Линейни неравенства. Изчерпателното ръководство (2019)

Какво трябва да знаете за иконите за неравенство? Неравенства с икона повече (> ), или по-малко (< ) се наричат строг.С икони по-голямо или равно на (≥ ), по-малко или равно на (≤ ) се наричат не е строг.Икона не е равен (≠ ) стои отделно, но вие също трябва да решавате примери с тази икона през цялото време. И ние ще решим.)

Самата икона няма голямо влияние върху процеса на решение. Но в края на решението, при избора на окончателния отговор, значението на иконата се появява в пълна сила! Това ще видим по-долу в примери. Има някакви вицове...

Неравенствата, както и равенствата, съществуват верни и неверни.Тук всичко е просто, без трикове. Да речем 5 > 2 е истинско неравенство. 5 < 2 - неправилно.

Този препарат работи при неравности всякакъв види просто до точката на ужас.) Просто трябва правилно да изпълните две (само две!) елементарни действия. Тези действия са познати на всички. Но, което е характерно, грешките в тези действия са основната грешка при решаването на неравенства, да... Следователно тези действия трябва да се повтарят. Тези действия се наричат по следния начин:

Тъждествени преобразувания на неравенства.

Тъждествените трансформации на неравенства са много подобни на тъждествените трансформации на уравнения. Всъщност това е основният проблем. Разликите минават през главата ви и... ето ви.) Затова ще подчертая специално тези разлики. И така, първата идентична трансформация на неравенства:

1. Едно и също число или израз може да се добави (извади) към двете страни на неравенството. Всякакви. Това няма да промени знака за неравенство.

На практика това правило се използва като прехвърляне на членове от лявата страна на неравенството в дясната (и обратно) с промяна на знака. Със смяна на знака на члена, а не на неравенството! Правилото едно към едно е същото като правилото за уравнения. Но следващите идентични трансформации в неравенствата се различават значително от тези в уравненията. Затова ги маркирам в червено:

2. И двете страни на неравенството могат да бъдат умножени (разделени) по едно и също нещоположителенномер. За всякаквиположителен няма да се промени.

3. И двете страни на неравенството могат да бъдат умножени (разделени) по едно и също нещоотрицателенномер. За всякаквиотрицателенномер. Знакът за неравенство от товаще се промени на обратното.

Спомняте си (надявам се...), че уравнението може да бъде умножено/разделено по всичко. И за всяко число, и за израз с X. Само да не беше нула. Това го прави, уравнението, нито горещ, нито студен.) Не се променя. Но неравенствата са по-чувствителни към умножение/деление.

Добър примерза дълъг спомен. Нека напишем неравенство, което не буди съмнение:

5 > 2

Умножете двете страни по +3, получаваме:

15 > 6

Някакви възражения? Няма възражения.) И ако умножим двете страни на първоначалното неравенство по -3, получаваме:

15 > -6

И това е откровена лъжа.) Пълна лъжа! Измама на народа! Но веднага щом промените знака за неравенство на противоположния, всичко си идва на мястото:

15 < -6

Не се кълна само за лъжи и измами.) „Забравих да променя знака за равенство...“- Това домагрешка при решаване на неравенства. Това тривиално и просто правило нарани толкова много хора! Което те забравиха...) Така че се заклевам. Може би ще си спомня...)

Особено внимателните хора ще забележат, че неравенството не може да се умножи с израз с X. Уважение към тези, които са внимателни!) Защо не? Отговорът е лесен. Не знаем знака на този израз с X. То може да бъде положително, отрицателно... Следователно не знаем кой знак за неравенство да поставим след умножението. Трябва ли да го сменя или не? Неизвестен. Разбира се, това ограничение (забраната за умножаване/деление на неравенство с израз с x) може да бъде заобиколено. Ако наистина имате нужда. Но това е тема за други уроци.

Това са всички тъждествени трансформации на неравенства. Нека ви напомня още веднъж, че работят за всякаквинеравенства Сега можете да преминете към конкретни видове.

Линейни неравенства. Решение, примери.

Линейните неравенства са неравенства, при които x е на първа степен и няма деление на x. Тип:

х+3 > 5x-5

Как се разрешават подобни неравенства? Решават се много лесно! А именно: с помощта на намаляваме най-объркващото линейно неравенство направо към отговора.Това е решението. Ще подчертая основните точки на решението. За да избегнете глупави грешки.)

Нека решим това неравенство:

х+3 > 5x-5

Решаваме го по абсолютно същия начин като линейно уравнение. С единствената разлика:

Ние внимателно следим знака за неравенство!

Първата стъпка е най-честата. С Х - наляво, без Х - надясно... Това е първата идентична трансформация, проста и безпроблемна.) Само не забравяйте да промените знаците на пренесените членове.

Знакът за неравенство остава:

х-5х > -5-3

Ето подобни.

Знакът за неравенство остава:

4x > -8

Остава да приложим последната идентична трансформация: разделете двете страни на -4.

Разделете на отрицателенномер.

Знакът за неравенство ще се промени на противоположния:

X < 2

Това е отговорът.

Така се решават всички линейни неравенства.

внимание! Точка 2 е изчертана бяла, т.е. небоядисана. Празно вътре. Това означава, че тя не е включена в отговора! Нарочно я нарисувах толкова здрава. Такава точка (празна, нездрава!)) в математиката се нарича пробита точка.

Останалите числа на оста могат да бъдат маркирани, но не е необходимо. Странни числа, които не са свързани с нашето неравенство, могат да бъдат объркващи, да... Просто трябва да запомните, че числата нарастват по посока на стрелката, т.е. числа 3, 4, 5 и т.н. са надясноса двойки, а числата са 1, 0, -1 и т.н. - наляво.

Неравенство x < 2 - строг. X е строго по-малко от две. Ако се съмнявате, проверката е проста. Заместваме съмнителното число в неравенството и си мислим: „Две е по-малко от две, разбира се!“ точно така Неравенство 2 < 2 неправилно.Две в отговор не е подходящо.

Едното добре ли е? Със сигурност. По-малко... И нулата е добра, и -17, и 0,34... Да, всички числа, които са по-малки от две, са добри! И дори 1.9999... Поне малко, но по-малко!

Така че нека отбележим всички тези числа на числовата ос. как? Тук има опции. Първият вариант е засенчване. Преместваме мишката върху картината (или докосваме снимката на таблета) и виждаме, че областта на всички x, които отговарят на условието x, е защрихована < 2 . Това е.

Нека да разгледаме втората опция, използвайки втория пример:

X ≥ -0,5

Начертайте ос и маркирайте числото -0,5. като това:

Забелязвате ли разликата?) Е, да, трудно е да не забележите... Тази точка е черна! Боядисани. Това означава -0,5 е включено в отговора.Тук, между другото, проверката може да обърка някого. Нека заместим:

-0,5 ≥ -0,5

как така -0,5 не е повече от -0,5! И има още икона...

Всичко е наред. При слабо неравенство всичко, което пасва на иконата, е подходящо. И равнидобре и повечедобре. Следователно -0,5 е включено в отговора.

И така, отбелязахме -0,5 на оста; остава да отбележим всички числа, които са по-големи от -0,5. Този път маркирам зоната на подходящи x стойности лък(от думата дъга), а не засенчване. Задръжте курсора върху рисунката и ще видите този лък.

Няма особена разлика между засенчването и ръцете. Направете както казва учителят. Ако няма учител, нарисувайте арки. При по-сложни задачи засенчването е по-малко очевидно. Можете да се объркате.

Така се чертаят линейни неравенства върху ос. Нека да преминем към следващата характеристика на неравенствата.

Записване на отговора за неравенства.

Уравненията бяха добри.) Намерихме x и записахме отговора, например: x=3. Има две форми за записване на отговорите в неравенствата. Единият е под формата на крайно неравенство. добър за прости случаи. Например:

X< 2.

Това е пълен отговор.

Понякога трябва да запишете едно и също нещо, но в различна форма, на цифрови интервали. Тогава записът започва да изглежда много научно):

x ∈ (-∞; 2)

Под иконата ∈ думата е скрита "принадлежи"

Записът гласи така: x принадлежи на интервала от минус безкрайност до две не включително. Съвсем логично. X може да бъде всяко число от всички възможни числа от минус безкрайност до две. Не може да има двойно Х, което ни казва думата "без да включвам".

И къде в отговора е ясно, че "без"? Този факт е отбелязан в отговора кръгласкоба непосредствено след двете. Ако двете бяха включени, скобата щеше да бъде квадрат.Като този: ]. Следващият пример използва такава скоба.

Нека запишем отговора: x ≥ -0,5 на интервали:

x ∈ [-0,5; +∞)

Чете: x принадлежи на интервала от минус 0,5, включително,до плюс безкрайност.

Безкрайността никога не може да бъде включена. Това не е число, а символ. Следователно в такива обозначения безкрайността винаги е съседна на скоба.

Тази форма на запис е удобна за сложни отговори, състоящи се от няколко интервала. Но – само за окончателни отговори. При междинни резултати, където се очаква по-нататъшно решение, е по-добре да използвате обичайната форма, във формуляра просто неравенство. Ще се занимаваме с това в съответните теми.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес имейли т.н.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

При необходимост, в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на обществени запитвания или искания от държавни агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Задача 1. Туристът е изминал повече от 20 км през първия ден, а повече от 25 км през втория, което означава, че можем да кажем, че за два дни туристът е изминал повече от 45 км. Задача 2. Дължината на правоъгълника е по-малка от 13 cm, а ширината е по-малка от 5 cm, което означава, че можем да кажем, че площта на този правоъгълник е по-малка от 65 cm² При решаване различни задачиЧесто трябва да добавяте или умножавате неравенства, т.е. да събирате или умножавате отделно лявата и дясната страна на неравенствата.

B и c > d, след това a + c > b + d Примери: 3 > 2,5 5 > 4 " title="Когато разглеждаме тези примери, трябва да приложим следните теореми за събиране и умножение на неравенства: Теорема 1 , Когато събирането на неравенства с един и същи знак води до неравенство със същия знак: ако a > b и c > d, тогава a + c > b + d Примери: 3 > 2,5 5 > 4" class="link_thumb"> 3 !}При разглеждането на тези примери трябва да се прилагат следните теореми за събиране и умножение на неравенства: Теорема 1. При събиране на неравенства със същия знак се получава неравенство със същия знак: ако a > b и c > d, тогава a + c > b + d Примери: 3 > 2 ,5 5 > 4 1,2 6,5 1,8 b и c > d, тогава a + c > b + d Примери: 3 > 2,5 5 > 4 "> b и c > d, тогава a + c > b + d Примери: 3 > 2,5 5 > 4 1,2 6,5 1,8 b и c > d, след това a + c > b + d Примери: 3 > 2,5 5 > 4 " title= "When considering тези примери трябва да се прилагат следните теореми за събиране и умножение на неравенства: Теорема 1. При събиране на неравенства с един и същи знак се получава неравенство със същия знак: ако a > b и c > d, тогава a + c > b + d Примери: 3 > 2,5 5 > 4"> title="При разглеждането на тези примери трябва да се прилагат следните теореми за събиране и умножение на неравенства: Теорема 1. При събиране на неравенства със същия знак се получава неравенство със същия знак: ако a > b и c > d, тогава a + c > b + d Примери: 3 > 2 .5 5 > 4">!}

B, c > d и a, b, c, d са положителни числа, тогава a c > b d. Примери: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8 b, c > d и a, b, c, d са положителни числа, тогава a c > b d. Примери: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8 4Теорема 2. При умножаване на неравенства с един и същи знак, чиято лява и дясна страна са положителни, се получава неравенство с един и същи знак: a > b, c > d и a, b, c, d са положителни числа, тогава a c > b d. Примери: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8 b, след това a² > b². a > b a² > b² b, c > d и a, b, c, d са положителни числа, тогава a c > b d. Примери: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8 b, c > d и a, b, c, d са положителни числа, тогава a c > b d. Примери: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8 b, след това a² > b². a > b a² > b²"> b, c > d и a, b, c, d са положителни числа, тогава a c > b d. Примери: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8 b, c > d и a , b, c, d са положителни числа, тогава a c > b d Примери: 3.2 > 3.1 3 > 2 9.6 > 6.2 1.8 title= "Теорема 2. При умножаване на неравенства с един и същ знак, чиято лява и дясна страна са положителни, се получава неравенство с един и същ знак: a > b, c > d и a, b, c, d са положителни числа, тогава a c > b d Примери: 3,2 > 3,1 3 > 2 9,6 > 6,2 1,8.

B и n са естествени, тогава Например от неравенството 5 > 3 следва неравенството 5³ > 3³. Блиц анкета. Добавете неравенства член по член: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5 b и n са естествени числа, тогава Например от неравенството 5 > 3 следва неравенството 5³ > 3³. Блиц анкета. Добавете неравенството член по член: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5 5По същия начин, ако a, b са положителни числа, a > b и n е естествено число, тогава например от неравенството 5 > 3 следва неравенството 5³ > 3³. Блиц анкета. Добавете неравенството член по член: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5 2 и 0 > 5 4 > 7 b и n са естествени числа, тогава Например от неравенството 5 > 3 следва неравенството 5³ > 3³. Блиц анкета. Добавете неравенства член по член: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5 b и n са естествени числа, тогава Например от неравенството 5 > 3 следва неравенството 5³ > 3³. Блиц анкета. Добавете неравенството член по член: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5 2 и 0 > 5 4 > 7"> b и n натуральное, то Например, из неравенства 5 > 3 следует неравенство 5³ > 3³. Блиц-опрос. Сложить почленное неравенства: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5 b и n натуральное, то Например, из неравенства 5 > 3 следует неравенство 5³ > 3³. Блиц-опрос. Сложить почленное неравенства: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5 title="По същия начин, ако a, b са положителни числа, a > b и n е естествено число, тогава например от неравенството 5 > 3 следва неравенството 5³ > 3³. Блиц анкета. Добавете неравенството член по член: 1) 12 > 2,5 и 1 > 313 > 0,5 2) 5

2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5 Умножението е невъзможно 6) a > 3 и b > 5a b > 15 7) a > 4 и b > 6 Умножението не е" title="Блиц анкета. Умножение на неравенства: 1) 12 > 2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5 Умножението е невъзможно 6) a > 3 и b > 5a b > 15 7) a > 4 и b > 6 Умножението не е" class="link_thumb"> 6 !}Блиц анкета. Умножение на неравенства: 1) 12 > 2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5 Умножението е невъзможно 6) a > 3 и b > 5a b > 15 7) a > 4 и b > 6 Умножението е невъзможно 2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5 Умножението е невъзможно 6) a > 3 и b > 5a b > 15 7) a > 4 и b > 6 Умножението не е "> 2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5 Умножението не е възможно 6) a > 3 и b > 5a b > 15 7 ) a > 4 и b > 6 Умножението е невъзможно"> 2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5 Умножението е невъзможно 6) a > 3 и b > 5a b > 15 7) a > 4 и b > 6 Умножение не е" title=" Блиц анкета. Изпълнете умножение на неравенства: 1) 12 > 2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5 Умножението не е възможно 6) a > 3 и b > 5a b > 15 7) a > 4 и b > 6 Умножението не е възможно"> title="Блиц анкета. Умножение на неравенства: 1) 12 > 2,5 и 8 > 396 > 7,5 2) 5 2 и 30 >5120 > 10 5) 14 > 3 и 0 > 5 Умножението е невъзможно 6) a > 3 и b > 5a b > 15 7) a > 4 и b > 6 Умножението не е"> !}

