Линеен обхват на крайна система от вектори. Линеен обхват на система от вектори

Линейната обвивка се нарича още генерирано подпространство х. Обикновено се обозначава. Също така се казва, че линейният обхват опънатаняколко х .

Имоти

Вижте също

Връзки

Фондация Уикимедия. 2010 г.

• Джангар
• Баланс за плащане

Вижте какво е "Линейна обвивка" в други речници:

ЛИНЕЙНА ОБЩИПКА- пресечната точка на M всички подпространства, съдържащи множеството на Avector пространство E. В този случай, Mnas. също подпространство, генерирано от A. M. I. Voitsekhovsky ... Математическа енциклопедия

Линейна обвивка на вектори

Линейна обвивка на вектори- набор от линейни комбинации от тези вектори ∑αiai с всички възможни коефициенти (α1, …, αn) … Икономически и математически речник

линеен диапазон на векторите- Множеството от линейни комбинации на тези вектори ??iai с всички възможни коефициенти (?1, ..., ?n). Теми икономика EN линеен корпус…

линейна алгебра- Математическа дисциплина, раздел от алгебрата, съдържащ, по-специално, теорията на линейните уравнения, матриците и детерминантите, както и теорията на векторните (линейни) пространства. Линейна зависимост "отношение на вида: a1x1 + a2x2 + ... + ... ... Наръчник за технически преводач

Линейна зависимост- “отношение от вида: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, където a1, a2, …, an са числа, от които поне едно е различно от нула; x1, x2, …, xn са определени математически обекти, за които са дефинирани операции за събиране... Икономически и математически речник

черупка- виж Линейна обвивка... Икономически и математически речник

Линейна зависимост

Линейна комбинация- Линейното пространство или векторното пространство е основният обект на изследване на линейната алгебра. Съдържание 1 Определение 2 Най-прости свойства 3 Свързани дефиниции и свойства ... Wikipedia

ГРУПА ЛИНИЯе групата от линейни трансформации на векторно пространство V с крайна размерност n върху някакво тяло K. Изборът на база в пространството V реализира L. r. Математическа енциклопедия

Книги

• Линейна алгебра. Учебник и работилница за софтуер с отворен код Купете за 1471 UAH (само за Украйна)
• Линейна алгебра. Учебник и работилница за академична бакалавърска степен, Кремер Н.Ш.. Този учебник включва редица нови понятия и допълнителни въпроси, като матричната норма, метода на допълване към база, изоморфизъм на линейни пространства, линейни подпространства, линейни...

Нека е система от вектори от векторно пространство Vнад полето П.

Определение 2:Линейна обвивка Лсистеми Ае множеството от всички линейни комбинации от вектори на системата А. Обозначаване L(A).

Може да се покаже, че за всякакви две системи Аи Б,

Алинейно изразено чрез Бако и само ако . (един)

Ае еквивалентен на Бако и само ако L(A)=L(B). (2)

Доказателството следва от предишното свойство

3 Линейната обхват на всяка система от вектори е подпространство на пространството V.

Доказателство

Вземете произволни два вектора и L(A), имащи следните разширения във вектори от А: . Нека проверим осъществимостта на условия 1) и 2) от критерия:

Тъй като това е линейна комбинация от векторите на системата А.

Тъй като това също е линейна комбинация от векторите на системата А.

Помислете сега за матрицата. Линейна обвивка от матрични редове Асе нарича пространство на редовете на матрицата и се обозначава L r (A). Линейна обвивка на матрични колони Асе нарича пространство на колоните и се обозначава L c (A). Имайте предвид, че за пространството на редове и колони на матрицата Аса подпространства от различни аритметични пространства P nи вечертасъответно. Използвайки твърдение (2), можем да стигнем до следното заключение:

Теорема 3:Ако една матрица се получава от друга чрез верига от елементарни трансформации, тогава пространствата на редовете на такива матрици съвпадат.

Сума и пресичане на подпространства

Нека бъде Ли М- две подпространства на пространството Р.

Количество Л+Мсе нарича набор от вектори x+y , където х ∈Ли г ∈М. Очевидно всяка линейна комбинация от вектори от L+Mпринадлежи L+M, следователно L+Mе подпространство на пространството Р(може да съвпада с пространството Р).

