Ирационални числа - Хипермаркет на знанието. Ирационални числа: какво представляват и за какво се използват? 17 теорема за ирационално число с доказателство

Пример:
\(4\) е рационално число, защото може да се запише като \(\frac(4)(1)\) ;
\(0.0157304\) също е рационален, защото може да бъде записан като \(\frac(157304)(10000000)\) ;
\(0,333(3)…\) - и това е рационално число: може да се представи като \(\frac(1)(3)\) ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) е рационален, тъй като може да бъде представен като \(\frac(1)(2)\) . Наистина можем да извършим верига от трансформации \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

ирационално числое число, което не може да се запише като дроб с цели числител и знаменател.

Невъзможно, защото безкраендроби и дори непериодични. Следователно няма цели числа, които, когато се разделят едно на друго, биха дали ирационално число.

Пример:
\(\sqrt(2)≈1.414213562…\) е ирационално число;
\(π≈3.1415926… \) е ирационално число;
\(\log_(2)(5)≈2,321928…\) е ирационално число.

Пример (Задача от OGE). Стойността на кой от изразите е рационално число?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

Решение:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) също е невъзможно да се представи число като дроб с цели числа , следователно числото е ирационално.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) - няма останали корени, числото може лесно да се представи като дроб, например \(\frac(-5)(1)\) , така че е рационално.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11) \) - коренът не може да бъде извлечен - числото е ирационално.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) също е ирационално.

Разбирането на числата, особено естествените числа, е едно от най-старите математически „умения“. Много цивилизации, дори и съвременните, са приписвали някои мистични свойства на числата поради голямото им значение за описване на природата. Въпреки че съвременната наука и математика не потвърждават тези "магически" свойства, значението на теорията на числата е неоспоримо.

В исторически план първо се появяват много естествени числа, след което доста скоро към тях се добавят дроби и положителни ирационални числа. Нула и отрицателни числа бяха въведени след тези подмножества на набора от реални числа. Последното множество, множеството от комплексни числа, се появява едва с развитието на съвременната наука.

В съвременната математика числата се въвеждат не в исторически ред, макар и в доста близък до него.

Естествени числа $\mathbb(N)$

Наборът от естествени числа често се обозначава като $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ и често се допълва с нула, за да се обозначи $\mathbb(N)_0$.

$\mathbb(N)$ дефинира операции събиране (+) и умножение ($\cdot$) със следните свойства за всеки $a,b,c\in \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ множеството $\mathbb(N)$ е затворено спрямо събиране и умножение
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ комутативност
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ асоциативност
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибутивност
5. $a\cdot 1=a$ е неутралният елемент за умножение

Тъй като наборът $\mathbb(N)$ съдържа неутрален елемент за умножение, но не и за събиране, добавянето на нула към този набор гарантира, че той включва неутрален елемент за събиране.

В допълнение към тези две операции, върху множеството $\mathbb(N)$ отношенията "по-малко от" ($

1. $a b$ трихотомия
2. ако $a\leq b$ и $b\leq a$, тогава $a=b$ е антисиметрия
3. ако $a\leq b$ и $b\leq c$, тогава $a\leq c$ е транзитивно
4. ако $a\leq b$, тогава $a+c\leq b+c$
5. ако $a\leq b$, тогава $a\cdot c\leq b\cdot c$

Цели числа $\mathbb(Z)$

Примери за цели числа:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Решението на уравнението $a+x=b$, където $a$ и $b$ са известни естествени числа, а $x$ е неизвестно естествено число, изисква въвеждането на нова операция - изваждане(-). Ако има естествено число $x$, което удовлетворява това уравнение, тогава $x=b-a$. Това конкретно уравнение обаче не е задължително да има решение в множеството $\mathbb(N)$, така че практически съображения изискват разширяване на набора от естествени числа по такъв начин, че да включва решения на такова уравнение. Това води до въвеждането на набор от цели числа: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Тъй като $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, логично е да се приеме, че въведените по-рано операции $+$ и $\cdot$ и релацията $ 1. $0+a=a+0=a$ има неутрален елемент за добавки
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ има противоположно число $-a$ за $a$

5. Имот:
5. ако $0\leq a$ и $0\leq b$, тогава $0\leq a\cdot b$

Множеството $\mathbb(Z) $ също е затворено при изваждане, т.е. $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Рационални числа $\mathbb(Q)$

Примери за рационални числа:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Сега разгледайте уравнения от вида $a\cdot x=b$, където $a$ и $b$ са известни цели числа и $x$ е неизвестно. За да стане възможно решението, е необходимо да се въведе операцията деление ($:$), и решението става $x=b:a$, тоест $x=\frac(b)(a)$. Отново възниква проблемът, че $x$ не винаги принадлежи на $\mathbb(Z)$, така че наборът от цели числа трябва да бъде разширен. Така въвеждаме множеството от рационални числа $\mathbb(Q)$ с елементи $\frac(p)(q)$, където $p\in \mathbb(Z)$ и $q\in \mathbb(N) $. Множеството $\mathbb(Z)$ е подмножество, в което всеки елемент $q=1$, следователно $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ и операциите събиране и умножение също се прилагат към това множество според към следните правила, които запазват всички горни свойства и върху множеството $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Разделението се въвежда така:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

В множеството $\mathbb(Q)$ уравнението $a\cdot x=b$ има уникално решение за всяко $a\neq 0$ (не е дефинирано деление на нула). Това означава, че има обратен елемент $\frac(1)(a)$ или $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

Редът на множеството $\mathbb(Q)$ може да бъде разширен по следния начин:
$\frac(p_1)(q_1)

Множеството $\mathbb(Q)$ има едно важно свойство: между всеки две рационални числа има безкрайно много други рационални числа, следователно няма две съседни рационални числа, за разлика от множествата от естествени и цели числа.

Ирационални числа $\mathbb(I)$

Примери за ирационални числа:
$\sqrt(2) \приблизително 1,41422135...$
$\pi \приблизително 3,1415926535...$

Тъй като между всеки две рационални числа има безкрайно много други рационални числа, лесно е да се направи погрешно заключение, че множеството от рационални числа е толкова плътно, че няма нужда да се разширява допълнително. Дори Питагор някога е направил такава грешка. Въпреки това, неговите съвременници вече опровергаха това заключение, когато изучаваха решения на уравнението $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) върху множеството от рационални числа. За да се реши такова уравнение, е необходимо да се въведе понятието квадратен корен и тогава решението на това уравнение има формата $x=\sqrt(2)$. Уравнение от типа $x^2=a$, където $a$ е известно рационално число и $x$ е неизвестно, не винаги има решение в множеството от рационални числа и отново има нужда за разширяване на комплекта. Възниква набор от ирационални числа и такива числа като $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... принадлежат към този набор.

Реални числа $\mathbb(R)$

Обединението на множествата от рационални и ирационални числа е множеството от реални числа. Тъй като $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, отново е логично да приемем, че въведените аритметични операции и отношения запазват свойствата си върху новото множество. Формалното доказателство за това е много трудно, така че споменатите по-горе свойства на аритметичните операции и отношенията върху множеството от реални числа се въвеждат като аксиоми. В алгебрата такъв обект се нарича поле, така че наборът от реални числа се нарича подредено поле.

За да бъде дефиницията на множеството от реални числа пълна, е необходимо да се въведе допълнителна аксиома, която разграничава множествата $\mathbb(Q)$ и $\mathbb(R)$. Да приемем, че $S$ е непразно подмножество на множеството от реални числа. Елемент $b\in \mathbb(R)$ се нарича горна граница на $S$, ако $\forall x\in S$ удовлетворява $x\leq b$. Тогава се казва, че множеството $S$ е ограничено отгоре. Най-малката горна граница на множество $S$ се нарича супремум и се означава с $\sup S$. Понятията долна граница, ограничено отдолу множество и инфинум $\inf S$ се въвеждат по подобен начин. Сега липсващата аксиома се формулира по следния начин:

Всяко непразно и ограничено отгоре подмножество на множеството от реални числа има супремум.
Може също да се докаже, че полето от реални числа, дефинирано по-горе, е уникално.

Комплексни числа$\mathbb(C)$

Примери за комплексни числа:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ където $i = \sqrt(-1)$ или $i^2 = -1$

Наборът от комплексни числа е всички подредени двойки реални числа, т.е. $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, върху които операциите събиране и умножението се определя по следния начин:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Има няколко начина за записване на комплексни числа, най-често срещаният от които е $z=a+ib$, където $(a,b)$ е двойка реални числа, а числото $i=(0,1)$ се нарича имагинерна единица.

Лесно е да се покаже, че $i^2=-1$. Разширяването на множеството $\mathbb(R)$ до множеството $\mathbb(C)$ позволява да се определи корен квадратен от отрицателни числа, което беше причината за въвеждане на набора от комплексни числа. Също така е лесно да се покаже, че подмножество от множеството $\mathbb(C)$, дадено като $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, удовлетворява всички аксиомите за реални числа, следователно $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, или $R\subset\mathbb(C)$.

Алгебричната структура на множеството $\mathbb(C)$ по отношение на операциите събиране и умножение има следните свойства:
1. комутативност на събиране и умножение
2. асоциативност на събиране и умножение
3. $0+i0$ - неутрален елемент за добавяне
4. $1+i0$ - неутрален елемент за умножение
5. умножението е разпределително по отношение на събирането
6. Има един обратен елемент както за събиране, така и за умножение.

Самото понятие за ирационално число е така устроено, че се дефинира чрез отрицанието на свойството „да бъде рационално“, следователно доказателството от противно е най-естественото тук. Възможно е обаче да се предложи следното разсъждение.

Как фундаментално рационалните числа се различават от ирационалните? И двете могат да бъдат апроксимирани с рационални числа с произволна точност, но за рационалните числа има апроксимация с "нулева" точност (самото число), но за ирационалните числа това вече не е така. Нека се опитаме да играем с него.

На първо място, отбелязваме такъв прост факт. Нека $%\alpha$%, $%\beta$% са две положителни числа, които се приближават едно до друго с точност до $%\varepsilon$%, т.е. $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. Какво се случва, ако обърнем числата? Как това променя точността? Лесно се вижда, че $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|\alpha-\beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\ alpha\ beta),$$, което ще бъде строго по-малко от $%\varepsilon$% за $%\alpha\beta>1$%. Това твърдение може да се разглежда като независима лема.

Сега нека поставим $%x=\sqrt(2)$%, и нека $%q\in(\mathbb Q)$% е рационално приближение на $%x$% с точност $%\varepsilon$%. Знаем, че $%x>1$%, а що се отнася до $%q$% приближението, изискваме неравенството $%q\ge1$% да бъде изпълнено. За всички числа, по-малки от $%1$%, точността на приближението ще бъде по-лоша от тази на самия $%1$% и затова няма да ги разглеждаме.

Нека добавим $%1$% към всяко от числата $%x$%, $%q$%. Очевидно точността на приближението ще остане същата. Сега имаме числата $%\alpha=x+1$% и $%\beta=q+1$%. Преминавайки към реципрочните стойности и прилагайки "лемата", ще стигнем до извода, че нашата точност на приближението се е подобрила, ставайки строго по-малка от $%\varepsilon$%. Изискваното условие $%\alpha\beta>1$% е изпълнено дори с марж: всъщност знаем, че $%\alpha>2$% и $%\beta\ge2$%, от което можем да заключим, че точността се подобрява поне $%4$% пъти, т.е. не надвишава $%\varepsilon/4$%.

И ето основното: по условие $%x^2=2$%, тоест $%x^2-1=1$%, което означава, че $%(x+1)(x- 1) =1$%, тоест числата $%x+1$% и $%x-1$% са обратни едно на друго. И това означава, че $%\alpha^(-1)=x-1$% ще бъде приближение на (рационалното) число $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% с точност строго по-малка от $%\varepsilon$%. Остава да добавим $%1$% към тези числа и се оказва, че числото $%x$%, тоест $%\sqrt(2)$%, има ново рационално приближение равно на $%\beta ^(- 1)+1$%, т.е. $%(q+2)/(q+1)$%, с "подобрена" точност. Това завършва доказателството, тъй като рационалните числа, както отбелязахме по-горе, имат "абсолютно точно" рационално приближение с точност $%\varepsilon=0$%, където точността не може да бъде увеличена по принцип. И ние успяхме да го направим, което говори за нерационалността на нашия номер.

Всъщност този аргумент показва как да се конструират конкретни рационални приближения за $%\sqrt(2)$% с все по-добра точност. Първо трябва да вземем приближението $%q=1$%, а след това да приложим същата формула за заместване: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. Този процес произвежда следното: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ и т.н.

1. Доказателствата са примери за дедуктивни разсъждения и се различават от индуктивните или емпиричните аргументи. Доказателството трябва да демонстрира, че твърдението, което се доказва, винаги е вярно, понякога чрез изброяване на всички възможни случаи и показване, че твърдението е валидно във всеки от тях. Доказателството може да се основава на очевидни или общоприети явления или случаи, известни като аксиоми. Противно на това се доказва ирационалността на „корен квадратен от две“.
2. Намесата на топологията тук се обяснява със самото естество на нещата, което означава, че няма чисто алгебричен начин за доказване на ирационалност, в частност, въз основа на рационални числа. Ето пример, вашият избор е ваш: 1 + 1 /2 + 1/4 + 1/8 ….= 2 или 1+1/2 + 1/4 + 1/8 …≠ 2 ???
Ако вземете 1+1/2 + 1/4 + 1/8 +…= 2, което се счита за „алгебричен“ подход, тогава изобщо не е трудно да се покаже, че съществува n/m ∈ ℚ, което на безкрайна последователност, е ирационално и крайно число. Това предполага, че ирационалните числа са затварянето на полето ℚ, но това се отнася до топологична сингулярност.
Така че за числата на Фибоначи, F(k): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, … lim(F(k+1)/F(k)) = φ
Това само показва, че има непрекъснат хомоморфизъм ℚ → I и може да се покаже строго, че съществуването на такъв изоморфизъм не е логично следствие от алгебричните аксиоми.