Параметрично уравнение на права. Параметрично уравнение на права в пространството

Не пропускайте да прочетете този параграф!Параметричните уравнения, разбира се, не са алфата и омегата на пространствената геометрия, а работещата мравка на много проблеми. Освен това този тип уравнения често се използват неочаквано и, бих казал, елегантно.

Ако точката, принадлежаща на права, и векторът на посоката на тази права са известни, тогава параметричните уравнения на тази права се дават от системата:

Говорих за самата концепция на параметричните уравнения в клас Уравнение на права на равнинаИ Производна на параметрично дефинирана функция.

Всичко е по-просто от задушената ряпа, така че ще трябва да подправите проблема:

Пример 7

Решение: Линиите са дадени чрез канонични уравнения и на първия етап трябва да намерите някаква точка, принадлежаща на правата и нейния насочен вектор.

а) От уравненията премахваме точката и насочващия вектор: . Можете да изберете друга точка (как да направите това е описано по-горе), но е по-добре да вземете най-очевидната. Между другото, за да избегнете грешки, винаги замествайте координатите му в уравненията.

Нека създадем параметрични уравнения за този ред:

Удобството на параметричните уравнения е, че те правят много лесно намирането на други точки на права. Например, нека намерим точка, чиито координати, да речем, съответстват на стойността на параметъра:

По този начин:

б) Разгледайте каноничните уравнения. Изборът на точка тук не е труден, но коварен: (внимавайте да не объркате координатите!!!). Как да премахнете водещия вектор? Можете да спекулирате на какво е успоредна тази линия или можете да използвате проста формална техника: пропорцията съдържа „Y“ и „Z“, така че записваме вектора на посоката и поставяме нула в оставащото пространство: .

Нека съставим параметричните уравнения на правата:

в) Нека пренапишем уравненията във формата , тоест „zet“ може да бъде всичко. И ако от някой, тогава нека, например,. Следователно точката принадлежи на тази права. За да намерим вектора на посоката, използваме следната формална техника: в оригиналните уравнения има "x" и "y", а във вектора на посоката на тези места пишем нули: . В останалото пространство поставяме мерна единица: . Вместо едно, всяко число освен нула ще свърши работа.

Нека напишем параметричните уравнения на правата линия:

За обучение:

Пример 8

Съставете параметрични уравнения на следните прави:

Решения и отговори в края на урока. Отговорите, които получавате, може да се различават леко от моите отговори, това е важното параметричните уравнения могат да бъдат записани по повече от един начин. Важно е вашите и моите насочващи вектори да са колинеарни и вашата точка да „пасва“ на моите уравнения (е, или обратното, моята точка да пасва на вашите уравнения).

Как иначе можете да определите права линия в пространството? Бих искал да измисля нещо с нормалния вектор. Числото обаче няма да работи; нормалните вектори на една пространствена линия могат да изглеждат в напълно различни посоки.

Друг метод вече беше споменат в урока. Уравнение на равнинатаи в началото на тази статия.

В тази статия ще разгледаме параметричното уравнение на права линия в равнина. Нека дадем примери за конструиране на параметрично уравнение на права, ако са известни две точки от тази права или ако са известни една точка и векторът на посоката на тази линия. Нека представим методи за трансформиране на уравнение в параметрична форма в канонична и обща форма.

Параметрично уравнение на права Лна равнината се представя със следната формула:

Където х 1 , г 1 координати на някаква точка М 1 на правата Л. вектор р={м, стр) е векторът на посоката на правата Л, T− някакъв параметър.

Имайте предвид, че когато записвате уравнението на права линия в параметрична форма, насочващият вектор на правата линия не трябва да бъде нулев вектор, т.е. поне една координата на насочващия вектор ртрябва да е различно от нула.

За да се построи права линия в равнина в декартова правоъгълна координатна система, зададена от параметричното уравнение (1), е достатъчно да зададете параметъра Tдве различни стойности, изчислете хИ ги начертайте права линия през тези точки. При T=0 имаме точка М 1 (х 1 , г 1) при T=1, получаваме точка М 2 (х 1 +м, г 1 +стр).

Да се ​​състави параметрично уравнение на права върху равнина Лдостатъчно е да има точка на права линия Ли насочващ вектор на права или две точки, принадлежащи на права Л. В първия случай, за да съставите параметрично уравнение на права линия, трябва да вмъкнете координатите на точката и вектора на посоката в уравнение (1). Във втория случай първо трябва да намерите насочващия вектор на линията р={м, стр), изчисляване на разликите между съответните координати на точките М 1 и М 2: м=х 2 −х 1 , стр=г 2 −г 1 (фиг. 1). След това, подобно на първия случай, заменете координатите на една от точките (няма значение коя) и вектора на посоката рправа линия в (1).

Пример 1. Права линия минава през точка М=(3,−1) и има насочен вектор р=(−3, 5). Да се ​​състави параметрично уравнение на права линия.

Решение. За да съставим параметрично уравнение на права линия, заместваме координатите на точката и вектора на посоката в уравнение (1):

Нека опростим полученото уравнение:

От изрази (3) можем да напишем каноничното уравнение на права линия в равнина:

Приведете това уравнение на права линия в канонична форма.

Решение: Изразете параметъра Tчрез променливи хИ г:

(5)

От изрази (5) можем да запишем:

ЪГЪЛ МЕЖДУ РАВНОСТИТЕ

Разгледайте две равнини α 1 и α 2, определени съответно от уравненията:

Под ъгълмежду две равнини ще разберем един от двустенните ъгли, образувани от тези равнини. Очевидно е, че ъгълът между нормалните вектори и равнините α 1 и α 2 е равен на един от посочените съседни двустенни ъгли или . Ето защо . защото И , Че

.

Пример.Определете ъгъла между равнините х+2г-3z+4=0 и 2 х+3г+z+8=0.

Условие за успоредност на две равнини.

Две равнини α 1 и α 2 са успоредни тогава и само ако техните нормални вектори са успоредни и следователно .

И така, две равнини са успоредни една на друга тогава и само ако коефициентите на съответните координати са пропорционални:

или

Условие за перпендикулярност на равнините.

Ясно е, че две равнини са перпендикулярни тогава и само ако техните нормални вектори са перпендикулярни и следователно, или .

По този начин, .

Примери.

ПРАВО В ПРОСТРАНСТВОТО.

ВЕКТОРНО УРАВНЕНИЕ ЗА ЛИНИЯ.

ПАРАМЕТРИЧНИ ДИРЕКТНИ УРАВНЕНИЯ

Позицията на линия в пространството се определя напълно чрез определяне на която и да е от нейните фиксирани точки М 1 и вектор, успореден на тази права.

Вектор, успореден на права, се нарича водачивектор на тази линия.

Така че нека правата линия лминава през точка М 1 (х 1 , г 1 , z 1), лежащ на права, успоредна на вектора.

Да разгледаме произволна точка M(x,y,z)на права линия. От фигурата става ясно, че .

Векторите и са колинеарни, така че има такова число T, какво , къде е множителят Tможе да приеме произволна цифрова стойност в зависимост от позицията на точката Мна права линия. Фактор Tнаречен параметър. След като посочи радиус векторите на точките М 1 и Мсъответно, чрез и , получаваме . Това уравнение се нарича векторуравнение на права линия. Показва, че за всяка стойност на параметъра Tсъответства на радиус вектора на някаква точка М, лежащ на права линия.

Нека напишем това уравнение в координатна форма. Забележи това , и от тук

Получените уравнения се наричат параметриченуравнения на права линия.

При промяна на параметър Tпромяна на координатите х, гИ zи точка Мсе движи по права линия.

КАНОНИЧНИ УРАВНЕНИЯ НА ДИРЕКТНОТО

Позволявам М 1 (х 1 , г 1 , z 1) – точка, лежаща на права линия л, И е неговият вектор на посоката. Нека отново вземем произволна точка от правата M(x,y,z)и разгледайте вектора.

Ясно е, че векторите също са колинеарни, така че съответните им координати трябва да бъдат пропорционални, следователно,

– канониченуравнения на права линия.

Бележка 1.Обърнете внимание, че каноничните уравнения на линията могат да бъдат получени от параметричните чрез елиминиране на параметъра T. Наистина, от параметричните уравнения, които получаваме или .

Пример.Запишете уравнението на правата в параметрична форма.

Нека обозначим , оттук х = 2 + 3T, г = –1 + 2T, z = 1 –T.

Бележка 2.Нека правата е перпендикулярна на една от координатните оси, например оста вол. Тогава векторът на посоката на правата е перпендикулярен вол, следователно, м=0. Следователно параметричните уравнения на линията ще приемат формата

Изключване на параметъра от уравненията T, получаваме уравненията на линията във формата

Но и в този случай се съгласяваме официално да запишем каноничните уравнения на правата във формата . Така, ако знаменателят на една от дробите е нула, това означава, че правата е перпендикулярна на съответната координатна ос.

Подобно на каноничните уравнения съответства на права линия, перпендикулярна на осите волИ Ойили успоредно на оста Оз.

Примери.

ОБЩИ УРАВНЕНИЯ НА ПРАВА КАТО ПРЕСЕЧНИ ЛИНИИ НА ДВЕ РАВНИНИ

През всяка права линия в пространството има безброй равнини. Всякакви две от тях, пресичащи се, го определят в пространството. Следователно уравненията на всеки две такива равнини, разглеждани заедно, представляват уравненията на тази права.

Като цяло, всеки две неуспоредни равнини, дадени от общите уравнения

определете правата линия на тяхното пресичане. Тези уравнения се наричат общи уравненияправ.

Примери.

Построете линия, дадена от уравненията

За да се построи права линия, е достатъчно да се намерят произволни две нейни точки. Най-лесният начин е да изберете точките на пресичане на права линия с координатни равнини. Например точката на пресичане с равнината xOyполучаваме от уравненията на правата линия, като приемем z= 0:

След като решихме тази система, намираме точката М 1 (1;2;0).

По същия начин, ако приемем г= 0, получаваме пресечната точка на правата с равнината xOz:

От общите уравнения на права линия може да се премине към нейните канонични или параметрични уравнения. За да направите това, трябва да намерите някаква точка М 1 на права линия и вектора на посоката на права линия.

Координати на точки М 1 получаваме от тази система от уравнения, давайки на една от координатите произволна стойност. За да намерите вектора на посоката, имайте предвид, че този вектор трябва да е перпендикулярен и на двата нормални вектора И . Следователно отвъд вектора на посоката на правата линия лможете да вземете векторното произведение на нормалните вектори:

.

Пример.Дайте общи уравнения на правата към каноничната форма.

Нека намерим точка, лежаща на права. За да направите това, избираме произволно една от координатите, например г= 0 и решете системата от уравнения:

Нормалните вектори на равнините, определящи правата, имат координати Следователно векторът на посоката ще бъде прав

. следователно л: .

ЪГЪЛ МЕЖДУ ПРАВИТЕ

Ъгълмежду прави линии в пространството ще наречем всеки от съседните ъгли, образувани от две прави линии, прекарани през произволна точка, успоредна на данните.

Нека в пространството са дадени два реда:

Очевидно ъгълът φ между прави линии може да се приеме като ъгъл между техните насочващи вектори и . Тъй като , тогава използвайки формулата за косинус на ъгъла между векторите, получаваме

Една от подточките на темата „Уравнение на права на равнина“ е въпросът за съставяне на параметрични уравнения на права на равнина в правоъгълна координатна система. Статията по-долу обсъжда принципа на съставяне на такива уравнения при определени известни данни. Ще покажем как да преминем от параметрични уравнения към уравнения от различен тип; Нека разгледаме решаването на типични проблеми.

Конкретна линия може да бъде дефинирана чрез указване на точка, която принадлежи на тази линия, и насочващ вектор на линията.

Да кажем, че ни е дадена правоъгълна координатна система O x y. И също така е дадена права линия a, указваща точката M 1, разположена върху нея (x 1, y 1) и вектора на посоката на дадената права линия a → = (a x, a y) . Нека дадем описание на дадената права линия a с помощта на уравнения.

Използваме произволна точка M (x, y) и получаваме вектор M 1 M → ; Нека изчислим неговите координати от координатите на началната и крайната точка: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1). Нека опишем какво получихме: права линия се определя от набор от точки M (x, y), минава през точката M 1 (x 1, y 1) и има насочващ вектор a → = (a x, a y) . Това множество дефинира права линия само когато векторите M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) и a → = (a x, a y) са колинеарни.

Съществува необходимо и достатъчно условие за колинеарност на векторите, което в този случай за векторите M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) и a → = (a x, a y) може да се запише като уравнение:

M 1 M → = λ · a → , където λ е някакво реално число.

Определение 1

Уравнението M 1 M → = λ · a → се нарича векторно-параметрично уравнение на правата.

В координатна форма изглежда така:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Уравненията на получената система x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ се наричат ​​параметрични уравнения на права линия върху равнина в правоъгълна координатна система. Същността на името е следната: координатите на всички точки на права линия могат да бъдат определени чрез параметрични уравнения на равнина от вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ чрез изброяване на всички реални стойности на параметъра λ

Съгласно горното, параметричните уравнения на права линия в равнината x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ определят права линия, която е определена в правоъгълна координатна система, минаваща през точката M 1 (x 1, y 1) и има водещ вектор a → = (a x, a y) . Следователно, ако са дадени координатите на определена точка на линия и координатите на нейния вектор на посоката, тогава е възможно веднага да се запишат параметричните уравнения на дадена линия.

Пример 1

Необходимо е да се съставят параметрични уравнения на права линия в равнина в правоъгълна координатна система, ако са дадени принадлежащата към нея точка M 1 (2, 3) и нейният насочващ вектор a → = (3 , 1) .

Решение

Въз основа на първоначалните данни получаваме: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1. Параметричните уравнения ще изглеждат така:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Нека ясно илюстрираме:

Отговор: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Трябва да се отбележи: ако векторът a → = (a x , a y) служи като насочващ вектор на права линия a и точките M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2) принадлежат на тази права, тогава тя може да бъде определена чрез определяне на параметрични уравнения от формата: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , както и този вариант: x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ .

Например, даден ни е насочващ вектор на права линия a → = (2, - 1), както и точките M 1 (1, - 2) и M 2 (3, - 3), принадлежащи на тази права. Тогава правата линия се определя от параметричните уравнения: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ или x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ.

Трябва да обърнете внимание и на следния факт: ако a → = (a x, a y) е насочващият вектор на линия a, тогава всеки от векторите ще бъде нейният насочващ вектор μ · a → = (μ · a x , μ · a y) , където μ ϵ R , μ ≠ 0 .

По този начин, права линия a на равнина в правоъгълна координатна система може да се определи чрез параметрични уравнения: x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ за всяка стойност на μ, различна от нула.

Да кажем, че права линия a е дадена от параметричните уравнения x = 3 + 2 · λ y = - 2 - 5 · λ. Тогава a → = (2 , - 5) - векторът на посоката на тази права линия. Освен това всеки от векторите μ · a → = (μ · 2, μ · - 5) = 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 ще стане водещ вектор за дадена права линия. За по-голяма яснота, помислете за конкретен вектор - 2 · a → = (- 4, 10), той съответства на стойността μ = - 2. В този случай дадената права може да се определи и от параметричните уравнения x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ.

Преход от параметрични уравнения на права върху равнина към други уравнения на дадена права и обратно

При решаването на някои проблеми използването на параметрични уравнения не е най-оптималният вариант, тогава има нужда да се преведат параметричните уравнения на права линия в уравнения на права линия от различен тип. Нека да разгледаме как да направим това.

Параметричните уравнения на права линия във формата x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ще съответстват на каноничното уравнение на права линия в равнината x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Нека разрешим всяко от параметричните уравнения по отношение на параметъра λ, приравняваме десните части на получените равенства и получаваме каноничното уравнение на дадената права линия:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

В този случай не трябва да е объркващо, ако x или y са равни на нула.

Пример 2

Необходимо е да се направи преход от параметричните уравнения на правата x = 3 y = - 2 - 4 · λ към каноничното уравнение.

Решение

Нека запишем дадените параметрични уравнения в следния вид: x = 3 + 0 · λ y = - 2 - 4 · λ

Нека изразим параметъра λ във всяко от уравненията: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Нека приравним десните части на системата от уравнения и да получим търсеното канонично уравнение на права линия в равнината:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Отговор: x - 3 0 = y + 2 - 4

В случай, че е необходимо да се напише уравнение на права от формата A x + B y + C = 0 и са дадени параметрични уравнения на права на равнина, е необходимо първо да се направи преходът към каноничния уравнение, а след това към общото уравнение на правата. Нека запишем цялата последователност от действия:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Пример 3

Необходимо е да се запише общото уравнение на права линия, ако са дадени параметричните уравнения, които го определят: x = - 1 + 2 · λ y = - 3 · λ

Решение

Първо, нека направим прехода към каноничното уравнение:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Получената пропорция е идентична с равенството - 3 · (x + 1) = 2 · y. Нека отворим скобите и да получим общото уравнение на правата: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0.

Отговор: 3 x + 2 y + 3 = 0

Следвайки горната логика на действията, за да се получи уравнението на права с ъглов коефициент, уравнението на права в сегменти или нормалното уравнение на права, е необходимо да се получи общото уравнение на правата, а след това извършете по-нататъшен преход от него.

Сега разгледайте обратното действие: писане на параметрични уравнения на права с различна дадена форма на уравненията на тази права.

Най-простият преход: от канонично уравнение към параметрично. Нека е дадено канонично уравнение от вида: x - x 1 a x = y - y 1 a y. Нека приемем, че всяко от отношенията на това равенство е равно на параметъра λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Нека решим получените уравнения за променливите x и y:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Пример 4

Необходимо е да се запишат параметричните уравнения на правата, ако е известно каноничното уравнение на правата в равнината: x - 2 5 = y - 2 2

Решение

Нека приравним частите на известното уравнение към параметъра λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ. От полученото равенство получаваме параметричните уравнения на правата: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Отговор: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Когато е необходимо да се направи преход към параметрични уравнения от дадено общо уравнение на права, уравнение на права с ъглов коефициент или уравнение на права в сегменти, е необходимо първоначалното уравнение да се доведе до канонично едно и след това направете преход към параметрични уравнения.

Пример 5

Необходимо е да се запишат параметричните уравнения на линия с известно общо уравнение на тази линия: 4 x - 3 y - 3 = 0.

Решение

Нека трансформираме даденото общо уравнение в уравнение с канонична форма:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Нека приравним двете страни на равенството към параметъра λ и да получим необходимите параметрични уравнения на правата:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Отговор: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Примери и задачи с параметрични уравнения на права върху равнина

Нека разгледаме най-често срещаните типове задачи, използващи параметрични уравнения на права върху равнина в правоъгълна координатна система.

1. В задачите от първия тип се задават координатите на точките, независимо дали те принадлежат на права, описана с параметрични уравнения.

Решението на такива проблеми се основава на следния факт: числата (x, y), определени от параметричните уравнения x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ за някаква реална стойност λ, са координатите на точка, принадлежаща на правата, която е описана с тези параметрични уравнения.

Пример 6

Необходимо е да се определят координатите на точка, която лежи на права, зададена от параметричните уравнения x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ за λ = 3.

Решение

Нека заместим известната стойност λ = 3 в дадените параметрични уравнения и изчислим необходимите координати: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Отговор: 1 1 2 , 5

Възможна е и следната задача: нека дадена точка M 0 (x 0 , y 0) е дадена на равнина в правоъгълна координатна система и трябва да определите дали тази точка принадлежи на правата, описана от параметричните уравнения x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ .

За да се реши такъв проблем, е необходимо да се заменят координатите на дадена точка в известните параметрични уравнения на права линия. Ако се установи, че е възможна стойност на параметъра λ = λ 0, за която и двете параметрични уравнения са верни, тогава дадената точка принадлежи на дадената права линия.

Пример 7

Дадени са точки M 0 (4, - 2) и N 0 (- 2, 1). Необходимо е да се определи дали те принадлежат към правата, определена от параметричните уравнения x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

Решение

Нека заместим координатите на точката M 0 (4, - 2) в дадените параметрични уравнения:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Заключаваме, че точка M 0 принадлежи на дадената права, т.к съответства на стойността λ = 2.

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Очевидно няма такъв параметър λ, на който да съответства точката N 0. С други думи, дадената права не минава през точка N 0 (- 2, 1).

Отговор:точка M 0 принадлежи на дадена права; точка N 0 не принадлежи на дадената права.

1. При задачи от втори тип се изисква съставяне на параметрични уравнения на права върху равнина в правоъгълна координатна система. Най-простият пример за такава задача (с известни координати на точката на линията и вектора на посоката) беше разгледан по-горе. Сега нека разгледаме примери, в които първо трябва да намерим координатите на водещия вектор и след това да запишем параметричните уравнения.

Дадена е точка M 1 1 2 , 2 3 . Необходимо е да се създадат параметрични уравнения на права, минаваща през тази точка и успоредна на правата x 2 = y - 3 - 1.

Решение

Според условията на задачата правата линия, чието уравнение трябва да изпреварим, е успоредна на правата x 2 = y - 3 - 1. Тогава като насочващ вектор на права линия, минаваща през дадена точка, е възможно да се използва насочващият вектор на права линия x 2 = y - 3 - 1, който записваме във формата: a → = (2, - 1) . Вече са известни всички необходими данни, за да се съставят необходимите параметрични уравнения:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 1 2 + 2 · λ y = 2 3 + (- 1) · λ ⇔ x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ

Отговор: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ .

Пример 9

Дадена е точка M 1 (0, - 7). Необходимо е да се запишат параметричните уравнения на права, минаваща през тази точка, перпендикулярна на правата 3 x – 2 y – 5 = 0.

Решение

Като вектор на посоката на правата линия, чието уравнение трябва да се състави, е възможно да се вземе нормалният вектор на правата линия 3 x – 2 y – 5 = 0. Координатите му са (3, - 2). Нека запишем необходимите параметрични уравнения на правата:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 0 + 3 · λ y = - 7 + (- 2) · λ ⇔ x = 3 · λ y = - 7 - 2 · λ

Отговор: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. При задачи от трети тип е необходимо да се направи преход от параметрични уравнения на дадена линия към други видове уравнения, които я определят. Обсъдихме решението на подобни примери по-горе; ще дадем още един.

Дадена е права линия в равнина в правоъгълна координатна система, определена от параметричните уравнения x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ. Необходимо е да се намерят координатите на всеки нормален вектор на тази линия.

Решение

За да определим необходимите координати на нормалния вектор, ще направим прехода от параметрични уравнения към общото уравнение:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Коефициентите на променливите x и y ни дават необходимите координати на нормалния вектор. Така нормалният вектор на правата x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ има координати 1, 3 4.

Отговор: 1 , 3 4 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Позволявам л- някаква права линия на пространството. Както в планиметрията, всеки вектор

А =/= 0, колинеарна линия л, Наречен водещ вектортази права линия.

Позицията на правата в пространството се определя изцяло чрез задаване на вектора на посоката и точката, принадлежаща на правата.

Нека е направо лс водещ вектор А минава през точката M 0, а M е произволна точка в пространството. Очевидно точка M (фиг. 197) принадлежи на правата лако и само ако векторът \(\overrightarrow(M_0 M)\) е колинеарен с вектора А , т.е.

\(\стрелка надясно(M_0 M)\) = T а , T\(\в\) Р. (1)

Ако точките M и M 0 са зададени чрез техните радиус вектори r И r 0 (фиг. 198) спрямо някаква точка O в пространството, тогава \(\overrightarrow(M_0 M)\) = r - r 0 и уравнение (1) приема формата

r = r 0 + T а , T\(\в\) Р. (2)

Уравнения (1) и (2) се наричат векторно-параметрични уравнения на права линия. Променлива Tвъв векторно-параметричните уравнения правата се нарича параметър.

Нека точката M 0 е права линия ли насочващият вектор a са дадени от техните координати:

M 0 ( х 0 ; при 0 , z 0), А = (А 1 ; А 2 ; А 3).

Тогава ако ( Х; y; z) - координати на произволна точка M от права линия л, Че

\(\стрелка надясно(M_0 M) \) = ( х - х 0 ; y - y 0 ; z - z 0)

и векторното уравнение (1) е еквивалентно на следните три уравнения:

х - х 0 = tа 1 , y - y 0 = tа 2 , z - z 0 = tа 3

$$ \begin(cases) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end(cases) (3)$$

Уравнения (3) се наричат параметрични уравнения на правата в космоса.

Задача 1.Напишете параметрични уравнения за права, минаваща през точка

M 0 (-3; 2; 4) и имащ насочващ вектор А = (2; -5; 3).

В такъв случай х 0 = -3, при 0 = 2, z 0 = 4; А 1 = 2; А 2 = -5; А 3 = 3. Замествайки тези стойности във формули (3), получаваме параметричните уравнения на тази линия

$$ \begin(cases) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, ​​​​\;\;t\in R\end(cases) $$

Нека изключим параметъра Tот уравнения (3). Това може да стане, защото А =/= 0 и следователно една от векторните координати А очевидно е различен от нула.

Нека първо всички координати са различни от нула. Тогава

$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$

и следователно

$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4)$$

Тези уравнения се наричат канонични уравнения на правата .

Обърнете внимание, че уравнения (4) образуват система от две уравнения с три променливи x, yИ z.

Ако в уравнения (3) една от векторните координати А , Например А 1 е равно на нула, тогава чрез елиминиране на параметъра T, отново получаваме система от две уравнения с три променливи x, yИ z:

\(x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Тези уравнения се наричат ​​също канонични линейни уравнения. За еднаквост те също се записват условно във формата (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

приемайки, че ако знаменателят е нула, тогава съответният числител също е нула. Тези уравнения са уравненията на права, минаваща през точката M 0 ( х 0 ; при 0 , z 0) успоредна на координатната равнина yOz, тъй като неговият вектор на посоката (0; А 2 ; А 3).

И накрая, ако в уравнения (3) има две векторни координати А , Например А 1 и А 2 са равни на нула, тогава тези уравнения приемат формата

х = х 0 , г = при 0 , z = z 0 + T а 3 , T\(\в\) Р.

Това са уравненията на права, минаваща през точката M 0 ( х 0 ; при 0 ; z 0) успоредна на оста Оз. За такава права линия х = х 0 , г = при 0, а z- всякакъв брой. И в този случай, за равномерност, уравнението на правата линия може да бъде написано (със същата резерва) във формата (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Така за всяка линия в пространството могат да се напишат канонични уравнения (4) и, обратно, всяко уравнение под формата (4), при условие че поне един от коефициентите А 1 , А 2 , А 3 не е равно на нула, определя някаква права линия в пространството.

Задача 2.Напишете каноничните уравнения на права, минаваща през точката M 0 (- 1; 1, 7), успоредна на вектора А = (1; 2; 3).

Уравнения (4) в този случай се записват, както следва:

\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)

Нека изведем уравненията на права линия, минаваща през две дадени точки M 1 ( х 1 ; при 1 ; z 1) и

M2( х 2 ; при 2 ; z 2). Очевидно можем да вземем вектора а = (х 2 - х 1 ; при 2 - при 1 ; z 2 - z 1), и отвъд точката М 0, през която минава права линия, например точка М 1. Тогава уравнения (4) ще бъдат записани, както следва:

\(\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)\) (5)

Това са уравненията на права, минаваща през две точки M 1 ( х 1 ; при 1 ; z 1) и

M2( х 2 ; при 2 ;z 2).

Задача 3.Напишете уравненията на права линия, минаваща през точките M 1 (-4; 1; -3) и M 2 (-5; 0; 3).

В такъв случай х 1 = -4, при 1 = 1, z 1 = -3, х 2 = -5, при 2 = 0, z 2 = 3. Замествайки тези стойности във формули (5), получаваме

\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)

Задача 4.Напишете уравненията на правата, минаваща през точките M 1 (3; -2; 1) и

М 2 (5; -2; 1/2).

След като заместим координатите на точките M 1 и M 2 в уравнения (5), получаваме

\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)