Параметрично уравнение на права линия. Параметрично уравнение на права линия в пространството

Не пропускайте да прочетете този параграф!Параметричните уравнения, разбира се, не са алфата и омегата на пространствената геометрия, а работната мравка на много проблеми. Освен това този тип уравнения често се прилагат неочаквано и бих казал, елегантно.

Ако точката, принадлежаща на правата, и векторът на посоката на тази линия са известни, тогава параметричните уравнения на тази права се дават от системата:

За самото понятие за параметрични уравнения говорих в уроците Уравнение на права линия върху равнинаи Производна на параметрично дефинирана функция.

Всичко е по-просто от задушена ряпа, така че трябва да подправите задачата:

Пример 7

Решение: Правите са дадени от канонични уравнения и на първия етап трябва да се намери някаква точка, принадлежаща на правата и нейния вектор на посоката.

а) Премахнете точката и вектора на посоката от уравненията: . Можете да изберете друга точка (как да направите това е описано по-горе), но е по-добре да вземете най-очевидната. Между другото, за да избегнете грешки, винаги замествайте неговите координати в уравненията.

Нека съставим параметричните уравнения на тази права линия:

Удобството на параметричните уравнения е, че с тяхна помощ е много лесно да се намерят други точки от правата. Например, нека намерим точка, чиито координати, да речем, съответстват на стойността на параметъра:

По този начин:

б) Разгледайте каноничните уравнения. Изборът на точка тук е прост, но коварен: (внимавайте да не объркате координатите!!!). Как да извадя направляващ вектор? Можете да спорите на какво е успоредна тази права линия или можете да използвате прост формален трик: пропорцията е „y“ и „z“, така че пишем вектора на посоката и поставяме нула в оставащото пространство: .

Съставяме параметричните уравнения на правата линия:

в) Нека пренапишем уравненията във формата , тоест "Z" може да бъде всичко. И ако има, тогава нека, например, . Следователно точката принадлежи на тази права. За да намерим вектора на посоката, използваме следната формална техника: в началните уравнения има "x" и "y", а в вектора на посоката на тези места пишем нули: . На останалото място поставяме мерна единица: . Вместо едно, всяко число, с изключение на нула, ще свърши работа.

Записваме параметричните уравнения на правата линия:

За обучение:

Пример 8

Напишете параметрични уравнения за следните редове:

Решения и отговори в края на урока. Вашите отговори може леко да се различават от моите, факт е, че параметричните уравнения могат да бъдат записани по повече от един начин. Важно е вашият и моят вектори на посоката да са колинеарни и вашата точка да "съвпада" с моите уравнения (е, или обратно, моята точка с вашите уравнения).

Как иначе можете да дефинирате права линия в пространството? Бих искал да измисля нещо с нормален вектор. Числото обаче няма да работи, за космическа линия нормалните вектори могат да изглеждат в напълно различни посоки.

Друг метод вече беше споменат в урока Уравнение на равнинатаи в началото на тази статия.

В тази статия ще разгледаме параметричното уравнение на права линия в равнина. Нека да дадем примери за изграждане на параметрично уравнение на права линия, ако са известни две точки от тази права линия или ако са известни една точка и векторът на посоката на тази права линия. Нека представим методи за трансформиране на уравнение в параметрична форма в канонична и обща форма.

Параметрично уравнение на права линия Лна равнината се представя със следната формула:

(1)

където х 1 , г 1 координати на някаква точка М 1 по права линия Л. вектор q={м, стр) е векторът на посоката на линията Л, те някакъв параметър.

Имайте предвид, че при записване на уравнението на права линия в параметрична форма, насочващият вектор на правата линия не трябва да бъде нулев вектор, т.е. поне една координата на насочващия вектор qтрябва да е различен от нула.

За да се построи права линия върху равнина в декартова правоъгълна координатна система, дадена от параметрично уравнение (1), е достатъчно да се зададе параметъра тдве различни стойности, изчислете хи ги начертайте права линия през тези точки. В т=0 имаме точка М 1 (х 1 , г 1) при т=1, получаваме точка М 2 (х 1 +м, г 1 +стр).

Да се състави параметрично уравнение на права линия върху равнина Лдостатъчно е да има точка на линията Ли вектора на посоката на правата или две точки, принадлежащи на правата Л. В първия случай, за да построите параметрично уравнение на права линия, трябва да вмъкнете координатите на точката и вектора на посоката в уравнение (1). Във втория случай първо трябва да намерите вектора на посоката на линията q={м, стр), като се изчисляват разликите на съответните координати на точките М 1 и М 2: м=х 2 −х 1 , стр=г 2 −г 1 (фиг.1). Освен това, подобно на първия случай, заменете координатите на една от точките (няма значение коя) и вектора на посоката qправа линия в (1).

Пример 1. Права минава през точка М=(3,−1) и има вектор на посоката q=(−3, 5). Построете параметрично уравнение на права линия.

Решение. За да построим параметрично уравнение на права линия, ние заместваме координатите на точката и вектора на посоката в уравнение (1):

Нека опростим полученото уравнение:

От изрази (3) можем да напишем каноничното уравнение на права линия върху равнина:

Приведете това уравнение на права линия в канонична форма.

Решение: Изразете параметъра тчрез променливи хи г:

(5)

От изрази (5) можем да запишем.

ЪГЪЛ МЕЖДУ РАВНОСТИ

Нека разгледаме две равнини α 1 и α 2, дадени съответно от уравненията:

Под ъгълмежду две равнини имаме предвид един от двугранните ъгли, образувани от тези равнини. Очевидно е, че ъгълът между нормалните вектори и равнините α 1 и α 2 е равен на един от посочените съседни двугранни ъгли или . Така . Защото и , тогава

Пример.Определете ъгъла между равнините х+2г-3z+4=0 и 2 х+3г+z+8=0.

Условие за успоредност на две равнини.

Две равнини α 1 и α 2 са успоредни, ако и само ако техните нормални вектори и са успоредни, и следователно .

И така, две равнини са успоредни една на друга, ако и само ако коефициентите в съответните координати са пропорционални:

или

Условие на перпендикулярност на равнините.

Ясно е, че две равнини са перпендикулярни, ако и само ако техните нормални вектори са перпендикулярни и следователно, или .

По този начин, .

Примери.

ДИРЕКТНО В КОСМОСА.

ВЕКТОРНО УРАВНЕНИЕ ДИРЕКТНО.

ПАРАМЕТРИЧНИ УРАВНЕНИЯ ДИРЕКТНО

Положението на права линия в пространството се определя напълно чрез посочване на някоя от нейните неподвижни точки М 1 и вектор, успореден на тази права.

Нарича се вектор, успореден на права линия насочваневектора на тази линия.

Така че нека направо лпреминава през точка М 1 (х 1 , г 1 , z 1) лежаща на права линия, успоредна на вектора.

Помислете за произволна точка M(x,y,z)по права линия. От фигурата се вижда, че .

Векторите и са колинеарни, така че има такова число т, какво , къде е множителя тможе да приеме произволна числова стойност в зависимост от позицията на точката Мпо права линия. Фактор тсе нарича параметър. Обозначаване на радиус векторите на точките М 1 и Мсъответно, чрез и , Получаваме . Това уравнение се нарича векторуравнение на права линия. Показва, че стойността на всеки параметър тсъответства на радиус вектора на дадена точка Млежаща на права линия.

Записваме това уравнение в координатна форма. Забележи това , и от тук

Получените уравнения се наричат параметриченуравнения на права линия.

При промяна на параметъра тпромяна на координатите х, ги zи точка Мсе движи по права линия.

ДИРЕКТНИ КАНОНИЧНИ УРАВНЕНИЯ

Нека бъде М 1 (х 1 , г 1 , z 1) - точка, лежаща на права линия л, и е неговият вектор на посоката. Отново вземете произволна точка на права линия M(x,y,z)и разгледайте вектора.

Ясно е, че векторите и са колинеарни, така че съответните им координати трябва да са пропорционални, следователно

– канониченуравнения на права линия.

Забележка 1.Имайте предвид, че каноничните уравнения на линията могат да бъдат получени от параметричните уравнения чрез елиминиране на параметъра т. Наистина от параметричните уравнения получаваме или .

Пример.Напишете уравнението на права линия по параметричен начин.

Означете , следователно х = 2 + 3т, г = –1 + 2т, z = 1 –т.

Забележка 2.Нека линията е перпендикулярна на една от координатните оси, например оста вол. Тогава векторът на посоката на линията е перпендикулярен вол, следователно, м=0. Следователно параметричните уравнения на правата линия приемат формата

Елиминиране на параметъра от уравненията т, получаваме уравненията на правата линия във формата

Но и в този случай се съгласяваме да запишем официално каноничните уравнения на правата във формата . По този начин, ако знаменателят на една от дробите е нула, това означава, че правата е перпендикулярна на съответната координатна ос.

По същия начин, каноничните уравнения съответства на права линия, перпендикулярна на осите воли ойили успоредна ос Оз.

Примери.

ОБЩИ УРАВНЕНИЯ ПРЯКА ЛИНИЯ КАТО ЛИНИЯ НА ЗАСЕЧВАНЕ НА ДВЕ РАВНИНИ

През всяка права линия в пространството минава безкраен брой равнини. Всякакви две от тях, пресичащи се, го определят в пространството. Следователно, уравненията на всякакви две такива равнини, разгледани заедно, са уравненията на тази права.

Най-общо, всякакви две неуспоредни равнини, дадени от общите уравнения

определят тяхната пресечна линия. Тези уравнения се наричат общи уравненияправ.

Примери.

Построете права линия, дадена от уравнения

За да се построи права, е достатъчно да се намерят всякакви две от нейните точки. Най-лесният начин е да изберете точките на пресичане на правата с координатните равнини. Например пресечната точка с равнината xOyполучаваме от уравненията на права линия, като приемем z= 0:

Решавайки тази система, намираме точката М 1 (1;2;0).

По същия начин, ако приемем г= 0, получаваме точката на пресичане на правата с равнината xOz:

От общите уравнения на права линия може да се премине към нейните канонични или параметрични уравнения. За да направите това, трябва да намерите някаква точка М 1 на линията и вектора на посоката на линията.

Координати на точки М 1 получаваме от тази система от уравнения, давайки на една от координатите произволна стойност. За да намерите вектора на посоката, обърнете внимание, че този вектор трябва да е перпендикулярен на двата нормални вектора и . Следователно за вектора на посоката на правата линия лможете да вземете кръстосаното произведение на нормалните вектори:

Пример.Дайте общите уравнения на правата линия към каноничната форма.

Намерете точка на права линия. За да направите това, избираме произволно една от координатите, напр. г= 0 и решете системата от уравнения:

Нормалните вектори на равнините, определящи линията, имат координати Следователно векторът на посоката ще бъде прав

. следователно, л: .

ЪГЪЛ МЕЖДУ ПРЕС

ъгълмежду прави линии в пространството ще наречем всеки от съседните ъгли, образувани от две прави линии, начертани през произволна точка, успоредна на данните.

Нека в пространството са дадени две прави:

Очевидно ъгълът φ между линиите може да се приеме като ъгъл между техните вектори на посоката и . Тъй като , Тогава според формулата за косинуса на ъгъла между векторите получаваме

Една от подточките на темата „Уравнението на права линия върху равнина” е въпросът за съставяне на параметрични уравнения на права линия върху равнина в правоъгълна координатна система. Статията по-долу обсъжда принципа на съставяне на такива уравнения за определени известни данни. Нека покажем как да преминем от параметрични уравнения към уравнения с различна форма; Нека анализираме решението на типични проблеми.

Конкретна линия може да бъде дефинирана чрез посочване на точка, която принадлежи на тази линия, и вектор на посоката за линията.

Да предположим, че ни е дадена правоъгълна координатна система O x y . И също така е дадена правата линия a, указваща точката M 1, лежаща върху нея (x 1, y 1) и вектора на посоката на дадената права линия a → = (a x , a y) . Даваме описание на дадения ред a с помощта на уравнения.

Използваме произволна точка M (x, y) и получаваме вектор M 1 M →; изчислете координатите му от координатите на началната и крайната точки: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Нека опишем резултата: правата е дадена от набор от точки M (x, y), минава през точка M 1 (x 1, y 1) и има вектор на посоката a → = (a x , a y) . Посоченото множество дефинира права линия само когато векторите M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) и a → = (a x , a y) са колинеарни.

Съществува необходимо и достатъчно условие за колинеарност на векторите, което в този случай за векторите M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) и a → = (a x , a y) може да се запише като уравнение:

M 1 M → = λ · a → , където λ е някакво реално число.

Определение 1

Уравнението M 1 M → = λ · a → се нарича векторно-параметрично уравнение на правата.

В координатна форма изглежда така:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Уравненията на получената система x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ се наричат параметрични уравнения на права линия върху равнина в правоъгълна координатна система. Същността на името е следната: координатите на всички точки от линията могат да бъдат определени чрез параметрични уравнения на равнината на формата x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ при повторение на всички реални стойности на параметъра λ

Съгласно горното, параметричните уравнения на права линия в равнината x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ определят права линия, която е дадена в правоъгълна координатна система, минава през точка M 1 (x 1, y 1) и има направляващ вектор a → = (a x , a y) . Следователно, ако са дадени координатите на определена точка от правата линия и координатите на нейния насочващ вектор, тогава е възможно незабавно да се запишат параметричните уравнения на дадената права линия.

Пример 1

Необходимо е да се съставят параметрични уравнения на права линия върху равнина в правоъгълна координатна система, ако са дадени принадлежащата й точка M 1 (2, 3) и нейният вектор на посоката a → = (3 , 1) .

Решение

Въз основа на първоначалните данни получаваме: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1. Параметричните уравнения ще изглеждат така:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Нека ясно илюстрираме:

Отговор: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Трябва да се отбележи: ако векторът a → = (a x , a y) служи като насочващ вектор на правата линия a, а точките M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2) принадлежат на тази права, тогава тя може да се определи чрез задаване на параметрични уравнения от вида : x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , както и тази опция: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .

Например ни е даден насочващ вектор на права линия a → \u003d (2, - 1), както и точки M 1 (1, - 2) и M 2 (3, - 3), принадлежащи на тази права. Тогава правата линия се определя от параметрични уравнения: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ или x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .

Трябва да се обърне внимание и на следния факт: ако a → = (a x , a y) е насочващият вектор на правата a , то всеки от векторите ще бъде и негов насочващ вектор μ a → = (μ a x , μ a y) , където μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Така права линия a върху равнина в правоъгълна координатна система може да бъде дефинирана чрез параметрични уравнения: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ за всяка стойност на μ, която е различна от нула.

Да предположим, че правата a е дадена от параметричните уравнения x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ . Тогава a → = (2 , - 5) - вектор на посоката на тази линия. И също така всеки от векторите μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 ще стане вектор на посоката за дадената права линия. За по-голяма яснота помислете за конкретен вектор - 2 · a → = (- 4 , 10) , той съответства на стойността μ = - 2 . В този случай дадената права линия може да се определи и от параметричните уравнения x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ .

Преход от параметрични уравнения на права линия на равнина към други уравнения на дадена права линия и обратно

При решаването на някои проблеми използването на параметрични уравнения не е най-оптималната опция, тогава става необходимо да се преведат параметричните уравнения на права линия в уравнения на права линия от различен тип. Да видим как да го направим.

Параметричните уравнения на правата линия x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ще съответстват на каноничното уравнение на правата линия на равнината x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Решаваме всяко от параметричните уравнения по отношение на параметъра λ, приравняваме десните части на получените равенства и получаваме каноничното уравнение на дадената права линия:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

В този случай не трябва да е неудобно, ако a x или a y ще бъдат равни на нула.

Пример 2

Необходимо е да се извърши прехода от параметричните уравнения на правата x = 3 y = - 2 - 4 · λ към каноничното уравнение.

Решение

Записваме дадените параметрични уравнения в следния вид: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ

Изразяваме параметъра λ във всяко от уравненията: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Приравняваме правилните части на системата от уравнения и получаваме необходимото канонично уравнение на права линия в равнината:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Отговор: x - 3 0 = y + 2 - 4

В случай, когато е необходимо да се запише уравнението на правата от вида A x + B y + C = 0 , докато са дадени параметричните уравнения на правата линия в равнината, е необходимо първо да се направи преход към каноничното уравнение и след това към общото уравнение на правата линия. Нека запишем цялата последователност от действия:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Пример 3

Необходимо е да се запише общото уравнение на права линия, ако са дадени определящите го параметрични уравнения: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ

Решение

Първо, нека направим прехода към каноничното уравнение:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Получената пропорция е идентична с равенството - 3 · (x + 1) = 2 · y. Да отворим скобите и да получим общото уравнение на правата линия: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Отговор: 3x + 2y + 3 = 0

Следвайки горната логика на действията, за да се получи уравнение на права линия с наклон, уравнение на права линия на сегменти или нормално уравнение на права линия, е необходимо да се получи общото уравнение на права линия , а от него да се извърши по-нататъшен преход.

Сега разгледайте обратното действие: напишете параметричните уравнения на права линия за различна дадена форма на уравненията на тази права линия.

Най-лесният преход: от каноничното уравнение към параметричните. Нека е дадено каноничното уравнение на вида: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Приемаме всяко от отношенията на това равенство равно на параметъра λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Нека решим получените уравнения за променливите x и y:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Пример 4

Необходимо е да се запишат параметричните уравнения на правата линия, ако е известно каноничното уравнение на правата линия в равнината: x - 2 5 = y - 2 2

Решение

Нека приравним частите от известното уравнение към параметъра λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . От полученото равенство получаваме параметричните уравнения на правата линия: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Отговор: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Когато е необходимо да се направи преход към параметрични уравнения от дадено общо уравнение на права линия, уравнение на права линия с наклон или уравнение на права линия на отсечки, е необходимо първоначалното уравнение да се доведе до каноничен и след това направете преход към параметрични уравнения.

Пример 5

Необходимо е да се запишат параметричните уравнения на правата линия с известното общо уравнение на тази права линия: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

Решение

Преобразуваме даденото общо уравнение в уравнение с канонична форма:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Приравняваме двете части на равенството към параметъра λ и получаваме необходимите параметрични уравнения на правата линия:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Отговор: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Примери и задачи с параметрични уравнения на права линия върху равнина

Нека разгледаме най-често срещаните типове задачи, използвайки параметрични уравнения на права линия върху равнина в правоъгълна координатна система.

В задачите от първия тип се дават координатите на точките, независимо дали принадлежат на права линия, описана с параметрични уравнения.

Решаването на такива задачи се основава на следния факт: числата (x, y), определени от параметричните уравнения x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ за някаква реална стойност λ, са координатите на a точка, принадлежаща на правата линия, която е описана с тези параметрични уравнения.

Пример 6

Необходимо е да се определят координатите на точка, която лежи върху права, дадена от параметричните уравнения x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ за λ = 3 .

Решение

Заместваме известната стойност λ = 3 в дадените параметрични уравнения и изчисляваме необходимите координати: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Отговор: 1 1 2 , 5

Възможен е и следният проблем: нека дадена точка M 0 (x 0, y 0) е дадена на равнина в правоъгълна координатна система и е необходимо да се определи дали тази точка принадлежи на правата, описана от параметричните уравнения x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ .

За да се реши такава задача, е необходимо координатите на дадена точка да се заменят в известните параметрични уравнения на права линия. Ако се установи, че е възможна такава стойност на параметъра λ = λ 0, при която и двете параметрични уравнения са верни, то дадената точка принадлежи на дадената права линия.

Пример 7

Дадени са точки M 0 (4, - 2) и N 0 (- 2, 1). Необходимо е да се определи дали принадлежат на правата линия, дефинирана от параметричните уравнения x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

Решение

Заместваме координатите на точка M 0 (4, - 2) в дадените параметрични уравнения:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Заключаваме, че точката M 0 принадлежи на дадена права, т.к съответства на стойността λ = 2 .

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Очевидно е, че няма такъв параметър λ, на който да отговаря точката N 0. С други думи, дадената права не минава през точката N 0 (- 2 , 1) .

Отговор:точка M 0 принадлежи на дадена права; точката N 0 не принадлежи на дадената права.

При задачи от втория тип се изисква съставяне на параметрични уравнения на права линия върху равнина в правоъгълна координатна система. Най-простият пример за такъв проблем (с известни координати на точката на линията и вектора на посоката) беше разгледан по-горе. Сега нека разгледаме примери, в които първо трябва да намерите координатите на вектора на посоката и след това да запишете параметричните уравнения.

Пример 8

Дадена е точка M 1 1 2 , 2 3. Необходимо е да се съставят параметрични уравнения на права линия, минаваща през тази точка, и успоредна права линия x 2 \u003d y - 3 - 1.

Решение

Според условието на задачата правата линия, чието уравнение трябва да изпреварим, е успоредна на правата x 2 \u003d y - 3 - 1. Тогава като насочващ вектор на права линия, преминаваща през дадена точка, е възможно да се използва насочващият вектор на права x 2 = y - 3 - 1, който записваме във вида: a → = (2, - 1) . Сега са известни всички необходими данни, за да се съставят желаните параметрични уравнения:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

Отговор: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ .

Пример 9

Дадена е точка M 1 (0, - 7). Необходимо е да се напишат параметричните уравнения на права линия, минаваща през тази точка перпендикулярно на правата 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Решение

Като насочващ вектор на правата линия, чието уравнение трябва да се състави, е възможно да се вземе нормален вектор на правата линия 3 x - 2 y - 5 = 0 . Координатите му са (3 , - 2) . Записваме необходимите параметрични уравнения на правата линия:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Отговор: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

При задачи от третия тип се изисква да се извърши преход от параметрични уравнения на дадена права линия към други видове уравнения, които я определят. Разгледахме решението на такива примери по-горе, ще дадем още един.

Пример 10

Дадена е права линия върху равнина в правоъгълна координатна система, дефинирана от параметричните уравнения x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . Необходимо е да се намерят координатите на някакъв нормален вектор на тази права.

Решение

За да определим желаните координати на нормалния вектор, ще направим прехода от параметрични уравнения към общото уравнение:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Коефициентите на променливите x и y ни дават необходимите координати на нормалния вектор. По този начин, нормалният вектор на правата x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ има координати 1 , 3 4 .

Отговор: 1 , 3 4 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Нека бъде л- малко пространство. Както в планиметрията, всеки вектор

а =/= 0, колинеарна права линия л, е наречен направляващ вектортази права линия.

Положението на права линия в пространството се определя напълно чрез задаване на вектор на посока и точка, принадлежаща на правата линия.

Нека линията лс направляващ вектор а минава през точката M 0 , а M е произволна точка в пространството. Очевидно точката M (фиг. 197) принадлежи на правата лако и само ако векторът $\overrightarrow(M_0 M)$ е колинеарен на вектора а , т.е.

$\стрелка наддясно(M_0 M)$ = т а , т$\в$ Р. (1)

Ако точките M и M 0 са дадени от техните радиус вектори r и r 0 (фиг. 198) по отношение на някаква точка O от пространството, тогава $\overrightarrow(M_0 M)$ = r - r 0 , а уравнението (1) приема формата

r = r 0 + т а , т$\в$ Р. (2)

Уравнения (1) и (2) се наричат векторно-параметрични уравнения на права линия. Променлива твъв векторно-параметричните уравнения се нарича права линия параметър.

Нека точката M 0 е права линия ли вектор на посока a са дадени от техните координати:

M 0 ( х 0 ; в 0 , z 0), а = (а 1 ; а 2 ; а 3).

Тогава ако ( Х; y; z) - координати на произволна точка M от правата л, тогава

$\стрелка наддясно(M_0 M) $ = ( х - х 0 ; u - u 0 ; z - z 0)

и векторното уравнение (1) е еквивалентно на следните три уравнения:

х - х 0 = та 1 , u - u 0 = та 2 , z - z 0 = та 3

$$ \begin(case) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end(случаи) (3)$$

Уравнения (3) се наричат параметрични уравнения на правата линия в космоса.

Задача 1.Напишете параметричните уравнения на права линия, минаваща през точка

M 0 (-3; 2; 4) и има вектор на посоката а = (2; -5; 3).

В такъв случай х 0 = -3, в 0 = 2, z 0 = 4; а 1 = 2; а 2 = -5; а 3 = 3. Замествайки тези стойности във формули (3), получаваме параметричните уравнения на тази права линия

$$ \begin(случаи) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, \;\;t\in R\end(случаи) $$

Изключете параметъра тот уравнения (3). Това може да се направи, защото а =/= 0 и следователно една от координатите на вектора а очевидно различно от нулата.

Първо, нека всички координати са различни от нула. Тогава

$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$

и следователно

$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4)$$

Тези уравнения се наричат канонични уравнения на правата .

Забележете, че уравнения (4) образуват система от две уравнения с три променливи x, yи z.

Ако в уравнения (3) една от координатите на вектора а , Например а 1 е равно на нула, тогава, с изключение на параметъра т, отново получаваме система от две уравнения с три променливи x, yи z:

$x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)$

Тези уравнения се наричат още канонични уравнения на правата. За еднородност те също се записват условно във вида (4)

$\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)$

като се има предвид, че ако знаменателят е равен на нула, тогава съответният числител е равен на нула. Тези уравнения са уравнения на права линия, минаваща през точка M 0 ( х 0 ; в 0 , z 0) успоредна на координатната равнина йОз, тъй като тази равнина е успоредна на нейния вектор на посоката (0; а 2 ; а 3).

И накрая, ако в уравнения (3) две координати на вектора а , Например а 1 и а 2 са равни на нула, тогава тези уравнения приемат формата

х = х 0 , г = в 0 , z = z 0 + т а 3 , т$\в$ Р.

Това са уравненията на права линия, минаваща през точка M 0 ( х 0 ; в 0 ; z 0) успоредно на оста Оз. За такъв директен х = х 0 , г = в 0 , а z- произволно число. И в този случай, за еднородност, уравненията на права линия могат да бъдат записани (със същата резерва) във вида (4)

$\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)$

По този начин за всяка права в пространството може да се напишат канонични уравнения (4) и, обратно, всяко уравнение от вида (4), при условие че поне един от коефициентите а 1 , а 2 , а 3 не е равно на нула, дефинира някаква линия на пространството.

Задача 2.Напишете каноничните уравнения на права линия, минаваща през точката M 0 (- 1; 1, 7), успоредна на вектора а = (1; 2; 3).

Уравнения (4) в този случай се записват, както следва:

$\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)$

Нека изведем уравненията на права линия, минаваща през две дадени точки M 1 ( х 1 ; в 1 ; z 1) и

M2( х 2 ; в 2 ; z 2). Очевидно е, че векторът на посоката на тази линия може да се приеме за вектор а = (х 2 - х 1 ; в 2 - в 1 ; z 2 - z 1), но отвъд точката M 0, през която минава правата, например точката M 1 . Тогава уравнения (4) ще бъдат записани, както следва:

$\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)$ (5)

Това са уравненията на права линия, минаваща през две точки M 1 ( х 1 ; в 1 ; z 1) и

M2( х 2 ; в 2 ;z 2).

Задача 3.Напишете уравненията на права линия, минаваща през точките M 1 (-4; 1; -3) и M 2 (-5; 0; 3).

В такъв случай х 1 = -4, в 1 = 1, z 1 = -3, х 2 = -5, в 2 = 0, z 2 = 3. Замествайки тези стойности във формули (5), получаваме

$\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)$

Задача 4.Напишете уравненията на права линия, минаваща през точките M 1 (3; -2; 1) и

М2 (5; -2; 1/2).

След заместване на координатите на точките M 1 и M 2 в уравнения (5), получаваме

$\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))$