Решаване на ирационални уравнения, методи за решаване, примери.

Решаване на ирационални уравнения.

В тази статия ще говорим за решения най-простите ирационални уравнения.

Ирационално уравнениее уравнение, което съдържа неизвестно под знака за корен.

Нека разгледаме два вида ирационални уравнения, които на пръв поглед много си приличат, но в същността си са много различни един от друг.

(1)

(2)

В първото уравнение виждаме, че неизвестното е под знака на корена на трета степен. Можем да вземем нечетен корен от отрицателно число, така че в това уравнение няма ограничения нито за израза под знака за корен, нито за израза от дясната страна на уравнението. Можем да повдигнем двете страни на уравнението на трета степен, за да се отървем от корена. Получаваме еквивалентно уравнение:

Когато повдигаме дясната и лявата страна на уравнението до нечетна степен, не можем да се страхуваме от получаване на външни корени.

Пример 1. Да решим уравнението

Нека повдигнем двете страни на уравнението на трета степен. Получаваме еквивалентно уравнение:

Нека преместим всички термини на една страна и поставим x извън скоби:

Приравнявайки всеки фактор на нула, получаваме:

Отговор: (0;1;2)

Нека разгледаме внимателно второто уравнение: . От лявата страна на уравнението е квадратният корен, който приема само неотрицателни стойности. Следователно, за да има решения уравнението, дясната страна също трябва да е неотрицателна. Следователно в дясната страна на уравнението се налага условието:

Title="g(x)>=0"> - это !} условие за наличие на корени.

За да решите уравнение от този тип, трябва да поставите на квадрат двете страни на уравнението:

(3)

Поставянето на квадрат може да доведе до появата на външни корени, така че се нуждаем от уравненията:

Title="f(x)>=0"> (4)!}

Въпреки това, неравенство (4) следва от условие (3): ако дясната страна на равенството съдържа квадрат на някакъв израз и квадратът на всеки израз може да приема само неотрицателни стойности, следователно лявата страна също трябва да бъде не- отрицателен. Следователно условие (4) автоматично следва от условие (3) и нашето уравнение е еквивалентен на системата:

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

Пример 2.Нека решим уравнението:

.

Нека да преминем към еквивалентна система:

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

Нека решим първото уравнение на системата и проверим кои корени удовлетворяват неравенството.

Неравенство title="1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

Отговор: x=1

внимание!Ако в процеса на решаване поставим на квадрат двете страни на уравнението, тогава трябва да помним, че могат да се появят външни корени. Следователно или трябва да преминете към еквивалентна система, или в края на решението НАПРАВЕТЕ ПРОВЕРКА: намерете корените и ги заменете в оригиналното уравнение.

Пример 3. Нека решим уравнението:

За да решим това уравнение, също трябва да повдигнем на квадрат двете страни. Нека не се занимаваме с ODZ и условието за наличие на корени в това уравнение, а просто да направим проверка в края на решението.

Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението:

Нека преместим термина, съдържащ корена, вляво, а всички останали термини вдясно:

Нека отново повдигнем на квадрат двете страни на уравнението:

По темата на Виета:

Да направим проверка. За да направим това, заместваме намерените корени в оригиналното уравнение. Очевидно при , дясната страна на първоначалното уравнение е отрицателна, а лявата страна е положителна.

При получаваме правилното равенство.

Глава Факултет по математика, Далекоизточен държавен университет

Системи от ирационални, логаритмични и експоненциални уравнения

Традиционно контролните измервателни материали за Единния държавен изпит по математика включват задачи, които позволяват на учениците да проверят способността си да решават различни системи от уравнения. По правило това са системи от две уравнения с две променливи. Уравненията, включени в системата, могат да бъдат или алгебрични, включително ирационални, или трансцендентални. В тази статия ще разгледаме основните методи за решаване на системи с две променливи на ирационални, логаритмични и експоненциални уравнения.

Преди да преминем директно към методите за решаване на системи от уравнения, нека си припомним основните определения и свойства на различни функции, които могат да бъдат включени в уравненията на системата.

Спомнете си, че се образуват две уравнения с две неизвестни система от уравнения, ако задачата е да се намерят такива стойности на променливи, които са решения на всяко от уравненията.

Системно решениедве уравнения с две неизвестни се нарича подредена двойка числа, при заместването им в системата вместо съответните променливи се получават правилни числени равенства.

Решаването на система от уравнения означава намиране на всички нейни решения.

Процесът на решаване на система от уравнения, подобно на процеса на решаване на уравнение, се състои от последователен преход, използвайки някои трансформации, от дадена система към по-проста. Обикновено се използват трансформации, които водят до еквивалентна система; в този случай не се изисква проверка на намерените решения. Ако са използвани неравни трансформации, тогава проверката на намерените решения е задължителна.

Ирационалноса уравнения, в които променливата се съдържа под знака на корена или под знака на операцията за повдигане на дробна степен.

Трябва да се отбележи, че

1. Всички корени от четна степен, включени в уравненията, са аритметични. С други думи, ако радикалният израз е отрицателен, тогава коренът е безсмислен; ако радикалният израз е равен на нула, тогава коренът също е равен на нула; Ако радикалният израз е положителен, тогава стойността на корена е положителна.

2. Всички нечетни корени, включени в уравнението, са определени за всяка реална стойност на радикалния израз. В този случай коренът е отрицателен, ако радикалният израз е отрицателен; е равно на нула, ако радикалният израз е равен на нула; положителен, ако радикалният израз е положителен.

Функции г = https://pandia.ru/text/78/063/images/image002_247.gif" width="37" height="24 src="> увеличават своята област на дефиниране.

При решаването на системи от ирационални уравнения се използват два основни метода: 1) повдигане на двете страни на уравненията на еднаква степен; 2) въвеждане на нови променливи.

При решаване на системи от ирационални уравнения по първия метод трябва да се помни, че при повдигане на двете страни на уравнение, съдържащо корени от една и съща степен, се получава уравнение, което е следствие от първоначалното; следователно, странично корените могат да се появят по време на процеса на решение gif" width="161" height="61">

Решение.За да се отървем от ирационалността, въвеждаме нови променливи. Нека ……………………… (1),

тогава началната система ще приеме формата: ..gif" width="92" height="59">. Чрез повдигане на квадрат на двете страни на първото уравнение и второто на четвърта степен, получаваме системата: , откъдето намирам:

Лесно е да се провери, че намереното решение на последната система е решение на оригиналната система.

Отговор: (6; 5)

Пример 2.Решете система от уравнения

Решение. 1..gif" width="51" height="27">.gif" width="140" height="27 src=">………………………..(2). Нека въведем нова променлива: поставете ………………….(3) и я заместете в уравнение (2), получаваме квадратно уравнение от променливата: ..gif" width="56" height="23 src ="> е страничен, тъй като те обозначават аритметичния корен..gif" width="84 height=27" height="27">. Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението и изразим: .

Нека заместим получения израз във второто уравнение на оригиналната система: https://pandia.ru/text/78/063/images/image026_45.gif" width="147" height="24 src=">. Нека повдигнем двете страни на полученото уравнение на квадрат и за да не разширяваме обхвата на допустимите стойности на полученото уравнение, изискваме https://pandia.ru/text/78/063/images/image028_36.gif" width="297" height="24 src="> .gif" width="65" height="23 src=">.gif" width="56" height="41 src="> е страничен.

Нека намерим стойността прина: https://pandia.ru/text/78/063/images/image034_32.gif" width="199" height="59 src=">

Решение. 1. Имайте предвид, че дясната страна на първото уравнение трябва да е неотрицателна, т.е..gif" width="225" height="24">..gif" width="48" height="21">. Нека ги заместим във второто уравнение и да намерим стойностите на променливата:

https://pandia.ru/text/78/063/images/image041_28.gif" width="140" height="24 src=">.gif" width="39" height="20 src=">, двойката (10; 5) не е решение на оригиналната система.

https://pandia.ru/text/78/063/images/image044_23.gif" width="140" height="24 src=">.gif" width="39" height="20">. Лесно е да се провери, че намерената двойка числа е решение на оригиналната система.

Отговор: (-10; -5)

За успешно решаване на експоненциални и логаритмични системи от уравнения, нека си припомним определението и свойствата на логаритъма.

Логаритъм на числоbбаза a е степента, до която трябва да се повдигне числото a, за да се получи числотоb.

