Как се определят съседни и вертикални ъгли. Какви ъгли се наричат съседни? Каква е сумата от два съседни ъгъла?

В процеса на изучаване на курс по геометрия понятията „ъгъл“, „ вертикални ъгли”, “съседни ъгли” се срещат доста често. Разбирането на всеки от термините ще ви помогне да разберете проблема и да го разрешите правилно. Какво представляват съседните ъгли и как се определят?

Съседни ъгли – определение на понятието

Терминът „съседни ъгли“ характеризира два ъгъла, образувани от общ лъч и две допълнителни полулинии, лежащи на една и съща права линия. И трите лъча излизат от една и съща точка. Една обща полуправа е едновременно страна на единия и на другия ъгъл.

Съседни ъгли – основни свойства

1. Въз основа на формулировката на съседните ъгли е лесно да се забележи, че сумата от такива ъгли винаги образува обратен ъгъл, чиято градусна мярка е 180 °:

Ако μ и η са съседни ъгли, тогава μ + η = 180°.
Като знаете големината на един от съседните ъгли (например μ), можете лесно да изчислите градусната мярка на втория ъгъл (η), като използвате израза η = 180° – μ.

2. Това свойство на ъглите ви позволява да направите следващ изход: Ъгъл, който е съседен на прав ъгъл, също ще бъде прав ъгъл.

3. Като се има предвид тригонометрични функции(sin, cos, tg, ctg), въз основа на формулите за редукция за съседни ъгли μ и η, е вярно следното:

sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Съседни ъгли - примери

Пример 1

Даден е триъгълник с върхове M, P, Q – ΔMPQ. Намерете ъглите, съседни на ъглите ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

Нека разширим всяка страна на триъгълника с права линия.
Знаейки, че съседните ъгли се допълват един друг до обратен ъгъл, откриваме, че:

съседен на ъгъл ∠QMP е ∠LMP,

съседен на ъгъл ∠MPQ е ∠SPQ,

съседен на ъгъл ∠PQM е ∠HQP.

Пример 2

Стойността на един съседен ъгъл е 35°. Каква е градусната мярка на втория съседен ъгъл?

Два съседни ъгъла дават сбор от 180°.
Ако ∠μ = 35°, тогава прилежащата към него ∠η = 180° – 35° = 145°.

Пример 3

Определете стойностите на съседните ъгли, ако е известно, че градусната мярка на един от тях е три пъти по-голяма от градусната мярка на другия ъгъл.

Нека означим големината на един (по-малък) ъгъл с – ∠μ = λ.
Тогава, според условията на задачата, стойността на втория ъгъл ще бъде равна на ∠η = 3λ.
Въз основа на основното свойство на съседните ъгли, μ + η = 180° следва

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Това означава, че първият ъгъл е ∠μ = λ = 45°, а вторият ъгъл е ∠η = 3λ = 135°.

Способността да използвате терминология, както и познаването на основните свойства на съседните ъгли, ще ви помогне да решите много геометрични задачи.

ъгълкъм разгънатия, тоест равен на 180°, така че за да ги намерите, извадете от това известната стойност на главния ъгъл α₁ = α₂ = 180°-α.

От това има . Ако два ъгъла са съседни и равни, тогава те са прави ъгли. Ако един от съседните ъгли е прав, тоест 90 градуса, тогава другият ъгъл също е прав. Ако единият от съседните ъгли е остър, то другият ще е тъп. По същия начин, ако един от ъглите е тъп, тогава вторият, съответно, ще бъде остър.

Остър ъгъл- това е този, чиято градусна мярка е по-малка от 90 градуса, но по-голяма от 0. Тъпият ъгъл има градусна мярка, по-голяма от 90 градуса, но по-малка от 180.

Друго свойство на съседните ъгли се формулира по следния начин: ако два ъгъла са равни, то ъглите, съседни на тях, също са равни. Това означава, че ако има два ъгъла, за които градусната мярка е еднаква (например тя е 50 градуса) и в същото време един от тях има съседен ъгъл, тогава стойностите на тези съседни ъгли също съвпадат ( в примера тяхната градусна мярка ще бъде равна на 130 градуса).

източници:

Голям Енциклопедичен речник- Съседни ъгли
ъгъл 180 градуса

Думата "" има различни интерпретации. В геометрията ъгълът е част от равнина, ограничена от два лъча, излизащи от една точка - върха. Кога ние говорим заза прави, остри, разгънати ъгли, тогава се имат предвид геометрични ъгли.

Както всяка фигура в геометрията, ъглите могат да се сравняват. Равенството на ъглите се определя с помощта на движение. Лесно е да разделите ъгъла на две равни части. Разделянето на три части е малко по-трудно, но все пак може да се направи с линийка и пергел. Между другото, тази задача изглеждаше доста трудна. Да се опише, че един ъгъл е по-голям или по-малък от друг, е геометрично просто.

Мерната единица за ъгли е 1/180

Как да намерим съседен ъгъл?

Математиката е най-старата точна наука, която се изучава задължително в училища, колежи, институти и университети. Основните знания обаче винаги се дават в училище. Понякога на детето се дават доста сложни задачи, но родителите не могат да помогнат, защото просто са забравили някои неща от математиката. Например, как да намерите съседен ъгъл въз основа на размера на главния ъгъл и т.н. Проблемът е прост, но може да създаде трудности при решаването му поради незнание кои ъгли се наричат съседни и как да ги намерите.

Нека разгледаме по-подробно определението и свойствата на съседните ъгли, както и как да ги изчислим от данните в задачата.

Определение и свойства на съседни ъгли

Два лъча, излизащи от една точка, образуват фигура, наречена „равнинен ъгъл“. В този случай тази точка се нарича връх на ъгъла, а лъчите са неговите страни. Ако продължите един от лъчите извън началната точка по права линия, тогава се образува друг ъгъл, който се нарича съседен. Всеки ъгъл в този случай има два съседни ъгъла, тъй като страните на ъгъла са еквивалентни. Тоест винаги има съседен ъгъл от 180 градуса.

Основните свойства на съседните ъгли включват

Съседните ъгли имат общ връх и една страна;
Сумата от съседните ъгли винаги е равна на 180 градуса или числото Pi, ако изчислението се извършва в радиани;
Синусите на съседните ъгли винаги са равни;
Косинусите и тангенсите на съседни ъгли са равни, но имат противоположни знаци.

Как да намерим съседни ъгли

Обикновено се дават три варианта на задачи за намиране на големината на съседни ъгли

Дадена е стойността на главния ъгъл;
Дадено е отношението на главния и прилежащия ъгъл;
Дадена е стойността на вертикалния ъгъл.

Всяка версия на проблема има свое собствено решение. Нека да ги разгледаме.

Дадена е стойността на главния ъгъл

Ако проблемът определя стойността на главния ъгъл, тогава намирането на съседния ъгъл е много лесно. За да направите това, просто извадете стойността на главния ъгъл от 180 градуса и ще получите стойността на съседния ъгъл. Това решение се основава на свойството на съседен ъгъл - сумата от съседните ъгли винаги е равна на 180 градуса.

Ако стойността на главния ъгъл е дадена в радиани и задачата изисква намиране на съседния ъгъл в радиани, тогава е необходимо да се извади стойността на главния ъгъл от числото Pi, тъй като стойността на пълния разгънат ъгъл от 180 градуса е равно на числото Пи.

Дадено е отношението на главния и прилежащия ъгъл

Задачата може да даде съотношението на главния и съседния ъгъл вместо градусите и радианите на главния ъгъл. В този случай решението ще изглежда като пропорционално уравнение:

Означаваме пропорцията на главния ъгъл като променливата "Y".
Дробта, свързана със съседния ъгъл, се обозначава като променливата "X".
Броят на градусите, които попадат във всяка пропорция, ще бъде означен например с "а".
Общата формула ще изглежда така - a*X+a*Y=180 или a*(X+Y)=180.
Намираме общия множител на уравнението “a” по формулата a=180/(X+Y).
След това умножаваме получената стойност на общия коефициент "а" по частта от ъгъла, който трябва да се определи.

По този начин можем да намерим стойността на съседния ъгъл в градуси. Ако обаче трябва да намерите стойност в радиани, тогава просто трябва да преобразувате градусите в радиани. За да направите това, умножете ъгъла в градуси по Pi и разделете всичко на 180 градуса. Получената стойност ще бъде в радиани.

Дадена е стойността на вертикалния ъгъл

Ако задачата не дава стойността на главния ъгъл, но е дадена стойността на вертикалния ъгъл, тогава съседният ъгъл може да се изчисли по същата формула, както в първия параграф, където е дадена стойността на главния ъгъл.

Вертикален ъгъл е ъгъл, който произхожда от същата точка като главния, но е насочен точно в обратната посока. Така се оказва огледален образ. Това означава, че вертикалният ъгъл е равен по големина на основния. От своя страна прилежащият ъгъл на вертикалния ъгъл е равен на прилежащия ъгъл на главния ъгъл. Благодарение на това може да се изчисли прилежащият ъгъл на главния ъгъл. За да направите това, просто извадете вертикалната стойност от 180 градуса и вземете стойността на съседния ъгъл на главния ъгъл в градуси.

Ако стойността е дадена в радиани, тогава е необходимо да се извади стойността на вертикалния ъгъл от числото Pi, тъй като стойността на пълния разгънат ъгъл от 180 градуса е равна на числото Pi.

Можете също да прочетете нашите полезни статииИ .

Въпрос 1.Какви ъгли се наричат съседни?
отговор.Два ъгъла се наричат съседни, ако едната им страна е обща, а другите страни на тези ъгли са допълващи се полуправи.
На фигура 31 ъглите (a 1 b) и (a 2 b) са съседни. Те имат обща страна b, а страните a 1 и a 2 са допълнителни полуправи.

Въпрос 2.Докажете, че сборът от съседните ъгли е 180°.
отговор. Теорема 2.1.Сборът на съседните ъгли е 180°.
Доказателство.Нека ъгъл (a 1 b) и ъгъл (a 2 b) са дадени съседни ъгли (виж Фиг. 31). Лъч b минава между страни a 1 и a 2 на прав ъгъл. Следователно сумата от ъглите (a 1 b) и (a 2 b) е равна на разгънатия ъгъл, т.е. 180°. Q.E.D.

Въпрос 3.Докажете, че ако два ъгъла са равни, то съседните им ъгли също са равни.
отговор.

От теоремата 2.1 От това следва, че ако два ъгъла са равни, то и съседните им ъгли са равни.
Да кажем, че ъглите (a 1 b) и (c 1 d) са равни. Трябва да докажем, че ъглите (a 2 b) и (c 2 d) също са равни.
Сборът на съседните ъгли е 180°. От това следва, че a 1 b + a 2 b = 180° и c 1 d + c 2 d = 180°. Следователно, a 2 b = 180° - a 1 b и c 2 d = 180° - c 1 d. Тъй като ъглите (a 1 b) и (c 1 d) са равни, получаваме, че a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. От свойството за транзитивност на знака за равенство следва, че a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Въпрос 4.Какъв ъгъл се нарича прав (остър, тъп)?
отговор.Ъгъл, равен на 90°, се нарича прав ъгъл.
Ъгъл, по-малък от 90°, се нарича остър ъгъл.
Ъгъл, по-голям от 90° и по-малък от 180°, се нарича тъп.

Въпрос 5.Докажете, че ъгъл, съседен на прав ъгъл, е прав ъгъл.
отговор.От теоремата за сумата от съседните ъгли следва, че ъгъл, съседен на прав ъгъл, е прав ъгъл: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Въпрос 6.Какви ъгли се наричат вертикални?
отговор.Два ъгъла се наричат вертикални, ако страните на единия ъгъл са допълващи се полуправи на страните на другия.

Въпрос 7.Докажете, че вертикалните ъгли са равни.
отговор. Теорема 2.2. Вертикалните ъгли са равни.
Доказателство.Нека (a 1 b 1) и (a 2 b 2) са дадените вертикални ъгли (фиг. 34). Ъгъл (a 1 b 2) е съседен на ъгъл (a 1 b 1) и на ъгъл (a 2 b 2). От тук, използвайки теоремата за сумата от съседни ъгли, заключаваме, че всеки от ъглите (a 1 b 1) и (a 2 b 2) допълва ъгъла (a 1 b 2) до 180°, т.е. ъгли (a 1 b 1) и (a 2 b 2) са равни. Q.E.D.

Въпрос 8.Докажете, че ако при пресичане на две прави един от ъглите е прав, то и останалите три ъгъла са прави.
отговор.Да предположим, че правите AB и CD се пресичат една друга в точка O. Да предположим, че ъгъл AOD е 90°. Тъй като сумата от съседните ъгли е 180°, получаваме, че AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Ъгъл COB е вертикален на ъгъл AOD, така че те са равни. Тоест ъгъл COB = 90°. Ъгъл COA е вертикален на ъгъл BOD, така че те са равни. Тоест ъгъл BOD = 90°. Така всички ъгли са равни на 90°, тоест всички са прави ъгли. Q.E.D.

Въпрос 9.Кои прави се наричат перпендикулярни? Какъв знак се използва за обозначаване на перпендикулярността на линиите?
отговор.Две прави се наричат перпендикулярни, ако се пресичат под прав ъгъл.
Перпендикулярността на линиите се обозначава със знака \(\perp\). Записът \(a\perp b\) гласи: „Линията a е перпендикулярна на правата b.“

Въпрос 10.Докажете, че през всяка точка от права можете да прекарате права, перпендикулярна на нея, и то само една.
отговор. Теорема 2.3.През всяка линия можете да начертаете линия, перпендикулярна на нея, и само една.
Доказателство.Нека a е дадена права и A е дадена точка върху нея. Нека означим с 1 една от полуправите на правата a с начална точка A (фиг. 38). Нека извадим ъгъл (a 1 b 1) от полуправата a 1, равен на 90°. Тогава правата линия, съдържаща лъча b 1, ще бъде перпендикулярна на правата линия a.

Да приемем, че има друга права, също минаваща през точка A и перпендикулярна на правата a. Нека означим с c 1 полуправата на тази права, лежаща в една и съща полуравнина с лъча b 1 .
Ъгли (a 1 b 1) и (a 1 c 1), всеки равен на 90°, са разположени в една полуравнина от полуправата a 1. Но от полуправата a 1 само един ъгъл, равен на 90°, може да бъде поставен в дадена полуравнина. Следователно не може да има друга права, минаваща през точка A и перпендикулярна на права a. Теоремата е доказана.

Въпрос 11.Какво е перпендикулярно на права?
отговор.Перпендикуляр към дадена права е отсечка от права, перпендикулярна на дадена права, чийто един от краищата е в пресечната точка. Този край на сегмента се нарича базаперпендикулярен.

Въпрос 12.Обяснете в какво се състои доказателството от противно.
отговор.Методът на доказателство, който използвахме в теорема 2.3, се нарича доказателство чрез противоречие. Този метод на доказателство е, че първо правим предположение, противоположно на това, което твърди теоремата. След това, като разсъждаваме, разчитайки на аксиоми и доказани теореми, стигаме до заключение, което противоречи или на условията на теоремата, или на една от аксиомите, или на предварително доказана теорема. На тази основа заключаваме, че нашето предположение е неправилно и следователно твърдението на теоремата е вярно.

Въпрос 13.Какво е ъглополовяща на ъгъл?
отговор.Ъглополовящата на ъгъл е лъчът, който излиза от върха на ъгъла, минава между страните му и разделя ъгъла наполовина.

Два ъгъла, поставени на една и съща права и имащи един и същи връх, се наричат съседни.

В противен случай, ако сборът от два ъгъла на една права линия е равен на 180 градуса и те имат една обща страна, тогава това са съседни ъгли.

1 съседен ъгъл + 1 съседен ъгъл = 180 градуса.

Съседните ъгли са два ъгъла, в които едната страна е обща, а другите две страни обикновено образуват права линия.

Сборът от два съседни ъгъла винаги е 180 градуса. Например, ако единият ъгъл е 60 градуса, тогава вторият непременно ще бъде равен на 120 градуса (180-60).

Ъглите AOC и BOC са съседни ъгли, тъй като са изпълнени всички условия за характеристиките на съседните ъгли:

1.OS - обща страна на два ъгъла

2.AO - страна на ъгъл AOS, OB - страна на ъгъл BOS. Заедно тези страни образуват права линия AOB.

3. Има два ъгъла и сборът им е 180 градуса.

Спомняйки си училищния курс по геометрия, можем да кажем следното за съседните ъгли:

съседните ъгли имат една обща страна, а другите две страни принадлежат на една и съща права линия, тоест те са на една и съща права линия. Ако според фигурата, тогава ъглите SOB и BOA са съседни ъгли, чиято сума винаги е равна на 180, тъй като те разделят прав ъгъл, а прав ъгъл винаги е равен на 180.

Съседните ъгли са лесна концепция в геометрията. Съседните ъгли, ъгъл плюс ъгъл, се събират до 180 градуса.

Два съседни ъгъла ще бъдат един разгънат ъгъл.

Има още няколко имота. Със съседни ъгли проблемите са лесни за решаване и теоремите за доказване.

Съседните ъгли се образуват чрез изчертаване на лъч от произволна точка на права линия. Тогава тази произволна точка се оказва върхът на ъгъла, лъчът е общата страна на съседни ъгли, а правата, от която е изтеглен лъчът, е двете останали страни на съседните ъгли. Съседните ъгли могат да бъдат еднакви при перпендикуляр или различни при наклонена греда. Лесно е да се разбере, че сумата от съседните ъгли е равна на 180 градуса или просто права линия. Друг начин да се обясни този ъгъл е прост пример- отначало сте вървели в една посока по права линия, след това сте размислили, решили сте да се върнете и, обръщайки се на 180 градуса, сте тръгнали по същата права линия в обратната посока.

И така, какво е съседен ъгъл? определение:

Два ъгъла с общ връх и една обща страна се наричат съседни, а другите две страни на тези ъгли лежат на една и съща права.

И кратко видеоурок, в който разумно се показва за съседни ъгли, вертикални ъгли, плюс за перпендикулярни прави, които са частен случай на съседни и вертикални ъгли

Съседните ъгли са ъгли, в които едната страна е обща, а другата е една права.

Съседните ъгли са ъгли, които зависят един от друг. Тоест, ако общата страна е леко завъртяна, тогава единият ъгъл ще намалее с няколко градуса и автоматично вторият ъгъл ще се увеличи със същия брой градуси. Това свойство на съседните ъгли ни позволява да решаваме в геометрията различни задачии провеждайте доказателства на различни теореми.

Общата сума на съседните ъгли винаги е 180 градуса.

От курса по геометрия, (доколкото си спомням в 6-ти клас) два ъгъла се наричат съседни, в които едната страна е обща, а другите страни са допълнителни лъчи, сборът на съседните ъгли е 180. Всеки от двата съседните ъгли допълват другия до разширен ъгъл. Пример за съседни ъгли:

Съседни ъгли са два ъгъла с общ връх, едната от които е обща, а останалите страни лежат на една и съща права линия (не съвпадат). Сумата от съседните ъгли е сто и осемдесет градуса. Общо взето всичко това се намира много лесно в гугъл или учебник по геометрия.

Как се определят съседни и вертикални ъгли. Какви ъгли се наричат ​​съседни? Каква е сумата от два съседни ъгъла?