за примери, където x на квадрат е чисто, с коефициент а = 1.Но поне проверете такива уравнения! Ще има все по-малко грешки.

Прием трети . Ако вашето уравнение има дробни коефициенти, отървете се от дробите! Умножете уравнението по общ знаменател, както е описано в урока "Как се решават уравнения? Трансформации на идентичност." Когато работите с дроби, грешките продължават да се прокрадват по някаква причина...

Между другото, обещах да опростя злия пример с куп минуси. Моля те! Ето го.

За да не се объркаме от минусите, умножаваме уравнението по -1. Получаваме:

това е! Решаването е удоволствие!

И така, нека обобщим темата.

Практически съвети:

1. Преди да решим, привеждаме квадратното уравнение в стандартна форма и го изграждаме вярно.

2. Ако има отрицателен коефициент пред X на квадрат, ние го елиминираме, като умножим цялото уравнение по -1.

3. Ако коефициентите са дробни, елиминираме дробите, като умножим цялото уравнение по съответния коефициент.

4. Ако х на квадрат е чисто, неговият коефициент е равен на едно, решението може лесно да се провери с помощта на теоремата на Виета. направи го!

Сега можем да решим.)

Решете уравнения:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Отговори (в безпорядък):

x 1 = 0
х 2 = 5

х 1,2 =2

х 1 = 2
х 2 = -0,5

x - произволно число

х 1 = -3
х 2 = 3

няма решения

х 1 = 0,25
х 2 = 0,5

Всичко ли пасва? Страхотно! Квадратните уравнения не са вашето главоболие. Първите три проработиха, но останалите не? Тогава проблемът не е в квадратните уравнения. Проблемът е в тъждествените трансформации на уравнения. Разгледайте линка, полезен е.

Не се получава съвсем? Или изобщо не се получава? Тогава раздел 555 ще ви помогне. Всички тези примери са разбити там. Показано основенгрешки в решението. Разбира се, говорим и за използването на идентични трансформации при решаване на различни уравнения. Помага много!

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.