Изследователска работа: „Историята на появата на квадратни уравнения.“ От историята на появата на квадратни уравнения

Из историята на квадратните уравнения Автор: ученичка от 9 „А” клас Светлана Радченко Ръководител: Алабугина И.А. учител по математика MBOU „Средно училище № 5 на Гуриевск“ област Кемерово Предметна област на представяне: математика Направено в помощ на учителя Общо 20 слайда Съдържание Въведение………………………………………………… …………… ……………3 Из историята на произхода квадратни уравненияКвадратни уравнения в Древен Вавилон………………………………….4 Квадратни уравнения в Индия……………………………………………………………...5 Квадратни уравнения в Ал-Хорезми………………………………………………………6 Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения………………….....7 Квадратни уравнения в Европа Xll – XVIII век………………………………...8 3. Квадратни уравнения днес………………………………………………………….10 Методология за изучаване на квадратни уравнения……………………………………11 10 начина за решаване на квадратни уравнения………………………………….12 Алгоритъм за решаване на непълни квадратни уравнения………… ………………13 Алгоритъм за решаване на пълни квадратни уравнения уравнения…………………………..14 Решаване на дадените квадратни уравнения……………………………………15 4. Практически приложения на квадратни уравнения за решаване на приложни задачи…………………………………………………………………………………….16 5. Заключение. ……………………………………………………………………………………18 1. 2. 6. Списък на използваната литература………………… ………………… …………….19 2 Въведение Считайте за нещастен онзи ден или онзи час, в който не сте научили нищо ново, не сте добавили нищо към образованието си. Ян Амос Коменски 3 Квадратните уравнения са основата, върху която се крепи величествената сграда на алгебрата. Те се използват широко при решаване на тригонометрични, експоненциални, логаритмични, ирационални и трансцендентни уравнения и неравенства. Квадратните уравнения заемат водещо място в училищния курс по алгебра. Много време в училищния курс по математика е посветено на тяхното изучаване. По принцип квадратните уравнения служат за конкретни практически цели. Повечето проблеми относно пространствените форми и количествени отношенияреалният свят се свежда до решение различни видовеуравнения, включително квадратни. Усвоявайки начини за решаването им, хората намират отговори на различни въпроси от науката и технологиите. От историята на появата на квадратни уравнения Древен Вавилон: вече около 2000 години пр. н. е. вавилонците знаеха как да решават квадратни уравнения. Бяха известни методи за решаване както на пълни, така и на непълни квадратни уравнения. Например, в древен Вавилон са били решавани следните квадратни уравнения: 4 Индия Проблеми, решени с помощта на квадратни уравнения, се намират в трактата по астрономия „Aryabhattiam“, написан от индийския астроном и математик Aryabhatta през 499 г. сл. Хр. Друг индийски учен, Брахмагупта, очерта универсално правило за решаване на квадратно уравнение, сведено до неговия каноничен вид: ax2+bx=c; Освен това се предполага, че всички коефициенти в него, с изключение на „а“, могат да бъдат отрицателни. Правилото, формулирано от учения, по същество съвпада със съвременното. 5 Квадратни уравнения в Ал-Хорезми: В алгебричния трактат на Ал-Хорезми е дадена класификация на линейни и квадратни уравнения. Авторът изброява 6 вида уравнения, като ги изразява по следния начин: „Квадратите са равни на корени“, т.е. ax2 = bx.; „Квадратите са равни на числа“, т.е. ax2 = c; „Корените са равни на числото“, т.е. ax = c; „Квадратите и числата са равни на корени“, т.е. ax2 + c = bx; „Квадратите и корените са равни на числото“, т.е. ax2 + bx = c; „Корените и числата са равни на квадрати“, т.е. bx + c = ax2. 6 Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения: Един от най-уникалните древногръцки математици е Диофант от Александрия. Нито годината на раждане, нито датата на смъртта на Диофант са изяснени; Смята се, че е живял през 3 век. AD От произведенията на Диофант най-важна е Аритметиката, от която 13 книги, само 6 са оцелели до днес. Аритметиката на Диофант не съдържа систематично представяне на алгебрата, но съдържа редица задачи, придружени с обяснения и решени чрез съставяне на уравнения различни степени. Когато съставя уравнения, Диофант умело подбира неизвестни, за да опрости решението. 7 Квадратни уравнения в Европа през 12-17 век: Италианският математик Леонард Фибоначи самостоятелно разработва някои нови алгебрични примери за решаване на проблеми и е първият в Европа, който въвежда отрицателни числа. Общото правило за решаване на квадратни уравнения, сведени до единна канонична форма x2 + bх = с за всички възможни комбинации от знаци и коефициенти b, c, е формулирано в Европа през 1544 г. от Михаел Щифел. 8 François Viète Френският математик F. Viète (1540-1603), въвежда система от алгебрични символи и развива основите на елементарната алгебра. Той е един от първите, които обозначават числата с букви, което значително развива теорията на уравненията. Извеждане на формулата за решаване на квадратно уравнение в общ изгледВиет го има, но Виет признаваше само положителни корени. 9 Квадратни уравнения днес Способността да се решават квадратни уравнения служи като основа за решаване на други уравнения и техните системи. Обучението за решаване на уравнения започва с най-простите им типове и програмата определя постепенното натрупване както на техните типове, така и на „фонда“ от идентични и еквивалентни трансформации, с помощта на които можете да намалите произволно уравнение до най-простото. Процесът на разработване на обобщени техники за решаване на уравнения в училищния курс по алгебра също трябва да бъде изграден в тази посока. В курса по математика в гимназията учениците се сблъскват с нови класове уравнения, системи или със задълбочено изучаване на вече известни уравнения. 10 Методи за изучаване на квадратни уравнения С началото на изучаването на курс по систематична алгебра основното внимание е. обръща се на методите за решаване на квадратни уравнения, които стават специален обект на изследване. Тази тема се характеризира с голяма дълбочина на изложение и богатство на връзките, установени с нейна помощ в преподаването, и логическа валидност на изложението. Следователно той заема изключително място в редицата от уравнения и неравенства. Важен момент в изучаването на квадратните уравнения е разглеждането на теоремата на Виета, която посочва съществуването на връзка между корените и коефициентите на редуцираното квадратно уравнение. Трудността при усвояването на теоремата на Виета се дължи на няколко обстоятелства. На първо място е необходимо да се вземе предвид разликата между директните и обратните теореми. 11 10 начина за решаване на квадратни уравнения: Разлагане на лявата страна на уравнението. Метод за избор на пълен квадрат. Решаване на квадратни уравнения по формулата. Решаване на уравнения с помощта на теоремата на Виета. Решаване на уравнения по метода на “хвърляне” Свойства на коефициентите на квадратно уравнение. Графично решение на квадратно уравнение.< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, т.е. - = m, където m>0, уравнението x2 = m има два корена. Следователно едно непълно квадратно уравнение може да има два корена, един корен или нито един корен. 13 Алгоритъм за решаване на пълно квадратно уравнение. Това са уравнения във вида ax2 + bx + c = 0, където a, b, c са дадени числа, а ≠ 0, x е неизвестно. Всяко пълно квадратно уравнение може да бъде преобразувано във форма, за да се определи броят на корените на квадратното уравнение и да се намерят тези корени. Разглеждат се следните случаи на решаване на пълни квадратни уравнения: D< 0, D = 0, D >0. 1. Ако D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то дадено уравнениеима един корен. Този корен се намира по формулата. 3. Ако D > 0, то квадратното уравнение ax2 + bx + c = 0 има два корена, които се намират по формулите: ; 14 Решение на редуцирани квадратни уравнения Теорема на Ф. Виета: Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение е равна на втория коефициент, взет от противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член. С други думи, ако x1 и x2 са корените на уравнението x2 +px + q = 0, тогава x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Теорема, обратна на теоремата на Виета: Ако формулите (*) са валидни за числата x1, x2, p, q, то x1 и x2 са корените на уравнението x2 + px + q = 0. 15 Практически приложения на квадратни уравнения за решаване на приложни задачи Бхаскар ( 1114-1185) - най-големият индийски математик и астроном от 12 век. Ръководи астрономическата обсерватория в Уджайн. Бхаскара написва трактата „Сиддханта-широмани” („Венецът на учението”), състоящ се от четири части: „Лилавати” е посветена на аритметиката, „Биждаганита” на алгебрата, „Голадхая” на сферите и „Гранхаганита” на теорията за планетарни движения. Бхаскара получи отрицателни корени на уравненията, въпреки че се съмняваше в тяхната значимост. Той притежава един от най-ранните проекти на вечен двигател. 16 Един от проблемите на известния индийски математик от 12 век. Бхаскара: Решението на Бхаскара показва, че авторът е знаел, че корените на квадратните уравнения са двузначни. 17 Заключение Развитието на науката за решаване на квадратни уравнения измина дълъг и трънлив път. Едва след трудовете на Щифел, Виета, Тарталия, Кардано, Бомбели, Жирар, Декарт и Нютон науката за решаване на квадратни уравнения приема модерен вид. Значението на квадратните уравнения се състои не само в елегантността и краткостта на решаването на проблемите, въпреки че това също е много важно. Също толкова важно е, че в резултат на използването на квадратни уравнения при решаване на задачи често се откриват нови подробности, могат да се правят интересни обобщения и да се правят пояснения, които се предполагат от анализа на получените формули и зависимости. Изучавайки литература и интернет ресурси, свързани с историята на развитието на квадратните уравнения, се запитах: „Какво мотивира учените, живели в толкова трудно време, да се занимават с наука, дори под заплахата от смърт?“ Вероятно, на първо място, това е любознателността на човешкия ум, която е ключът към развитието на науката. Въпросите за същността на света, за мястото на човека в този свят преследват мислещите, любознателните, интелигентните хора по всяко време. Хората винаги са се стремили да разберат себе си и своето място в света. Погледнете в себе си, може би естественото ви любопитство страда, защото сте се отдали на ежедневието и мързела? Съдбите на много учени са 18 примера за подражание. Не всички имена са известни и популярни. Замислете се: какъв съм аз за близките си хора? Но най-важното е как се чувствам аз, достоен ли съм за уважение? Помислете за това... Литература 1. Zvavich L.I. “Алгебра 8 клас”, М., 2002. 2. Савин Ю.П. “ Енциклопедичен речникмлад математик”, М., 1985. 3. Ю.Н.Макаричев „Алгебра 8 клас”, М, 2012. 4. https://ru.wikipedia.org 5. http://www.ido.rudn.ru /nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 Благодаря ти за внимание 20

 Представители на различни цивилизации: Древен Египет, древен Вавилон, Древна Гърция, Древна Индия, Древен Китай, Средновековен Изток, Европа усвоява техниките за решаване на квадратни уравнения.

За първи път математиците от Древен Египет успяха да решат квадратно уравнение. Един от математическите папируси съдържа следната задача:

„Намерете страните на поле с форма на правоъгълник, ако площта му е 12 и дължините му са равни на ширината му.“ „Дължината на полето е 4“, гласи папирусът.

Минаха хилядолетия и отрицателните числа навлязоха в алгебрата. Решавайки уравнението x²= 16, получаваме две числа: 4, –4.

 Разбира се, в египетския проблем бихме взели X = 4, тъй като дължината на полето може да бъде само положителна величина.

Достигналите до нас източници показват, че древните учени са имали някои общи техники за решаване на проблеми с неизвестни величини. Правилото за решаване на квадратни уравнения, изложено във вавилонските текстове, е по същество същото като съвременното, но не е известно как вавилонците „стигат дотук“. Но в почти всички намерени папируси и клинописни текстове са дадени само задачи с решения. Авторите само от време на време снабдяваха числените си изчисления с оскъдни коментари като: „Вижте!“, „Направете това!“, „Намерихте правилния!“

Гръцкият математик Диофант съставя и решава квадратни уравнения. Неговата Аритметика не съдържа систематично представяне на алгебрата, но съдържа систематична поредица от задачи, придружени от обяснения и решени чрез конструиране на уравнения от различни степени.

Задачи за съставяне на квадратни уравнения се намират още в астрономическия трактат „Ариа-бхатиам“, съставен през 499 г. от индийския математик и астроном Арябхата.

Друг индийски учен Брахмагупта (7 век) очерта общо правилорешаване на квадратни уравнения от вида ax² + bx = c.

В древна Индия публичните състезания в решаването на трудни проблеми са били често срещани. Една от старите индийски книги казва следното за такива състезания: „Както слънцето засенчва звездите с блясъка си, така учен човекще засенчи славата на друг народни събрания, предлагане и решаване на алгебрични задачи.“ Проблемите често се представят в поетична форма.

Това е един от проблемите на известния индийски математик от 12 век. Бхаскари:

Стадо бързи маймуни

След като хапнах до насита, се забавлявах.

Част осма от тях играеха на поляната на площада.

И дванадесет на лозите... започнаха да скачат, висят...​

Колко маймуни имаше?

Кажи ми, в тази опаковка?

​ Решението на Бхаскара показва, че той е знаел, че корените на квадратните уравнения са двузначни.

 Най-древните китайски текстове по математика, достигнали до нас, датират от края на 1 век. пр.н.е През II век. пр.н.е Написана е математиката в девет книги. По-късно, през 7 век, той е включен в сборника „Десет класически трактата“, който е изучаван в продължение на много векове. Трактатът "Математика в девет книги" обяснява как да извличаме корен квадратенизползвайки формулата за квадрат на сумата от две числа.

Методът се нарича "Тиен Юан" (буквално " небесна стихия") - така китайците обозначават неизвестно количество.​

 Първото ръководство за решаване на задачи, което стана широко известно, е дело на багдадския учен от 9 век. Мохамед бин Муса ал-Хорезми. Думата „ал-джабр“ с течение на времето се превърна в добре познатата дума „алгебра“, а самата работа на ал-Хорезми стана отправна точка в развитието на науката за решаване на уравнения. Алгебричният трактат на Ал-Хорезми дава класификация на линейни и квадратни уравнения. Авторът брои шест вида уравнения, изразявайки ги по следния начин:

-квадрати равни корени, тоест ах ² = bх;

-равен брой квадратчета, тоест ах ² = s;

-корените са равни на числото, тоест ax = c;

-квадратите и числата са равни на корени, тоест ах ²+ с = bх;

-квадрати и корени са равни на числото, тоест ах ² + bх = с;

-корени и числа са равни на квадрати, тоест bx + c = ax ²;

Трактатът на Ал-Хорезми е първата книга, достигнала до нас, която систематично излага класификацията на квадратните уравнения и дава формули за тяхното решаване.

Формулите за решаване на квадратни уравнения, моделирани след ал-Хорезми в Европа, са изложени за първи път в Книгата на абака, написана през 1202 г. от италианския математик Леонардо Фибоначи. Авторът самостоятелно разработва някои нови алгебрични примери за решаване на задачи и пръв в Европа въвежда отрицателни числа. Книгата му допринася за разпространението на алгебричните знания не само в Италия, но и в Германия, Франция и други европейски страни. Много проблеми от „Книгата на абака“ са включени в почти всички европейски учебници от 16-17 век. и отчасти от 18в.

Общо правило за решаване на квадратни уравнения, сведени до една канонична форма x ² + bх = с, за всички възможни комбинации от знаци на коефициентите b и с е формулиран в Европа едва през 1544 г. от М. Щифел.

Виета има общо извеждане на формулата за решаване на квадратно уравнение, но той също признава само положителни корени. Италианските математици Тарталия, Кардано, Бомбели са сред първите през 16 век. В допълнение към положителните и отрицателните корени, те се вземат предвид. Едва през 17 век, благодарение на трудовете на Жирар, Декарт, Нютон и други учени, методът за решаване на квадратни уравнения придобива съвременната си форма.

​

​

Квадратни уравнения в древен Вавилон Необходимостта от решаване на уравнения не само от първа, но и от втора степен в древността е била причинена от необходимостта от решаване на проблеми, свързани с намирането на площите на парцелите и земни работиот военен характер, както и с развитието на самата астрономия и математика. Вавилонците са успели да решават квадратни уравнения около 2000 години преди нашата вяра. Използвайки съвременната алгебрична нотация, можем да кажем, че в техните клинописни текстове, освен непълните, има например пълни квадратни уравнения: Правилото за решаване на тези уравнения, изложено във вавилонските текстове, съвпада със съвременното, но не е известно как вавилонците са получили там правила. Почти всички клинописни текстове, открити досега, представят само проблеми с решения, изложени под формата на рецепти, без указание как са били намерени. Въпреки високо ниворазвитието на алгебрата във Вавилония, в клинописните текстове липсва понятието за отрицателно число и общи методирешаване на квадратни уравнения.

Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения „Намерете две числа, като знаете, че сборът им е 20, а произведението им е 96.“ Диофант разсъждава по следния начин: от условията на задачата следва, че търсените числа не са равни, т.к ако бяха равни, тогава произведението им нямаше да бъде 96, а 100. Така едно от тях щеше да бъде повече от половинататехните суми, т.е. 10+X, другото е по-малко, т.е. 10-X. Разликата между тях е 2X Следователно X=2. Едно от търсените числа е 12, другото е 8. Решението X = -2 не съществува за Диофант, тъй като гръцката математика е познавала само положителни числа. УРАВНЕНИЕ: или:

Квадратни уравнения в Индия Задачи за квадратни уравнения се намират и в астрономическия трактат „Aryabhattiam“, съставен през 499 г. от индийския математик и астроном Aryabhatta. Друг индийски учен, Брахмагупта, очерта общото правило за решаване на квадратни уравнения, сведени до една канонична форма: ax ² +bx=c, a>0 Един от проблемите на известния индийски математик от 12-ти век Бхаскара Стадо бързи маймуни , като се нахраниха до насита, се забавляваха. Част осма от тях на площада Забавлявах се на поляната. И дванадесет на лозите... Те започнаха да скачат, докато висят... Колко маймуни имаше, кажете ми, в това стадо? Уравнението, съответстващо на задачата: Баскара пише под формата: Добавено лявата странана квадрат, 0 Една от задачите на известния индийски математик от 12-ти век Бхаскара Стадо бързи маймуни, които ядоха до насита, се забавляваха. Част осма от тях на площада Забавлявах се на поляната. И дванадесет на лозите... Те започнаха да скачат, докато висят... Колко маймуни имаше, кажете ми, в това стадо? Уравнението, съответстващо на проблема: Баскара пише под формуляра: Допълни лявата страна до квадрат,">

Квадратни уравнения в Древна Азия Ето как централноазиатският учен ал-Хорезми решава това уравнение: Той пише: „Правилото е: удвоете броя на корените, x = 2x 5, получавате пет в тази задача, умножете 5 по това равно към него ще бъде двадесет и пет, 5 ·5=25 добавете това към тридесет и девет, ще има шестдесет и четири, 64 вземете корен от това, ще бъде осем, 8 и извадете от това половината от броя на корени, т.е. пет, 8-5 ще остане 3, това ще бъде коренът на квадрат, който търсих." Какво ще кажете за втория корен? Вторият корен не беше намерен, тъй като отрицателните числа не бяха известни. x x = 39

Квадратни уравнения в Европа XIII-XVII век. Общото правило за решаване на квадратни уравнения, сведени до единична канонична форма x2+inx+c=0, е формулирано в Европа едва през 1544 г. от Щифел. Формулите за решаване на квадратни уравнения в Европа са формулирани за първи път през 1202 г. от италианския математик Леонард Фибоначи. Извеждането на формулата за решаване на квадратно уравнение в обща форма е достъпно от Vieth, но Vieth признава само положителни корени. Едва през 17в. благодарение на трудовете на Декарт, Нютон и други учени, методът за решаване на квадратни уравнения придобива съвременна форма

За теоремата на Виета Теоремата, изразяваща връзката между коефициентите на квадратно уравнение и неговите корени, носеща името Виета, е формулирана от него за първи път през 1591 г., както следва: „Ако B + D, умножено по A-A, е равно на BD, тогава A е равно на B и е равно на D." За да разберем Vieta, трябва да запомним, че A, както всяка гласна буква, означава неизвестното (нашето x), докато гласните B, D са коефициенти за неизвестното. На езика на съвременната алгебра горната формулировка на Vieta означава: Ако даденото квадратно уравнение x 2 +px+q=0 има истински корени, тогава тяхната сума е равна на -p, а произведението е равно на q, т.е. x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 = q (сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение е равна на вторият коефициент, взет с обратен знак, а произведението на корените е равно на свободния член).

Методът на факторизиране привежда общо квадратно уравнение до формата: A(x)·B(x)=0, където A(x) и B(x) са полиноми по отношение на x. Цел: Изваждане на общия множител извън скоби; Използване на формули за съкратено умножение; Метод на групиране. Методи: Пример:

Корени на квадратно уравнение: Ако D>0, Ако D 0, Ако D"> 0, Ако D"> 0, Ако D" title="Корени на квадратно уравнение: Ако D>0, Ако D"> title="Корени на квадратно уравнение: Ако D>0, Ако D"> !}

X 1 и x 2 са корените на уравнението Решаване на уравнения с помощта на теоремата на Vieta X 2 + 3X – 10 = 0 X 1 X 2 = – 10, което означава, че корените имат различни знаци X 1 + X 2 = – 3, което означава, че коренът с по-голям модул е ​​отрицателен. Чрез селекция намираме корените: X 1 = – 5, X 2 = 2 Например:

0, чрез теоремата, обратна на теоремата на Виета, получаваме корените: 5;6, след което се връщаме към корените на оригиналното уравнение: 2,5; 3. Отговор: 2,5; 3. Решение на уравнението" title="Решете уравнението: 2x 2 - 11x +15 = 0. Нека прехвърлим коефициента 2 към свободния член на 2 - 11y +30= 0. D>0, според към теоремата, обратна на теоремата на Виета, получаваме корените: 5;6, след което се връщаме към корените на изходното уравнение: 3. Отговор: 2.5;" class="link_thumb"> 14 !}Решете уравнението: 2x x +15 = 0. Нека прехвърлим коефициента 2 към свободния член y y +30= 0. D>0, съгласно теоремата, обратна на теоремата на Виета, получаваме корените: 5;6, тогава ние връщане към корените на първоначалното уравнение: 2, 5; 3. Отговор: 2,5; 3. Решаване на уравнения по метода „хвърляне“. 0, чрез теоремата, обратна на теоремата на Виета, получаваме корените: 5;6, след което се връщаме към корените на оригиналното уравнение: 2,5; 3. Отговор: 2,5; 3. Решение на уравнението "> 0, съгласно теоремата, обратна на теоремата на Виета, получаваме корените: 5;6, след което се връщаме към корените на първоначалното уравнение: 2,5; 3. Отговор: 2,5; 3. Решение на уравненията, използвайки метода на „хвърляне“.“ > 0, чрез теоремата, обратна на теоремата на Виета, получаваме корените: 5;6, след което се връщаме към корените на оригиналното уравнение: 2,5; 3. Отговор: 2,5; 3. Решение на уравнението" title="Решете уравнението: 2x 2 - 11x +15 = 0. Нека прехвърлим коефициента 2 към свободния член на 2 - 11y +30= 0. D>0, според към теоремата, обратна на теоремата на Виета, получаваме корените: 5;6, след което се връщаме към корените на изходното уравнение: 3. Отговор: 2.5;"> title="Решете уравнението: 2x 2 - 11x +15 = 0. Нека прехвърлим коефициента 2 към свободния член y 2 - 11y +30= 0. D>0, съгласно теоремата, обратна на теоремата на Виета, получаваме корените: 5 ;6, тогава се връщаме към корените на оригиналните уравнения: 2.5; 3. Отговор: 2,5; 3. Решение на уравнението"> !}

Ако в квадратно уравнение a+b+c=0, тогава единият корен е равен на 1, а вторият по теоремата на Виета е равен на втория по теоремата на Виета е равен на Ако в квадратно уравнение a+c=b , тогава единият корен е равен на (-1), а вторият според теоремата на Виета е равен на Пример: Свойства на коефициентите на квадратното уравнение 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Отговор: 1; 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Отговор: 1;

Графичен метод за решаване на квадратно уравнение Без използване на формули може да се реши квадратно уравнение графично. Нека да решим уравнението, ще построим две графики: X Y X 01 Y012 Отговор: Абсцисите на пресечните точки на графиките ще бъдат корените на уравнението. Ако графиките се пресичат в две точки, тогава уравнението има два корена. Ако графиките се пресичат в една точка, тогава уравнението има един корен. Ако графиките не се пресичат, тогава уравнението няма корени. 1)y=x2 2)y=x+1

Решаване на квадратни уравнения с помощта на номограма Това е стар и незаслужено забравен метод за решаване на квадратни уравнения, поместен на стр. 83 “Четирицифрени математически таблици” Bradis V.M. Таблица XXII. Номограма за решаване на уравнение Тази номограма позволява, без да решавате квадратно уравнение, да определите корените на уравнението от неговите коефициенти. За уравнението номограмата дава корените

Геометричен метод за решаване на квадратни уравнения В древни времена, когато геометрията е била по-развита от алгебрата, квадратните уравнения са се решавали не алгебрично, а геометрично. Но, например, как древните гърци решават уравнението: или изрази и геометрично представляват един и същ квадрат, а оригиналното уравнение е същото уравнение. Къде да вземем какво, или

Заключение Тези методи за решаване заслужават внимание, тъй като не всички са отразени в училищните учебници по математика; овладяването на тези техники ще помогне на учениците да спестят време и да решават ефективно уравнения; нужда от бързо решениепоради използването на тестова система от приемни изпити;

а) Квадратни уравнения в Древен Вавилон

Необходимостта от решаване на уравнения не само от първа, но и от втора степен, дори в древни времена, е била причинена от необходимостта от решаване на проблеми, свързани с намирането на площи на земни парцели и с изкопни работи от военен характер, както и както и с развитието на самата астрономия и математика. Квадратните уравнения могат да бъдат решени около 2000 г. пр.н.е. вавилонци. Използвайки съвременна алгебрична нотация, можем да кажем, че в техните клинописни текстове има, в допълнение към непълните, такива, например, пълни квадратни уравнения:

x 2 + x = , x 2 – x = 14

Правилото за решаване на тези уравнения, изложено във вавилонските текстове, по същество съвпада със съвременното, но не е известно как вавилонците са стигнали до това правило. Почти всички клинописни текстове, открити досега, предоставят само проблеми с решения, изложени под формата на рецепти, без индикация как са намерени.

Въпреки високото ниво на развитие на алгебрата във Вавилон, в клинописните текстове липсва понятието за отрицателно число и общи методи за решаване на квадратни уравнения.

Аритметиката на Диофант не съдържа систематично представяне на алгебрата, но съдържа систематична поредица от задачи, придружени от обяснения и решени чрез построяване на уравнения от различни степени.

Когато съставя уравнения, Диофант умело подбира неизвестни, за да опрости решението.

Ето например една от задачите му.

Задача 2. „Намерете две числа, като знаете, че сборът им е 20, а произведението им е 96.“

Диофант разсъждава по следния начин: от условията на задачата следва, че търсените числа не са равни, тъй като ако бяха равни, тогава произведението им не би било равно на 96, а на 100. Така едно от тях ще бъде повече от половината от тяхната сума, т.е. 10 + х. Другото е по-малко, т.е. 10 - x. Разликата между тях е 2х. Следователно уравнението:

(10+x)(10-x) =96,

или

Следователно x = 2. Едно от търсените числа е 12, другото е 8. Решението x = - 2 не съществува за Диофант, тъй като гръцката математика познава само положителни числа.

Ако решите тази задача, като изберете едно от търсените числа като неизвестно, можете да стигнете до решение на уравнението:

Ясно е, че като избира полуразликата на търсените числа като неизвестно, Диофант опростява решението; той успява да сведе проблема до решаване на непълно квадратно уравнение.
б) Квадратни уравнения в Индия.

Задачи за квадратни уравнения се намират още в астрономическия трактат „Aryabhattiam“, съставен през 499 г. от индийския математик и астроном Aryabhatta. Друг индийски учен, Брахмагупта (7-ми век), излага общо правило за решаване на квадратни уравнения, сведени до единична канонична форма

о 2 + bx = c, a > 0

В уравнението коефициентите освен А, може да е отрицателен. Правилото на Брахмагупта по същество е същото като нашето.

Публичните състезания за решаване на трудни проблеми са често срещани в Индия. Една от старите индийски книги казва следното за подобни състезания: „Както слънцето засенчва звездите с блясъка си, така и ученият човек ще засенчи славата си на публични събрания, като предлага и решава алгебрични задачи.“ Проблемите често се представят в поетична форма.

Това е един от проблемите на известния индийски математик от 12 век. Бхаскари.

Задача 3.

Уравнението, съответстващо на задача 3, е:

Бхаскара пише под прикритието:

x 2 - 64x = - 768

и, за да завърши лявата страна на това уравнение до квадрат, добавя 32 2 към двете страни, след което получава:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

в) Квадратни уравнения от Ал-Хорезми

Алгебричният трактат на Ал-Хорезми дава класификация на линейни и квадратни уравнения. Авторът брои 6 вида уравнения, изразявайки ги по следния начин:

1. 
   „Квадратите са равни на корени“, т.е. ax 2 = bx.
2. 
   „Квадратите са равни на числа“, т.е. ax 2 = c.
3. 
   „Корените са равни на числото“, т.е. ax = c.
4. 
   „Квадратите и числата са равни на корени“, т.е. ax 2 + c = bx.
5. 
   „Квадратите и корените са равни на числото“, т.е. ax 2 + bx = c.
6. 
   „Корените и числата са равни на квадрати“, т.е. bx + c == ax 2.

Нека дадем пример.

Задача 4. „Квадратът и числото 21 са равни на корен 10. Намерете корена” (което означава корена на уравнението x 2 + 21 = 10x).

Решение: разделете броя на корените наполовина, получавате 5, умножете 5 по себе си, извадете 21 от продукта, това, което остава, е 4. Вземете корен от 4, получавате 2. Извадете 2 от 5, получавате 3, това ще бъде желаният корен. Или добавете 2 към 5, което дава 7, това също е корен.

Трактатът на Ал-Хорезми е първата книга, достигнала до нас, която систематично излага класификацията на квадратните уравнения и дава формули за тяхното решаване.

г) Квадратни уравнения в Европа през 13-17 век.

Формулите за решаване на квадратни уравнения, следващи модела на ал-Хорезми в Европа, са изложени за първи път в „Книгата на абака“, написана през 1202 г. от италианския математик Леонардо Фибоначи. Този обемист труд, който отразява влиянието на математиката както от ислямските страни, така и от Древна Гърция, се отличава със своята пълнота и яснота на изложението. Авторът самостоятелно разработва някои нови алгебрични примери за решаване на задачи и пръв в Европа се приближава към въвеждането на отрицателни числа. Книгата му допринася за разпространението на алгебричните знания не само в Италия, но и в Германия, Франция и други европейски страни. Много задачи от Книгата на абака са използвани в почти всички европейски учебници от 16-17 век. и отчасти XVIII.

Общо правило за решаване на квадратни уравнения, приведени до единична канонична форма

x 2 + bx = c,

за всички възможни комбинации от знаци на коефициента b, Се формулиран в Европа едва през 1544 г. от M. Stiefel.

Извеждането на формулата за решаване на квадратно уравнение в общ вид е достъпно във Vieta, но Vieta разпознава само положителни корени. Италианските математици Тарталия, Кардано, Бомбели са сред първите през 16 век. В допълнение към положителните се вземат предвид и отрицателните корени. Едва през 17в. Благодарение на трудовете на Жирар, Декарт, Нютон и други учени, методът за решаване на квадратни уравнения придобива съвременна форма.

Произходът на алгебричните методи за решаване на практически задачи е свързан с науката древен свят. Както е известно от историята на математиката, значителна част от задачите с математическо естество, решавани от египетските, шумерските, вавилонските писари-изчислители (XX-VI в. пр. н. е.), са били с изчислителен характер. Но дори и тогава от време на време възникваха проблеми, при които желаната стойност на дадено количество се определяше от определени косвени условия, които изискваха, от нашата съвременна гледна точка, съставянето на уравнение или система от уравнения. Първоначално за решаване на такива задачи са използвани аритметични методи. Впоследствие започнаха да се формират наченки на алгебрични концепции. Например вавилонските калкулатори успяха да решат проблеми, които могат да бъдат намалени от гледна точка съвременна класификациякъм уравнения от втора степен. Създаден е метод за решаване на текстови задачи, който по-късно служи като основа за изолиране на алгебричния компонент и неговото самостоятелно изследване.

Това изследване е проведено в друга епоха, първо от арабски математици (VI-X век сл.н.е.), които идентифицират характерните действия, чрез които уравненията са сведени до стандартен изгледпривеждане на подобни членове, прехвърляне на членове от една част на уравнението в друга с промяна на знака. И след това от европейските математици от Ренесанса, които в резултат на дълго търсене създават езика на съвременната алгебра, използването на букви, въвеждането на символи за аритметични операции, скоби и т.н. В началото на 16-ти - 17 век. алгебрата като специфична част от математиката със свой предмет, метод и области на приложение вече се формира. Неговото по-нататъшно развитие, чак до нашето време, се състоеше в подобряване на методите, разширяване на обхвата на приложенията, изясняване на понятията и техните връзки с понятията на други клонове на математиката.

И така, с оглед на важността и необятността на материала, свързан с понятието уравнение, неговото изучаване в съвременни методиматематиката се свързва с три основни области на своето възникване и функциониране.