Формула за пълна вероятност. Формула на Бейс

Често започваме анализ на вероятностите с предварителни, априористойностите на вероятностите на събитията, които ни интересуват. След това от източници на информация като извадка, доклад, опит и т.н. получаваме допълнителна информация за събитието, което ни интересува. Имайки това нова информация, можем да изясним и преизчислим стойностите на априорните вероятности. Вече ще има нови вероятностни стойности за същите събития, които ни интересуват a posteriori(постекспериментални) вероятности. Теоремата на Байс ни дава правило за изчисляване на такива вероятности.

Нека събитието Аможе да се случи само с едно от събитията B 1, B 2, B 3,…, B n, образувайки пълна група. Нека вероятностите са известни P(B 1), P(B 2), P(B 3),…, P(B n). От събитията В iобразуват пълна група, след това . Условните вероятности на събитието също са известни A: P(A/B 1), P(A/B 2),…, P(A/B i),…, P(A/B n).Тъй като не е известно предварително кое от събитията В iще се случи събитие А, след това събития В iсе наричат ​​хипотези.

Необходимо е да се определи вероятността от събитие Аи надценяват вероятностите от събития В iкато се вземе предвид пълната информация за събитието А.

Вероятност за събитие Адефиниран като:

. (5.1)

Тази вероятност се нарича пълна вероятност.

Ако събитие A може да възникне само с едно от събитията B 1, B 2, B 3,..., B n, образувайки пълна група от несъвместими събития, наречени хипотези, тогава вероятността за събитие A е равна на сумата от произведения на вероятностите за всяко от събитията B 1, B 2, B 3 ,…, B n, към съответната условна вероятност на събитие А.

Условните вероятности на хипотезите се изчисляват по формулата:

Това са формулите на Бейс (наречени на английския математик Т. Байс, който ги публикува през 1764 г.), където знаменателят P(A) е общата вероятност.

Пример 1.Икономист смята, че вероятността от увеличение на стойността на акциите на определена компания в следващата годинаравен на 0,75, ако икономиката на страната е в подем; и същата вероятност е равна на 0,30, ако икономиката на страната не се развива успешно. Според него вероятността за възстановяване на икономиката догодина е 0,80. Използвайки предположенията на икономист, каква е вероятността акциите на компанията да поскъпнат през следващата година?

Решение.Нека дефинираме събитията: А- „Акциите на компанията ще поскъпнат през следващата година.“ Събитие А– „акциите на компанията ще поскъпнат през следващата година“ – може да се случи само заедно с една от хипотезите: Б 1– икономиката на страната ще бъде във възход и Б 2– икономиката на страната няма да се развива успешно.

Според условието са известни вероятностите на хипотезите: P(B 1)= 0,8; P(B 2) = 0,2

и условни вероятности на събитието A: P(A/B 1)= 0,75; P(A/B 2)= 0,3.

Хипотезите образуват пълна група, сумата от техните вероятности е равна на 1. Разгледайте събитието А– това (или B 1 Aили B 2 A). събития B 1 AИ B 2 A –Б 1И Б 2- несъвместими.

събития Б 1И А, Б 2И А- зависим.

Горното ни позволява да приложим, за да определим желаната вероятност за събитие Аформула за обща вероятност:

Отговор: 0,66.

Пример 2.Икономистът смята, че в период на активен икономически растеж щатският долар ще поскъпне с вероятност от 0,7; в период на умерен икономически растеж доларът ще поскъпне с вероятност 0,4; и при ниски темпове на икономически растеж доларът ще поскъпне с вероятност 0,2. През всеки период от време вероятността за силен икономически растеж е 0,3, умерен икономически растеж е 0,5 и нисък растеж е 0,2. Да приемем, че доларът поскъпва през текущия период. Каква е вероятността анализираният период да съвпадне с период на активен икономически растеж?

Решение.Нека дефинираме събитията: А- "Доларът става все по-скъп." Може да се случи само заедно с една от хипотезите: Б 1– „активен икономически растеж“; Б 2– „умерен икономически растеж“; Б 3– „нисък икономически растеж“.

По условие са известни предексперименталните (априорни) вероятности на хипотезите и условните вероятности на събитието А:

P(B 1)= 0,3; Р(В 2)= 0,5; Р(В 3)= 0,2.

P(A/B 1)= 0,7; P(A/B 2)= 0,4; P(A/B 3)= 0,2.

Хипотезите образуват пълна група, сумата на вероятностите им е равна на 1. 1. Събитие А– това (или B 1 A,или B 2 A,или B 3 A). събития B 1 AИ B 2 AИ B 3 A –несъвместими по двойки, тъй като събитията Б 1, Б 2И Б 3– несъвместими.Събития Б 1И А, Б 2И А, АИ Б 2– зависим Съгласно условието се изисква да се намери уточнената (следекспериментална, последна) вероятност на първата хипотеза, т.е. необходимо е да се намери вероятността за активен икономически растеж, при условие че доларът поскъпне (събитие Авече се е случило), т.е P(B 1 /A)-?

Използвайки формулата на Bayes (5.2) и замествайки дадените стойности на вероятността, имаме:

Днес ще говорим за FXCN - ETF фонд за акции на китайски компании.

Нека ви напомним, че основното във всеки ETF фонд е неговото съдържание. Когато купуваме дялове на фонд, ние сякаш купуваме портфейл от ценни книжа, които са част от активите на фонда. Съставът на портфейла се определя от индекс, съставен от независим професионален участник - доставчик на индекса. Прочетете повече за индексите и структурата на ETF фондовете в.

В същото време през 2013 г. Китай надмина САЩ по отношение на износа на стоки и услуги:

(Данни на Световната банка )

Според прогнозата на Световната банка през следващите години Китай ще има по-висок темп на растеж на БВП от Русия или Съединените щати:

(Данни на Световната банка )

Всичко това прави Китай интересен пазар за инвестиции, както по отношение на икономически растеж, така и по отношение на диверсификация.

Това означава, че инвестирането в китайски акции е по-малко рисковано, отколкото в руските, но по-рисково, отколкото в американските. Графиката по-горе показва, че графиката на индекса руски пазар„говори“ най-много. Китай е по-малък. А американският пазар, в сравнение със съседите, изглежда почти като бавно, но сигурно растяща права линия.

Дивиденти, данъци и фондови такси

Дивидентите, които фондът получава от акции на китайски компании, се реинвестират. Тоест, използвайки размера на получените дивиденти, фондът закупува допълнителни акции за вас в пропорции според индекса MSCI China.

При продажба на акции на фонд чрез руски брокер с лицаданъкът върху доходите на физическите лица се удържа в размер на 13% върху положителната разлика между покупната и продажната цена. Това означава, че докато не продадете акции на фонда, не се удържа данък. За да избегнете плащането на данък върху доходите на физическите лица при продажбата, акциите на фонда могат да бъдат закупени чрез индивидуална инвестиционна сметка, която предоставя данъчно приспадане.

Комисионната за фонда FXCN е 0,9% годишно. Не го плащате отделно и никога не трябва да се занимавате директно с него. Комисионата се начислява от фонда от активите и само „забавя“ растежа на нетните активи на фонда.

Цената на акциите

Портфолио от 152 китайски акции е общото притежание на фонда FXCN. Като разделим стойността на активите на броя на емитираните акции, получаваме цената на една акция от фонда FXCN. По правило цената на акция на борсата и стойността на активите на акция са много близки.

Въпреки факта, че активите на фонда се оценяват в долари, за удобство на инвеститорите акциите на фонда FXCN могат да се купуват и продават на Московската борса за рубли, точно както акциите на Сбербанк или Газпром. Можете също да купувате в долари - за това трябва да закупите или чрез транзакция на гише, или в режим на договорени транзакции (RPS).

Към 18 юли 2017 г. прогнозната цена на акция на FXCN е $37,3657. Среднопретеглената цена на сделките с акции на фонда на Московската борса на 18 юли беше 2220 рубли.

Как да купя

За да купувате и продавате акции на фонд FXCN, можете да се свържете с всяка банка или финансова компания, която предоставя брокерски услуги.

Очаквана възвращаемост и стандартно отклонение. Този пример ще ви даде практичен начин за изчисляване на ефективността, която можем да очакваме от инвестиционен портфейл. Дадени са два вида запаси и три състояния на икономиката:

Изчислете стандартното отклонение и очакваната възвръщаемост за всеки тип акции.

Портфейлен риск и възвращаемост. Нека се върнем към Пример 11.1 и приемем, че имате общо $20 000. Ако инвестирате $6000 в акции А, а останалите в б, каква ще бъде очакваната възвръщаемост и стандартното отклонение на вашия портфейл?

Риск и доходност. Да приемем, че обмисляте следната ситуация:

Ако безрисковият процент е 8%, правилна ли е цената на тези ценни книжа? Какъв би бил безрисковият лихвен процент, ако цената на ценните книжа беше правилна?

CAPM. Да приемем, че безрисковият процент е 8%. Очакваната доходност на пазара е 14%. Ако определен тип актив има (3 = 0,6), тогава каква е очакваната възвръщаемост на този актив въз основа на CAPM? Ако друг актив има очаквана възвръщаемост от 20%, тогава какъв трябва да бъде (3) коефициентът?

Отговори

Очакваната възвръщаемост се изчислява като произведение на възможните възвръщаемости и техните вероятности:

E( Р А) = 0,1 x (-0,2) + 0,6 x (0,1) + 0,3 x (0,7) = 25% E(RB) = 0,1 x (0,3) + 0,6 x (0,2) + 0,3 x (0,5) = 30%

Несъответствието се изчислява като сумата от продуктите на квадратите на отклоненията на очакваната възвръщаемост и техните вероятности:

Od = 0,1 x (-0,2 - 0,25)2 + 0,6 x (0,1 - 0,25)2 + 0,3 x (0,7 - 0,25)2 = = 0,1 x (-0,45)2 + 0,6 x (-0,15)2 + 0,3 x (0,45)2 = = 0,1 x 0,2025 + 0,6 x 0,0225 + 0,3 x 0,2025 = 0,0945

a2, = 0,1 x (0,3 - 0,3)2 + 0,6 x (0,2 - 0,3)2 + 0,3 x (0,5 - 0,3)2 =

0,1 x (0,0)2 + 0,6 x (-0,1)2 + 0,3 x (0,2)2 =

0,1 x 0,0 + 0,6 x 0,01 + 0,3 x 0,04 = 0,0180 Стандартните отклонения са: aA = VO.0945 = 30.74% aB = VO.0180 = 13.42 %

Теглото на всеки тип акции в портфейла е: $6 000/20 000 = 0,3 и $14 000/20 000 = 0,7. Тогава очакваната възвръщаемост на портфейла ще бъде:

Sh/U = 0,3 x E(RA) + 0,7 x E(RB) = 0,3 x 25% + 0,7 x 30% = 28,50%

Тогава възвръщаемостта на портфейла е

E( Rp) = 0,1 x (0,15) + 0,6 x (0,17) - 0 3 x (0,56) = 28,50%.

Това е същият резултат, който получихме по-рано.

Нека изчислим волатилността на портфейла

Или = 0,1 x (0,15 - 0,285)2 + 0,6 x (0,17 - 0,285)2 + 0,3 x (0,56 - 0,285)2 = 0,03245

Тогава стандартното отклонение е корен квадратен от 0,03245 и е равно на 18,01%

Ако изчислим коефициента на възнаграждение на всяка компания, получаваме (19% - 8%)/1,6 = 6,875% за Cooley. В сравнение с Cooley, очакваната възвръщаемост на Cooley е твърде ниска цените са твърде високи

Ако ценните книжа на двете компании са оценени правилно, тогава те трябва да предлагат една и съща рискова награда, така че можем да съставим уравнението

(19% - Rj)/],6 = (16% - Rf)/l,2

След като направихме малки алгебрични трансформации, получаваме /?у= 7%

(19% - Rf) = (16% - ОТРОВА 1,6/1,2) 19% - 16% x (4/3) = Rf - Rf x (4/3) yu=7%

Тъй като пазарната очаквана възвръщаемост е 14%, премията за пазарен риск е съответно (14% - 8%) = 6% (безрисковият процент е 8%) Първият тип ценни книжа има P = 0,6, което означава очакваната възвръщаемост е 8% + 0,6x6%= 11,6%

За втория тип рисковата премия е 20% - 8% = 12% Тъй като това е точно два пъти премията за пазарен риск, тогава коефициентът p трябва да е точно равен на 2. Можем да проверим това, като използваме теорията CAPM

20% = 8% + x р Р, = 12%/6% = 2,0

Въпроси и задачи

Очаквана възвръщаемост на портфейла. Ако един портфейл има положителна инвестиция във всеки актив, може ли очакваната възвръщаемост на такъв портфейл да бъде по-голяма от възвръщаемостта на всеки актив в този портфейл? По-малко? Ако отговорите с „да“ на единия или и на двата въпроса, моля, дайте пример в подкрепа на решението си.

Индивидуална променливост на активите и диверсификация. Вярно или невярно: повечето важна характеристикаПри определяне на очакваната възвръщаемост на добре диверсифициран портфейл важна е променливостта на отделните активи на портфейла. Обяснете.

Портфейлен риск. Ако едно портфолио има положителни инвестиции във всеки актив, може ли стандартното отклонение на това портфолио да бъде по-малко от стандартното отклонение на всеки актив в това портфолио? Какво можете да кажете за b от такова портфолио?

Връщане на портфолио. Използвайки информацията от предишната глава за историята на фондовия пазар, каква беше възвръщаемостта на портфейл, който беше поравно разпределен между обикновени акции и дългосрочни държавни облигации? Кое е поравно разпределено между дребни акции и съкровищни ​​бонове?

CAPM. Използвайки CAPM, докажете, че коефициентът на рисковата премия на два актива е равен на техните коефициенти p.

Възвръщаемост на портфейла и отклонения. Като се има предвид следната информация за портфейл, състоящ се от три вида ценни книжа, определете:

Ако сте инвестирали 30% в АИ б, 40% в ° С, каква ще бъде очакваната възвръщаемост на портфейла? непостоянство? Стандартно отклонение?

Ако очакваната норма на възвръщаемост Съкровищни ​​банкнотие 5,25%, тогава каква ще бъде рисковата премия на портфейла?

Ако очакваната инфлация е 5%, каква е реалната очаквана възвръщаемост на портфейла? Каква е реалната рискова премия на портфейла?

Анализ на портфейла. Искате да създадете портфейл със същото ниво на риск като фондовия пазар като цяло. Имате $200 000. С информацията по-долу попълнете липсващите елементи:

Анализ на портфейла. Имате $100 000 за инвестиране в двете ценни книжа д, или във F, или в безрисков актив. Трябва да инвестирате всичките си пари. Вашата цел е да създадете портфолио с очаквана възвръщаемост от 10% и само 60% от риска в сравнение с останалата част от пазара. Ако дима очаквана възвръщаемост от 20% и P = 1,50, F има очаквана възвръщаемост от 15% и P = 1,15, безрисковият процент е 5%, тогава колко пари ще инвестирате във F?

Систематичен срещу несистематичен риск. Имате следната информация:

Премията за пазарен риск е 8%, а безрисковата ставка е 6%. Кой тип ценни книжа има най-голям систематичен риск? Кой тип има най-голям несистематичен риск? Какъв тип ценни книжа е най-рисковият? Обяснете.

Въпроси повишена сложност

Коефициенти b. Може ли рисков актив да има b = 0? Обяснете. Използване на модела CAPM, каква ще бъде очакваната възвръщаемост на такъв актив? Може ли рисков актив да има отрицателен b коефициент? Какво предсказва? CAPMза нивото на очакваната възвръщаемост за такъв актив? Можете ли да обясните отговора си?

Ред на състоянието фондова борса (SML). Да приемем, че обмисляте следната ситуация:

Нека приемем, че тези ценни книжа са правилно оценени. Базиран на CAPM, определи каква ще бъде очакваната пазарна възвръщаемост? Какво представлява безрисковият залог?

Изпит CFA– изпит за получаване на сертификат за финансов анализатор, който се издава на инвестиционни професионалисти в САЩ.

Помислете за проблема за максимизиране на очакваната възвръщаемост на акцията.

Да приемем, че притежаваме акции на стойност 1000 долара. Трябва да вземем решение дали да задържим акциите, да ги продадем всички или да купим повече акции на стойност 500 ВЕ.

Вероятността за 20% увеличение на пазарната стойност на дадена акция е 0,6, а вероятността за намаляване на пазарната стойност с 20% е 0,4. Какво решение трябва да се вземе, за да се максимизира очакваната печалба?

Първо трябва да решите какво да правите с акциите: да купите повече, да продадете всичко или да държите всичко. Това е изобразено с помощта на дърво на решенията на фиг. 3.2. Диаграмата съдържа размера на приходите или разходите в случай на вземане на конкретно решение. Например опцията „продажба“ ще даде доход от 1000 USD. (показано като +1000 на дървото). За разлика от това, опцията „закупуване“ ще доведе до разходи от $500. (показано като - 500 на дървото). Ако продадем акциите, тогава ще имаме нула акции. Ако

просто ще държим акциите, тогава при 20% ръст на пазара цената им ще бъде 1200 куб., а при 20% спад - 800 куб. В друг случай, след закупуване на акции за още 500 куб., когато пазарът се повиши, ще се окажем собственици на акции на стойност 1800 куб., а ако падне, на стойност 1200 куб. Тези стойности са посочени в края на всеки клон от дясната страна на дървото на решенията (фиг. 3.3). Дървото също така показва вероятностите за възможни събития (т.е. покачване или спад на цената на акциите), както и парите, изразходвани или получени в този случай. Например закупуването на дял струва 500 USD. (т.е. на това място в диаграмата е посочено - 500 USD). По същия начин продажбата на акции ще даде доход от 1000 cu и това е посочено до съответния клон на дървото.

Започвайки с правилната странаи се движат наляво, очакваните стойности се изчисляват, както е показано на фиг. 3.4. Така очакваната стойност в блока от вероятностни събития A се изчислява чрез умножаване на всяка вероятност по стойността - Увеличение на стойността на обменния курс

в края на клона, т.е. очакваната стойност в блок А е

6 x 1800 + 0,4 x 1200 = 1560 USD По същия начин, очакваната стойност за блок B е 0,6 x 1200 + 0,4 x 800 = 1040 cu.

Очаквана стойност

Увеличаване на стойността на обменния курс

Очаквана стойност

Увеличаване на стойността на обменния курс

Накрая може да се вземе решение въз основа на изхода на очакваните стойности по съответните клонове обратно към блока
ku решения B. Трите възможни пътя обратно към блок B дават следните стойности:

Вариант 1: 1560 - 500 = 1060 USD

Вариант 2: 0 + 1000 = 1000 USD

Вариант 3: 1040 + 0 = 1040 USD

Следователно, въз основа на този критерий, за да максимизираме очакваната стойност на акциите, ще предпочетем вариант 1. По този начин ще решим да купим повече акции на стойност 500 ВЕ, което ще ни даде очаквана нетна печалба от 1060 ВЕ. Тази стойност е показана в блок B и пътят на решението е маркиран, както е показано на фиг. 3.4. Трябва да се отбележи, че този прост метод за вземане на решения, основан на максимизиране на очакваната възвръщаемост, може да не винаги е подходящ. Например, също така е необходимо да се вземат предвид рисковите фактори, които ще разгледаме в следващия пример.