Графика на функция 3x 2. Квадратни и кубични функции

Урок на тема: "Графика и свойства на функцията $y=x^3$. Примери за построяване на графики"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, желания. Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазина на Интеграл за 7 клас
Електронен учебник за 7 клас "Алгебра за 10 минути"
Учебен комплекс 1C "Алгебра, 7-9 клас"

Свойства на функцията $y=x^3$

Нека опишем свойствата на тази функция:

1. x е независима променлива, y е зависима променлива.

2. Област на дефиниране: очевидно е, че за всяка стойност на аргумента (x) може да се изчисли стойността на функцията (y). Съответно областта на дефиниция на тази функция е цялата числова линия.

3. Диапазон от стойности: y може да бъде всичко. Съответно диапазонът от стойности също е цялата числова линия.

4. Ако x= 0, тогава y= 0.

Графика на функцията $y=x^3$

1. Нека създадем таблица със стойности:

2. За положителни стойности на x, графиката на функцията $y=x^3$ е много подобна на парабола, чиито клонове са по-"притиснати" към оста OY.

3. Защото за отрицателни стойности x функция $y=x^3$ има противоположни стойности, тогава графиката на функцията е симетрична спрямо началото.

Сега нека маркираме точките на координатната равнина и да изградим графика (виж фиг. 1).

Тази крива се нарича кубична парабола.

Примери

I. Малкият кораб напълно остана без прясна вода. Необходимо е да се донесе достатъчно количество вода от града. Водата се поръчва предварително и се заплаща за пълен куб, дори и да напълните малко по-малко. Колко кубчета трябва да поръчам, за да не плащам повече за допълнителен куб и напълно да напълня резервоара? Известно е, че резервоарът има еднаква дължина, ширина и височина, които са равни на 1,5 m. Нека решим тази задача, без да правим изчисления.

Решение:

1. Нека начертаем функцията $y=x^3$.
2. Намерете точка А, координата х, която е равна на 1,5. Виждаме, че координатата на функцията е между стойности 3 и 4 (виж фиг. 2). Така че трябва да поръчате 4 кубчета.

Нека създадем таблица с функционални стойности

Виждаме, че кога (кубът на положително число е положителен) и кога (кубът на отрицателно число е отрицателен). Следователно графиката ще бъде разположена в координатната равнина в 1-ва и 3-та четвърт. Заменяме стойността на аргумента x с противоположната стойност, тогава функцията ще приеме противоположната стойност; защото ако , тогава

Това означава, че всяка точка от графиката съответства на точка от същата графика, разположена симетрично спрямо началото.

По този начин началото е центърът на симетрия на графиката.

Графиката на функцията е показана на фигура 81. Тази права се нарича кубична парабола.

През първата четвърт кубичната парабола (при ) „стръмно“ се издига

нагоре (стойностите на y „бързо“ се увеличават с увеличаване на x. Вижте таблицата), с малки стойности на x линията „близо“ се доближава до абсцисната ос (с „малки“ стойности на y „много малки“ , виж таблицата). Лява странакубичната парабола (в третата четвърт) е симетрична вдясно спрямо началото.

Една спретнато начертана графика може да служи като средство за приближаване на кубчета от числа. Така, например, поставяйки намираме според графиката

За приблизително изчисляване на кубчетата са съставени специални таблици.

Такава таблица има и в ръководството на В. М. Брадис „Четирицифрени математически таблици“.

Тази таблица съдържа приблизителни кубчета от числа от 1 до 10, закръглени до 4 значещи цифри.

Структурата на кубичната маса и правилата за нейното използване са същите като на квадратната маса. Въпреки това, когато едно число се увеличава (или намалява) с 10, 100 и т.н. пъти, неговият куб се увеличава (или намалява) с 1000, 1000 000 и т.н. пъти. Това означава, че когато използвате таблица с кубчета, трябва да имате предвид следното правило за обвиване със запетая:

Ако в число преместите запетаята на няколко цифри, тогава в куба на това число трябва да преместите запетаята в същата посока, като утроите броя на цифрите.

Нека обясним това с примери:

1) Изчислете 2,2353. С помощта на таблицата намираме: ; добавете към последната цифра корекция от 8 за последната цифра:

2) Изчислете. Значи го намираме

Използвайки таблицата, намираме, като преместим запетаята, получаваме

Приблизителни формули. Ако в идентичност

числото a е малко в сравнение с единица, тогава, изхвърляйки термините c, получаваме приблизителни формули:

С помощта на тези формули е лесно да се намерят приблизителни кубове от числа, близки до единица, например: точен куб: 1.061208;

Нека да разгледаме как да изградим графика с модул.

Нека намерим точките, при преминаването на които знакът на модулите се променя.
Приравняваме всеки израз под модула на 0. Имаме два от тях x-3 и x+3.
x-3=0 и x+3=0
x=3 и x=-3

Нашата числова линия ще бъде разделена на три интервала (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). На всеки интервал трябва да определите знака на модулните изрази.

1. Това е много лесно да се направи, разгледайте първия интервал (-∞;-3). Нека вземем произволна стойност от този сегмент, например -4, и заместим стойността на x във всяко от модулните уравнения.
х=-4
x-3=-4-3=-7 и x+3=-4+3=-1

И двата израза са с отрицателни знаци, което означава, че поставяме минус пред знака за модул в уравнението, а вместо знака за модул поставяме скоби и получаваме търсеното уравнение на интервала (-∞;-3).

y= — (x-3)-( — (x+3))=-x+3+x+3=6

На интервала (-∞;-3) се получава графиката на линейната функция (права) y=6

2. Разгледайте втория интервал (-3;3). Нека намерим как ще изглежда уравнението на графиката на този сегмент. Нека вземем произволно число от -3 до 3, например 0. Заменете стойността 0 със стойността x.
х=0
x-3=0-3=-3 и x+3=0+3=3

Първият израз x-3 е с отрицателен знак, а вторият израз x+3 е с положителен знак. Затова пред израза x-3 пишем знак минус, а пред втория израз знак плюс.

y= — (x-3)-( + (x+3))=-x+3-x-3=-2x

На интервала (-3;3) получихме графика на линейна функция (права) y=-2x

3. Разгледайте третия интервал (3;+∞). Нека вземем произволна стойност от този сегмент, например 5, и заместим стойността x във всяко от модулните уравнения.

х=5
x-3=5-3=2 и x+3=5+3=8

И при двата израза знаците се оказаха положителни, което означава, че поставяме плюс пред знака за модул в уравнението, а вместо знака за модул поставяме скоби и получаваме търсеното уравнение на интервала (3;+ ∞).

y= + (x-3)-( + (x+3))=x-3-x-3=-6

На интервала (3;+∞) получихме графика на линейна функция (права) у=-6

4. Сега нека да обобщим графиката y=|x-3|-|x+3|.
Върху интервала (-∞;-3) построяваме графика на линейната функция (права) y=6.
Върху интервала (-3;3) построяваме графика на линейната функция (права) y=-2x.
За да построим графика на y = -2x, избираме няколко точки.
x=-3 y=-2*(-3)=6 резултатът е точка (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 резултатът е точка (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 резултатът е точка (3;-6)
Върху интервала (3;+∞) построяваме графика на линейната функция (права) у=-6.

5. Сега нека анализираме резултата и отговорим на въпроса, намерете стойността на k, при която правата линия y=kx има с графиката y=|x-3|-|x+3| дадена функция има точно една обща точка.

Правата линия y=kx за всяка стойност на k винаги ще минава през точката (0;0). Следователно можем да променим само наклона на тази линия y=kx, а коефициентът k отговаря за наклона.

Ако k е произволно положително число, тогава ще има едно пресичане на правата y=kx с графиката y=|x-3|-|x+3|. Този вариант ни устройва.

Ако k приеме стойността (-2;0), тогава пресечната точка на правата y=kx с графиката y=|x-3|-|x+3| ще има три. Този вариант не ни устройва.

Ако k=-2, ще има много решения [-2;2], защото правата y=kx ще съвпадне с графиката y=|x-3|-|x+3| на тази област. Този вариант не ни устройва.

Ако k е по-малко от -2, тогава правата y=kx с графиката y=|x-3|-|x+3| ще има една пресечка Тази опция ни устройва.

Ако k=0, тогава пресечната точка на правата y=kx с графиката y=|x-3|-|x+3| ще има и този вариант ни устройва.

Отговор: когато k принадлежи на интервала (-∞;-2)U и нараства на интервала )