Кога можете да използвате интервалния метод? Дробни рационални неравенства

Интервален метод– прост начин за решаване на дробни рационални неравенства. Това е името на неравенства, съдържащи рационални (или дробно-рационални) изрази, които зависят от променлива.

1. Помислете например за следното неравенство

Интервалният метод ви позволява да го решите за няколко минути.

От лявата страна на това неравенство е дробна рационална функция. Рационално, защото не съдържа корени, синуси или логаритми - само рационални изрази. Вдясно е нула.

Интервалният метод се основава на следното свойство на дробна рационална функция.

Дробната рационална функция може да промени знака си само в онези точки, в които е равна на нула или не съществува.

Нека си припомним как се разлага квадратен трином, т.е. израз на формата .

Къде и са корените квадратно уравнение.

Начертаваме ос и поставяме точките, в които числителят и знаменателят отиват на нула.

Нулите на знаменателя и са пунктирани точки, тъй като в тези точки функцията от лявата страна на неравенството не е дефинирана (не можете да делите на нула). Нулите на числителя и - са защриховани, тъй като неравенството не е строго. Когато и нашето неравенство е изпълнено, тъй като и двете му страни са равни на нула.

Тези точки разделят оста на интервали.

Нека определим знака на дробната рационална функция от лявата страна на нашето неравенство на всеки от тези интервали. Спомняме си, че дробна рационална функция може да промени знака си само в онези точки, в които е равна на нула или не съществува. Това означава, че във всеки от интервалите между точките, където числителят или знаменателят отива на нула, знакът на израза от лявата страна на неравенството ще бъде постоянен - или "плюс", или "минус".

И следователно, за да определим знака на функцията на всеки такъв интервал, ние вземаме всяка точка, принадлежаща на този интервал. Тази, която ни е удобна.
. Вземете например и проверете знака на израза от лявата страна на неравенството. Всяка от "скобите" е отрицателна. Лявата страна има знак.

Следващ интервал: . Нека проверим знака на . Разбираме това лява странасмени знака на .

Да вземем. Когато изразът е положителен - следователно, той е положителен през целия интервал от до.

Когато лявата страна на неравенството е отрицателна.

И накрая, class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Установихме на какви интервали изразът е положителен. Остава само да напиша отговора:

Отговор: .

Моля, обърнете внимание: знаците се редуват между интервалите. Това се случи, защото при преминаване през всяка точка точно един от линейните множители променя знака, докато останалите го запазват непроменен.

Виждаме, че интервалният метод е много прост. За да решим дробно-рационалното неравенство, използвайки интервалния метод, го редуцираме до формата:

Или class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, или или .

(от лявата страна е дробна рационална функция, от дясната страна е нула).

След това отбелязваме на числовата ос точките, в които числителят или знаменателят отива на нула.
Тези точки разделят цялата числова линия на интервали, на всеки от които дробно-рационалната функция запазва своя знак.
Остава само да открием знака му на всеки интервал.
Правим това, като проверяваме знака на израза във всяка точка, принадлежаща на даден интервал. След това записваме отговора. Това е всичко.

Но възниква въпросът: винаги ли знаците се редуват? Не винаги! Трябва да внимавате и да не поставяте знаци механично и необмислено.

2. Нека разгледаме друго неравенство.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ ляво(x-3 \дясно))>0"> !}

Поставете отново точките върху оста. Точките и са пунктирани, защото са нули на знаменателя. Точката също е изрязана, тъй като неравенството е строго.

Когато числителят е положителен, и двата фактора в знаменателя са отрицателни. Това може лесно да се провери, като се вземе произволно число от даден интервал, например . От лявата страна има знак:

Когато числителят е положителен; Първият фактор в знаменателя е положителен, вторият фактор е отрицателен. От лявата страна има знак:

Ситуацията е същата! Числителят е положителен, първият множител в знаменателя е положителен, вторият е отрицателен. От лявата страна има знак:

И накрая, с class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Отговор: .

Защо редуването на знаците беше нарушено? Защото при преминаване през точка множителят е „отговорен“ за това не смени знака. Следователно цялата лява страна на нашето неравенство не промени знака.

Заключение: ако линейният множител е четна степен (например на квадрат), тогава при преминаване през точка знакът на израза от лявата страна не се променя. В случай на нечетна степен, знакът, разбира се, се променя.

3. Нека разгледаме повече труден случай. Различава се от предишния по това, че неравенството не е строго:

Лявата страна е същата като в предишния проблем. Картината на знаците ще бъде същата:

Може би отговорът ще бъде същият? Не! Добавя се решение. Това се случва, защото и лявата, и дясната страна на неравенството са равни на нула - следователно тази точка е решение.

Отговор: .

Тази ситуация често се среща при задачи на Единния държавен изпит по математика. Това е мястото, където кандидатите попадат в капан и губят точки. Бъди внимателен!

4. Какво да направите, ако числителят или знаменателят не могат да бъдат разложени на линейни множители? Разгледайте това неравенство:

Квадратният тричлен не може да бъде факторизиран: дискриминантът е отрицателен, няма корени. Но това е добре! Това означава, че знакът на израза за всички е един и същ и по-специално положителен. Можете да прочетете повече за това в статията за свойствата на квадратичните функции.

И сега можем да разделим двете страни на нашето неравенство на стойност, която е положителна за всички. Нека стигнем до еквивалентно неравенство:

Което лесно се решава чрез интервалния метод.

Моля, обърнете внимание, че разделихме двете страни на неравенството на стойност, за която знаехме със сигурност, че е положителна. Разбира се, по принцип не трябва да умножавате или делите неравенство на променлива, чийто знак е неизвестен.

5 . Нека разгледаме друго неравенство, на пръв поглед доста просто:

Просто искам да го умножа по . Но ние вече сме умни и няма да направим това. В края на краищата, тя може да бъде както положителна, така и отрицателна. И знаем, че ако двете страни на неравенството се умножат по отрицателна стойност, знакът на неравенството се променя.

Ще го направим по друг начин - ще съберем всичко в една част и ще го приведем към общ знаменател. Дясната страна ще остане нула:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

И след това - кандидатствайте интервален метод.

Интервален метод е специален алгоритъм, предназначен за решаване на сложни неравенства от вида f(x) > 0. Алгоритъмът се състои от 5 стъпки:

Решете уравнението f(x) = 0. Така, вместо неравенство, получаваме уравнение, което е много по-лесно за решаване;
Маркирайте всички получени корени върху координатната права. Така правата линия ще бъде разделена на няколко интервала;
Намерете кратността на корените. Ако корените са с четна множественост, тогава начертайте цикъл над корена. (Коренът се счита за кратно, ако има четен брой еднакви решения)
Намерете знака (плюс или минус) на функцията f(x) в най-десния интервал. За да направите това, достатъчно е да замените в f(x) всяко число, което ще бъде вдясно от всички маркирани корени;
Маркирайте знаците на останалите интервали, като ги редувате.

След това остава само да запишем интервалите, които ни интересуват. Те се отбелязват със знак „+“, ако неравенството е във вид f(x) > 0, или със знак „−“, ако неравенството е във вид f(x)< 0.

При нестроги неравенства (≤ , ≥) е необходимо в интервалите да се включат точки, които са решение на уравнението f(x) = 0;

Пример 1:

Решете неравенство:

(x - 2) (x + 7)< 0

Работим по интервалния метод.

Етап 1: заменете неравенството с уравнение и го решете:

(x - 2)(x + 7) = 0

Продуктът е нула тогава и само ако поне един от факторите е нула:

x - 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

Имаме два корена.

Стъпка 2: Маркираме тези корени на координатната линия. Ние имаме:

Стъпка 3: намираме знака на функцията на най-десния интервал (вдясно от маркираната точка x = 2). За да направите това, трябва да вземете произволно число, което повече брой x = 2. Например, нека вземем x = 3 (но никой не забранява да вземем x = 4, x = 10 и дори x = 10 000).

f(x) = (x - 2)(x + 7)

f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

Получаваме, че f(3) = 10 > 0 (10 е положително число), така че поставяме знак плюс в най-десния интервал.

Стъпка 4: трябва да отбележите знаците на останалите интервали. Спомняме си, че при преминаване през всеки корен знакът трябва да се промени. Например, отдясно на корена x = 2 има плюс (уверихме се в това в предишната стъпка), така че трябва да има минус отляво. Това минус се простира до целия интервал (−7; 2), така че има минус вдясно от корена x = −7. Следователно вляво от корена x = −7 има плюс. Остава да маркирате тези знаци върху координатната ос.

Нека се върнем към първоначалното неравенство, което имаше формата:

(x - 2) (x + 7)< 0

Така че функцията трябва да бъде по-малко от нула. Това означава, че се интересуваме от знака минус, който се появява само на един интервал: (−7; 2). Това ще бъде отговорът.

Пример 2:

Решете неравенство:

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) ≥ 0

Решение:

Първо трябва да намерите корените на уравнението

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) = 0

Нека свием първата скоба и да получим:

(3x - 1) 2 (x - 2) = 0

х - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0

Решавайки тези уравнения получаваме:

Нека начертаем точките на числовата права:

защото x 2 и x 3 са множество корени, тогава ще има една точка на линията и над нея “ примка”.

Нека вземем всяко число, по-малко от най-лявата точка, и го заместваме в първоначалното неравенство. Нека вземем числото -1.

Не забравяйте да включите решението на уравнението (намерено X), защото нашето неравенство не е строго.

Отговор: () U ∪(3)∪ (не дефинираме знака на интервала (−6, 4), тъй като той не е част от областта на дефиниране на функцията). За да направите това, вземете по една точка от всеки интервал, например 16, 8, 6 и −8, и изчислете стойността на функцията f в тях:

Ако имате въпроси относно това как е установено какви са изчислените стойности на функцията, положителни или отрицателни, тогава проучете материала в статията сравнение на числата.

Поставяме новодефинираните знаци и прилагаме засенчване върху интервалите със знак минус:

В отговора записваме обединението на два интервала със знака −, имаме (−∞, −6]∪(7, 12). Обърнете внимание, че −6 е включено в отговора (съответстващата точка е плътна, не е пунктирана) , Факт е, че тази ненулева функция (която при решаване строго неравенствоние не бихме включили в отговора), но граничната точка на домейна на дефиницията (тя е оцветена, а не черна), докато е включена в домейна на дефиницията. Стойността на функцията в тази точка е отрицателна (както се вижда от знака минус над съответния интервал), тоест тя удовлетворява неравенството. Но няма нужда да включвате 4 в отговора (както и целия интервал ∪(7, 12) .

Библиография.

Алгебра: 9 клас: учебен. за общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2009. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Мордкович А. Г.Алгебра. 9 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров - 14-то изд. - М.: Образование, 2004. - 384 с.: ил. - ISBN 5-09-013651-3.
Кудрявцев Л. Д.Курс по математически анализ (в два тома): Учебник за студенти и студенти. – М.: Висше. училище, 1981, т. 1. – 687 с., ил.

Интервалният метод е универсален метод за решаване на неравенства; по-специално той ви позволява да решавате квадратни неравенства с една променлива. В тази статия ще разгледаме подробно всички нюанси на решаването на квадратни неравенства с помощта на интервалния метод. Първо представяме алгоритъма, след което ще анализираме подробно готовите решения за типични примери.

Навигация в страницата.

Алгоритъм

Първото запознаване с интервалния метод обикновено се случва в часовете по алгебра, когато се учат да решават квадратни неравенства. В този случай алгоритъмът на интервалния метод е даден във форма, адаптирана специално за решаване на квадратни неравенства. Отдавайки почит на простотата, ние също ще го дадем в тази форма и можете да видите общия алгоритъм на интервалния метод на връзката в самото начало на тази статия.

Така, алгоритъм за решаване на квадратни неравенства по интервалния методе:

Намиране на нулите на квадратен тричлен a·x 2 +b·x+c от лявата страна на квадратното неравенство.
Начертаваме го и, ако има корени, ги отбелязваме върху него. Освен това, ако решаваме строго неравенство, тогава ги маркираме с празни (пунктирани) точки, а ако решаваме нестрого неравенство, тогава с обикновени точки. Те разделят координатната ос на интервали.
Ние определяме кои знаци имат стойностите на тринома на всеки интервал (ако нули са намерени в първата стъпка) или на цялата числова линия (ако няма нули), ще ви кажем как да направите това по-долу. И поставяме + или − над тези интервали в съответствие с определени знаци.
Ако решаваме квадратно неравенство със знак > или ≥, тогава прилагаме засенчване върху интервалите със знаци +, но ако решаваме неравенство със знак< или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −. В результате получаем , которое и является искомым решением неравенства.
Записваме отговора.

Както обещахме, обясняваме третата стъпка от обявения алгоритъм. Има няколко основни подхода, които ви позволяват да намирате знаци на интервали. Ще ги проучим с примери и ще започнем с надежден, но не най-бърз метод, който се състои в изчисляване на стойностите на тринома в отделни точки от интервалите.

Нека вземем тринома x 2 +4 x−5, неговите корени са числата −5 и 1, те разделят числовата ос на три интервала (−∞, −5), (−5, 1) и (1, +∞ ).

Нека определим знака на тринома x 2 +4·x−5 върху интервала (1, +∞) . За да направим това, изчисляваме стойността на този трином за определена стойност на x от този интервал. Препоръчително е да вземете стойността на променливата, така че изчисленията да са лесни. В нашия случай, например, можем да вземем x=2 (с това число е по-лесно да се извършват изчисления, отколкото например с 1,3, 74 или). Заместваме го в тринома вместо променливата x, като резултат получаваме 2 2 +4 2−5=7. 7 е положително число, което означава, че всяка стойност на квадратния трином в интервала (1, +∞) ще бъде положителна. Ето как дефинирахме знака +.

За да консолидираме уменията, ще определим знаците на останалите две полета. Нека започнем със знака на интервала (−5, 1) . От този интервал е най-добре да вземем x=0 и да изчислим стойността на квадратния трином за тази стойност на променливата, имаме 0 2 +4·0−5=−5. Тъй като −5 е отрицателно число, тогава в този интервал всички стойности на тринома ще бъдат отрицателни, следователно сме дефинирали знака минус.

Остава да намерим знака на интервала (−∞, −5) . Нека вземем x=−6, заместим го с x, получаваме (−6) 2 +4·(−6)−5=7, следователно търсеният знак ще бъде плюс.

Но следните факти ви позволяват да поставяте знаци по-бързо:

Когато квадратният трином има два корена (с положителен дискриминант), тогава знаците на неговите стойности на интервалите, на които тези корени разделят числовата линия, се редуват (както в предишния пример). Тоест, достатъчно е да определите знака на един от трите интервала и да поставите знаците върху останалите интервали, като ги редувате. В резултат на това е възможна една от две последователности от знаци: +, −, + или −, +, −. Освен това можете като цяло да направите, без да изчислявате стойността на квадратния трином в точката на интервала и да направите изводи за знаците въз основа на стойността на водещия коефициент a: ако a>0, тогава имаме последователност от знаци + , −, + и ако a<0 – то −, +, −.
Ако квадратният трином има един корен (когато дискриминантът е нула), тогава този корен разделя числовата линия на два интервала и знаците над тях ще бъдат еднакви. Тоест, достатъчно е да определите знак над един от тях, а над другия - да поставите същия. Това ще доведе до +, + или −, −. Заключение въз основа на знаците може да се направи и въз основа на стойността на коефициента a: ако a>0, тогава ще бъде +, +, а ако a<0 , то −, −.
Когато квадратният трином няма корени, тогава знаците на неговите стойности на цялата числова линия съвпадат както със знака на водещия коефициент a, така и със знака на свободния член c. Например, разгледайте квадратния трином −4 x 2 −7, той няма корени (дискриминантът му е отрицателен), а на интервала (−∞, +∞) стойностите му са отрицателни, тъй като коефициентът на x 2 е отрицателно число −4, а свободният член −7 също е отрицателен.

Сега всички стъпки на алгоритъма са анализирани и остава да разгледаме примери за решаване на квадратни неравенства с него.

Примери с решения

Да преминем към практиката. Нека да решим няколко квадратни неравенства с помощта на интервалния метод и да се докоснем до основните характерни случаи.

Пример.

Решете неравенството 8 x 2 −4 x−1≥0 .

Решение.

Нека решим това квадратно неравенство с помощта на интервалния метод. В първата стъпка това включва търсене на корените на квадратния трином 8 x 2 −4 x −1. Коефициентът на x е четен, така че е по-удобно да се изчисли не дискриминантът, а неговата четвърта част: D"=(−2) 2 −8·(−1)=12. Тъй като е по-голям от нула, намираме два корена И .

Сега ги маркираме на координатната линия. Лесно се вижда, че x 1

След това, използвайки интервалния метод, определяме знаците на всеки от трите получени интервала. Това е най-удобно и най-бързо да се направи въз основа на стойността на коефициента при x 2, той е равен на 8, тоест положителен, следователно последователността от знаци ще бъде +, −, +:

Тъй като решаваме неравенство със знак ≥, рисуваме засенчване върху интервалите със знаци плюс:

Въз основа на полученото изображение на числово множество не е трудно да се опише аналитично: или нещо такова . Ето как решихме първоначалното квадратно неравенство.

Отговор:

или .

Пример.

Решаване на квадратно неравенство интервален метод.

Решение.

Намерете корените на квадратния трином от лявата страна на неравенството:

Тъй като решаваме строго неравенство, изобразяваме пунктирана точка с координата 7 на координатната права:

Сега определяме знаците на двата получени интервала (−∞, 7) и (7, +∞). Това е лесно да се направи, като се има предвид, че дискриминантът на квадратен трином е равен на нули и водещият коефициент е отрицателен. Имаме знаци −, −:

Тъй като решаваме неравенство със знак<, то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

Ясно се вижда, че и двата интервала (−∞, 7) , (7, +∞) са решения.

Отговор:

(−∞, 7)∪(7, +∞) или в друга нотация x≠7 .

Пример.

Прави ли квадратното неравенство x 2 +x+7<0 решения?

Решение.

За да отговорим на поставения въпрос, ще решим това квадратно неравенство и тъй като анализираме метода на интервалите, ще го използваме. Както обикновено, започваме с намиране на корените на квадратния тричлен от лявата страна. Намираме дискриминанта: D=1 2 −4·1·7=1−28=−27, той е по-малък от нула, което означава, че няма реални корени.

Затова просто начертаваме координатна линия, без да отбелязваме никакви точки върху нея:

Сега определяме знака на стойностите на квадратния трином. В Д<0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак +:

Решаваме неравенство със знак<, поэтому штриховку следует изобразить над промежутками со знаком −, но таковых нет, и в силу этого штриховку не наносим, а чертеж сохраняет свой вид.

В резултат на това имаме празно множество, което означава, че първоначалното квадратно неравенство няма решения.

Отговор:

Библиография.

Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Алгебра: 9 клас: учебен. за общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2009. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
Мордкович А. Г.Алгебра. 9 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
Мордкович А. Г.Алгебра и началото на математическия анализ. 11 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции (ниво на профил) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ро изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.

Важни бележки!
1. Ако видите gobbledygook вместо формули, изчистете кеша. Как да направите това във вашия браузър е написано тук:
2. Преди да започнете да четете статията, обърнете внимание на нашия навигатор за най-полезните ресурси за

Просто трябва да разберете този метод и да го познавате като дланта си! Макар и само защото се използва за решаване на рационални неравенства и защото, познавайки правилно този метод, решаването на тези неравенства е изненадващо просто. Малко по-късно ще ви кажа няколко тайни за това как да спестите време за решаване на тези неравенства. Е, заинтригувани ли сте? Тогава да вървим!

Същността на метода е да разделим неравенството на фактори (повторете темата) и да определите ODZ и знака на факторите; сега ще обясня всичко. Да вземем най-простия пример: .

Няма нужда да пишете диапазона от приемливи стойности () тук, тъй като няма разделяне на променливата и тук не се наблюдават радикали (корени). Всичко тук вече е факторизирано за нас. Но не се отпускайте, това е всичко, за да ви напомни основите и да разберете същността!

Да кажем, че не знаете интервалния метод, как бихте разрешили това неравенство? Подхождайте логично и надграждайте това, което вече знаете. Първо, лявата страна ще бъде по-голяма от нула, ако и двата израза в скоби са по-големи от нула или по-малки от нула, защото „плюс“ за „плюс“ дава „плюс“ и „минус“ за „минус“ дава „плюс“, нали? И ако знаците на изразите в скоби са различни, тогава накрая лявата страна ще бъде по-малка от нула. Какво ни трябва, за да разберем тези стойности, при които изразите в скоби ще бъдат отрицателни или положителни?

Трябва да решим уравнение, то е точно същото като неравенство, само че вместо знак ще има знак, корените на това уравнение ще ни позволят да определим онези гранични стойности, при отклонение от които факторите ще бъдат по-големи или по-малко от нула.

А сега и самите интервали. Какво е интервал? Това е определен интервал от числовата линия, тоест всички възможни числа, съдържащи се между две числа - краищата на интервала. Не е толкова лесно да си представите тези интервали в главата си, така че е обичайно да рисувате интервали, сега ще ви науча.

Начертаваме ос; върху нея е разположена цялата числова серия от и до. Точките са нанесени на оста, така наречените нули на функцията, стойностите, при които изразът е равен на нула. Тези точки са "закрепени", което означава, че не са сред тези стойности, при които неравенството е вярно. В този случай те се пробиват, защото знак в неравенството и не, т.е. строго по-голямо от и не по-голямо от или равно на.

Искам да кажа, че не е необходимо да отбелязвате нула, тук е без кръгове, а само за разбиране и ориентация по оста. Добре, начертахме оста, поставихме точките (по-точно кръговете), какво следва, как това ще ми помогне в решаването? - ти питаш. Сега просто вземете стойността за x от интервалите по ред и ги заменете във вашето неравенство и вижте какъв знак ще доведе до умножението.

Накратко, просто го вземаме за пример, заместваме го тук, ще се получи, което означава, че неравенството ще е валидно за целия интервал (по целия интервал) от до, от който сме го взели. С други думи, ако х е от до, тогава неравенството е вярно.

Правим същото с интервала от до, вземаме или например заместваме, определяме знака, знакът ще бъде „минус“. И правим същото с последния, трети интервал от до, където знакът се оказва „плюс“. Има толкова много текст, но няма достатъчно яснота, нали?

Погледнете отново неравенството.

Сега прилагаме и знаците, които ще се получат в резултат на същата ос. В моя пример прекъснатата линия обозначава положителните и отрицателните секции на оста.

Погледнете неравенството - чертежа, пак неравенството - и пак чертежа, нещо ясно ли е Сега опитайте да кажете на какви интервали X, неравенството ще бъде вярно. Точно така, от до неравенството също ще бъде вярно от до, но в интервала от до неравенството е нула и този интервал не ни интересува малко, защото имаме знак в неравенството.

Е, сега, след като го разбрахте, единственото нещо, което остава да направите, е да запишете отговора! В отговор записваме тези интервали, за които лявата страна е по-голяма от нула, което се чете като X принадлежи на интервала от минус безкрайност до минус едно и от две до плюс безкрайност. Струва си да се изясни, че скобите означават, че стойностите, с които е ограничен интервалът, не са решения на неравенството, тоест те не са включени в отговора, а само показват, че до, например, не е решение.

Сега пример, в който не само ще трябва да начертаете интервала:

Какво мислите, че трябва да се направи, преди да се поставят точки върху оста? Да, разложете го на фактори:

Начертаваме интервали и поставяме знаци, забележете, че имаме пробити точки, защото знакът е строго по-малък от нула:

Време е да ви издам една тайна, която обещах в началото на тази тема! Ами ако ви кажа, че не е нужно да замествате стойностите от всеки интервал, за да определите знака, но можете да определите знака в един от интервалите и просто да редувате знаците в останалите!

Така спестихме малко време за поставяне на знаци - мисля, че това спечелено време на Единния държавен изпит няма да навреди!

Пишем отговора:

Сега разгледайте пример за дробно-рационално неравенство - неравенство, двете части на което са рационални изрази (вижте).

Какво можете да кажете за това неравенство? И вие го разглеждате като дробно-рационално уравнение, какво ще направим първо? Веднага виждаме, че няма корени, което означава, че определено е рационално, но тогава е дроб и дори с неизвестно в знаменателя!

Точно така, имаме нужда от ОДЗ!

И така, нека отидем по-нататък, тук всички фактори с изключение на един имат променлива от първа степен, но има фактор, където х има втора степен. Обикновено знакът ни се променя след преминаване през една от точките, в които лявата страна на неравенството приема нулева стойност, за която определяме на какво трябва да бъде равно x във всеки фактор. Но тук винаги е положително, защото всяко число на квадрат > нула и положителен член.

Мислите ли, че това ще повлияе на значението на неравенството? Точно така - няма да повлияе! Можем спокойно да разделим неравенството на двете части и по този начин да премахнем този фактор, така че да не ни дразни очите.

Дойде време да начертаете интервалите, за да направите това, трябва да определите онези гранични стойности, при отклонение от които множителите ще бъдат по-големи и по-малки от нула. Но обърнете внимание, че тук има знак, това означава, че няма да избираме точката, в която лявата страна на неравенството приема нулева стойност, тя е включена в броя на решенията, имаме само една такава точка, това е точката, в която х е равно на едно. Да оцветим ли точката, където знаменателят е отрицателен? - Разбира се, че не!

Знаменателят не трябва да е нула, така че интервалът ще изглежда така:

Използвайки тази диаграма, можете лесно да напишете отговора, просто ще кажа, че сега имате на ваше разположение нов тип скоба - квадрат! Ето една скоба [ казва, че стойността е включена в интервала на решение, т.е. е част от отговора, тази скоба съответства на запълнена (незакрепена) точка на оста.

И така, получихте ли същия отговор?

Разлагаме го на фактори и преместваме всичко на една страна; в крайна сметка трябва само да оставим нула отдясно, за да сравним с нея:

Обръщам внимание на факта, че при последното преобразуване, за да получа както в числителя, така и в знаменателя, умножавам двете страни на неравенството по. Запомнете, че когато двете страни на едно неравенство се умножат по, знакът на неравенството се променя на противоположния!!!

Пишем ODZ:

В противен случай знаменателят ще отиде до нула и, както си спомняте, не можете да делите на нула!

Съгласете се, полученото неравенство е изкушаващо да намалите числителя и знаменателя! Това не може да стане; може да загубите някои от решенията или ODZ!

Сега опитайте сами да поставите точките на оста. Само ще отбележа, че когато нанасяте точки, трябва да обърнете внимание на факта, че точка със стойност, която въз основа на знака изглежда, че е нанесена върху оста като защрихована, няма да бъде защрихована, а ще бъде издълбан! Защо питаш? И помни ODZ, няма ли да делиш на нула така?

Не забравяйте, че ODZ е на първо място! Ако всички неравенства и знаци за равенство говорят едно, а ОДЗ друго, доверете се на ОДЗ, велико и мощно! Е, вие построихте интервалите, сигурен съм, че разбрахте намека ми за редуването и го получихте така (вижте снимката по-долу). Сега го зачеркнете и не правете тази грешка отново! Каква грешка? - ти питаш.

Факт е, че в това неравенство факторът се повтори два пъти (помните ли как се опитахте да го намалите?). Така че, ако някакъв фактор се повтаря в неравенството четен брой пъти, тогава при преминаване през точка на оста, която превръща този фактор в нула (в този случай точка), знакът няма да се промени; ако е нечетен , тогава знакът се променя!

Следната ос с интервали и знаци ще бъде правилна:

И, моля, обърнете внимание, че знакът, който ни интересува, не е този, който беше в началото (когато за първи път видяхме неравенството, знакът беше там), след трансформациите знакът се промени на, което означава, че се интересуваме от интервали със знак.

Отговор:

Ще кажа също, че има ситуации, когато има корени на неравенство, които не са включени в нито един интервал, в отговор те са написани във къдрави скоби, като това, например: . Можете да прочетете повече за подобни ситуации в статията средно ниво.

Нека обобщим как се решават неравенства с помощта на интервалния метод:

Преместваме всичко от лявата страна, оставяйки само нула отдясно;
Намираме ODZ;
Нанасяме всички корени на неравенството върху оста;
Взимаме произволен от един от интервалите и определяме знака в интервала, към който принадлежи коренът, редуваме знаците, като обръщаме внимание на корените, които се повтарят няколко пъти в неравенството; зависи дали знакът се променя при преминаване през тях върху четността или нечетността на броя пъти, в които се повтарят или не;
В отговор пишем интервали, като спазваме пунктираните и непунктираните точки (виж ОДЗ), като между тях поставяме необходимите видове скоби.

И накрая, нашият любим раздел „направи си сам“!

Примери:

Отговори:

ИНТЕРВАЛЕН МЕТОД. СРЕДНО НИВО

Линейна функция

Функция на формата се нарича линейна. Нека вземем функция като пример. То е положително при и отрицателно при. Точката е нулата на функцията (). Нека да покажем знаците на тази функция върху числовата ос:

Казваме, че „функцията променя знака при преминаване през точката“.

Вижда се, че знаците на функцията съответстват на позицията на графиката на функцията: ако графиката е над оста, знакът е “ ”, ако под нея е “ ”.

Ако обобщим полученото правило до произволна линейна функция, получаваме следния алгоритъм:

Намиране на нулата на функцията;
Маркираме го на числовата ос;
Определяме знака на функцията от противоположните страни на нулата.

Квадратична функция

Надявам се, че си спомняте как се решават квадратни неравенства? Ако не, прочетете темата. Нека ви напомня за общия изглед квадратична функция: .

Сега нека си спомним какви знаци приема квадратичната функция. Графиката му е парабола и функцията приема знака " " за тези, в които параболата е над оста, и " " - ако параболата е под оста:

Ако функцията има нули (стойности, при които), параболата пресича оста в две точки - корените на съответното квадратно уравнение. Така оста е разделена на три интервала и знаците на функцията се променят последователно при преминаване през всеки корен.

Възможно ли е по някакъв начин да се определят знаците, без всеки път да се рисува парабола?

Спомнете си, че квадратен трином може да бъде факторизиран:

Например: .

Нека маркираме корените на оста:

Спомняме си, че знакът на функция може да се промени само при преминаване през корена. Нека използваме този факт: за всеки от трите интервала, на които оста е разделена с корени, е достатъчно да определим знака на функцията само в една произволно избрана точка: в останалите точки от интервала знакът ще бъде същият .

В нашия пример: и двата израза в скоби са положителни (заместител, например:). Поставяме знак " " на оста:

Е, когато (заместител, например), и двете скоби са отрицателни, което означава, че продуктът е положителен:

Това е, което е интервален метод: знаейки знаците на факторите на всеки интервал, ние определяме знака на целия продукт.

Нека разгледаме и случаите, когато функцията няма нули или има само една.

Ако ги няма, значи няма корени. Това означава, че няма да има „преминаване през корена“. Това означава, че функцията приема само един знак на цялата числова ос. Може лесно да се определи чрез заместването му във функция.

Ако има само един корен, параболата докосва оста, така че знакът на функцията не се променя при преминаване през корена. Какво правило можем да измислим за такива ситуации?

Ако факторизирате такава функция, получавате два еднакви фактора:

И всеки израз на квадрат е неотрицателен! Следователно знакът на функцията не се променя. В такива случаи ще подчертаем корена, при преминаване през който знакът не се променя, като го оградим с квадрат:

Такъв корен ще наричаме кратно.

Интервален метод в неравенствата

Сега всяко квадратно неравенство може да бъде решено без да се чертае парабола. Достатъчно е просто да поставите знаците на квадратичната функция върху оста и да изберете интервали в зависимост от знака на неравенството. Например:

Нека измерим корените на оста и да поставим знаците:

Нуждаем се от частта от оста със знака " "; тъй като неравенството не е строго, самите корени също са включени в решението:

Сега разгледайте рационално неравенство - неравенство, двете страни на което са рационални изрази (вижте).

Пример:

Всички фактори с изключение на един са „линейни“ тук, тоест съдържат променлива само на първа степен. Такива линейни множители ни трябват, за да приложим интервалния метод - знакът се променя при преминаване през техните корени. Но множителят изобщо няма корени. Това означава, че то винаги е положително (проверете това сами) и следователно не влияе върху знака на цялото неравенство. Това означава, че можем да разделим лявата и дясната страна на неравенството с него и по този начин да се отървем от него:

Сега всичко е същото, както беше с квадратните неравенства: определяме в кои точки всеки от факторите става нула, отбелязваме тези точки на оста и подреждаме знаците. Искам да обърна внимание на един много важен факт:

Отговор: . Пример: .

За да се приложи интервалният метод, една от частите на неравенството трябва да има. Затова нека преместим дясната страна наляво:

Числителят и знаменателят имат един и същ коефициент, но не бързайте да го намалявате! В крайна сметка тогава може да забравим да избодем тази точка. По-добре е да маркирате този корен като кратно, т.е. при преминаване през него знакът няма да се промени:

Отговор: .

И още един много показателен пример:

Отново, ние не анулираме едни и същи множители на числителя и знаменателя, защото ако го направим, ще трябва специално да запомним да пробием точката.

: повтарящи се пъти;
: пъти;
: пъти (в числителя и едно в знаменателя).

В случай на четно число правим същото като преди: ограждаме точката с квадрат и не променяме знака при преминаване през корена. Но в случай на нечетно число това правило не важи: знакът все пак ще се промени, когато преминава през корена. Следователно не правим нищо допълнително с такъв корен, сякаш не е кратно. Горните правила се прилагат за всички четни и нечетни степени.

Какво да напишем в отговора?

Ако редуването на знаците е нарушено, трябва да сте много внимателни, защото ако неравенството не е строго, отговорът трябва да включва всички защриховани точки. Но някои от тях често стоят отделно, тоест не са включени в сенчестата зона. В този случай ги добавяме към отговора като изолирани точки (във фигурни скоби):

Примери (решете сами):

Отговори:

Ако сред факторите е прост, той е корен, защото може да бъде представен като.
.

ИНТЕРВАЛЕН МЕТОД. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Интервалният метод се използва за решаване на рационални неравенства. Състои се в определяне на знака на произведението от знаците на факторите на различни интервали.

Алгоритъм за решаване на рационални неравенства по интервалния метод.

Преместваме всичко от лявата страна, оставяйки само нула отдясно;
Намираме ODZ;
Нанасяме всички корени на неравенството върху оста;
Взимаме произволен от един от интервалите и определяме знака в интервала, към който принадлежи коренът, редуваме знаците, като обръщаме внимание на корените, които се повтарят няколко пъти в неравенството; зависи дали знакът се променя при преминаване през тях върху четността или нечетността на броя пъти, в които се повтарят или не;
В отговор пишем интервали, като спазваме пунктираните и непунктираните точки (виж ОДЗ), като между тях поставяме необходимите видове скоби.

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно полагане на Единния държавен изпит, за постъпване в колеж на бюджет и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще имаш нужда решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализи решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има две възможности:

Отключете всички скрити задачи в тази статия -
Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - Купете учебник - 499 рубли

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.

В заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!