Начало-Външни стълби-Тангентна равнина. Допирателна равнина към сфера

Тангентна равнина. Допирателна равнина към сфера

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Тангентна равнинана повърхността в точка
се нарича равнина, съдържаща всички допирателни към кривите, начертани на повърхността през тази точка. нормалносе нарича права линия, перпендикулярна на допирателната равнина и минаваща през точката на допиране.

Нека покажем това
насочен нормално към повърхността
в точката
­.

Помислете за кривата , лежащ на повърхността и преминаващ през точката
(фиг. 15). Нека е дадено чрез параметрични уравнения

.

Ако
– радиус вектор на точка
, движещи се при смяна заедно , след това и
– радиус вектор на точка
.

защото лежи на повърхността, тогава. Нека разграничим тази идентичност по отношение на :

. (6.6)

По определение
, А. Следователно (6.6) означава, че скаларното произведение
във всички точки на кривата .

Равенството на скаларното произведение на векторите на нула е необходимо и достатъчно условие за тяхната перпендикулярност. И така, по същество

. Но векторът
– вектор на скоростта – насочен тангенциално към траекторията на точката

, тоест допирателна към кривата (фиг. 15). защото избрани произволно, тогава
перпендикулярно на всички възможни допирателни, начертани към прави, лежащи върху
и преминавайки през точката
. И това по дефиниция означава това
перпендикулярна на допирателната равнина, т.е. тя е нейната нормала.

Следователно уравнението на допирателната равнина към дадена повърхност има формата (вижте глава 3):

Нормално уравнение (вижте глава 3):

. (6.8)

По-специално, ако повърхността е дадена от явното уравнение
, получаваме: – уравнение на допирателната

самолет, и
– нормално уравнение.

ПРИМЕР. Напишете уравнения за допирателната равнина и нормалата към сферата
в точката
.

очевидно

Уравнение на допирателната равнина (6.7):

Нормални уравнения (6.8):

.

Обърнете внимание, че тази линия минава през началото, тоест през центъра на сферата.

ПРИМЕР. Напишете уравнението на допирателната равнина към елиптичен параболоид
в точката
.

Тази повърхност е дадена чрез явно уравнение и
.

Следователно уравнението на допирателната равнина в дадена точка има вида: или.

Екстремуми на функция на две променливи

Нека функцията
определени във всички точки на определен регион
.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка
наречена максимална (минимум) точка на функцията
, ако съседството му съществува
, навсякъде в рамките на който.

От определението следва, че ако
тогава е максималната точка

;
Ако

тогава е минималната точкаТЕОРЕМА
(необходимо условие за екстремума на диференцируема функция на две променливи). Нека функцията
има в точка

екстремум. Ако в тази точка съществуват производни от първи ред, тогаваДОКАЗАТЕЛСТВО
. Нека фиксираме стойността
. Тогава . Има екстремум при
и от необходимо условиеекстремум на диференцируема функция на една променлива (виж глава 5)
.

По същия начин, фиксиране на стойността
, разбираме това
.

Q.E.D.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Стационарна точкафункции
наречена точка
, в която и двете частни производни от първи ред са равни на нула:

.

ЗАБЕЛЕЖКА 1. Формулираното необходимо условие не е достатъчно условие за екстремум.

Нека
. означава,
е стационарната точка на тази функция. Помислете за произволно - съседство на произхода.

В тази близост очевидно има различни знаци(фиг. 16). И това означава, че точката
по дефиниция не е екстремна точка.

по този начин не всяка стационарна точка е точка на екстремум.

ЗАБЕЛЕЖКА 2. Една непрекъсната функция може да има екстремум, но да няма стационарна точка.

Помислете за функцията
. Неговата графика е върха
половин конус и очевидно
– минимална точка (фиг. 17).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точки, в които частните производни от първи ред на функцията
са равни на нула или не съществуват се наричат ​​негови критиченточки.

тогава е минималната точка(достатъчно условие за екстремума на функцията
). Нека функцията
има частични производни от втори порядък в някакво съседство стационаренточки
. Нека освен това

.

Тогава ако

1)
, Това
– точка на екстремум, а именно: точка на максимум, ако
, или минимална точка, ако
;

2)
, тогава екстремумът в точката
не;

3)
, тогава са необходими допълнителни изследвания, за да се изясни естеството на точката
.

(Няма доказателство).

ПРИМЕР. Разгледайте екстремалната функция
.

Нека намерим стационарни точки:
. Няма стационарни точки, което означава, че функцията няма екстремум.

ПРИМЕР. Разгледайте екстремалната функция.

За да намерите стационарни точки, трябва да решите системата от уравнения:

това е тази функцияима четири стационарни точки.

Нека проверим достатъчното условие за екстремума за всеки от тях:

.

защото
, след това в точки
няма крайност.

И
, означава,
– минимална точка и
;
И
, означава,
– максимална точка и
.

Урок 10. Допирателна равнина към сфера.

Цел на урока: да разгледаме теореми за допирателната равнина към сфера, да научим как да решаваме задачи по тази тема.

Напредък на урока

      Актуализиране на основни знания.

Повторение на информация от планиметрия.

    Дефиниция на тангенс.

    Свойство на радиуса, начертан към допирателна точка.

    Ако от една точка, лежаща извън окръжността, начертаем две допирателни към нея, тогава:

а) дължините на отсечките от дадена точка до допирните точки са равни:

б) ъглите между всяка допирателна и секанса, минаващи през центъра на окръжността, са равни.

    Ако от една точка, лежаща извън окръжността, начертаем допирателна и секуща към нея, тогава квадратът на допирателната е равен на произведението на секущата и нейната външна част.

    Ако две хорди се пресичат в една точка, то произведението на отсечките на едната хорда е равно на произведението на отсечките на другата.

    Относителното положение на сферата и равнината.

      Обяснение нова тема. (Слайд 26 – 32)

И така, сфера и равнина могат да се пресичат по окръжност, да не се пресичат и да имат една обща точка.

Нека разгледаме последния случай по-подробно.

Равнина, която има само една обща точка със сфера, се нарича допирателна равнина към сферата, а техните обща точканаречена допирна точка.

ДО
допирателната равнина има свойство, подобно на това на допирателната към окръжност.

Дадено: сфера с център ЗАи радиус Р, α - допирателна към сферата в точка Асамолет.

Докажи: О.А. А.

Доказателство: Нека О.А.не е перпендикулярна на равнината А, Тогава О.А.е наклонена към равнината, което означава разстоянието от центъра до равнината d Р. Тези. сферата трябва да пресича равнината по окръжността, но това не удовлетворява условията на теоремата. означава, О.А. А.

Нека докажем обратната теорема.

Дадено: сфера с център ЗАи радиус О.А., А, О.А. А.

Докажи: А– допирателна равнина.

Доказателство: Защото О.А. А, тогава разстоянието от центъра на сферата до равнината е равно на радиуса. Това означава, че сферата и равнината имат една обща точка. По дефиниция равнината е допирателна към сфера.

      Формиране на умения и способности на учениците.

    Колко далеч може да види? земен човекстои на равнината? (без да се взема предвид пречупването на светлината).

Решение: CN 2 = ч(ч + 2 Р) (вижте параграф I от урока по-горе)

Нека височината на човек (до очите) 1,6 м, Р земя 6400 км.

Ще се върнем към този проблем по-късно, за да разберем каква е зоната за гледане.

    Работете по таблица 33.


АК добре(Защо?). Според Питагоровата теорема АК = = 15 . А.М.- най-близкото разстояние от точката Акъм сферата (ако имате време, можете да оставите учениците да помислят върху очевидния въпрос - защо?)

А.М.= AO-OM=9.

      Обобщение на урока.

      Домашна работа: параграф 61, № 591, 592.

Повърхността се дефинира като набор от точки, чиито координати отговарят на определен тип уравнение:

F (x, y, z) = 0 (1) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1))

Ако функцията F (x, y, z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z))е непрекъсната в дадена точка и има непрекъснати частични производни в нея, поне една от които не изчезва, тогава в близост до тази точка повърхността, дадена от уравнение (1), ще бъде дясната повърхност.

В допълнение към горното имплицитен начин за уточняване, повърхността може да бъде дефинирана очевидно, ако една от променливите, например z, може да бъде изразена чрез останалите:

z = f (x, y) (1 ′) (\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1"))

По-стриктно проста повърхност се нарича образ на хомеоморфно картографиране (т.е. едно към едно и взаимно непрекъснато картографиране) на вътрешността на единичен квадрат. На това определение може да се даде аналитичен израз.

Нека е даден квадрат на равнина с правоъгълна координатна система u и v, чиито координати на вътрешните точки удовлетворяват неравенствата 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Пример проста повърхносте полукълбо. Цялата сфера не е проста повърхност. Това налага допълнително обобщаване на понятието повърхност.

Подмножество от пространство, всяка точка от което има квартал, който е проста повърхност, наречена дясната повърхност .

Повърхнина в диференциалната геометрия

Хеликоид

Катеноид

Метриката не определя еднозначно формата на повърхността. Например метриките на хеликоид и катеноид, съответно параметризирани, съвпадат, тоест има съответствие между техните региони, което запазва всички дължини (изометрия). Свойствата, които се запазват при изометрични трансформации, се наричат вътрешна геометрияповърхности. Вътрешната геометрия не зависи от положението на повърхността в пространството и не се променя, когато се огъва без напрежение или компресия (например, когато цилиндърът се огъва в конус).

Метрични коефициенти E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G)определят не само дължините на всички криви, но и като цяло резултатите от всички измервания вътре в повърхността (ъгли, площи, кривина и т.н.). Следователно всичко, което зависи само от метриката, се отнася до вътрешна геометрия.

Нормален и нормален участък

Нормални вектори в точки на повърхността

Една от основните характеристики на повърхността е нейната нормално- единичен вектор, перпендикулярен на допирателната равнина в дадена точка:

m = [r u ′, r v ′] |.

[r u ′, r v ′] |

(\displaystyle \mathbf (m) =(\frac ([\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ]|))) Знакът на нормалата зависи от избора на координати.Разрез на повърхнина с равнина, съдържаща повърхностната нормала в дадена точка, образува определена крива, наречена

нормална секция повърхности. Основната норма за нормално сечение съвпада с нормалата към повърхността (до знака).Ако кривата на повърхнината не е нормално сечение, тогава нейната главна нормала образува определен ъгъл с нормалата на повърхнината θ (\displaystyle \theta ). След това кривината k (\displaystyle k)нормално сечение (със същата допирателна) по формулата на Мюние:

k n = ± k cos θ (\displaystyle k_(n)=\pm k\,\cos \,\theta )

Координати на нормалния единичен вектор за различни начиниразпределението на повърхността е дадено в таблицата:

Нормални координати в повърхностна точка
имплицитно присвояване (∂ F ∂ x ; ∂ F ∂ y ; ∂ F ∂ z) (∂ F ∂ x) 2 + (∂ F ∂ y) 2 + (∂ F ∂ z) 2 (\displaystyle (\frac (\left(( \frac (\partial F)(\partial x));\,(\frac (\partial F)(\partial y));\,(\frac (\partial F)(\partial z))\right) )(\sqrt (\left((\frac (\partial F)(\partial x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial y))\right) ^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial z))\right)^(2)))))
изрично възлагане (− ∂ f ∂ x ; − ∂ f ∂ y ; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f ∂ y) 2 + 1 (\displaystyle (\frac (\left(-(\frac (\partial f) )(\partial x));\,-(\frac (\partial f)(\partial y));\,1\right))(\sqrt (\left((\frac (\partial f)(\ partial x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial f)(\partial y))\right)^(2)+1))))
параметрична спецификация (D (y, z) D (u, v) ; D (z, x) D (u, v) ; D (x, y) D (u, v)) (D (y, z) D (u , v)) 2 + (D (z , x) D (u , v)) 2 + (D (x , y) D (u , v)) 2 (\displaystyle (\frac (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)));\,(\frac (D(z,x))(D(u,v)));\,(\frac (D(x) ,y))(D(u,v)))\right))(\sqrt (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)))\right)^(2 )+\left((\frac (D(z,x))(D(u,v)))\right)^(2)+\left((\frac (D(x,y))(D( u,v)))\right)^(2)))))

тук D (y, z) D (u, v) = |.

y u ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z , x) D (u , v) = |.

z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ |

, D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ |(\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ begin(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))) Всички производни се вземат в точката(x 0, y 0, z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0)))

кривина Заразлични посоки e 2 (\displaystyle e_(2)), при които нормалната кривина приема минимални и максимални стойности; тези направления се наричат основен. Изключение прави случаят, когато нормалната кривина във всички посоки е една и съща (например близо до сфера или в края на елипсоид на въртене), тогава всички посоки в дадена точка са главни.

Повърхнини с отрицателна (вляво), нулева (в центъра) и положителна (вдясно) кривина.

Нар. нормални кривини в главните посоки основни кривини; да ги обозначим κ 1 (\displaystyle \kappa _(1))различни посоки κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). размер:

K = κ 1 κ 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2))

наречена Гаусова кривина, пълна кривина или просто повърхностна кривина. Съществува и терминът скаларна кривина, което предполага резултат от конволюция на тензора на кривината; в този случай скаларът на кривината е два пъти по-голям от кривината на Гаус.

Гаусовата кривина може да се изчисли чрез метрика и следователно е обект на присъщата геометрия на повърхностите (обърнете внимание, че основните кривини не принадлежат на присъщата геометрия). Можете да класифицирате повърхностните точки въз основа на знака на кривина (вижте фигурата). Кривината на равнината е нула. Кривината на сфера с радиус R е еднаква навсякъде 1 R 2 (\displaystyle (\frac (1)(R^(2)))). Има и повърхност с постоянна отрицателна кривина -

Дата: 02.02.2016 г

Тема: Допирателна към сфера (топка) на равнина.

Цел на урока: Развиване на знанията и уменията на учениците по темата, разглеждане на теореми

o, научете как да решавате проблеми по тази тема.
Култивирайте внимание, добросъвестно отношение към ученето, точност

Развийте паметта, мисленето, пространственото въображение, речта

Структура на урока

    Организационен момент

    Поставяне на цел на урока

    Проверка на домашните

    Защита на презентации от ученици

    Индивидуална самостоятелна работа

    Решаване на задачи по двойки

    Решаване на проблеми в група

    Игра за внимателност

    Издаване на домашни

    Обобщение на урока
    Напредък на урока

    В началото на урока се провежда устна работа. Повторение на основни понятия, свързани с топка и сфера.

    Домашна работа № 26 (стр. 61), № 34

Дежурните на дъската (по време на междучасието) изпълняват чертежи за домашна работа. По време на час учителят извиква двама ученици на дъската, за да проверят домашните им. След като отговорят на дъската, учениците си дават оценки на листовете за оценка.

    Защита на презентацията:

I група: История на топката

II група: Взаимно разположение на сфера и равнина

III група: Топка и сфера в живата природа

    Самостоятелна работа

1. Намерете координатите на центъра и радиуса на сферата, дадени от уравнението:

1 вариант

(x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 = 25

Вариант 2

(x+3) 2 + y 2 + ( z-1) 2 = 16

2. Напишете уравнението на сфера с радиусРс център на окръжността в точка А, ако:

1 вариант

А (2; 0; -1), Р = 7

Вариант 2

А (-2; 1; 0) , Р = 6

3. Проверете дали точка А лежи върху сферата, дадена от уравнението:

1 вариант

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 + ( z– 3) 2 = 1, ако A (-2; 1; 4)

Вариант 2

(x - 3) 2 + (y + 1) 2 + ( z- 4) 2 = 4, ако A (5; - 1; 4)

4. Докажи това дадено уравнениее уравнението на сферата:

1 вариант

x 2 + y 2 + z 2 + 2 z- 2у= 2

    Работа по двойки

Вариант 2

x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 2 z = 7

Радиусът на сферата е 112 см. Точка, лежаща в равнина, допирателна към сферата, е на разстояние 15 см от точката на допиране до най-близката до нея точка.

    Групова работа

Всички страни на триъгълника ABC докосват сфера с радиус 5 cm. Намерете разстоянието от центъра на сферата до равнината на триъгълника, ако AB = 13 cm, BC = 14 cm, CA = 15 cm.

    Игра на внимание

Основните формули за повърхнините на полиедри и тела на въртене са написани на цветни хартии. Тези карти са прикрепени към магнитна дъска. Учителят ви моли да разгледате внимателно формулите и да ги запомните. Естествено учениците сами започват да запомнят формулите. След като затвори дъската, учителят задава следните въпроси: „Какъв цвят е картата, на която е написана формулата за площта на страничната повърхност на пирамидата?“ и т.н. Естествено учениците не очакваха подобен въпрос. Учителят дава друга възможност, но този път учениците се опитват да запомнят цвета на картата.

    Обобщение на урока.

Скала за оценяване

"5" за 8-9 точки

“4” - за 6-7 точки

“3” - за 4-5 точки

    Домашна работа: № 28 (стр. 61), № 29 (стр. 62)



Приказката за произхода на топката

Един ден, останал сам вкъщи, красивият Полукръг дълго се обличаше и симулираше пред малко огледало в тенекиени рамки и не спираше да се възхищава.

„Защо хората искат да провъзгласят, че съм добър?“ каза той. "Хората лъжат, аз изобщо не съм добър." Защо момичетата го обявиха най-добрият човеки никога не е бил и никога няма да бъде в село Хатанга?

Полукръгът знаеше и чуваше всичко, което се говори за него, и беше капризен, като красив мъж. Можеше цял ден да се любува пред огледалото, оглеждайки се от всички страни. И изведнъж се случи чудо, когато Полукръгът се обърна пред огледалото, видя собственото си отражение в огледалото във формата на топка.

От историята на възникване

Топката обикновено се нарича тяло, ограничено от сфера, тоест топката и сферата са различни геометрични тела. Въпреки това, и двете думи "топка" и "сфера" идват от една и съща гръцка дума "sphaira" - топка. Освен това думата „топка“ се формира от прехода на съгласни sf V w.

В книга XI на Елементите Евклид определя топката като фигура, описана от полукръг, въртящ се около фиксиран диаметър. В древността сферата е била на голяма почит. Астрономическите наблюдения на небесния свод неизменно предизвикваха образа на сфера.

Сферата винаги е била широко използвана в различни области на науката и технологиите.

Определение

  • Сферата е повърхност, състояща се от всички точки в пространството, разположени на дадено разстояние от дадена точка.
  • Тяло, ограничено от сфера, се нарича топка.

Общи понятия

  • Тази точка се нарича център на сферата, а това разстояние се нарича радиус на сферата.
  • Отсечка, свързваща две точки на сфера и минаваща през нейния център, се нарича диаметър на сферата.
  • Центърът, радиусът, диаметърът на сферата се нарича още център, радиус и диаметър на топка.

Допирателна равнина към сфера

Равнина, която има само една обща точка със сфера, се нарича допирателна равнина към сферата, а тяхната обща точка се нарича точка на допир между равнината и сферата.

Сечение на сфера с равнина

  • Всяко сечение на топка от равнина е кръг. Центърът на този кръг е основата на перпендикуляра, пуснат от центъра на топката върху режещата равнина.
  • Секцията, минаваща през центъра на топката, е голям кръг. (диаметрално сечение).

Проблем върху тематичната топка (d/z)

На повърхността на топката има три точки. Разстоянията между тях са 6 см, 8 см, 10 см. Намерете разстоянието от центъра до равнината, минаваща през тези точки. (1,7 см, 2,15 см, 3,12 см, 4,20 см)

Свързани публикации: