Общият диференциал на функция. Тотален диференциал на функция от няколко променливи Тотален диференциал в точка

Както виждате, за да намерите диференциала, трябва да умножите производната по dx. Това ви позволява веднага да напишете съответната таблица за диференциали от таблицата с формули за производни.

Пълен диференциал за функция на две променливи:

Общият диференциал за функция от три променливи е равен на сумата от частичните диференциали: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x ,y,z)dz

Определение . Функция y=f(x) се нарича диференцируема в точка x 0, ако нейното увеличение в тази точка може да бъде представено като ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, където A е константа и α(∆ x) е безкрайно малка като ∆x → 0.
Изискването функцията да бъде диференцируема в точка е еквивалентно на съществуването на производна в тази точка, с A=f'(x 0).

Нека f(x) е диференцируем в точка x 0 и f "(x 0)≠0, тогава ∆y=f'(x 0)∆x + α∆x, където α= α(∆x) →0 като ∆x → 0. Количеството ∆y и всеки член от дясната страна са безкрайно малки стойности като ∆x → 0. Нека ги сравним: , тоест α(∆x)∆x е безкрайно малък по-висок порядък от f’(x 0)∆x.
, тоест ∆y~f’(x 0)∆x. Следователно f’(x 0)∆x е основната и същевременно линейна по отношение на ∆x част от нарастването ∆y (линейни средства, съдържащи ∆x на първа степен). Този термин се нарича диференциал на функцията y \u003d f (x) в точката x 0 и се обозначава dy (x 0) или df (x 0). И така, за произволно x
dy=f′(x)∆x. (1)
Тогава нека dx=∆x
dy=f′(x)dx. (2)

Пример. Намерете производни и диференциали на тези функции.
а) y=4tg2x
Решение:

диференциал:
б)
Решение:

диференциал:
в) y=arcsin 2 (lnx)
Решение:

диференциал:
G)
Решение:
=
диференциал:

Пример. За функцията y=x 3 намерете израз за ∆y и dy за някои стойности на x и ∆x.
Решение. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 dy=3x 2 ∆x (взехме основната линейна част от ∆y по отношение на ∆x). В този случай α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3 .

определение:Общият диференциал на функцияняколко променливи се нарича сбор от всички негови частични диференциали:

Пример 1: .

Решение:

Тъй като частните производни на тази функция са равни:

Тогава можем веднага да напишем частичните диференциали на тези функции:

, ,

Тогава общият диференциал на функцията ще изглежда така:

Пример 2Намерете пълния диференциал на функция

Решение:

Тази функция е комплексна, т.е. може да се представи като

Намираме частични производни:

Пълен диференциал:

Аналитичното значение на общия диференциал е, че общият диференциал на функция от няколко променливи е основната част от общото увеличение на тази функция,тоест има приблизително равенство: ∆z≈dz.

Трябва обаче да се помни, че тези приблизителни равенства са валидни само за малки диференциали dx и dy на аргументите на функцията z=f(x,y).

Използването на общия диференциал в приблизителните изчисления се основава на използването на формулата ∆z≈dz.

Наистина, ако в тази формула увеличението ∆z на функцията е представено като , а общият диференциал като , тогава получаваме:

≈ ,

Получената формула може да се използва за приблизително намиране на "новата" стойност на функция от две променливи, която тя приема с достатъчно малки увеличения на двата си аргумента.

Пример.Намерете приблизителната стойност на функция , със следните стойности на своите аргументи: 1.01, .

Решение.

Замествайки частичните производни на функциите, намерени по-рано във формулата, получаваме:

При заместване на стойностите x=1, ∆x=0.01, y=2, ∆y=0.02, получаваме:

скаларно поле.

Ако във всяка точка от някаква област на пространството D е дадена функцията U(p)=U(x,y,z), тогава казваме, че в областта D е дадено скаларно поле.

Ако, например, U(x, y, z) означава температурата в точката M(x, y, z), тогава казваме, че е дадено скаларно температурно поле. Ако областта D е пълна с течност или газ и U(x,y,z) означава налягане, тогава има скаларно поле на налягане. Ако разположението на зарядите или масивните тела е дадено в пространството, тогава се говори за потенциално поле.

Скаларното поле се нарича стационарен,ако функцията U(x,y,z) не се променя с времето: U(x,y,z) ≠ f(T).

Всяко стационарно поле се характеризира с:

1) повърхността на нивото на скаларното поле

2) скоростта на изменение на полето в дадена посока.

Равна повърхностскаларното поле е геометричното място на точките, в които функцията U(x,y,z) приема постоянна стойност, т.е. U(x,y,z) = const. Съвкупността от тези точки образува определена повърхност. Ако вземем друга константа, получаваме друга повърхност.

Пример:Нека е дадено скаларно поле. Пример за такова поле е електрическото потенциално поле на точков електрически заряд (+q). Тук нивелираните повърхности са еквипотенциалните повърхности , тоест сфери, в центъра на които има заряд, който създава поле.

Посоката на най-голямо нарастване на скаларна функция се дава от вектор, наречен градиенти се обозначава със символа (или ).

Градиентът на функцията се намира по отношение на частните производни на тази функция и винаги е перпендикулярен на повърхността на нивото на скаларното поле в дадена точка:

, Където

Единични вектори съответно по осите OX, OY, OZ

Производната на функцията U(x,y,z) във всяка друга посока (λ) се определя по формулата:

, Където

α, β, γ са съответно ъглите между координатните оси OX, OY, OZ и посоката.

Всяка частична производна (над хи от г) на функция на две променливи е обикновената производна на функция на една променлива с фиксирана стойност на другата променлива:

(Където г= const),

(Където х= const).

Следователно частните производни се изчисляват от формули и правила за изчисляване на производни на функции на една променлива, като същевременно разглеждаме другата променлива като константа (константа).

Ако не се нуждаете от анализ на примери и минималната теория, необходима за това, а имате нужда само от решение на проблема си, тогава преминете към онлайн калкулатор за частични производни .

Ако е трудно да се съсредоточите върху следенето на това къде е константата във функцията, тогава можете да замените произволно число в черновата на решението на примера вместо променлива с фиксирана стойност - тогава можете бързо да изчислите частичната производна като обикновената производна на функция на една променлива. Необходимо е само да не забравите да върнете константата (променлива с фиксирана стойност) на мястото й, когато завършите.

Свойството частни производни, описано по-горе, следва от определението за частна производна, което може да се намери в изпитните въпроси. Ето защо, за да се запознаете с определението по-долу, можете да отворите теоретичната справка.

Концепцията за непрекъснатост на функция z= f(х, г) в точка се дефинира подобно на това понятие за функция на една променлива.

функция z = f(х, г) се нарича непрекъснато в точка, ако

Разликата (2) се нарича общо увеличение на функцията z(получава се чрез увеличаване на двата аргумента).

Нека функцията z= f(х, г) и точка

Ако функцията се промени zвъзниква, когато само един от аргументите се промени, например, х, с фиксирана стойност на другия аргумент г, тогава функцията ще бъде увеличена

наречено частично нарастване на функцията f(х, г) От х.

Като се има предвид промяната на функцията zв зависимост от промяната само на един от аргументите, всъщност преминаваме към функция на една променлива.

Ако има ограничена граница

тогава се нарича частична производна на функцията f(х, г) по аргумент хи се обозначава с един от символите

(4)

Частичното увеличение се определя по подобен начин zот г:

и частична производна f(х, г) От г:

(6)

Пример 1

Решение. Намираме частната производна по отношение на променливата "x":

(гфиксиран);

Намираме частната производна по отношение на променливата "y":

(хфиксиран).

Както можете да видите, няма значение до каква степен променливата е фиксирана: в този случай това е просто някакво число, което е фактор (както в случая с обичайната производна) с променливата, по която намираме частичната производна. Ако фиксираната променлива не се умножи по променливата, по отношение на която намираме частната производна, тогава тази самотна константа, независимо до каква степен, както в случая на обикновена производна, изчезва.

Пример 2Дадена функция

Намерете частични производни

(по x) и (по y) и изчислете стойностите им в точката А (1; 2).

Решение. На фиксирана гпроизводната на първия член се намира като производна на степенната функция ( таблица с производни функции на една променлива):

На фиксирана хпроизводната на първия член се намира като производна на експоненциалната функция, а вторият - като производна на константата:

Сега изчисляваме стойностите на тези частични производни в точката А (1; 2):

Можете да проверите решението на задачи с частни производни на онлайн калкулатор за частични производни .

Пример 3Намерете частични производни на функции

Решение. С една стъпка намираме

(г х, сякаш аргументът на синуса е 5 х: по същия начин 5 се появява преди знака на функцията);

(хе фиксирана и в този случай е фактор при г).

Можете да проверите решението на задачи с частни производни на онлайн калкулатор за частични производни .

Частните производни на функция на три или повече променливи се дефинират по подобен начин.

Ако всеки набор от стойности ( х; г; ...; T) независими променливи от множеството дсъответства на една конкретна стойност uот много д, Че uсе нарича функция на променливи х, г, ..., Tи обозначават u= f(х, г, ..., T).

За функции на три или повече променливи няма геометрична интерпретация.

Частичните производни на функция на няколко променливи също се дефинират и изчисляват при допускането, че само една от независимите променливи се променя, докато останалите са фиксирани.

Пример 4Намерете частични производни на функции

Решение. гИ zфиксирано:

хИ zфиксирано:

хИ гфиксирано:

Намерете сами частни производни и след това вижте решения

Пример 5

Пример 6Намерете частични производни на функция.

Частичната производна на функция на няколко променливи има същото механично значение като производна на функция на една променлива, е скоростта, с която функцията се променя спрямо промяна в един от аргументите.

Пример 8количество поток Пжелезопътните пътници могат да бъдат изразени като функция

Където П- броя на пътниците, н- броя на жителите на съответните пунктове, Р– разстояние между точките.

Частична производна на функция Пот Рравна на

показва, че намаляването на пътникопотока е обратно пропорционално на квадрата на разстоянието между съответните точки за еднакъв брой жители в точките.

Частична производна Пот нравна на

показва, че нарастването на пътникопотока е пропорционално на удвоения брой жители на населените места с еднакво разстояние между точките.

Можете да проверите решението на задачи с частни производни на онлайн калкулатор за частични производни .

Пълен диференциал

Произведението на частната производна и нарастването на съответната независима променлива се нарича частичен диференциал. Частичните диференциали се означават, както следва:

Сумата от частичните диференциали върху всички независими променливи дава общия диференциал. За функция на две независими променливи общият диференциал се изразява чрез равенството

(7)

Пример 9Намерете пълния диференциал на функция

Решение. Резултатът от използването на формула (7):

Функция, която има пълен диференциал във всяка точка на дадена област, се нарича диференцируема в тази област.

Намерете сами общия диференциал и след това вижте решението

Точно както в случая на функция на една променлива, диференцируемостта на функция в определена област предполага нейната непрекъснатост в тази област, но не и обратното.

Нека формулираме без доказателство достатъчно условие за диференцируемост на функция.

Теорема.Ако функцията z= f(х, г) има непрекъснати частни производни

в даден регион, тогава той е диференцируем в този регион и неговият диференциал се изразява с формула (7).

Може да се покаже, че както в случай на функция на една променлива, диференциалът на функцията е основната линейна част от нарастването на функцията, така и в случай на функция на няколко променливи, общият диференциал е основната, линейна по отношение на нарастванията на независими променливи, част от общото нарастване на функцията.

За функция на две променливи общото нарастване на функцията има формата

(8)

където α и β са безкрайно малки за и .

Частични производни от по-високи разряди

Частни производни и функции f(х, г) сами по себе си са някои функции на едни и същи променливи и от своя страна могат да имат производни по отношение на различни променливи, които се наричат частични производни от по-високи порядъци.

Да разгледаме функция на две променливи z=f(x, y)и общото му увеличение в точката M 0 (x 0, y 0)

Δ z \u003d f (x 0 + Δ x, y 0 + Δ y) - f (x 0, y 0).

Определение. Ако има числа ПИ Qтака че общото увеличение може да бъде представено като

Δz = PΔx + QΔy + ε Δρ,

където и ε→ 0 при Δρ→ 0 , след това изразът PΔx + QΔyсе нарича пълен диференциал на функцията z=f(x,y)в точката M0 (x0,y0).

В този случай пълното нарастване на функцията се състои от две части: първата част PΔx + QΔyе линеен по отношение на ΔxИ Δy, вторият е безкрайно малък по-висок порядък в сравнение с .

Тотален диференциал на функция z=f(x,y)обозначен с дз, това е

dz = PΔx+QΔy.

Функция, която има пълен диференциал в дадена точка, се нарича диференцируема в тази точка.

Теорема. Ако u=f(M)диференцируеми в точка M0, тогава тя е непрекъсната в него.

Коментирайте. Непрекъснатостта на функция на две променливи не предполага нейната диференцируемост.

Пример. непрекъснато в (0,0) , но няма частична производна - не съществува. По същия начин няма частична производна по отношение на г. Следователно функцията не е диференцируема.

Теорема [необходимо условие за диференцируемост]. Ако z=f(x,y)диференцируеми в точка M0, то има частични производни по отношение на хИ г, и

f′ x (x 0 ,y 0) = P, f′ y (x 0 , y 0) = Q.

Коментирайте. Диференцируемостта не следва от съществуването на частни производни. Пример:

Ние имаме , но функцията не е непрекъсната, следователно не е диференцируема.

Теорема [достатъчно условие за диференцируемост]. Ако първите частни производни на функциите z=f(x,y)са определени в някаква околност на точката M0 (x0,y0)и непрекъснато в точката M0, тогава дадената функция има пълен диференциал в тази точка.

Коментирайте. Ние имаме

Δ z \u003d f′ x (x 0, y 0)Δ x + f′ y (x 0, y 0)Δ y + ε Δρ,

Където ε→ 0 при Δρ→ 0 . следователно

f(x 0 +Δ x,y 0 +Δ y) - f(x 0,y 0) ≈ f′ x (x 0,y 0)Δ x + f′ y (x 0,y 0)Δ y

f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) ≈ f(x 0 ,y 0) + f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y.

Тази формула се използва при приблизителни изчисления.

На фиксирана ΔxИ Δyобщият диференциал е функция на променливите хИ г:

Да сложим dx=Δx, dy=Δyи наричаме тези количества диференциали на независими променливи.

Тогава получаваме формулата

тоест, общият диференциал на функция е равен на сумата от произведенията на първите частни производни и съответните диференциали на аргументите.

Общият диференциал на функция от три променливи се определя и изразява по подобен начин. Ако u=f(x, y, z)и има цифри П, Q, Ртакова, че

Δu = PΔx+QΔy+RΔz+εΔρ, ε→ 0при δρ→ 0 ,

тогава общият диференциал е изразът

du = PΔx+QΔy+RΔz.

Ако първите частични производни на тази функция са непрекъснати, тогава

Където dx=Δx, dz=Δz, dz=Δz.

Определение. Общият диференциал от втори ред на някаква функция е общият диференциал на нейния пълен диференциал.

Ако z=f(x,y), dz=z′ x dx+z′ y dy, Че

Допирателна равнина и нормала на повърхнина

Помислете за повърхността С, дадено от уравнението

z=f(x, y).

Позволявам f(x, y)има частични производни в някаква област. Обмисли M 0 (x 0, y 0).

- наклон на тангентата в точката M0към сечението на повърхността с равнината y=y0, тоест до линията z=f(x,y 0). Допирателната към тази права е:

z-z 0 \u003d f′ x (x 0, y 0) (x-x 0), y=y 0.

По същия начин разрез от равнина х=х0дава уравнението

z-z 0 =f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0), x=x 0.

Равнината, съдържаща двете от тези прави, има уравнението

z-z 0 \u003d f′ x (x 0, y 0)(x-x 0)+f′ y (x 0, y 0)(y-y 0)

и се нарича допирателна равнина към повърхността Св точката P 0 (x 0, y 0, z 0).

Имайте предвид, че уравнението на допирателната равнина може да бъде пренаписано като

z-z 0 =df.

Така геометричното значение на общия диференциал е: диференциалът в точка M0за увеличение (x-x 0, y-y 0)е нарастването на точката на приложение на допирателната равнина към повърхността z=f(x,y)в точката (x0, y0)за същите стъпки.

Допирателната равнина има нормален вектор в точката (x0, y0, z0) - \vec(n)=(f′ x (x 0 , y 0), f′ y (x 0 , y 0), -1). Права, минаваща през точка P0и има вектор на посоката \vec(n), се нарича нормала към повърхността z=f(x,y)в този момент. Нейните уравнения са: