Какво е собствено подмножество. Как да намерите всички подмножества от множества

многонаречен набор от определени доста различни обекти, разглеждани като едно цяло.

Под множество се разбира определен набор от обекти, обединени по някакъв общ признак.

Извикват се отделните обекти, които съставляват множество елементикомплекти.

Множеството се обозначава със символа А = {х), където х- общото име на елементите на набора А. Комплектът често се изписва във формата А = {а, б, ° С, ...), където фигурните скоби показват елементите на множеството А. Ще използваме нотацията:

н- множеството от всички естествени числа;
З- множеството от всички цели числа;
В- множеството от всички рационални числа;
Р- множеството от всички реални числа;
° С- множеството от всички комплексни числа;
Z0е множеството от всички неотрицателни цели числа.

апринадлежи към комплекта А.

Нотацията (или ) означава, че елементът ане принадлежи към множеството А.

Подмножество в теорията на множествата е концепцията за част от множество.

Няколко Б, всички елементи на който принадлежат на множеството А, е наречен подмножествокомплекти А, и в същото време пишете (или )

Винаги, тъй като всеки елемент от множеството естествено принадлежи на А. Празен набор, т.е. набор, който не съдържа нито един елемент, ще бъде обозначен със символа . Всеки набор съдържа празния набор като негово подмножество.

Ако, тогава Аи БНаречен равни набори, докато пише А = Б.

5. Операции върху множества: обединение на множества, свойства на тази операция.

Обединението на множества A и B е множество, състоящо се от всички онези и само онези елементи, които принадлежат на поне едно от множествата A или B, т.е. принадлежат на А или принадлежат на Б.

обединение на множества Аи Бсе нарича набор

6. Операции върху множества: пресичане на множества, свойства на тази операция.

Пресечната точка на множества A и B е множеството, състоящо се от всички онези и само онези елементи, които принадлежат както на множество A, така и на множество B.

пресичане на подмножество Аи Бсе нарича набор

7. Елементи на комбинаториката: Пермутации.

Цялото разнообразие от комбинаторни формули може да бъде извлечено от две основни твърдения относно крайните множества − правило за сумата и правило за продукта .

Правило за сумата: нека има н по двойки несвързани множества A 1 , A 2 , …, A n съдържащи m 1 , m 2 , …, m n елементи, респ. Броят начини, по които един елемент може да бъде избран от всички тези набори е m 1 + m 2 + … + m n .

Пример . Ако първият рафт е х книги, а на втория Й , тогава можете да изберете книга от първия или втория рафт, можете X+Y начини.

правило за продукта: нека има н комплекти А 1 , А 2 , …, А n съдържащи м 1 , м 2 , …, м n елемента, съответно. Броят начини, по които можете да изберете един елемент от всеки набор, т.е. да изградите кортеж ( a 1 , a 2 , ..., a n ), където а i О НО i1 ( и = 1, 2, …, n ), се равнява m 1 m 2 … m n .

Пример . Ако има 5 книги на първия рафт и 10 на втория, тогава можете да изберете една книга от първия рафт и една от втория по 5*10=50 начина.

Факториален.Това е името на често срещана на практика функция, дефинирана за неотрицателни цели числа. Името на функцията идва от английския математически термин factor - "factor". Тя е определена. За всяко положително цяло число функцията е равна на произведението на всички цели числа от 1 до . Например: . За удобство приемаме по дефиниция . Факториалът е особено разпространен в комбинаториката. Например, броят на начините за подреждане на ученици в една линия е равен на

Определение. Ако в определен набор елементите се пренаредят, оставяйки техния брой непроменен, тогава всяка получена по този начин комбинация се нарича пермутация.

Общият брой на пермутациите от мелементи се обозначава с P m и се изчислява по формулата:

8. Елементи на комбинаториката: Комбинации.

Определение. Ако от телементи образуват групи според Пелементи във всеки, независимо от реда на елементите в групата, тогава получените комбинации се извикват комбинацииот телементи от П.

Общият брой на комбинациите се намира по формулата:

9. Елементи на комбинаториката: Разположения.

Става дума за нечислови множества. Например, се говори за набор от диагонали на многоъгълник, набор от точки на координатна права, набор от линии, преминаващи през точка.

Обектите или обектите, които образуват даден набор, се наричат негови елементи. Например числото $6$ ще бъде елемент от множеството естествени числа, а числото $0,9$ няма да бъде елемент от множеството естествени числа.

Задайте типове

Множествата могат да бъдат крайни и безкрайни, празни.

Определение 2

финалсе нарича множество, състоящо се от краен брой елементи, но крайно множество може да има произволен брой елементи.

Сред крайните множества има множество, което няма нито един елемент. Такова множество се нарича празно множество.

Определение 3

Множество, което не е крайно, се нарича безкрайно число.

Подмножества

Ако някой набор не е празен, от него могат да бъдат избрани други набори, които ще бъдат негови части.

Например, от множеството естествени числа може да се избере множеството от четни.

В математиката част от множество се нарича - подмножество.За едно множество се казва, че е подмножество на друго, ако всеки елемент от подмножеството също е елемент от по-голямото множество.

Обозначаване на множества, подмножества и техните елементи

Най-често множествата се обозначават с латински букви - $A, B, C, D, X, Y, Z, W$ и т.н.

Елементите на набора се означават с малки букви $a,b,c,d,x,y,z$ и т.н.

Математически е възможно да се запише принадлежността на някакъв елемент към някакво множество, например, че някой елемент $a$ ще бъде включен в множеството $A$ по следния начин: $a\in A$ Можете да прочетете този запис като това: a принадлежи на множеството $A$.

Ако някой елемент, например, $b$ не принадлежи на множеството $B$, тогава той се записва по следния начин: $b\notin B$ Този запис се чете както следва: $b$ не принадлежи на множеството $B$

Например, ако обозначим набора от цели числа с $A$, какво тогава може да се запише: $3\in A$, $7,5\notin B$

Празното множество в математиката се обозначава по следния начин: $ᴓ$

За да се посочи, че множеството $B$ е подмножество на множеството $A$, се използва нотацията: Знакът $\subset $ обозначава включването на едно множество в друго множество.

Пример 1

Определете кои елементи от изброените $12,38,54,79,934$ ще бъдат включени в набора от $A$-числа, делими на $3$.

решение:По условие множеството $A$ съдържа елементи, всеки от които трябва да бъде кратен, т.е. се дели на $3.$ Така че, за да определим дали дадените числа са елементи от множеството $A$, трябва да проверим кое от тях ще се дели на $3$ без остатък, кои не.

Да си припомним тест за делимост на $3$: Ако сборът от цифрите, съставляващи числото, се дели на $3$, то числото се дели на $3$ без остатък.

$12$ се дели на $3$, защото сумата от цифрите на $12$ е $3$

числото $38$ няма да се дели на $3$ без остатък, защото сумата от цифри $3+8=11$ не се дели на $3$ без остатък

по подобен начин, защото сумата от цифрите на числото $54$ е равна на $9$, доказваме, че то се дели на $3$, но числото $74$ няма да се дели на $3$, т.к. сумата от цифрите е $11.$

Нека намерим сбора от цифрите на числото $934: 9+3+4=16$, числото $16$ не е кратно на $3$, което означава, че числото $934$ не може да се дели на $3$ без остатък

Сега нека да заключим кои числа ще бъдат елементи от множеството $A$:

Начини за определяне на множества

Има два глобално различни начина за определяне на набори.

Първое, че множеството се дефинира чрез посочване на всички негови елементи. В този случай се казва, че множеството е дадено чрез изброяване на всички негови елементи или чрез списък на неговите елементи. Чрез изброяване на елементи можете да посочите само крайни множества и с малък брой елементи, включени в него

Крайните множества с малко елементи обикновено се записват в къдрави скоби $\left$a,b,c\right$$

С този начин на уточняване на множества, ние казваме, че множеството е дадено чрез изброяване на неговите елементи.

Втори начинзадаване на множества е приложимо както за крайни. и за безкрайни множества. Той се крие в това, че е посочено свойство, което има всеки елемент от дадено множество - множество се посочва чрез описание, т.е. посочвайки неговото характерно свойство, тоест свойството, което притежават всички елементи от това множество и нито един друг обект.

Пример 2

Например, използвайки описанието, може да се посочи такъв набор от естествени числа от $1$ до $9$ включително. Характерното свойство, тоест свойството, което всички елементи от това множество имат за тези елементи, е, че всички те са естествени числа и всяко от тях е не по-малко от $1$ и не повече от $9$. Чрез изброяване посоченият набор може да бъде посочен, както следва:

$A=\left$1\ ,2\ ,3,4,5,6,7,8,9\right$$

Задайте равенство

Множествата са равни, ако техните елементи са равни. Освен това, ако множествата се състоят от едни и същи елементи, но написани в различен ред, тогава тези множества са различни, въпреки че са равни.

Съюз на множества

От две множества $A$ и $B$ може да се образува нов набор чрез комбиниране на всички елементи от множеството $A$ и всички елементи на множеството $B$

Математически това може да се изрази по следния начин: $\ A\ \cup B$

Обединението на множества $A$ и $B$ е ново множество$\ A\ \cup B$, състоящо се от онези и само онези елементи, които са включени в поне едно от множествата $A$ или $B$.

Задайте разлика

Разликата между две множества $A$ и $B$ е набор, който включва всички елементи от множеството $A$, които не принадлежат на множеството $B$.

Разделът е много лесен за използване. В предложеното поле просто въведете желаната дума и ние ще ви дадем списък с нейните значения. Искам да отбележа, че нашият сайт предоставя данни от различни източници – енциклопедични, обяснителни, словообразувателни речници. Тук можете да се запознаете и с примери за използване на въведената от вас дума.

Значението на думата подмножество

подмножество в речника на кръстословиците

Енциклопедичен речник, 1998г

подмножество

концепция за теория на множествата. Подмножество от множество A е множество B (означено B? A), всеки елемент от което принадлежи на A. Например, множеството от всички четни числа е подмножество на множеството от всички цели числа.

Подмножество

множество A (математически), всяко множество, всеки елемент от което принадлежи на A. Например, множеството от всички четни числа е P. множеството от всички цели числа. Ако включим „празното“ множество, което изобщо не съдържа елементи, тогава, по силата на дефиницията, то трябва да се счита за свойство на всяко друго множество. Самото множество A и празното множество понякога се наричат неправилни свойства, докато останалите свойства се наричат правилни. Вижте също теорията на множеството.

Уикипедия

Подмножество

Подмножествов теорията на множеството това е понятието за част от множество.

Примери за употребата на думата подмножество в литературата.

Можете също да въведете следващата буква, към която да отидете подмножествовсички възможни завършеки.

Представеният документ МОЖЕ да бъде или подмножествооригиналната версия и съдържат информация, която не е представена в нея.

Kharms нула като набор, включващ безкрайна серия от нули подмножества, е светът на безкрайността.

Възможност за печат подмножества pages изисква филтър, който може да се справи с тази ситуация.

Създаването на индекс с правило за фрагментиране, което не е същото като правилото за фрагментиране на таблица, е полезно, когато различни приложения избират от таблица въз основа на различни подмножестванейните атрибути.

Урок и презентация на тема: "Множества и подмножества, примери"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения! Всички материали се проверяват от антивирусна програма.

Учебни помагала и симулатори в онлайн магазин "Интеграл" за 9 клас
Мултимедиен учебник за 9 клас "Алгебра за 10 минути"
Електронен учебник за ученици от 7-9 клас "Разбираема алгебра"

Множества и подмножества

Момчета, преминаваме към изучаването на много важна тема "Много". Постоянно ще срещаме множества, в курсовете по математика за по-големи класове и в 9 клас, почти всички теми са тясно свързани с това понятие. Затова се опитайте да разберете добре тази тема.

И така, какво е множество?
Множествата се занимават със специален клон на математическата теория на множествата. Комплектът е едно от основните и фундаментални понятия. Той няма определение, но нека се опитаме да разберем какво е набор? Един набор е съвкупност от различни елементи, те могат да бъдат преброени, групирани. Примери за множества са буквите от азбуката - набор, състоящ се от 33 елемента. Много ябълки на дърво - броят на ябълките на дърво, разбира се, и може да се брои и преброи. Има много примери за комплекти. Опитайте се сами да дадете пример.
В математиката множеството се обозначава с къдрави скоби (,). Например наборът от първите пет букви на английската азбука ще бъде обозначен така: (A, B, C, D, E). Ако напишете този набор в различен ред, той няма да се промени.
Математиката е толкова интересен предмет, че имаме концепцията за празно множество и за безкрайно множество. Празно множество е множество, в което няма нито един елемент, обозначава се без скоби и се използва символът Ø. Безкрайно множество, вероятно ясно от името, е множество, в което има безкраен брой елементи, например множеството от всички числа.
Наборите могат да бъдат описани с различни думи, например (10, 12, 16, 18, ..., 96,98) е набор от четни двуцифрени числа. Многоточината се използва, когато има много елементи и е трудно да се запишат всички, но в същото време записът на множеството трябва да е разбираем и за да може да се определи от него какъв набор то е.
$ \(x|-2

Има специални обозначения за комплекти. Например за множеството естествени числа. Момчета, помните ли как се обозначава този комплект?
Специалният знак $ϵ$ се използва, за да посочи, че даден елемент принадлежи към множество. Напишете $2 ϵ $2,4,6,8... $$. Той гласи така: „Две принадлежи към множеството от четни числа“.

Пример.
Някакво множество се състои от корените на уравнението $x^3+3x^2+2x=0$. Намерете елементите на този набор и избройте всички възможни подреждания за елементите.

Решение.
Нека да решим уравнението, да вземем x от скоби:
$x(x^2+3x+2)=0$
$x(x+2)(x+1)=0$

Тогава решенията на нашето уравнение: $x=0;-2;-1$ - това са елементите на желаното множество.
Нека запишем възможните опции за подреждане на елементите:
{-2, -1, 0}; {-2, 0, -1}; {-1, 0, 2}; {-1, 2, 0}; {0, -2, -1}; {0, -1, -2}.

Пример.
Опишете зададените данни.

$a) $1,2,3,4,...,9,10 $ \\ b) $1,8,27,64 ... $$
Решение.
а) Множеството естествени числа от 1 до 10.
б) Множеството от всички стойности на кубчета от естествени числа.

Пример.
След като решите неравенството, запишете неговите решения като числов интервал:

А) $$x^2 | x^2+1>0$$
б) $\(x| 1/x в) $\(x |x^2+7x+12
Решение.
а) $x^2+1>0$ е по-голямо от нула за всички x. Тогава числовият интервал ще бъде записан във формата: $(-∞;+∞)$.
б) 1/x в) $x^2+7x+12

Подмножество

Ако изберем няколко елемента от нашия набор и ги групираме поотделно, тогава това ще бъде подмножество от нашия набор. Има много комбинации, от които може да се получи подмножество, като броят на комбинациите зависи само от броя на елементите в оригиналния набор.
Нека имаме две множества A и B. Ако всеки елемент от множество B е елемент от множество A, тогава множество B се нарича подмножество на A. Обозначава се: B ⊂ A. Пример.
Колко подмножества от множеството A=(1, 2, 3) съществуват.
Решение.
Подмножества, състоящи се от елементите на нашето множество. Тогава имаме 4 опции за броя на елементите в подмножеството:
Подмножеството може да се състои от 1 елемент, 2, 3 елемента и може да е празно. Нека запишем нашите елементи последователно.
Подмножество от 1 елемент: (1), (2), (3).
Подмножество от 2 елемента: (1, 2); (тринадесет); (2, 3).
Подмножество от 3 елемента: (1, 2, 3).

Да не забравяме, че празното множество също е подмножество от нашето множество. Тогава получаваме, че имаме 3+3+1+1=8 подмножества.

Задачи за самостоятелно решаване

1. Намерете множеството от решения на уравнението: $2x^3+8x^2+6x=0$. Избройте всички възможни подреждания за елементи.
2. Опишете комплекта:
$a) $1, 3, 5, 7...99 $ \\b) $1, 4, 7, 10, 13, 16 $ \\ c) $5, 10, 15, 20 ... 995 $$
3. Колко подмножества от множеството A=(3, 4, 5, 6) съществуват.

притежавани $А$ , също принадлежи $Б$ . Официално определение:

$(A \подмножество B) \Leftrightarrow \forall x. (x \в A \Стрелка надясно x \в B).$

Няколко $Б$ Наречен супернаборкомплекти $А$ , ако $А$ - подмножество $Б$ .

Има два символа за подмножества:

И двете нотационни системи използват символа $\подмножество$ различни значения, което може да доведе до объркване. В тази статия ще използваме най-новата нотация.

Какво $Б$ наречен супернабор $А$ , често се пише $B \supset A$ .

Множеството от всички подмножества на множеството $А$ обозначено $\mathcal(P)(A)$ и се нарича булева.

собствено подмножество

Всеки комплект $Б$ е собствено подмножество. Ако искаме да изключим $Б$ от разглеждане, ние използваме понятието собствен

Няколко $А$ е правилно подмножество на множеството $Б$ , ако $A\подмножество B$ и $А \не Б$ .

Празният набор е подмножество от всяко множество. Ако в допълнение искаме да изключим празното множество от разглеждане, използваме понятието нетривиаленподмножество, което се дефинира, както следва:

Няколко $А$ е нетривиално подмножество на множеството $Б$ , ако $А$ е собствено подмножество $Б$ и $\не\варнищо$ .

Примери

Комплекти $\varnothing, $0$, $1,3,4$.$ $\{ 0,1,2,3,4,5\}$
Комплекти $$ \varnothing, \uparrow, moose $, $ $,%,*,\uparrow $, $\varnothing$, \varnothing$ са подмножества на множеството $$ $, %, \varnothing, \uparrow, *, лос $$
Нека бъде $A = $a,b$$ , тогава $\mathcal(P)(A) = $\varnothing, \(a$, $b$, $a,b$ \)$ .
Нека бъде $A = $1,2,3,4,5$,\; B = $1,2,3$,\; C = $4,5,6,7$$ . Тогава $B \подмножество A,\; C\не\подмножество A$ .

Имоти

Връзката на подмножество има редица свойства.

Връзката на подмножество е връзка с частичен ред:
- Връзката на подмножеството е рефлексивна: $B\подмножество B$
- Отношението на подмножеството е антисиметрично: $(A \subset B \; \and\; B \subset A) \Leftrightarrow (A = B)$
- Връзката на подмножество е преходна: $(A \subset B \;\and\; B \subset C) \Стрелка надясно (A \subset C)$
Празното множество е подмножество на всяко друго, така че е най-малкото множество по отношение на отношението на подмножество: $\varnothing \подмножество B$
За произволни два комплекта Аи Бследните твърдения са еквивалентни:
- $A\подмножествоB.$
- $A\cap B = A.$
- $A \ чаша B = B.$
- $B^(\complement) \подмножество A^(\complement).$

Подмножества на крайни множества

Ако първоначалното множество е крайно, то има краен брой подмножества. А именно, при $н$ -съществува набор от елементи $2^n$ подмножества (включително празни). За да се потвърди това, достатъчно е да се отбележи, че всеки елемент може да бъде включен или да не бъде включен в подмножество, което означава, че общият брой подмножества ще бъде $н$ -кратно произведение на двойки. Ако разгледаме само подмножества $н$ -набор от елементи от $k\le n$ елементи, тогава техният брой се изразява с биномен коефициент $\textstyle\binom(n)(k)$ . За да проверите този факт, можете да изберете елементите на подмножеството последователно. Първият елемент може да бъде избран $н$ начини, вторият $n-1$ начин, и така нататък, и накрая $к$ -тият елемент може да бъде избран $n-k+1$ начин. Така получаваме последователност от $к$ елементи и точно $к!$ такива последователности съответстват на едно подмножество. Така че има всичко $\textstyle\frac(n(n-1)\dots(n-k+1))(k=\binom{n}{k}!}$ такива подмножества.

Напишете отзив за статията "Подмножество"

Бележки

литература

Верещагин Н. К., Шен А.Лекции по математическа логика и теория на алгоритмите. Част 1. Начало на теорията на множествата - 3-то изд., стереотип. - М .: МЦНМО, 2008. - 128 с. - ISBN 978-5-94057-321-0.



Официално

математически (теоретичен, символичен)	2 константи: 0 1

Вижте също

Откъс, характеризиращ подмножеството

- Не съм виновен, че разговорът започна пред други офицери. Може би не трябваше да говоря пред тях, но не съм дипломат. След това се присъединих към хусарите и отидох, мислейки, че тук не са необходими тънкости, но той ми казва, че лъжа ... така че нека ми даде удовлетворение ...
- Всичко е наред, никой не мисли, че си страхливец, но не е това. Питай Денисов, прилича ли на юнкер да иска удовлетворение от командир на полка?
Денисов, хапейки мустаците си, слушаше разговора с мрачен поглед, явно не желаейки да се намесва в него. На въпрос от капитанския щаб той поклати отрицателно глава.
„Говорите с командира на полка за този мръсен номер пред офицерите“, продължи капитанът на щаба. - Богданич (Богданич се наричаше командир на полка) ви обсади.
- Той не обсади, а каза, че лъжа.
- Е, да, и ти си му казал нещо глупаво и трябва да се извиниш.
- Никога! — извика Ростов.
— Не мислех, че е от теб — каза сериозно и строго капитанът от щаба. - Ти не искаш да се извиняваш, а ти, татко, не само пред него, но и пред целия полк, пред всички нас, ти си виновен наоколо. И ето как: само вие се замислихте и се посъветвате как да се справите с този въпрос, иначе директно, но пред офицерите, и тупнахте. Какво да прави сега командирът на полка? Трябва ли да съдим офицера и да объркаме целия полк? Засрамете целия полк заради един злодей? И така, какво мислите? Но според нас не е така. И браво Богданич, той ти каза, че не говориш истината. Неприятно е, но какво да се прави, татко, те самите се натъкнаха на това. И сега, както искат да замълчат нещата, така и вие от някаква фанаберия не искате да се извинявате, а искате да разкажете всичко. Обиден си, че си дежурен, но защо да се извиняваш на стар и честен офицер! Какъвто и да е Богданич, но честен и смел, стар полковник, толкова си обиден; и да объркаш полка е добре за теб? – започна да трепери гласът на капитанския щаб. - Ти, татко, седмица без година си в полка; днес тук, утре се преместиха при адютанти някъде; не ти пука какво ще кажат: „Крадците са сред павлоградските офицери!“ И не ни интересува. И какво, Денисов? Не всички ли са еднакви?
Денисов мълчеше и не мърдаше, като от време на време поглеждаше с блестящите си черни очи към Ростов.
„Твоят собствен фанабер ти е скъп, не искаш да се извиняваш – продължи щабовият капитан, – но ние старите хора, как сме израснали и дай Бог, ще умрем в полка, така че честта на полка е скъп за нас и Богданич го знае. О, колко скъпи, татко! И това не е добре, не е добре! Обиждай се или не, но винаги ще кажа истината на матката. Не е добре!
И капитанската тояга се изправи и се обърна от Ростов.
- Pg "avda, chog" вземи го! — извика Денисов и скочи. - Е, G "скелет! Добре!
Ростов, почервенял и пребледнял, погледна първо единия офицер, после друг.
- Не, господа, не... не мислете... много добре разбирам, не бива да мислите така за мен... аз... за мен... аз съм за честта на полка. но какво? Ще го покажа на практика, а за мен честта на знамето ... е, все едно е, наистина, аз съм виновен! .. - Сълзи застанаха в очите му. - Аз съм виновен, виновен съм наоколо!... Е, какво още искаш?...
„Това е, графе“, извика капитанът на щаба, като се обърна и го удари по рамото с голямата си ръка.
— Казвам ти — извика Денисов, — той е хубав малък.
— Така е по-добре, графе — повтори капитанът на щаба, сякаш за признание започваше да го нарича титла. - Идете и се извинете, ваше превъзходителство, да с.
„Господа, ще направя всичко, никой няма да чуе и дума от мен“, каза Ростов с умолителен глас, „но не мога да се извиня, за Бога, не мога, както желаете!“ Как ще се извиня като малък, за да поискам прошка?
Денисов се засмя.
- По-лошо е за теб. Богданич е отмъстителен, платете за упоритостта си - каза Кирстен.
- За Бога, не инат! Не мога да ви опиша чувството, не мога...
- Е, вашата воля - каза капитанът на щаба. - Е, къде отиде това копеле? — попита той Денисов.
- Той каза, че е болен, завтг "и нареди пг" и със заповед да изключи, - каза Денисов.
„Това е болест, иначе не може да се обясни“, каза капитанът на щаба.
- Вече там болестта не е болест и ако не ми хване окото, ще те убия! — извика кръвожадно Денисов.
Жерков влезе в стаята.
- Как сте? офицерите изведнъж се обърнаха към новодошлия.
- Разходете се, господа. Мак се предаде като затворник и с армията, абсолютно.
- Лъжеш!
- Аз лично го видях.
- Как? Виждал ли си Mac жив? с ръце или крака?
- Поход! Кампания! Дайте му бутилка за такава новина. Как попаднахте тук?
— Върнаха го в полка, за дявола, за Мак. Австрийският генерал се оплака. Поздравих го за пристигането на Мак... Ти ли си, Ростов, току-що от банята?
- Ето, братко, вече втори ден имаме такава каша.
Влезе полковият адютант и потвърди донесената от Жерков вест. Утре им беше наредено да говорят.
- Вървете, господа!
- Е, слава богу, останахме твърде дълго.

Кутузов се оттегля към Виена, разрушавайки мостовете на реките Ин (в Браунау) и Траун (в Линц). На 23 октомври руските войски преминават река Енс. Руски каруци, артилерия и колони от войски в средата на деня се простираха през град Енс, по тази и тази страна на моста.