Ирационални числа: какво представляват и за какво се използват? Ирационални числа, определение, примери Ирационално е коренът от 1 6.

Какво представляват ирационалните числа? Защо се наричат така? Къде се използват и какви са те? Малцина могат да отговорят на тези въпроси без колебание. Но всъщност отговорите на тях са доста прости, въпреки че не всеки има нужда от тях и в много редки ситуации.

Същност и обозначение

Ирационалните числа са безкрайни непериодични. Необходимостта от въвеждане на това понятие се дължи на факта, че за решаване на нови възникващи проблеми съществуващите по-рано понятия за реални или реални, цели, естествени и рационални числа вече не бяха достатъчни. Например, за да изчислите какво представлява квадратът от 2, трябва да използвате неповтарящи се безкрайни десетични знаци. Освен това много от най-простите уравнения също нямат решение без да се въведе концепцията за ирационално число.

Това множество се обозначава като I. И, както вече е ясно, тези стойности не могат да бъдат представени като проста дроб, в числителя на която ще има цяло число, а в знаменателя -

За първи път, по един или друг начин, индийските математици се сблъскват с това явление през 7 век, когато е открито, че квадратните корени на някои величини не могат да бъдат изрично посочени. И първото доказателство за съществуването на такива числа се приписва на Питагорейския Хипас, който направи това в процеса на изучаване на равнобедрен правоъгълен триъгълник. Сериозен принос за изследването на този набор имат някои други учени, живели преди нашата ера. Въвеждането на понятието за ирационални числа доведе до преразглеждане на съществуващата математическа система, поради което те са толкова важни.

произход на името

Ако съотношението на латински е "фракция", "отношение", тогава префиксът "ir"
дава на думата противоположно значение. По този начин името на множеството от тези числа показва, че те не могат да бъдат свързани с цяло число или дробно, те имат отделно място. Това следва от тяхната природа.

Място в генералното класиране

Ирационалните числа, наред с рационалните, принадлежат към групата на реалните или реалните числа, които от своя страна са сложни. Няма подмножества, но има алгебрични и трансцендентални разновидности, които ще бъдат разгледани по-долу.

Имоти

Тъй като ирационалните числа са част от множеството реални числа, всички техни свойства, които се изучават в аритметиката (те се наричат още основни алгебрични закони) се отнасят за тях.

a + b = b + a (комутативност);

(a + b) + c = a + (b + c) (асоциативност);

a + (-a) = 0 (съществуването на противоположното число);

ab = ba (закон за изместване);

(ab)c = a(bc) (дистрибутивност);

a(b+c) = ab + ac (разпределителен закон);

a x 1/a = 1 (наличието на обратно число);

Сравнението също се извършва в съответствие с общите закони и принципи:

Ако a > b и b > c, тогава a > c (транзитивност на релацията) и. и т.н.

Разбира се, всички ирационални числа могат да бъдат преобразувани с помощта на основна аритметика. Няма специални правила за това.

Освен това действието на аксиомата на Архимед се простира до ирационалните числа. Той казва, че за всякакви две величини a и b е вярно твърдението, че като вземем a като член достатъчно пъти, е възможно да се надмине b.

Използване

Въпреки факта, че в обикновения живот не ви се налага често да се справяте с тях, ирационалните числа не могат да бъдат преброени. Има много, но са почти невидими. Навсякъде сме заобиколени от ирационални числа. Примери, познати на всички, са числото pi, равно на 3,1415926..., или e, което по същество е основата на естествения логаритъм, 2,718281828... В алгебрата, тригонометрията и геометрията те трябва да се използват през цялото време. Между другото, известното значение на "златното сечение", тоест съотношението както на по-голямата част към по-малката, така и обратно, също

принадлежи към този набор. По-малко известното "сребро" - също.

На числовата права те са разположени много гъсто, така че между всякакви две величини, свързани с множеството от рационални, задължително възниква ирационална.

Все още има много нерешени проблеми, свързани с този комплект. Има такива критерии като мярка за ирационалност и нормалност на число. Математиците продължават да разглеждат най-значимите примери за принадлежността им към една или друга група. Например, счита се, че e е нормално число, тоест вероятността различните цифри да се появят в неговото вписване е една и съща. Що се отнася до пи, все още се провеждат изследвания по отношение на него. Мярка за ирационалност е стойност, която показва колко добре определено число може да бъде аппроксимирано с рационални числа.

Алгебрични и трансцендентални

Както вече споменахме, ирационалните числа се разделят условно на алгебрични и трансцендентални. Условно, тъй като, строго погледнато, тази класификация се използва за разделяне на множеството C.

Под това обозначение са скрити комплексни числа, които включват реални или реални числа.

И така, алгебрична стойност е стойност, която е корен на полином, който не е идентично равен на нула. Например корен квадратен от 2 би бил в тази категория, защото е решението на уравнението x 2 - 2 = 0.

Всички други реални числа, които не отговарят на това условие, се наричат трансцендентални. Това разнообразие включва и най-известните и вече споменати примери - числото pi и основата на естествения логаритъм e.

Интересното е, че нито едното, нито второто са били първоначално изведени от математиците в това качество, тяхната ирационалност и трансцендентност са доказани много години след откриването им. За пи доказателството е дадено през 1882 г. и опростено през 1894 г., което сложи край на 2500-годишния спор за проблема с квадратурата на окръжността. Все още не е напълно разбрано, така че съвременните математици имат над какво да работят. Между другото, първото достатъчно точно изчисление на тази стойност е извършено от Архимед. Преди него всички изчисления бяха твърде приблизителни.

За e (числото на Ойлер или Напие) през 1873 г. е намерено доказателство за неговата трансцендентност. Използва се при решаване на логаритмични уравнения.

Други примери включват стойности на синус, косинус и тангенс за всякакви алгебрични стойности, различни от нула.

Кои числа са ирационални? ирационално числоне е рационално реално число, т.е. не може да се представи като дроб (като отношение на две цели числа), където ме цяло число, н- естествено число. ирационално числоможе да се представи като безкрайна непериодична десетична дроб.

ирационално числоне може да бъде точен. Само във формат 3.333333…. например, корен квадратен от две - е ирационално число.

Какво е ирационалното число? Ирационално число(за разлика от рационалните) се нарича безкрайна десетична непериодична дроб.

Много ирационални числачесто се обозначава с главна латинска буква в удебелен шрифт без засенчване. Че.:

Тези. множеството от ирационални числа е разликата между множеството от реални и рационални числа.

Свойства на ирационалните числа.

Сборът от 2 неотрицателни ирационални числа може да бъде рационално число.
Ирационалните числа определят секциите на Дедекинд в множеството от рационални числа, в чийто по-нисък клас няма най-голямо число, а в горния клас няма по-малко число.
Всяко реално трансцендентно число е ирационално число.
Всички ирационални числа са или алгебрични, или трансцендентни.
Множеството от ирационални числа е плътно навсякъде по числовата права: между всяка двойка числа има ирационално число.
Редът на множеството от ирационални числа е изоморфен на реда на множеството от реални трансцендентни числа.
Множеството от ирационални числа е безкрайно, е множество от 2-ра категория.
Резултатът от всяка аритметична операция върху рационални числа (с изключение на деление на 0) е рационално число. Резултатът от аритметичните операции върху ирационални числа може да бъде или рационално, или ирационално число.
Сборът от рационално и ирационално число винаги ще бъде ирационално число.
Сборът от ирационални числа може да бъде рационално число. Например,нека бъде хирационално, значи y=x*(-1)също ирационално; x+y=0,и числото 0 рационално (ако например добавим корен от произволна степен от 7 и минус корена от същата степен от седем, получаваме рационално число 0).

Ирационални числа, примери.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — д — π — δ

А корените си произлизат от латинската дума "ratio", което означава "причина". Въз основа на буквалния превод:

Рационалното число е "разумно число".
Ирационалното число, съответно, е „неразумно число“.