4, b > 2, след това 2 a b + 8 > 24. Решение. a > 4, b > 2, a b ______, 2 a b________, 2 a b + 8 ________. > 8 > 16 > 24 Задача 2. Една от страните на правоъгълника a е по-голяма от 2, но по-малка от 5 единици; другата страна b е по-голяма от 3, но по-малка" title="Задача 1. Докажете, че ако a > 4, b > 2, тогава 2 a b + 8 > 24. Решение. a > 4, b > 2 , a b ________, 2 a b + 8 ________. > 8 > 16 > 24 Задача 2. Една от страните на правоъгълника a е по-голяма от 2, но другата страна b е по-голяма от 3 , но по-малко от 5 единици;" class="link_thumb"> 7 !}Задача 1. Докажете, че ако a > 4, b > 2, то 2 a b + 8 > 24. Решение. a > 4, b > 2, a b ______, 2 a b________, 2 a b + 8 ________. > 8 > 16 > 24 Задача 2. Една от страните на правоъгълника a е по-голяма от 2, но по-малка от 5 единици; другата страна b е повече от 3, но по-малко от 10 единици. Какъв номер квадратни единициможе би площта S на този правоъгълник? Решение. По условие 2 4, b > 2, тогава 2 a b + 8 > 24. Решение. a > 4, b > 2, a b ______, 2 a b________, 2 a b + 8 ________. > 8 > 16 > 24 Задача 2. Една от страните на правоъгълника a е по-голяма от 2, но по-малка от 5 единици; другата страна b е по-голямо от 3, но по-малко от "> 4, b > 2, тогава 2 a b + 8 > 24. Решение. a > 4, b > 2, a b ______, 2 a b________, 2 a b + 8 ________ .> 8> 16 > 24. Една от страните на правоъгълника a е по-голяма от 2, но по-малка от 5 единици; другата страна b е по-голяма от 3, но по-малка от 10 единици площта на този правоъгълник е. 4, b > 2, тогава 2 a b > 24, a b ________, 2 a b + 8 ________ правоъгълникът a е повече от 2, но по-малко от 5; другата страна b е повече от 3, но по-малко" title=" Задача 1. Докажете, че ако a > 4, b > 2, тогава 2 a b + 8 > 24. Решение: a > 4, b > 2, a b ______, 2 a b________, 2 a b + 8 ________ > 8 > 16 > 24 Задача 2. Една от страните на правоъгълника a е по-голяма от 2, но по-малка от 5 единици; другата страна b е по-голяма от 3, но по-малка"> title="Задача 1. Докажете, че ако a > 4, b > 2, то 2 a b + 8 > 24. Решение. a > 4, b > 2, a b ______, 2 a b________, 2 a b + 8 ________. > 8 > 16 > 24 Задача 2. Една от страните на правоъгълника a е по-голяма от 2, но по-малка от 5 единици; другата страна b е по-голямо от 3, но по-малко">!}

(повече) и 0,23, 0,54 със строги неравенства. Заедно със знаците на строги неравенства > и (по-големи от) и 0,23, 0,54 s са строги неравенства. Заедно със знаците за строги неравенства > и 8Неравенствата със знаци > (по-голямо от) и 0,23, 0,54 s са строги неравенства. Наред със строгите неравенства знаците > и (по-големи от) и 0,23, 0,54 s са строги неравенства. Заедно със знаците на строги неравенства > и (по-големи от) и 0,23, 0,54 s са строги неравенства. Заедно със знаците на строги неравенства > и (по-големи от) и 0,23, 0,54 s са строги неравенства. Заедно със знаците на строги неравенства > и (по-големи от) и 0,23, 0,54 s са строги неравенства. Заедно със знаците за строги неравенства > и title="Неравенства със знаци > (по-голямо от) и 0,23, 0,54 със строги неравенства. Заедно със знаците за строги неравенства > и

B или a = b, т.е. a не е по-малко от b. По същия начин неравенството a b означава, че a b или a = b, тоест a не е по-малко от b. По същия начин неравенството a b означава, че a 9Неравенството a b означава, че a > b или a = b, тоест a не е по-малко от b. По същия начин неравенството a b означава, че a b или a = b, тоест a не е по-малко от b. По същия начин неравенството a b означава, че a b или a = b, тоест a не е по-малко от b. По същия начин неравенството a b означава, че a b или a = b, тоест a не е по-малко от b. По същия начин неравенството a b означава, че a b или a = b, тоест a не е по-малко от b. По същия начин неравенството a b означава, че a title="Неравенство a b означает, что a > b или a = b, т. е а не меньше b. Точно так же неравенство a b означает, что a !}

Запишете условието на задачата, като използвате неравенства. 1) Височината на Антон (h cm) не надвишава височината на Коля, равна на 165 cm, но по-голяма от височината на Маша, равна на 147 cm 2) Броят на дните в годината (m) е не по-малък от 365 и не повече ) Чайник “Tefal” (модел 208) побира (литър) не повече от 1,7 литра вода. 147___h_____ ____m_____165. a _____1.7.

Блиц анкета. Запишете условието на задачата, като използвате неравенството: 1) Сборът на числата x и 3 е по-малък от 1 _________ 2) Разликата на числата x и 8 е по-голяма от 19 ________ 3) Произведението на числата 10 и x не е повече от 15 ________ 4) Утроената сума на числата x и 7 не е повече брой 15 _________________

Днес ще научим как да използваме интервалния метод за решаване на слаби неравенства. В много учебници слаби неравенствасе определят, както следва:

Нестрогото неравенство е неравенство от формата f (x) ≥ 0 или f (x) ≤ 0, което е еквивалентно на комбинацията от строго неравенство и уравнението:

Преведено на руски, това означава, че нестрогото неравенство f (x) ≥ 0 е обединението на класическото уравнение f (x) = 0 и строгото неравенство f (x) > 0. С други думи, сега ни интересува не само в положителни и отрицателни региони на права линия, но и точки където функцията е нула.

Сегменти и интервали: каква е разликата?

Преди да решим свободни неравенства, нека си припомним как интервалът се различава от сегмента:

Интервалът е част от линия, ограничена от две точки. Но тези точки не принадлежат на интервала. Интервалът се обозначава със скоби: (1; 5), (−7; 3), (11; 25) и т.н.;
Отсечка също е част от права, ограничена от две точки. Тези точки обаче също са част от сегмента. Сегментите са обозначени с квадратни скоби: , [−7; 3] и др.

За да не се бъркат интервалите със сегменти, за тях са разработени специални обозначения: интервалът винаги се обозначава с пунктирани точки, а сегментът - със запълнени точки. Например:

На тази фигура са отбелязани сегментът и интервалът (9; 11). Моля, обърнете внимание: краищата на сегмента са маркирани със запълнени точки, а самият сегмент е обозначен с квадратни скоби. С интервала всичко е различно: краищата му са издълбани, а скобите са кръгли.

Интервален метод за нестроги неравенства

Какви бяха всички тези текстове за сегменти и интервали? Много е просто: за решаване на нестроги неравенства всички интервали се заменят с сегменти - и вие получавате отговора. По същество ние просто добавяме към отговора, получен чрез интервалния метод, границите на същите тези интервали. Сравнете двете неравенства:

Задача. Решете строгото неравенство:

(x − 5)(x + 3) > 0

Решаваме с помощта на интервалния метод. Приравняваме лявата странанеравенства до нула:

(x − 5)(x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;

Вдясно има знак плюс. Можете лесно да проверите това, като замените милиард във функцията:

f (x) = (x − 5)(x + 3)

Остава само да напиша отговора. Тъй като се интересуваме от положителни интервали, имаме:

x ∈ (−∞; −3) ∪ (5; +∞)

Задача. Решете слабото неравенство:

(x − 5)(x + 3) ≥ 0

Началото е същото като при строгите неравенства: интервалният метод работи. Приравняваме лявата страна на неравенството към нула:

(x − 5)(x + 3) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 3 = 0 ⇒ x = −3;

Маркираме получените корени на координатната ос:

В предишния проблем вече разбрахме, че вдясно има знак плюс. Нека ви напомня, че можете лесно да проверите това, като замените милиард във функцията:

f (x) = (x − 5)(x + 3)

Остава само да напиша отговора. Тъй като неравенството не е строго и се интересуваме от положителни стойности, имаме:

x ∈ (−∞; −3] ∪ ∪ ∪ и (−∞; −3] ∪

Задача. Решете неравенството:

x (12 − 2x )(3x + 9) ≥ 0

x (12 − 2x )(3x + 9) = 0;
х = 0;
12 − 2x = 0 ⇒ 2x = 12 ⇒ x = 6;
3x + 9 = 0 ⇒ 3x = −9 ⇒ x = −3.

x ≥ 6 ⇒ f (x ) = x (12 − 2x )(3x + 9) → (+) (−) (+) = (−)< 0;
x ∈ (−∞ −3] ∪ .

Неравенството е обратната страна на равенството. Материалът в тази статия предоставя дефиниция на неравенството и първоначална информация за него в контекста на математиката.

Понятието неравенство, подобно на понятието за равенство, се свързва с момента на сравнение на два обекта. Докато равенството означава „еднакво“, неравенството, напротив, показва разликите между обектите, които се сравняват. Например и са идентични обекти или равни. и - обекти, които са различни или неравностойни.

Неравенството на обектите се определя от семантичното натоварване на такива думи като горе - долу (неравенство въз основа на височина); по-дебел – по-тънък (неравенство по дебелина); по-дълъг - по-къс (неравенство въз основа на дължина) и т.н.

Възможно е да се разсъждава както за равенството-неравенството на обектите като цяло, така и за сравняване на техните индивидуални характеристики. Да кажем, че са дадени два обекта: и . Без съмнение тези обекти не са еднакви, т.е. като цяло те не са равни: на базата на размер и цвят. Но в същото време можем да твърдим, че формите им са еднакви - и двата обекта са кръгове.

В контекста на математиката семантичното натоварване на неравенството остава същото. Въпреки това, в този случай ние говорим заза неравенството на математически обекти: числа, стойности на изрази, стойности на количества (дължина, площ и т.н.), вектори, фигури и др.

Не равно, по-голямо, по-малко

В зависимост от целите на задачата, просто фактът на изясняване на неравенството на обектите може да бъде ценен, но обикновено след установяване на факта на неравенството става ясно коя стойност е по-голяма и коя е по-малка.

Значението на думите „повече” и „по-малко” ни е интуитивно познато от самото начало на нашия живот. Очевидното умение е да се определи превъзходството на обект по размер, количество и т.н. Но в крайна сметка всяко сравнение ни води до сравнение на числа, които определят някои характеристики на сравняваните обекти. По същество откриваме кое число е по-голямо и кое по-малко.

Прост пример:

Пример 1

Сутринта температурата на въздуха беше 10 градуса по Целзий; в два часа следобед тази цифра беше 15 градуса. Въз основа на сравнение естествени числаможем да кажем, че температурата сутрин е била по-ниска от стойността си в два часа следобед (или в два часа следобед температурата се е повишила, ставайки по-висока от температурата сутрин).

Записване на неравенства със знаци

Има общоприети означения за писане на неравенства:

Определение 1

знакът „не е равно“, който е зачеркнат знак „равно“: ≠. Този знак се намира между неравни обекти. Например: 5 ≠ 10 пет не е равно на десет;
знак по-голямо от: > и знак по-малко от:< . Первый записывается между большим и меньшим объектами; второй между меньшим и большим. Например, запись о сравнении отрезков вида | A B | >| C D | казва, че отсечката A B е по-голяма от отсечката C D;
Знак „по-голямо или равно“: ≥ и знак „по-малко или равно“: ≤ .

По-долу ще разгледаме тяхното значение по-подробно. Нека дефинираме неравенствата по начина, по който са написани.

Определение 2

Неравенства – алгебрични изрази, смислени и написани със знаците ≠, >,< , ≤ , ≥ .

Строги и нестроги неравенства

Определение 3

Признаци на строги неравенства– това са знаците „по-голямо от“ и „по-малко от“: > и< Неравенства, составленные с их помощью – строги неравенства.

Признаци на слаби неравенства– това са знаците „по-голямо или равно на“ и „по-малко или равно на“: ≥ и ≤. Неравенства, съставени с тяхна помощ - слаби неравенства.

Обсъдихме по-горе как се прилагат строги неравенства. Защо се използват слаби неравенства? На практика такива неравенства могат да дефинират случаи, описани с думите „не повече“ и „не по-малко“. Фразата „не повече“ означава по-малко или същото – това ниво на сравнение съответства на знака „по-малко или равно“ ≤. От своя страна „не по-малко“ означава същото или повече и това е знакът „по-голямо или равно“ ≥. По този начин нестрогите неравенства, за разлика от строгите, позволяват обектите да бъдат равни.

Верни и грешни неравенства

Определение 4

Истинско неравенство– онова неравенство, което отговаря на горното значение на неравенството. Иначе е така неверен.

Да дадем прости примериза яснота:

Пример 2

Неравенството 5 ≠ 5 е неправилно, защото всъщност числата 5 и 5 са равни.

Или това сравнение:

Пример 3

Да кажем, че S е площта на определена фигура, в този случай S< - 4 является верным неравенством, поскольку площадь всегда выражена неотрицательным числом.

Подобни по значение на термина „истинско неравенство“ са изразите „справедливо неравенство“, „има неравенство“ и т.н.

Свойства на неравенствата

Нека опишем свойствата на неравенствата. Очевиден факт е, че един обект не може да бъде неравен на себе си и това е първото свойство на неравенството. Второто свойство е: ако първият обект не е равен на втория, то вторият не е равен на първия.

Нека опишем свойствата, съответстващи на знаците „по-голямо от“ и „по-малко от“:

Определение 5

антирефлексност. Това свойство може да се изрази по следния начин: за всеки обект k неравенствата k > k и k< k неверны;
антисиметрия. Това свойство казва, че ако първият обект е по-голям или по-малък от втория, тогава вторият обект е съответно по-малък или по-голям от първия. Нека запишем: ако m > n, тогава n< m . Или: если m < n , то n >m;
преходност. В буквален запис посоченото свойство ще изглежда така: ако е посочено, че a< b и b < с, то a < c . Наоборот: a >b и b > c, което означава a > c. Това свойство е интуитивно и естествено: ако първият обект е по-голям от втория, а вторият е по-голям от третия, тогава става ясно, че първият обект е дори по-голям от третия.

Признаците на нестроги неравенства също имат някои свойства:

Определение 6

рефлексивност: a ≥ a и a ≤ a (това включва и случая, когато a = a);
антисиметрия: ако a ≤ b, тогава b ≥ a. Ако a ≥ b, тогава b ≤ a;
преходност: ако a ≤ b и b ≤ c, тогава е очевидно, че a ≤ c. И също така: ако a ≥ b и b ≥ c, тогава a ≥ c.

Двойна, тройна и т.н. неравенства

Свойството транзитивност прави възможно записването на двойни, тройни и т.н. неравенства, които по същество са вериги от неравенства. Например: двойно неравенство – e > f > g или тройно неравенство k 1 ≤ k 2 ≤ k 3 ≤ k 4 .

Обърнете внимание, че е удобно неравенствата да се записват като вериги, които включват различни знаци: равни, неравни и знаци за строги и нестроги неравенства. Например x = 2< y ≤ z < 15 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter