Намерете две различни общи точки на равнините. Самолет в космоса - необходима информация

Въпрос 7.

Две равнини в пространството могат да бъдат или взаимно успоредни, а в конкретен случай съвпадащи една с друга, или пресичащи се. Взаимно перпендикулярните равнини са частен случай на пресичащи се равнини и ще бъдат разгледани по-долу.

Успоредни равнини.Равнините са успоредни, ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две пресичащи се прави от друга равнина. При решаване на различни задачи често се налага през дадена точка A да се начертае равнина β, успоредна на дадена равнина α.

На фиг. 81 равнина α се определя от две пресичащи се прави a и b. Търсената равнина β се определя от прави a1 и b1, съответно успоредни на a и b и минаващи през дадена точка A1.

Пресичащи се равнини.Линията на пресичане на две равнини е права линия, за изграждането на която е достатъчно да се определят две точки, общи за двете равнини, или една точка и посоката на линията на пресичане на равнините.

Преди да разгледаме конструкцията на линията на пресичане на две равнини, ще анализираме важна и спомагателна задача: ще намерим точката K на пресичането на обща линия с проектиращата равнина.

Нека например са дадени права линия a и хоризонтално проектирана равнина α (фиг. 82). Тогава хоризонталната проекция K1 на желаната точка трябва едновременно да лежи върху хоризонталната проекция α1 на равнината α и върху хоризонталната проекция a1 на правата a, т.е. в точката на пресичане на a1 с α1 (фиг. 83). Фронталната проекция K2 на точка K е разположена върху линията на проекционната връзка и върху фронталната проекция a2 на правата a.

Сега нека да разгледаме един от специалните случаи на пресичащи се равнини, когато една от тях се проектира.

На фиг. 84 показва общата равнина на положение, определена от триъгълника ABC и хоризонтално проектираната равнина α. Нека намерим две общи точки за тези две равнини. Очевидно тези общи точки за равнините ∆ABC и α ще бъдат пресечните точки на страните AB и BC на триъгълника ABC с проектиращата равнина α. Изграждането на такива точки D и E както на пространствения чертеж (фиг. 84), така и на диаграмата (фиг. 85) не създава затруднения след примера, разгледан по-горе.

Като съединим еднакви проекции на точки D и E, получаваме проекциите на пресечната линия на равнината ∆ ABC и равнината α.

Така хоризонталната проекция D1E1 на пресечната линия на дадените равнини съвпада с хоризонталната проекция на проектиращата равнина α - с нейните хоризонтални следи α1.

Нека сега разгледаме общия случай. Нека в пространството са дадени две общи равнини α и β (фиг. 86). За да се изгради линията на тяхното пресичане, е необходимо, както беше отбелязано по-горе, да се намерят две точки, общи за двете равнини.

За да се определят тези точки, дадените равнини се пресичат от две спомагателни равнини. По-целесъобразно е като такива равнини да се вземат проекционни равнини и по-специално нивелирни равнини. На фиг. 86, първата спомагателна равнина на ниво γ пресича всяка от тези равнини по хоризонталите h и h1, които определят точка 1, обща за равнините α и β. Тази точка се определя от пресечната точка на хоризонталните прави h2 и h3, по които спомагателната равнина δ пресича всяка от тези равнини.

Нека са дадени два самолета

Първата равнина има нормален вектор (A 1; B 1; C 1), втората равнина (A 2; B 2; C 2).

Ако равнините са успоредни, тогава векторите са колинеарни, т.е. = l за някакво число l. Ето защо

─ условие за успоредност на равнината.

Условие за съвпадение на равнините:

,

тъй като в този случай, умножавайки второто уравнение по l =, получаваме първото уравнение.

Ако условието за успоредност не е изпълнено, тогава равнините се пресичат. По-специално, ако равнините са перпендикулярни, тогава векторите , . Следователно тяхното скаларно произведение е равно на 0, т.е. = 0, или

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0.

Това е необходимо и достатъчно условие равнините да са перпендикулярни.

Ъгълът между две равнини.

Ъгъл между две равнини

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

е ъгълът между техните нормални вектори и , така че

cosj = =
.

Направо в космоса.

Векторно-параметрично уравнение на права линия.

Определение. Насочващият вектор е правВсеки вектор, лежащ върху или успореден на права, се нарича.

Нека създадем уравнение за права линия, минаваща през точката M 0 (x 0; y 0; z 0) и имаща насочващ вектор = (a 1; a 2; a 3).

Нека начертаем вектора 0 от точка M . Нека M(x;y;z) ─ произволна точка на дадена права и ─ неговият радиус е векторът на точката M 0. Тогава , , Ето защо . Това уравнение се нарича векторно-параметрично уравнение на права линия.

Параметрични уравнения на права линия.

Във векторно-параметричното уравнение на правата ще премине към координатните отношения (x;y;z) = (x 0;y 0;z 0) + (a 1;a 2;a 3)t. От тук получаваме параметрични уравнения на правата

x = x 0 + a 1 t,

y = y 0 +a 2 t, (4)

Канонични уравнения на правата.

От уравнения (4) изразяваме t:

t = , t = , t = ,

откъде да го вземем канонични уравнения на правата

= = (5)

Уравнение на права, минаваща през две дадени точки.

Нека са дадени две точки M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2). Като насочващ вектор на права линия можем да приемем вектора = (x 2 – x 1; y 2 ​​​​– y 1; z 2 – z 1). Тъй като правата минава през точката M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), нейните канонични уравнения в съответствие с (5) ще бъдат записани във формата

(6)

Ъгълът между две прави.

Да разгледаме две прави линии с насочващи вектори = (a 1; a 2; a 3) и .

Следователно ъгълът между правите е равен на ъгъла между техните насочващи вектори

cosj = =
(7)

Условие за перпендикулярност на линиите:

a 1 в 1 + a 2 в 2 + a 3 в 3 = 0.

Условие за успоредни прави:

л,

. (8)

Относителното разположение на линиите в пространството.

Нека са дадени два реда
И
.

Очевидно е, че линиите лежат в една и съща равнина, ако и само ако векторите , и копланарен, т.е.

= 0 (9)

Ако в (9) първите две прави са пропорционални, то правите са успоредни. Ако и трите прави са пропорционални, то линиите съвпадат. Ако условие (9) е изпълнено и първите две прави не са пропорционални, тогава правите се пресичат.

Ако
¹ 0, тогава линиите са наклонени.

Задачи за прави и равнини в пространството.

Правата линия е пресечната точка на две равнини.

Нека са дадени два самолета

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Ако равнините не са успоредни, тогава условието е нарушено

.

Нека например ¹.

Нека намерим уравнението на правата, по която се пресичат равнините.

Като вектор на посоката на желаната права линия можем да вземем вектора

= × = =
.

За да намерим точка, принадлежаща на желаната линия, фиксираме определена стойност

z = z 0 и решаване на системата

,

получаваме стойностите x = x 0, y = y 0. И така, желаната точка е M(x 0; y 0; z 0).

Търсеното уравнение

.

Относителното положение на права и равнина.

Нека е дадена правата x = x 0 + a 1 t, y = y 0 + a 2 t, z = z 0 + a 3 t

и самолет

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0.

За да се намерят общи точки на права и равнина, е необходимо да се реши системата от техните уравнения

A 1 (x 0 + a 1 t) + B 1 (y 0 + a 2 t) + C 1 (z 0 + a 3 t) + D 1 = 0,

(A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3)t + (A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1) = 0.

Ако A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 ¹ 0, тогава системата има уникално решение

t = t 0 = -
.

В този случай правата и равнината се пресичат в една точка M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), където

x 1 = x 0 + a 1 t 0, y 1 = y 0 + a 2 t 0, z 1 = z 0 + a 3 t 0.

Ако A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 = 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 ¹ 0, тогава правата и равнината нямат общи точки, т.е. паралелен.

Ако A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 = 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0, тогава правата принадлежи на равнината.

Ъгълът между права и равнина.

Две равнини в пространството могат да бъдат взаимно успоредни или пресичащи се.

Равнините са успоредни, ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две пресичащи се прави от друга равнина.

Изборът на страните на триъгълниците е произволен, тъй като само чрез конструкция може точно да се определи коя страна на кой триъгълник всъщност пресича равнината на другия. Изборът на спомагателна равнина също е произволен, тъй като правата е в общо положение, което са всички страни ∆ ABCи ∆ DEF, могат да бъдат затворени в хоризонтално изпъкнала или челно изпъкнала равнина.

1. Да начертаете точка Мизползва се хоризонтално проектирана спомагателна равнина Е (Е ABтриъгълник ABC (AB Î Е).

2. Изграждаме пресечна линия (на чертежа е посочена от точки 1 и 2) на спомагателната равнина Е (Е 2) и равнина ∆ DEF.

Намерена е една точка Мжеланата пресечна линия.

4. Да се ​​начертае точка Низползва се хоризонтална проекционна равнина Р (Р 2), в който е приложена страната Е.Ф.триъгълник DEF.

Конструкцията е подобна на предишните.

5. Определяне на видимостта на елементи в равнината П 2 се изпълнява с помощта на фронтално състезаващи се точки 1=2 и 5=2.

Точка 5 (5О AB) се намира по-далеч от оста Xотколкото точка 1 (1О DF), следователно в самолета П 2-ра част на триъгълника ABC, разположен към точка 1, покрива част от триъгълника DEF, разположени от пресечната линия към т.5.

Видео курсът „Вземете A“ включва всички теми, необходими за успешно полагане на Единния държавен изпит по математика с 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профилния единен държавен изпит по математика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи решения, клопки и тайни на Единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове задачи от Единния държавен изпит. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Ясни обяснения на сложни концепции. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решаване на сложни задачи от част 2 на Единния държавен изпит.

Две равнини в пространството могат да бъдат или взаимно успоредни, в частен случай съвпадащи една с друга, или се пресичат. Взаимно перпендикулярните равнини са частен случай на пресичащи се равнини.

1. Успоредни равнини.Равнините са успоредни, ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две пресичащи се прави от друга равнина.

Това определение е добре илюстрирано от задачата за начертаване на равнина през точка B, успоредна на равнината, определена от две пресичащи се прави ab (фиг. 61).

Задача. Дадено е: обща равнина, определена от две пресичащи се прави ab и точка B.

Необходимо е да се начертае равнина през точка B, успоредна на равнината ab, и да се определи с две пресичащи се прави c и d.

Според определението, ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две пресичащи се прави от друга равнина, то тези равнини са успоредни една на друга.

За да се начертаят успоредни прави на диаграма, е необходимо да се използва свойството на успоредна проекция - проекциите на успоредни прави са успоредни една на друга

d//a, с//b Þ d1//a1, с1//b1; d2//a2 ,с2//b2; d3//a3, c3//b3.

Фигура 61. Паралелни равнини

2. Пресичащи се равнини,специален случай са взаимно перпендикулярните равнини. Линията на пресичане на две равнини е права линия, за построяването на която е достатъчно да се определят нейните две точки, общи за двете равнини, или една точка и посоката на линията на пресичане на равнините.

Нека разгледаме изграждането на пресечната линия на две равнини, когато едната от тях се проектира (фиг. 62).

Задача. Дадено: общата равнина на положение е дадена от триъгълника ABC, а втората равнина е хоризонтално проектирана равнина a.

Необходимо е да се изгради линия на пресичане на равнини.

Решението на задачата е да се намерят две точки, общи за тези равнини, през които може да се начертае права линия. Равнината, определена от триъгълника ABC, може да бъде представена като прави (AB), (AC), (BC). Пресечната точка на правата (AB) с равнината a е точка D, правата (AC) е F. Сегментът определя линията на пресичане на равнините. Тъй като a е хоризонтално проектирана равнина, проекцията D1F1 съвпада със следата на равнината aP1, така че остава само да се построят липсващите проекции върху P2 и P3.

Фигура 62. Пресечна точка на обща равнина с хоризонтално проектирана равнина

Да преминем към общия случай. Нека в пространството са дадени две общи равнини a(m,n) и b (ABC) (фиг. 63)

Фигура 63. Пресичане на общи равнини

Нека разгледаме последователността на построяване на пресечната линия на равнините a(m//n) и b(ABC). По аналогия с предишната задача, за да намерим линията на пресичане на тези равнини, начертаваме спомагателни режещи равнини g и d. Нека намерим пресечните линии на тези равнини с разглежданите равнини. Равнина g пресича равнина a по права линия (12), а равнина b пресича права линия (34). Точка K - точката на пресичане на тези прави едновременно принадлежи на три равнини a, b и g, като по този начин е точка, принадлежаща на линията на пресичане на равнините a и b. Равнина d пресича равнини a и b по прави линии (56) и (7C), съответно, тяхната пресечна точка M е разположена едновременно в три равнини a, b, d и принадлежи на правата линия на пресичане на равнини a и b. Така бяха намерени две точки, принадлежащи на пресечната линия на равнините a и b - права линия (KS).

Известно опростяване при конструирането на линията на пресичане на равнините може да се постигне, ако спомагателните режещи равнини се начертаят през прави линии, определящи равнината.

Взаимно перпендикулярни равнини.От стереометрията е известно, че две равнини са взаимно перпендикулярни, ако едната минава през перпендикуляра на другата. През точка A можете да начертаете много равнини, перпендикулярни на дадена равнина a(f,h). Тези равнини образуват сноп от равнини в пространството, чиято ос е перпендикулярът, спуснат от точка А към равнина а. За да начертаете равнина от точка A, перпендикулярна на равнината, дадена от две пресичащи се прави hf, е необходимо да начертаете права n от точка A, перпендикулярна на равнината hf (хоризонталната проекция n е перпендикулярна на хоризонталната проекция на хоризонталната права h, фронталната проекция n е перпендикулярна на фронталната проекция на фронталната f). Всяка равнина, минаваща през права n, ще бъде перпендикулярна на равнината hf, следователно, за да дефинирате равнина през точки A, начертайте произволна права m. Равнината, определена от две пресичащи се прави mn, ще бъде перпендикулярна на равнината hf (фиг. 64).

Фигура 64. Взаимно перпендикулярни равнини