Общо понятие за рационално число

Рационално число е това, което може да се запише като:

Обикновена положителна дроб.
Отрицателна обикновена дроб.
Нула (0) като число.

С други думи, следните дефиниции ще отговарят на рационално число:

Всяко естествено число е по своята същност рационално, тъй като всяко естествено число може да бъде представено като обикновена дроб.
Всяко цяло число, включително числото нула, тъй като всяко цяло число може да бъде записано и като положителна обикновена дроб, и като отрицателна обикновена дроб, и като число нула.
Всяка обикновена дроб, и тук няма значение дали е положителна или отрицателна, също пряко се доближава до определението на рационално число.
Смесено число, крайна десетична дроб или безкрайна периодична дроб също могат да бъдат включени в определението.

Примери за рационални числа

Помислете за примери за рационални числа:

Естествени числа - "4", "202", "200".
Цели числа - "-36", "0", "42".
Обикновени дроби.

От горните примери става ясно, че рационалните числа могат да бъдат както положителни, така и отрицателни. Естествено, числото 0 (нула), което също е рационално число, в същото време не принадлежи към категорията на положително или отрицателно число.

Следователно, бих искал да припомня общообразователната програма, използвайки следното определение: „Рационални числа“ са онези числа, които могат да бъдат записани като дроб x / y, където x (числител) е цяло число, а y (знаменател) е естествено число.

Общо понятие и дефиниция на ирационално число

Освен "рационалните числа" познаваме и така наречените "ирационални числа". Нека се опитаме накратко да дефинираме тези числа.

Дори древните математици, които искат да изчислят диагонала на квадрат по неговите страни, научиха за съществуването на ирационално число.
Въз основа на дефиницията на рационалните числа можете да изградите логическа верига и да дефинирате ирационално число.
Така че всъщност тези реални числа, които не са рационални, са елементарно ирационални числа.
Десетичните дроби, изразяващи ирационални числа, не са периодични и безкрайни.

Примери за ирационално число

За по-голяма яснота разгледайте малък пример за ирационално число. Както вече разбрахме, безкрайните десетични непериодични дроби се наричат ирационални, например:

Числото "-5.020020002 ... (ясно се вижда, че двойките са разделени от последователност от една, две, три и т.н. нули)
Числото "7.040044000444 ... (тук е ясно, че броят на четворките и броят на нулите се увеличават с едно всеки път във веригата).
Всеки знае числото Пи (3,1415 ...). Да, да – също е ирационално.

Като цяло всички реални числа са едновременно рационални и ирационални. С прости думи, ирационално число не може да бъде представено като обикновена дроб x / y.

Общо заключение и кратко сравнение между числата

Разгледахме всяко число поотделно, разликата между рационално число и ирационално остава:

Ирационално число се получава при вземане на квадратен корен, при разделяне на окръжност на диаметър и т.н.
Рационалното число представлява обикновена дроб.

Завършваме нашата статия с няколко определения:

Аритметична операция, извършена върху рационално число, освен деление на 0 (нула), ще доведе и до рационално число в крайния резултат.
Крайният резултат при извършване на аритметична операция върху ирационално число може да доведе както до рационална, така и до ирационална стойност.
Ако и двете числа участват в аритметичната операция (с изключение на деление или умножение по нула), тогава резултатът ще ни даде ирационално число.

С сегмент с единична дължина древните математици вече са знаели: те са знаели, например, несъизмеримостта на диагонала и страната на квадрата, което е еквивалентно на ирационалността на числото.

Ирационални са:

Примери за доказване на ирационалност

Корен от 2

Да приемем обратното: той е рационален, тоест е представен като несводима дроб, където и са цели числа. Нека квадратурираме предполагаемото равенство:

От това следва, че дори, следователно, дори и . Нека къде е цялото. Тогава

Следователно, дори, следователно, дори и . Получихме това и са четни, което противоречи на неприводимостта на дроба . Следователно, първоначалното предположение е погрешно и е ирационално число.

Двоичен логаритъм на числото 3

Да приемем обратното: той е рационален, тоест е представен като дроб, където и са цели числа. Тъй като , и може да се приеме положително. Тогава

Но е ясно, странно е. Получаваме противоречие.

д

История

Концепцията за ирационалните числа е имплицитно възприета от индийските математици през 7 век пр. н. е., когато Манава (около 750 г. пр. н. е. - около 690 г. пр. н. е.) открива, че квадратните корени на някои естествени числа, като 2 и 61, не могат да бъдат изрично изразени.

Първото доказателство за съществуването на ирационални числа обикновено се приписва на Хипас от Метапонт (около 500 г. пр. н. е.), питагореец, който намери това доказателство чрез изучаване на дължините на страните на пентаграма. По времето на питагорейците се е смятало, че има единична единица дължина, достатъчно малка и неделима, която е цял брой пъти, включена във всеки сегмент. Въпреки това, Хипас твърди, че няма единна единица дължина, тъй като предположението за нейното съществуване води до противоречие. Той показа, че ако хипотенузата на равнобедрен правоъгълен триъгълник съдържа цял брой единични сегменти, то това число трябва да бъде едновременно четно и нечетно. Доказателството изглеждаше така:

Съотношението на дължината на хипотенузата към дължината на катета на равнобедрен правоъгълен триъгълник може да се изрази като а:б, където аи бизбрана като възможно най-малка.
Според питагоровата теорема: а² = 2 б².
Като а² дори, атрябва да е четно (тъй като квадратът на нечетно число би бил нечетен).
Дотолкова доколкото а:бнесводим бтрябва да е странно.
Като адори, обозначете а = 2г.
Тогава а² = 4 г² = 2 б².
б² = 2 г², следователно бтогава е четно бдори.
Доказано е обаче, че бстранно Противоречие.

Гръцките математици наричат това съотношение на несъизмерими величини alogos(неизразимо), но според легендите на Хипас не се отдава дължимото уважение. Има легенда, че Хипас е направил откритието по време на морско пътуване и е бил хвърлен зад борда от други питагорейци „за създаването на елемент от Вселената, който отрича доктрината, че всички същества във Вселената могат да бъдат сведени до цели числа и техните съотношения. " Откриването на Хипас постави сериозен проблем за питагорейската математика, разрушавайки предположението, залегнало в основата на цялата теория, че числата и геометричните обекти са едно цяло и неразделни.

Вижте също

Бележки

Числени системи
Броене комплекти	цели числа ()

1. Доказателството са примери за дедуктивни разсъждения и се различават от индуктивните или емпиричните аргументи. Доказателството трябва да демонстрира, че доказваното твърдение винаги е вярно, понякога чрез изброяване на всички възможни случаи и показване, че твърдението е валидно във всеки от тях. Доказателството може да се основава на очевидни или общоприети явления или случаи, известни като аксиоми. Противно на това се доказва ирационалността на „корен квадратен от две”.
2. Намесата на топологията тук се обяснява със самата природа на нещата, което означава, че няма чисто алгебричен начин за доказване на ирационалност, в частност въз основа на рационални числа.Ето един пример, вашият избор е ваш: 1 + 1 /2 + 1/4 + 1/8 ….= 2 или 1+1/2 + 1/4 + 1/8 …≠ 2 ???
Ако вземете 1+1/2 + 1/4 + 1/8 +…= 2, което се счита за „алгебричен” подход, тогава изобщо не е трудно да се покаже, че съществува n/m ∈ ℚ, който на безкрайна последователност е ирационална и е крайно число.Това предполага, че ирационалните числа са затварянето на полето ℚ, но това се отнася до топологична сингулярност.
Така че за числата на Фибоначи, F(k): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, … lim(F(k+1)/F(k)) = φ
Това само показва, че съществува непрекъснат хомоморфизъм ℚ → I и може да се покаже строго, че съществуването на такъв изоморфизъм не е логично следствие от алгебричните аксиоми.