Основни свойства на логаритмите:

1) https://pandia.ru/text/78/063/images/image047_24.gif" width="125" height="25">;

2) https://pandia.ru/text/78/063/images/image049_23.gif" width="120" height="41">;

3) https://pandia.ru/text/78/063/images/image051_23.gif" width="99 height=45" height="45">.

4) https://pandia.ru/text/78/063/images/image053_22.gif" width="93" height="24 src=">; 9)

5) https://pandia.ru/text/78/063/images/image056_20.gif" width="53" height="24 src=">;

Нека изброим основните свойства на експоненциалните и логаритмичните функции:

1) Областта на дефиниране на функцията, където е цялото множество от реални числа; функции https://pandia.ru/text/78/063/images/image058_21.gif" width="77" height="21 src="> - набор от положителни реални числа.

2) Наборът от стойности на функцията е набор от положителни реални числа; функции https://pandia.ru/text/78/063/images/image060_20.gif" width="35" height="19">и двете функции нарастват; ако - и двете функции намаляват.

Коментирайте.В съответствие с второто свойство, при решаването на логаритмични уравнения е необходимо или да се установи обхватът на допустимите стойности на уравнението, или след решаването му да се направи проверка.

Експоненциалното уравнение е трансцендентно уравнение, в което неизвестното е включено в степента на някои величини. При решаване на експоненциални уравнения се използват два основни метода:

1) преход от уравнението ……….(1) към уравнението ;

2) въвеждане на нови променливи.

Понякога трябва да използвате изкуствени техники.

Първият метод за решаване на експоненциални уравнения се основава на следната теорема:

Ако, тогава уравнението е еквивалентно на уравнението .

Нека изброим основните техники за редуциране на експоненциално уравнение до уравнение от вида (1).

1. Намаляване на двете страни на уравнението до една и съща основа.

2. Логаритмирайте двете страни на уравнението (ако са строго положителни), като използвате една и съща основа.

Коментирайте.Най-общо казано, можете да вземете логаритъм по произволна основа, но обикновено взимате логаритъм по една от основите на степените, включени в уравнението.

3. Факторизиране на лявата страна на уравнението и редуциране на уравнението до набор от няколко уравнения от вида (1).

Логаритмичното уравнение е трансцендентно уравнение, в което неизвестното е включено в аргумента на логаритъма.

При решаване на логаритмични уравнения се използват два основни метода:

1) преход от уравнението към уравнение на формата;

2) въвеждане на нови променливи.

Коментирайте.Тъй като областта на дефиниране на логаритмична функция е само набор от положителни реални числа, при решаване на логаритмични уравнения е необходимо или да се намери областта на допустимите стойности на уравнението (ADV), или след намиране на решения на уравнението до направете проверка.

Решаване на най-простото логаритмично уравнение от вида

https://pandia.ru/text/78/063/images/image066_13.gif" width="43" height="21 src="> - единственият корен.

За уравнение от вида https://pandia.ru/text/78/063/images/image068_13.gif" width="65" height="24">.

Пример 4.Намерете стойността на израза, ако двойката е решение на системата от уравнения https://pandia.ru/text/78/063/images/image072_13.gif" width="85" height="21">.

2. Тъй като уравненията на системата съдържат логаритми в две различни основи, нека преминем към една основа 3: ..gif" width="65" height="93">..gif" width="41 height=21" height="21">, заключаваме, че това е външен корен. От първото уравнение на последната система намираме стойността на: https://pandia.ru/text/78/063/images/image082_11.gif" width="131 height=21" height="21">

Пример 5.Намерете най-голямата сума, ако двойката е решение на системата от уравнения https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17"> от второто уравнение на системата: ..gif" width="161" height="21">. Получихме експоненциално уравнение за една променлива.

Нека използваме свойствата на степента: . Уравнението включва степени с две различни основи. Стандартната техника за преминаване към една и съща основа е да се разделят двете страни на уравнението на една от степените с най-голям показател..gif" width="164" height="49">. Стандартният метод за решаване на този тип експоненциалното уравнение е да променим променливата Let (обърнете внимание, че въз основа на свойствата на експоненциалната функция стойността на новата променлива трябва да е положителна), тогава получаваме уравнението https://pandia.ru/text/78/063. /images/image092_10.gif" width="41" height="41">; . Решаваме набор от две уравнения: . Получаваме: ; .

От уравнението https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17">:

https://pandia.ru/text/78/063/images/image097_11.gif" width="68" height="41 src=">.gif" width="67" height="23 src=">. Така двойки и https://pandia.ru/text/78/063/images/image083_11.gif" width="37" height="19 src="> и изберете най-големия, който очевидно е равен на 3.

Нека разгледаме няколко примера за „комбинирани“ системи от уравнения, които включват уравнения от различни типове: ирационални, логаритмични, експоненциални.

Пример 6.Решете системата от уравнения https://pandia.ru/text/78/063/images/image072_13.gif" width="85" height="21">,

2. Трансформирайте системата, като използвате свойствата на степен и логаритъм:

https://pandia.ru/text/78/063/images/image104_9.gif" width="69" height="24 src="> (1), тогава второто уравнение на системата ще приеме формата: Нека решаваме това частично рационално уравнение, като се има предвид, че получаваме: https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17"> през .

Когато https://pandia.ru/text/78/063/images/image109_8.gif" width="77" height="24 src=">.gif" width="104" height="24 src="> . Нека решим това уравнение: тъй като то трябва да е положително, тогава това е външен корен; https://pandia.ru/text/78/063/images/image110_8.gif" width="49 height=41" height="41">, получаваме .

Когато https://pandia.ru/text/78/063/images/image115_7.gif" width="65" height="24 src=">.gif" width="116" height="24 src="> . Вече установихме, че следователно само вторият фактор на продукта може да бъде равен на нула: https://pandia.ru/text/78/063/images/image120_7.gif" width="85" height="28 ">. Очевидно, което е външен корен. Следователно друго решение на системата е двойка. .

Общинско учебно заведение

"СОУ №2 гр.Куедино"

Методи за решаване на ирационални уравнения

Изпълнител: Олга Егорова,

ръководител:

Учител

математика,

най-висока квалификация

Въведение....……………………………………………………………………………………… 3

Раздел 1. Методи за решаване на ирационални уравнения…………………………………6

1.1 Решаване на ирационалните уравнения от част C……….….….…………………21

Раздел 2. Индивидуални задачи…………………………………………….....………...24

Отговори………………………………………………………………………………………….25

Списък с литература…….…………………………………………………………………….26

Въведение

Математическото образование, получено в общообразователно училище, е съществен компонент на общото образование и общата култура на съвременния човек. Почти всичко, което заобикаля съвременния човек, по някакъв начин е свързано с математиката. А последните постижения във физиката, инженерството и информационните технологии не оставят никакво съмнение, че в бъдеще състоянието на нещата ще остане същото. Следователно решаването на много практически проблеми се свежда до решаването на различни видове уравнения, които трябва да научите как да решавате. Един от тези видове са ирационалните уравнения.

Ирационални уравнения

Уравнение, съдържащо неизвестно (или рационален алгебричен израз за неизвестно) под радикалния знак, се нарича ирационално уравнение. В елементарната математика решенията на ирационални уравнения се намират в набор от реални числа.

Всяко ирационално уравнение може да бъде сведено до рационално алгебрично уравнение с помощта на елементарни алгебрични операции (умножение, деление, повдигане на двете страни на уравнението на цяла степен). Трябва да се има предвид, че полученото рационално алгебрично уравнение може да се окаже нееквивалентно на оригиналното ирационално уравнение, а именно то може да съдържа „допълнителни“ корени, които няма да бъдат корени на оригиналното ирационално уравнение. Следователно, след като се намерят корените на полученото рационално алгебрично уравнение, е необходимо да се провери дали всички корени на рационалното уравнение ще бъдат корените на ирационалното уравнение.

В общия случай е трудно да се посочи някакъв универсален метод за решаване на което и да е ирационално уравнение, тъй като е желателно в резултат на трансформациите на първоначалното ирационално уравнение резултатът да не е просто някакво рационално алгебрично уравнение, сред корените на които ще бъдат корените на даденото ирационално уравнение, а рационално алгебрично уравнение, образувано от полиноми с възможно най-малката степен. Желанието да се получи това рационално алгебрично уравнение, образувано от полиноми с възможно най-малка степен, е съвсем естествено, тъй като намирането на всички корени на рационално алгебрично уравнение само по себе си може да се окаже доста трудна задача, която можем да решим напълно само в много ограничен брой случаи.

Видове ирационални уравнения

Решаването на ирационални уравнения с четна степен винаги причинява повече проблеми, отколкото решаването на ирационални уравнения с нечетна степен. При решаване на ирационални уравнения с нечетна степен OD не се променя. Следователно по-долу ще разгледаме ирационални уравнения, чиято степен е четна. Има два вида ирационални уравнения:

2..

Нека разгледаме първия от тях.

ODZ уравнения: f(x)≥ 0. В ODZ лявата страна на уравнението винаги е неотрицателна - следователно решение може да съществува само когато g(x)≥ 0. В този случай двете страни на уравнението са неотрицателни и степенуването 2 пдава еквивалентно уравнение. Разбираме това

Нека обърнем внимание на факта, че в този случай ODZ се изпълнява автоматично и не е нужно да го пишете, а условиетоg(x) ≥ 0 трябва да се провери.

Забележка: Това е много важно условие за еквивалентност. Първо, освобождава ученика от необходимостта да изследва и след намиране на решения да проверява условието f(x) ≥ 0 – неотрицателността на радикалния израз. Второ, фокусира се върху проверката на състояниетоg(x) ≥ 0 – неотрицателност на дясната страна. В крайна сметка след повдигане на квадрат уравнението е решено т.е. две уравнения се решават наведнъж (но на различни интервали от числовата ос!):

1. - къде g(x)≥ 0 и

2. - където g(x) ≤ 0.

Междувременно мнозина, извън училищния навик да намират ODZ, действат точно обратното, когато решават такива уравнения:

а) след като намерят решения, те проверяват условието f(x) ≥ 0 (което се изпълнява автоматично), като същевременно допускат аритметични грешки и получават неправилен резултат;

б) игнорирайте условиетоg(x) ≥ 0 - и отново отговорът може да се окаже неверен.

Забележка: Условието за еквивалентност е особено полезно при решаване на тригонометрични уравнения, при които намирането на ODZ включва решаване на тригонометрични неравенства, което е много по-трудно от решаването на тригонометрични уравнения. Проверка на четни условия в тригонометрични уравнения g(x)≥ 0 не винаги е лесно да се направи.

Нека разгледаме втория тип ирационални уравнения.

. Нека уравнението е дадено . Неговото ODZ:

В ODZ и двете страни са неотрицателни и повдигането на квадрат дава еквивалентното уравнение е(x) =g(x).Затова в ОДЗ или

С този метод на решение е достатъчно да проверите неотрицателността на една от функциите - можете да изберете по-проста.

Раздел 1. Методи за решаване на ирационални уравнения

1 метод. Отървете се от радикалите чрез последователно повишаване на двете страни на уравнението до съответната естествена мощност

Най-често използваният метод за решаване на ирационални уравнения е методът за елиминиране на радикалите чрез последователно повдигане на двете страни на уравнението до подходящата естествена степен. Трябва да се има предвид, че когато двете страни на уравнението се повдигнат на нечетна степен, полученото уравнение е еквивалентно на първоначалното, а когато двете страни на уравнението се повишат на четна степен, полученото уравнение обикновено ще казано, не е еквивалентно на оригиналното уравнение. Това може лесно да се провери чрез повдигане на двете страни на уравнението на произволна четна степен. Резултатът от тази операция е уравнението , чието множество от решения е обединение от множества от решения: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Въпреки това , въпреки този недостатък, процедурата за повдигане на двете страни на уравнението на някаква (често дори) степен е най-честата процедура за редуциране на ирационално уравнение до рационално уравнение.

Решете уравнението:

Къде - някои полиноми. Поради дефиницията на операцията за извличане на корен в набор от реални числа, допустимите стойности на неизвестното са https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width="123 височина =21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

Тъй като и двете страни на уравнение 1 са повдигнати на квадрат, може да се окаже, че не всички корени на уравнение 2 ще бъдат решения на първоначалното уравнение; е необходима проверка на корените.

Решете уравнението:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Кубове и двете страни на уравнението, получаваме

Като се има предвид, че https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(последното уравнение може да има корени, които, най-общо казано, не са корени на уравнение ).

Подлагаме на куб двете страни на това уравнение: . Пренаписваме уравнението във формата x3 – x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Чрез проверка установяваме, че x1 = 0 е външен корен на уравнението (-2 ≠ 1), а x2 = 1 удовлетворява оригиналното уравнение.

отговор:х = 1.

Метод 2. Замяна на съседна система от условия

При решаване на ирационални уравнения, съдържащи радикали от четен ред, в отговорите може да се появят външни корени, които не винаги са лесни за идентифициране. За да се улесни идентифицирането и изхвърлянето на външни корени, при решаване на ирационални уравнения те незабавно се заменят със съседна система от условия. Допълнителните неравенства в системата всъщност отчитат ODZ на решаваното уравнение. Можете да намерите ODZ отделно и да го вземете предвид по-късно, но е за предпочитане да използвате смесени системи от условия: има по-малка опасност да забравите нещо или да не го вземете предвид в процеса на решаване на уравнението. Следователно в някои случаи е по-рационално да се използва методът на преход към смесени системи.

Решете уравнението:

отговор: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Това уравнение е еквивалентно на системата

отговор:уравнението няма решения.

Метод 3. Използване на свойства на n-ти корен

При решаване на ирационални уравнения се използват свойствата на n-тия корен. Аритметичен корен п- thстепени измежду Аобадете се на неотрицателен номер п- i, чиято мощност е равна на А. Ако n –даже( 2n), тогава a ≥ 0, в противен случай коренът не съществува. Ако n –странно( 2 n+1), тогава a е всяко и = - ..gif" width="45" height="19"> Тогава:

2.

3.

4.

5.

При прилагането на която и да е от тези формули, формално (без да се вземат предвид посочените ограничения), трябва да се има предвид, че VA на лявата и дясната част на всяка от тях може да бъде различна. Например, изразът е дефиниран с f ≥ 0и g ≥ 0, а изразът е сякаш f ≥ 0и g ≥ 0, и с f ≤ 0и g ≤ 0.

За всяка от формулите 1-5 (без да се вземат предвид посочените ограничения), ODZ на дясната му страна може да бъде по-широка от ODZ на лявата. От това следва, че трансформациите на уравнението с формалното използване на формули 1-5 „отляво надясно“ (както са написани) водят до уравнение, което е следствие от първоначалното. В този случай могат да се появят външни корени на оригиналното уравнение, така че проверката е задължителна стъпка при решаването на оригиналното уравнение.

Трансформациите на уравнения с формалното използване на формули 1-5 „отдясно наляво“ са неприемливи, тъй като е възможно да се прецени OD на оригиналното уравнение и следователно загубата на корени.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

който е следствие от първоначалния. Решаването на това уравнение се свежда до решаване на набор от уравнения .

От първото уравнение на този набор намираме https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> от където намираме. По този начин корените на това уравнение може да бъде само числа (-1) и (-2). Проверката показва, че и двата намерени корена удовлетворяват това уравнение.

отговор: -1,-2.

Решете уравнението: .

Решение: въз основа на идентичностите заменете първия член с . Обърнете внимание, че като сбор от две неотрицателни числа от лявата страна. „Премахнете“ модула и след като въведете подобни членове, решете уравнението. Тъй като получаваме уравнението. Тъй като , след това https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

отговор:х = 4,25.

Метод 4 Въвеждане на нови променливи

Друг пример за решаване на ирационални уравнения е методът за въвеждане на нови променливи, по отношение на които се получава или по-просто ирационално уравнение, или рационално уравнение.

Решаването на ирационални уравнения чрез замяна на уравнението с неговото следствие (последвано от проверка на корените) може да се извърши по следния начин:

1. Намерете ODZ на първоначалното уравнение.

2. Преминете от уравнението към неговото следствие.

3. Намерете корените на полученото уравнение.

4. Проверете дали намерените корени са корените на първоначалното уравнение.

Проверката е както следва:

А) проверява се принадлежността на всеки намерен корен към изходното уравнение. Тези корени, които не принадлежат на ODZ, са външни за оригиналното уравнение.

Б) за всеки корен, включен в ODZ на изходното уравнение, се проверява дали лявата и дясната страна на всяко от уравненията, възникващи в процеса на решаване на изходното уравнение и повдигнати на четна степен, имат еднакви знаци. Тези корени, за които частите на всяко уравнение, повдигнато на четна степен, имат различни знаци, са чужди на оригиналното уравнение.

В) само онези корени, които принадлежат към ODZ на първоначалното уравнение и за които и двете страни на всяко от уравненията, възникващи в процеса на решаване на първоначалното уравнение и повдигнати на четна степен, имат едни и същи знаци, се проверяват чрез директно заместване в оригинално уравнение.

Този метод на решение с посочения метод за проверка позволява да се избегнат тромавите изчисления в случай на директно заместване на всеки от намерените корени на последното уравнение в оригиналното.

Решете ирационалното уравнение:

.

Наборът от валидни стойности за това уравнение е:

Поставяйки , след заместване получаваме уравнението

или еквивалентно уравнение

което може да се разглежда като квадратно уравнение по отношение на. Решавайки това уравнение, получаваме

.

Следователно наборът от решения на оригиналното ирационално уравнение е обединението на наборите от решения на следните две уравнения:

, .

Повдигайки двете страни на всяко от тези уравнения до куб, получаваме две рационални алгебрични уравнения:

, .

Решавайки тези уравнения, откриваме, че това ирационално уравнение има един корен x = 2 (не се изисква проверка, тъй като всички трансформации са еквивалентни).

отговор:х = 2.

Решете ирационалното уравнение:

Нека означим 2x2 + 5x – 2 = t. Тогава първоначалното уравнение ще приеме формата . Като повдигаме на квадрат двете страни на полученото уравнение и привеждаме подобни членове, получаваме уравнение, което е следствие от предишното. От него намираме t=16.

Връщайки се към неизвестното x, получаваме уравнението 2x2 + 5x – 2 = 16, което е следствие от първоначалното. Чрез проверка се убеждаваме, че неговите корени x1 = 2 и x2 = - 9/2 са корените на първоначалното уравнение.

отговор: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 метод. Тъждествено преобразуване на уравнението

Когато решавате ирационални уравнения, не трябва да започвате решаването на уравнението, като повдигате двете страни на уравненията на естествена степен, опитвайки се да намалите решението на ирационалното уравнение до решението на рационално алгебрично уравнение. Първо трябва да видим дали е възможно да направим някаква идентична трансформация на уравнението, която може значително да опрости неговото решение.

Решете уравнението:

Наборът от приемливи стойности за това уравнение: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Нека разделим това уравнение на .

.

Получаваме:

Когато a = 0 уравнението няма да има решения; когато уравнението може да бъде написано като

за това уравнение няма решения, тъй като за всяко X, принадлежащи към набора от допустими стойности на уравнението, изразът от лявата страна на уравнението е положителен;

когато уравнението има решение

Като вземем предвид, че наборът от допустими решения на уравнението се определя от условието , накрая получаваме:

Когато решавате това ирационално уравнение, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> решението на уравнението ще бъде. За всички други стойности Xуравнението няма решения.

ПРИМЕР 10:

Решете ирационалното уравнение: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Решаването на квадратното уравнение на системата дава два корена: x1 = 1 и x2 = 4. Първият от получените корени не удовлетворява неравенството на системата, следователно x = 4.

Бележки

1) Извършването на идентични трансформации ви позволява да правите без проверка.

2) Неравенството x – 3 ≥0 се отнася за трансформации на идентичност, а не за областта на дефиниране на уравнението.

3) От лявата страна на уравнението има намаляваща функция, а от дясната страна на това уравнение има нарастваща функция. Графиките на намаляващи и нарастващи функции в пресечната точка на техните области на дефиниране могат да имат не повече от една обща точка. Очевидно в нашия случай x = 4 е абсцисата на пресечната точка на графиките.

отговор:х = 4.

6 метод. Използване на домейна от функции за решаване на уравнения

Този метод е най-ефективен при решаване на уравнения, които включват функции https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> и намиране на техните дефиниции на площ (е)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, тогава трябва да проверите дали уравнението е правилно в края на интервала и ако< 0, а b >0, тогава е необходима проверка на интервали (a;0)и . Най-малкото цяло число в E(y) е 3.