пресичане Л∩Мподпространства Ли Ме набор от вектори, които едновременно принадлежат на подпространства Ли М(може да се състои само от нулев вектор).

Теорема 6.1. Сбор от размерности на произволни подпространства Ли Мкрайномерно линейно пространство Ре равна на размерността на сумата от тези подпространства и на размерността на пресечната точка на тези подпространства:

тъмно L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Доказателство. Означете F=L+Mи G=L∩M. Нека бъде G g-мерно подпространство. Избираме основа в него. Като г⊂Ли г⊂М, оттук и основата гможе да се добави към основата Ли към основата М. Нека основата на подпространството Ли нека основата на подпространството М. Нека покажем, че векторите

(6.1) формират основата F=L+M. За да могат векторите (6.1) да формират основата на пространството Фте трябва да са линейно независими и всеки пространствен вектор Фможе да бъде представена чрез линейна комбинация от вектори (6.1).

Нека докажем линейната независимост на векторите (6.1). Нека нулевият пространствен вектор Фе представена от линейна комбинация от вектори (6.1) с някои коефициенти:

Лявата страна на (6.3) е векторът на подпространството Л, а дясната страна е вектор на подпространство М. Оттук и векторът

(6.4) принадлежи на подпространството G=L∩M. От друга страна, векторът v може да бъде представена чрез линейна комбинация от базисни вектори на подпространството г:

(6.5) От уравнения (6.4) и (6.5) имаме:

Но векторите са основата на подпространството М, следователно те са линейно независими и . Тогава (6.2) приема формата:

Поради линейната независимост на основата на подпространството Лние имаме:

Тъй като всички коефициенти в уравнение (6.2) се оказаха нула, векторите

са линейно независими. Но всеки вектор z от Ф(по дефиниция на сумата от подпространства) може да бъде представена от сумата x+y , където х ∈ Лг ∈ М. На свой ред х е представена от линейна комбинация от вектори a г - линейна комбинация от вектори. Следователно векторите (6.10) генерират подпространството Ф. Открихме, че векторите (6.10) образуват база F=L+M.

Изучаване на основите на подпространствата Ли Ми подпространствена основа F=L+M(6.10), имаме: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. следователно:

dimL+dimM−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Директен сбор от подпространства

Определение 6.2. Космос Фе пряк сбор от подпространства Ли М, ако всеки вектор х пространство Фможе да се представи само като сума x=y+z , където г ∈L и z ∈М.

Прекият сбор е обозначен Л⊕М. Казват, че ако F=L⊕М, тогава Фсе разлага на пряка сума от своите подпространства Ли М.

Теорема 6.2. За да н-измерно пространство Рбеше пряк сбор от подпространства Ли М, достатъчно е кръстовището Ли Мсъдържа само нулевия елемент и че размерността на R е равна на сумата от размерите на подпространствата Ли М.

Доказателство. Нека изберем някаква база в подпространството L и някаква база в подпространството M. Нека докажем това

(6.11) е основата на пространството Р. Съгласно хипотезата на теоремата, размерността на пространството R nе равно на сумата от подпространства Ли М (n=l+m). Достатъчно е да се докаже линейната независимост на елементите (6.11). Нека векторът на нулевото пространство Ре представена от линейна комбинация от вектори (6.11) с някои коефициенти:

(6.13) Тъй като лявата част на (6.13) е подпространствен вектор Л, а дясната страна е векторът на подпространството Ми Л∩М=0 , тогава

(6.14) Но векторите и са бази на подпространства Ли Мсъответно. Следователно те са линейно независими. Тогава

(6.15) Установихме, че (6.12) е валидно само при условие (6.15) и това доказва линейната независимост на векторите (6.11). Следователно те формират основа в Р.

Нека x∈R. Разширяваме го по отношение на основата (6.11):

(6.16) От (6.16) имаме:

(6.18) От (6.17) и (6.18) следва, че всеки вектор от Рможе да се представи чрез сумата от вектори х 1 ∈Ли х 2 ∈М. Остава да се докаже, че това представяне е уникално. Нека в допълнение към представянето (6.17) има и следното представяне:

(6.19) Като извадим (6.19) от (6.17), получаваме

(6.20) Тъй като , и Л∩М=0 , след това и . Следователно и . ■

Теорема 8.4 за размерността на сумата от подпространства. Ако и са подпространства на крайномерно линейно пространство , тогава размерността на сумата от подпространства е равна на сумата от техните размери без размерността на тяхното пресичане ( Формулата на Грасман):

Наистина, нека е основата на пресечната точка . Нека го допълним с подреден набор от вектори до основата на подпространството и подреден набор от вектори до основата на подпространството. Такова допълнение е възможно по теорема 8.2. От тези три набора от вектори ще съставим подреден набор от вектори. Нека покажем, че тези вектори са генератори на пространството. Всъщност всеки вектор от това пространство може да бъде представен като линейна комбинация от вектори от подреденото множество

Следователно, . Нека докажем, че генераторите са линейно независими и следователно са основа на пространството. Наистина, нека направим линейна комбинация от тези вектори и да я приравним на нулевия вектор: . Всички коефициенти на това разширение са нула: подпространствата на векторно пространство с билинеарна форма са множеството от всички вектори, ортогонални на всеки вектор от . Това множество е векторно подпространство, което обикновено се означава с .

Линейната обвивка се нарича още генерирано подпространство х. Обикновено се обозначава. Също така се казва, че линейният обхват опънатаняколко х .

Имоти

Вижте също

Връзки

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "Линейна обвивка" в други речници:

Пресечната точка M на всички подпространства, съдържащи множеството E на авекторното пространство. Освен това Mnas. също подпространство, генерирано от A. M. I. Voitsekhovsky ... Математическа енциклопедия

Линейна обвивка на вектори

Линейна обвивка на вектори- набор от линейни комбинации от тези вектори ∑αiai с всички възможни коефициенти (α1, …, αn) … Икономически и математически речник

линеен диапазон на векторите- Множеството от линейни комбинации на тези вектори ??iai с всички възможни коефициенти (?1, ..., ?n). Теми икономика EN линеен корпус…

линейна алгебра- Математическа дисциплина, раздел от алгебрата, съдържащ, по-специално, теорията на линейните уравнения, матриците и детерминантите, както и теорията на векторните (линейни) пространства. Линейна зависимост "отношение на вида: a1x1 + a2x2 + ... + ... ... Наръчник за технически преводач

Линейна зависимост- “отношение от вида: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, където a1, a2, …, an са числа, от които поне едно е различно от нула; x1, x2, …, xn са определени математически обекти, за които са дефинирани операции за събиране... Икономически и математически речник

черупка- виж Линейна обвивка... Икономически и математически речник

Линейното пространство или векторното пространство е основният обект на изследване на линейната алгебра. Съдържание 1 Определение 2 Най-прости свойства 3 Свързани дефиниции и свойства ... Wikipedia

Групата от линейни трансформации на векторно пространство V с крайна размерност n върху някакво тяло K. Изборът на база в пространството V реализира L. r. Математическа енциклопедия

Книги

• Линейна алгебра. Учебник и работилница за безплатен софтуер
• Линейна алгебра. Учебник и работилница за академична бакалавърска степен, Кремер Н.Ш.. Този учебник включва редица нови понятия и допълнителни въпроси, като матричната норма, метода на допълване към база, изоморфизъм на линейни пространства, линейни подпространства, линейни...

1. Набор от полиноми П н (х) градуси не по-високи н.

2. Няколко н-термини последователности (с почленно събиране и умножение по скалар).

3 . Много функции ° С [ а , б ] непрекъснато на [ а, б] и с поточково събиране и умножение по скалар.

4. Наборът от функции, дефинирани на [ а, б] и изчезва в някаква фиксирана вътрешна точка ° С: е (° С) = 0 и с точкови операции на събиране и умножение по скалар.

5. Множеството R + if х ⊕ г  х  г, ⊙х х  .

§осем. Определение на подпространство

Оставете комплекта Уе подмножество на линейното пространство V (У  V) и такова

а)  х, гУ  х ⊕ гУ;

б)  хУ,    ⊙ хУ.

Операциите по събиране и умножение тук са същите като в пространството V(те се наричат ​​космически индуцирани V).

Такова множество Усе нарича подпространство на пространството V.

7  . подпространство Усамо по себе си е пространство.

◀ За да се докаже, е достатъчно да се докаже съществуването на неутрален елемент и противоположен елемент. Равенства 0⊙ х=  и (–1)⊙ х = –хдокажи каквото е необходимо.

Подпространство, състоящо се само от неутрален елемент () и подпространство, съвпадащо със самото пространство V, се наричат ​​тривиални подпространства на пространството V.

§девет. Линейна комбинация от вектори. Линеен обхват на система от вектори

Нека векторите д 1 ,д 2 , …д н Vи  1 ,  2 , …  н .

вектор x=  1 д 1 +  2 д 2 + … +  н д н = наречена линейнакомбинация от вектори д 1 , д 2 , … , д нс коефициенти  1 ,  2 , …  н .

Ако всички коефициенти в линейна комбинация са нула, тогава линейната комбинация Наречентривиално.

Много възможни линейни комбинации от вектори
се нарича линеен участъктази система от вектори и се обозначава:

ℒ(д 1 , д 2 , …, д н) = ℒ
.

8  . ℒ(д 1 , д 2 , …, д н

◀ Правилността на събиране и умножение със скалар следва от факта, че ℒ( д 1 , д 2 , …, д н) е множеството от всички възможни линейни комбинации. Неутралният елемент е тривиална линейна комбинация. За елемент х=
противоположният елемент е х =
. Удовлетворени са и аксиомите, на които операциите трябва да отговарят. Така, ℒ( д 1 , д 2 , …, д н) е линейно пространство.

Всяко линейно пространство съдържа, в общия случай, безкраен брой други линейни пространства (подпространства) - линейни обвивки

В бъдеще ще се опитаме да отговорим на следните въпроси:

Кога линейните обхвати на различни системи от вектори се състоят от едни и същи вектори (т.е. съвпадат)?

2) Какъв е минималният брой вектори, които определят един и същ линеен обхват?

3) Изходното пространство линеен участък от някаква система от вектори?

§десет. Пълни системи от вектори

Ако в космоса Vима краен набор от вектори
такъв, че ℒ
 V, след това системата от вектори
наречена цялостна система V, а пространството се казва, че е крайномерно. По този начин системата от вектори д 1 , д 2 , …, д н Vсе нарича завършен Vсистема, т.е. ако

хV   1 ,  2 , …  н такъв, че x=  1 д 1 +  2 д 2 + … +  н д н .

Ако в космоса Vняма крайна пълна система (и винаги съществува пълна система - например множеството от всички пространствени вектори V), след това пространството Vсе нарича безкраен.

9  . Ако
пълен Vсистема от вектори и г V, тогава ( д 1 , д 2 , …, д н , г) също е цялостна система.

◀ Достатъчно в линейни комбинации гвземете равно на 0.

вектор(или линеен) пространство- математическа структура, която представлява набор от елементи, наречени вектори, за които се дефинират операциите на събиране помежду си и умножение с число - скалар. Тези операции се подчиняват на осем аксиоми. Скаларите могат да бъдат елементи от реално, комплексно или всяко друго числово поле. Специален случай на такова пространство е обичайното триизмерно евклидово пространство, чиито вектори се използват например за представяне на физически сили. Трябва да се отбележи, че векторът, като елемент от векторно пространство, не трябва да се посочва като насочен сегмент. Обобщаването на понятието "вектор" към елемент от векторно пространство от всякакво естество не само не причинява объркване на термините, но също така ни позволява да разберем или дори да предвидим редица резултати, които са валидни за пространства от произволен характер .

Векторните пространства са обект на изследване в линейната алгебра. Една от основните характеристики на векторното пространство е неговата размерност. Измерението е максималният брой линейно независими елементи на пространството, тоест чрез прибягване до груба геометрична интерпретация, броят на посоките, които са неизразими една спрямо друга само чрез операциите събиране и умножение със скалар. Векторното пространство може да бъде надарено с допълнителни структури, като нормата или точковото произведение. Такива пространства се появяват естествено в смятането, предимно като безкрайномерни функционални пространства (Английски), където векторите са функциите . Много проблеми в анализа изискват да се установи дали последователност от вектори се сближава с даден вектор. Разглеждането на такива въпроси е възможно във векторни пространства с допълнителна структура, в повечето случаи подходяща топология, която позволява да се дефинират понятията близост и непрекъснатост. Такива топологични векторни пространства, по-специално пространствата на Банах и Хилберт, позволяват по-задълбочено изследване.

Първите произведения, които предвиждат въвеждането на концепцията за векторно пространство, датират от 17 век. Тогава се развива аналитичната геометрия, учението за матриците, системите от линейни уравнения и евклидовите вектори.

Определение

Линеенили векторно пространство V (F) (\displaystyle V\ляво(F\вдясно))над полето F (\displaystyle F)е подредена четворка (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), където

• V (\displaystyle V)- непразен набор от елементи с произволен характер, които се наричат вектори;
• F (\displaystyle F)- поле, чиито елементи се извикват скалари;
• Дефинирана операция допълнениявектори V × V → V (\displaystyle V\times V\to V), съвпадащи с всяка двойка елементи x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y))комплекти V (\displaystyle V) V (\displaystyle V)обаждайки ги сумаи означени x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
• Дефинирана операция умножение на вектори по скалари F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), което съответства на всеки елемент λ (\displaystyle \lambda )полета F (\displaystyle F)и всеки елемент x (\displaystyle \mathbf (x) )комплекти V (\displaystyle V)единственият елемент от комплекта V (\displaystyle V), обозначено λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) )или λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x));

Векторните пространства, дефинирани върху същия набор от елементи, но върху различни полета, ще бъдат различни векторни пространства (например набор от двойки реални числа R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2))може да бъде двумерно векторно пространство над полето на реалните числа или едномерно - над полето на комплексните числа).

Най-простите свойства

1. Векторното пространство е абелева група чрез събиране.
2. неутрален елемент 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) )за всеки .
4. За всеки x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V)противоположен елемент − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V)е единственото, което следва от свойствата на групата.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) )за всеки x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x)))за всякакви и x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) )за всеки α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

Свързани дефиниции и свойства

подпространство

Алгебрична дефиниция: Линейно подпространствоили векторно подпространствое непразно подмножество K (\displaystyle K)линейно пространство V (\displaystyle V)такъв, че K (\displaystyle K)само по себе си е линейно пространство по отношение на определените в V (\displaystyle V)операциите събиране и умножение със скалар. Множеството от всички подпространства обикновено се означава като L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). За да бъде едно подмножество подпространство, това е необходимо и достатъчно

Последните две твърдения са еквивалентни на следното:

За всякакви вектори x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K)вектор α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) )също принадлежеше K (\displaystyle K)за всякакви α , β ∈ F (\displaystyle \alpha,\beta \in F).

По-специално, векторно пространство, състоящо се само от един нулев вектор, е подпространство на всяко пространство; всяко пространство е подпространство на себе си. Подпространства, които не съвпадат с тези две, се наричат собственили нетривиален.

Свойства на подпространството

Линейни комбинации

Краен сбор на изгледа

Линейната комбинация се нарича:

Основа. Измерение

вектори x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n))Наречен линейно зависими, ако съществува нетривиална линейна комбинация от тях, чиято стойност е равна на нула; т.е

с някои коефициенти α 1 , α 2 , … , α n ∈ F , (\displaystyle \alpha _(1),\alpha _(2),\ldots ,\alpha _(n)\in F,)и поне един от коефициентите α i (\displaystyle \alpha _(i))различен от нула.

В противен случай тези вектори се наричат линейно независими.

Тази дефиниция позволява следното обобщение: безкраен набор от вектори от V (\displaystyle V)Наречен линейно зависими, ако някои финалнеговото подмножество и линейно независими, Ако някой финалподмножеството е линейно независимо.

Основни свойства:

Линейна обвивка

Линейна обвивкаподмножества X (\displaystyle X)линейно пространство V (\displaystyle V)- пресичане на всички подпространства V (\displaystyle V)съдържащи X (\displaystyle X).

Линейната обвивка е подпространство V (\displaystyle V).

Линейната обвивка се нарича още генерирано подпространство X (\displaystyle X). Също така се казва, че линейният обхват V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- пространство, опънатаняколко X (\displaystyle X).