И равномерно разпределение в процеса. Равномерни и експоненциални закони на разпределение на непрекъсната случайна величина

Нека си припомним определението за плътност на вероятността.

Нека сега въведем концепцията за равномерно разпределение на вероятностите:

Определение 2

Разпределението се нарича равномерно, ако в интервала, съдържащ всички възможни стойности на случайната променлива, плътността на разпределението е постоянна, т.е.

Снимка 1.

Нека намерим стойността на константата $\C$, използвайки следното свойство на плътността на разпределение: $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)= 1$

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=\int\limits^a_(-\infty )(0dx)+\int\limits ^b_a(Cdx)+\int\limits^(+\infty )_b(0dx)=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \

Така функцията на равномерното разпределение на плътността има формата:

Фигура 2.

Графиката изглежда така (фиг. 1):

Фигура 3. Равномерна плътност на разпределение на вероятностите

Функция за равномерно разпределение на вероятностите

Нека сега намерим функцията на разпределение за равномерно разпределение.

За да направим това, ще използваме следната формула: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$

1. За $x ≤ a$, съгласно формулата, получаваме:

1. В $a

1. За $x> 2$, съгласно формулата, получаваме:

Така функцията на разпределение изглежда така:

Фигура 4.

Графиката изглежда така (фиг. 2):

Фигура 5. Функция за равномерно разпределение на вероятностите.

Вероятност случайна променлива да попадне в интервала $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ с равномерно разпределение на вероятностите

За да намерим вероятността случайна променлива да попадне в интервала $(\alpha,\beta)$ с равномерно разпределение на вероятностите, ще използваме следната формула:

Очаквана стойност:

Стандартно отклонение:

Примери за решаване на проблема с равномерно разпределение на вероятностите

Пример 1

Интервалът между тролейбусите е 9 минути.

Съставете функцията на разпределение и плътността на разпределението на случайната променлива $X$ на чакащите пътници в тролейбуса.

Намерете вероятността пътник да чака тролейбус за по-малко от три минути.

Намерете вероятността пътник да чака тролейбус след поне 4 минути.

Намерете очакваната стойност, дисперсия и стандартно отклонение

1. Тъй като непрекъснатата случайна променлива на изчакване на тролейбус $X$ е равномерно разпределена, тогава $a=0,\ b=9$.

По този начин плътността на разпределението, съгласно формулата на функцията за плътност на равномерното разпределение на вероятността, има формата:

Фигура 6.

Съгласно формулата на функцията за равномерно разпределение на вероятностите, в нашия случай функцията на разпределение има формата:

Фигура 7.

1. Този въпрос може да бъде преформулиран по следния начин: намерете вероятността случайна променлива с равномерно разпределение да попадне в интервала $\left(6,9\right).$

Получаваме:

\ \ \

Така функцията на равномерното разпределение на плътността има формата:

Фигура 2.

Графиката изглежда така (фиг. 1):

Фигура 3. Равномерна плътност на разпределение на вероятностите

Функция за равномерно разпределение на вероятностите

Нека сега намерим функцията на разпределение за равномерно разпределение.

За да направим това, ще използваме следната формула: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$

1. За $x ≤ a$, съгласно формулата, получаваме:

1. В $a

1. За $x> 2$, съгласно формулата, получаваме:

Така функцията на разпределение изглежда така:

Фигура 4.

Графиката изглежда така (фиг. 2):

Фигура 5. Функция за равномерно разпределение на вероятностите.

Вероятност случайна променлива да попадне в интервала $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ с равномерно разпределение на вероятностите

За да намерим вероятността случайна променлива да попадне в интервала $(\alpha,\beta)$ с равномерно разпределение на вероятностите, ще използваме следната формула:

Очаквана стойност:

Стандартно отклонение:

Примери за решаване на проблема с равномерно разпределение на вероятностите

Пример 1

Интервалът между тролейбусите е 9 минути.

Съставете функцията на разпределение и плътността на разпределението на случайната променлива $X$ на чакащите пътници в тролейбуса.

Намерете вероятността пътник да чака тролейбус за по-малко от три минути.

Намерете вероятността пътник да чака тролейбус след поне 4 минути.

Намерете очакваната стойност, дисперсия и стандартно отклонение

1. Тъй като непрекъснатата случайна променлива на изчакване на тролейбус $X$ е равномерно разпределена, тогава $a=0,\ b=9$.

По този начин плътността на разпределението, съгласно формулата на функцията за плътност на равномерното разпределение на вероятността, има формата:

Фигура 6.

Съгласно формулата на функцията за равномерно разпределение на вероятностите, в нашия случай функцията на разпределение има формата:

Фигура 7.

1. Този въпрос може да бъде преформулиран по следния начин: намерете вероятността случайна променлива с равномерно разпределение да попадне в интервала $\left(6,9\right).$

Получаваме:

\, ако на този сегмент плътността на разпределение на вероятността на случайната променлива е постоянна, т.е. ако диференциалната функция на разпределение f(x) има следната форма:

Това разпределение понякога се нарича закон за еднаква плътност. За величина, която има равномерно разпределение на дадена отсечка, ще кажем, че е разпределена равномерно на тази отсечка.

Нека намерим стойността на константата c. Тъй като площта, ограничена от кривата на разпределение и оста ое равно на 1, тогава

където с=1/(b-а).

Сега функцията f(x)могат да бъдат представени във формата

Нека построим функцията на разпределение F(x ), защо намираме израз за F(x) на интервала [ а, б]:

Графиките на функциите f (x) и F (x) изглеждат така:

Нека намерим числените характеристики.

Използвайки формулата за изчисляване на математическото очакване на NSV, имаме:

По този начин математическото очакване на случайна променлива, равномерно разпределена на интервала [а, б] съвпада със средата на този сегмент.

Нека намерим дисперсията на равномерно разпределена случайна променлива:

от което веднага следва, че стандартното отклонение:

Нека сега намерим вероятността стойността на случайна променлива с равномерно разпределение да попада в интервала(а, б), принадлежащи изцяло към сегмента [а,б ]:

Онлайн услуга: