Частен и тотален диференциал на функция. Частични производни и тотален диференциал

частна производнафункции z = f(x, y чрез променлива xпроизводната на тази функция се извиква при постоянна стойност на променливата y, обозначава се или z "x.

частна производнафункции z = f(x, y) чрез променлива yнаречена производна по отношение на y при постоянна стойност на променливата y; означава се или z "y.

Частичната производна на функция от няколко променливи по отношение на една променлива се дефинира като производна на тази функция спрямо съответната променлива, при условие че другите променливи се считат за постоянни.

пълен диференциалфункция z = f(x, y) в някаква точка M(X, y) се нарича израз

Където и се изчисляват в точката M(x, y), и dx = , dy = y.

Пример 1

Изчислете общия диференциал на функцията.

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 в точка M (1; 2)

решение:

1) Намерете частични производни:

2) Изчислете стойността на частичните производни в точка M(1; 2)

() M = 3 1 2 - 4 1 2 2 = -13

() M = - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

Въпроси за самоконтрол:

1. Какво се нарича антидериват? Избройте свойствата на антидериват.

2. Какво се нарича неопределен интеграл?

3. Избройте свойствата на неопределения интеграл.

4. Избройте основните формули за интегриране.

5. Какви методи за интеграция познавате?

6. Каква е същността на формулата на Нютон-Лайбниц?

7. Дайте определение на определен интеграл.

8. Каква е същността на изчисляването на определен интеграл по метода на заместването?

9. Каква е същността на метода за изчисляване на определен интеграл по части?

10. Коя функция се нарича функция на две променливи? Как се обозначава?

11. Коя функция се нарича функция от три променливи?

12. Какво множество се нарича домейн на функция?

13. С помощта на какви неравенства може да се определи затворена област D на равнина?

14. Как се нарича частна производна на функцията z \u003d f (x, y) по отношение на променливата x? Как се обозначава?

15. Как се нарича частна производна на функцията z \u003d f (x, y) по отношение на променливата y? Как се обозначава?

16. Кой израз се нарича тотален диференциал на функция

Тема 1.2 Обикновени диференциални уравнения.

Задачи, водещи до диференциални уравнения. Диференциални уравнения с отделими променливи. Общи и частни решения. Хомогенни диференциални уравнения от първи ред. Линейни хомогенни уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Практическо занятие № 7 "Намиране на общи и частни решения на диференциални уравнения с разделими променливи" *

Практическо занятие No8 "Линейни и хомогенни диференциални уравнения"

Практическо занятие No 9 "Решение на диференциални уравнения от 2-ри ред с постоянни коефициенти" *

L4, глава 15, стр. 243 - 256

Насоки

Практическа работа №2

"Функционален диференциал"

Цел на урока: Научете се да решавате примери и задачи по зададена тема.

Теоретични въпроси (начално ниво):

1. Използването на производни за изследване на функциите до екстремум.

2. Диференциал на функция, нейното геометрично и физическо значение.

3. Пълен диференциал на функция от няколко променливи.

4. Състоянието на тялото като функция на много променливи.

5. Приблизителни изчисления.

6. Намиране на частни производни и тотален диференциал.

7. Примери за използване на тези понятия във фармакокинетиката, микробиологията и др.

(самообучение)

1. отговарят на въпроси по темата на урока;

2. решаване на примери.

Примери

Намерете диференциалите на следните функции:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Използване на производни за изучаване на функции

Условието функцията y = f(x) да се увеличава на отсечката [a, b]

Условието функцията y=f(x) да намалява на отсечката [a, b]

Условието за максимална функция y=f(x) при x= a

f"(a)=0 и f""(a)<0

Ако за x \u003d a производните f "(a) = 0 и f "(a) = 0, тогава е необходимо да се изследва f "(x) в близост до точка x \u003d a. Функцията y = f (x) за x = a има максимум , ако при преминаване през точката x = и производната f "(x) промени знака от "+" на "-", в случай на минимум - от "-" до "+" Ако f "(x) не променя знака при преминаване през точка x = a, тогава в този момент функцията няма екстремум

Функционален диференциал.

Диференциалът на независима променлива е равен на нейното увеличение:

Функционален диференциал y=f(x)

Диференциал на сбора (разликата) на две функции y=u±v

Диференциал на произведението на две функции y=uv

Коефициентният диференциал на две функции y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

Увеличение на функцията

Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) ≈ dy ≈ f "(x) Δx

където Δx: е приращението на аргумента.

Приблизително изчисление на стойността на функцията:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f "(x) Δx

Приложение на диференциала в приблизителни изчисления

Диференциалът се използва за изчисляване на абсолютните и относителните грешки при индиректните измервания u = f(x, y, z.). Абсолютна грешка на резултата от измерването

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Относителна грешка на резултата от измерването

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

ФУНКЦИОНАЛЕН ДИФЕРЕНЦИАЛ.

Функционален диференциал като основна част от приращението на функцията и.Концепцията за диференциал на функциите е тясно свързана с концепцията за производна. Нека функцията f(x)непрекъснато за дадени стойности хи има производна

д f/Dx = f¢(x) + a(Dx), откъдето функцията инкремент Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx,където a(Dx) ® 0в Dx ® 0. Нека дефинираме реда на безкрайно малкото f¢(x)Dx Dx.:

Следователно, безкрайно малък f¢(x)Dxи Dxимат същия порядък, т.е f¢(x)Dx = O.

Нека дефинираме реда на безкрайно малкото a(Dх)Dхпо отношение на безкрайно малкия Dx:

Следователно, безкрайно малкото a(Dх)Dхима по-висок порядък на малкост от безкрайно малкия Dx, т.е a(Dx)Dx = o.

По този начин, безкрайно малко увеличение Dfдиференцируема функция може да бъде представена под формата на два члена: безкрайно малка f¢(x)Dxот същия порядък на малкост с Dxи безкрайно малък a(Dх)Dхпо-висок порядък на малко в сравнение с безкрайно малките Dx.Това означава, че при равенство Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dxв Dx® 0вторият член клони към нула "по-бързо" от първия, т.е. a(Dx)Dx = o.

Първи семестър f¢(x)Dx,линейни по отношение на Dx, Наречен функционален диференциал f(x) в точката хи обозначават dyили df(прочетете "de game" или "de ef"). Така,

dy = df = f¢(x)Dx.

Аналитично значение на диференциаласе крие във факта, че диференциалът на функция е основната част от приращението на функцията Df, линеен по отношение на увеличението на аргумента Dx. Диференциалът на функция се различава от нарастването на функция с безкрайно малко от по-висок порядък на малко от Dx. Наистина ли, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dxили Df = df + a(Dx)Dx . Аргументен диференциал dxравно на приращението му Dx: dx=Dx.

Пример.Изчислете стойността на диференциала на функция f(x) = x 3 + 2x,кога хварира от 1 до 1.1.

Решение.Нека намерим общ израз за диференциала на тази функция:

Заместващи стойности dx=Dx=1,1–1= 0,1и x=1в последната формула получаваме желаната стойност на диференциала: df½ x=1; = 0,5.

ЧАСТИЧНИ ПРОИЗВОДНИ И ДИФЕРЕНЦИАЛИ.

Частни производни от първи ред. Частичната производна от първи ред на функцията z = f(x,y ) по аргумент хв разглежданата точка (x; y)наречен лимит

ако съществува.

Частична производна на функция z = f(x, y)по аргумент хобозначава се с един от следните знаци:

По същия начин частната производна по отношение на вобозначава и дефинира с формулата:

Тъй като частната производна е обичайната производна на функция от един аргумент, не е трудно да се изчисли. За да направите това, трябва да използвате всички разгледани досега правила за диференциране, като във всеки отделен случай вземете предвид кой от аргументите се приема като „постоянно число“ и кой служи като „променлива за диференциране“.

Коментирайте.За да намерите частната производна, например, по отношение на аргумента x – df/dx, достатъчно е да се намери обикновената производна на функцията f(x,y),като приемем, че последното е функция на един аргумент х, а в- постоянен; да намеря df/dy- обратно.

Пример.Намерете стойностите на частните производни на функция f(x,y) = 2x2 + y2в точката P(1;2).

Решение.Броене f(x,y)функция с един аргумент хи използвайки правилата за диференциация, намираме

В точката P(1;2)производна стойност

Разглеждайки f(x; y) като функция на един аргумент y, намираме

В точката P(1;2)производна стойност

ЗАДАЧА ЗА САМОСТОЯТЕЛНА РАБОТА НА УЧЕНИКА:

Намерете диференциалите на следните функции:

Решете следните задачи:

1. С колко ще намалее площта на квадрат със страна x = 10 cm, ако страната се намали с 0,01 cm?

2. Дадено е уравнението за движение на тялото: y=t 3 /2+2t 2 , където s се изразява в метри, t е в секунди. Намерете пътя s, изминат от тялото за t=1,92 s от началото на движението.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лоботская Н.Л. Основи на висшата математика - М .: "Висше училище", 1978.C198-226.

2. Бейли Н. Математика в биологията и медицината. Пер. от английски. М.: Мир, 1970 г.

3. Ремизов А.Н., Исакова Н.Х., Максина Л.Г. Сборник задачи по медицинска и биологична физика - М.: "Висше училище", 1987. C16-20.

Концепцията за функция на две променливи

Стойност zНаречен функция на две независими променливи xи г, ако всяка двойка допустими стойности на тези количества, според определен закон, съответства на една добре дефинирана стойност на количеството z.Независими променливи хи гНаречен аргументифункции.

Такава функционална зависимост се обозначава аналитично

Z = f (x, y),(1)

Стойности на аргументите x и y, които съответстват на действителните стойности на функцията z,разглеждан допустимо, и се извиква множеството от всички допустими двойки от x и y стойности област на дефиницияфункции на две променливи.

За функция от няколко променливи, за разлика от функция на една променлива, концепциите за нейните частични увеличенияза всеки от аргументите и концепцията пълен прираст.

Частично увеличение Δ x z на функцията z=f (x,y) по аргумент x е увеличението, което тази функция получава, ако нейният аргумент x е увеличен Δxсъс същото г:

Δxz = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)

Частичното увеличение Δ y z на функцията z= f (x, y) по отношение на аргумента y е приращението, което тази функция получава, ако нейният аргумент y получи увеличение Δy с x непроменено:

Δy z= f (x, y + Δy) – f (x, y) , (3)

Пълно увеличение Δzфункции z= f (x, y)по аргументи хи гсе нарича увеличението, което функцията получава, ако и двата й аргумента са увеличени:

Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y) , (4)

За достатъчно малки стъпки Δxи Δyаргументи на функцията

има приблизително равенство:

∆z ∆xz + ∆yz , (5)

и е колкото по-точно, толкова по-малко Δxи Δy.

Частични производни на функции на две променливи

Частичната производна на функцията z=f (x, y) по отношение на аргумента x в точката (x, y)се нарича граница на съотношението на частичния прираст ∆xzтази функция до съответното увеличение Δxаргумент x при стремеж Δxдо 0 и при условие, че това ограничение съществува:

, (6)

По подобен начин се дефинира производната на функцията z=f (x, y)по аргумент y:

В допълнение към посочената нотация, частичните производни на функциите също се означават с , z΄ x , f΄ x (x, y); , z΄ y , f΄ y (x, y).

Основното значение на частичната производна е както следва: частичната производна на функция от няколко променливи по отношение на който и да е от нейните аргументи характеризира скоростта на промяна на тази функция, когато този аргумент се промени.

Когато се изчислява частичната производна на функция от няколко променливи по отношение на всеки аргумент, всички останали аргументи на тази функция се считат за постоянни.

Пример1.Намиране на частични производни на функции

f (x, y)= x 2 + y 3

Решение. При намиране на частичната производна на тази функция по отношение на аргумента x, аргументът y се счита за постоянна стойност:

;

Когато се намира частичната производна по отношение на аргумента y, аргументът x се счита за постоянна стойност:

Частични и тотални диференциали на функция от няколко променливи

Частичният диференциал на функция от няколко променливи по отношение на които-или от неговите аргументие произведението на частичната производна на тази функция по отношение на дадения аргумент и диференциала на този аргумент:

dxz= ,(7)

dyz= (8)

Тук d x zи d y z-частични диференциали на функция z= f (x, y)по аргументи хи г.При което

dx= ∆x; dy=Δy, (9)

пълен диференциалФункция от няколко променливи се нарича сума от нейните частични диференциали:

dz= d x z + d y z, (10)

Пример 2Намерете частичните и общите диференциали на функцията f (x, y)= x 2 + y 3 .

Тъй като частните производни на тази функция се намират в пример 1, получаваме

dxz= 2xdx; d y z= 3y 2 dy;

dz= 2xdx + 3y 2dy

Частичният диференциал на функция от няколко променливи по отношение на всеки от нейните аргументи е основната част от съответното частично увеличение на функцията.

В резултат на това човек може да напише:

∆xz dxz, ∆yz d yz, (11)

Аналитичният смисъл на общия диференциал е, че общият диференциал на функция от няколко променливи е основната част от общото приращение на тази функция.

По този начин има приблизително равенство

∆zdz, (12)

Използването на формула (12) се основава на използването на общия диференциал в приблизителните изчисления.

Представете си увеличение Δzкато

f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)

и общият диференциал във формата

Тогава получаваме:

f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) ,

, (13)

3. Целта на учениците в урока:

Ученикът трябва да знае:

1. Дефиниране на функция от две променливи.

2. Концепцията за частично и пълно нарастване на функция от две променливи.

3. Определяне на частна производна на функция от няколко променливи.

4. Физическото значение на частната производна на функция от няколко променливи по отношение на всеки от нейните аргументи.

5. Определяне на частичния диференциал на функция от няколко променливи.

6. Определяне на общия диференциал на функция от няколко променливи.

7. Аналитично значение на общия диференциал.

Ученикът трябва да може да:

1. Намерете частни и общи приращения на функция от две променливи.

2. Изчислете частични производни на функция от няколко променливи.

3. Намерете частични и тотални диференциали на функция от няколко променливи.

4. Приложете общия диференциал на функция от няколко променливи в приблизителни изчисления.

Теоретична част:

1. Концепцията за функция на няколко променливи.

2. Функция на две променливи. Частично и общо увеличение на функция от две променливи.

3. Частична производна на функция от няколко променливи.

4. Частични диференциали на функция от няколко променливи.

5. Пълен диференциал на функция от няколко променливи.

6. Приложение на общия диференциал на функция от няколко променливи в приблизителни изчисления.

Практическа част:

1. Намерете частични производни на функции:

1) ; 4) ;

2) z \u003d e xy + 2 x; 5) z= 2tg xx y;

3) z \u003d x 2 sin 2 y; 6) .

4. Дефинирайте частната производна на функция по отношение на даден аргумент.

5. Какво се нарича частичен и тотален диференциал на функция от две променливи? Как са свързани те?

6. Списък с въпроси за проверка на крайното ниво на знания:

1. В общия случай на произволна функция от няколко променливи, равен ли е нейният общ прираст на сумата от всички частични увеличения?

2. Какво е основното значение на частната производна на функция от няколко променливи по отношение на някой от нейните аргументи?

3. Какво е аналитичното значение на общия диференциал?

7. Хронология на урока:

1. Организационен момент – 5 минути.

2. Анализ на темата - 20 мин.

3. Решаване на примери и задачи - 40 мин.

4. Текущ контрол на знанията -30 мин.

5. Обобщаване на урока - 5 мин.

8. Списък на учебната литература за урока:

1. Морозов Ю.В. Основи на висшата математика и статистика. М., "Медицина", 2004, §§ 4.1–4.5.

2. Павлушков И.В. и др. Основи на висшата математика и математическа статистика. М., "ГЕОТАР-Медиа", 2006, § 3.3.

Линеаризация на функцията. Допирателна равнина и повърхност нормални.

Производни и диференциали от по-висок порядък.

1. Частични производни на FNP *)

Помислете за функцията и = е(P), RÎDÌR нили, което е същото,

и = е(х 1 , х 2 , ..., x n).

Фиксираме стойностите на променливите х 2 , ..., x n, и променливата х 1 нека увеличим D хедин . След това функцията ище получи увеличение, определено от равенството

= е (х 1+D х 1 , х 2 , ..., x n) – е(х 1 , х 2 , ..., x n).

Това увеличение се нарича частно увеличениефункции ипо променлива х 1 .

Определение 7.1.Частична производна на функция и = е(х 1 , х 2 , ..., x n) по променлива х 1 е границата на съотношението на частичното увеличение на функцията към нарастването на аргумента D х 1 в D х 1 ® 0 (ако съществува тази граница).

Частната производна по отношение на х 1 знака

Така че по дефиниция

Частичните производни по отношение на останалите променливи се дефинират по подобен начин. х 2 , ..., x n. От дефиницията може да се види, че частната производна на функция спрямо променливата x iе обикновената производна на функция на една променлива x iкогато останалите променливи се считат за константи. Следователно всички по-рано проучени правила и формули за диференциране могат да се използват за намиране на производната на функция от няколко променливи.

Например за функцията u = х 3 + 3xy – z 2 имаме

По този начин, ако функция от няколко променливи е дадена изрично, тогава въпросите за съществуването и намирането на нейните частни производни се свеждат до съответните въпроси относно функцията на една променлива - тази, чрез която е необходимо да се определи производната.

Помислете за имплицитно дефинирана функция. Нека уравнението F( х, г) = 0 дефинира имплицитна функция на една променлива х. честна

Теорема 7.1.

Нека F( х 0 , г 0) = 0 и функции F( х, г), F¢ х(х, г), F¢ в(х, г) са непрекъснати в някаква околност на точката ( х 0 , в 0) и F¢ в(х 0 , г 0) ¹ 0. След това функцията в, дадено имплицитно от уравнението F( х, г) = 0, има в точката ( х 0 , г 0) производна, която е равна на

Ако условията на теоремата са изпълнени в която и да е точка от областта DÌ R 2 , то във всяка точка от тази област .

Например за функцията х 3 –2в 4 + Еха+ 1 = 0 намери

Нека сега уравнението F( х, г, z) = 0 дефинира имплицитна функция от две променливи. Нека намерим и . Тъй като изчисляването на производната по отношение на хпроизведен при фиксиран (постоянен) в, то при тези условия равенството F( х, г= const, z) = 0 дефинира zкато функция на една променлива хи според теорема 7.1 получаваме

по същия начин .

По този начин, за функция от две променливи, дадени имплицитно от уравнението , частичните производни се намират по формулите: ,

За да опростим нотацията и представянето на материала, ние се ограничаваме до случая на функции на две променливи. Всичко, което следва, е валидно и за функции на произволен брой променливи.

Определение. частна производнафункции z = f(x, y) от независимата променлива хнаречено производно

изчислено на константа в.

Частичната производна по отношение на променливата се дефинира по подобен начин в.

За частични производни са валидни обичайните правила и формулите за диференциране.

Определение.Произведението на частната производна и увеличението на аргумента х(y) се нарича частен диференциалпо променлива х(в) функции на две променливи z = f(x, y) (символи: ):

Ако е под диференциала на независимата променлива dx(dy) разбират приращение х(в), тогава

За функция z = f(x, y) разберете геометричния смисъл на неговите честотни производни и .

Помислете за точка, точка П 0 (х 0 ,г 0 , z 0) на повърхността z = f(х,в) и крива Л, което се получава при срязване на повърхността с равнина y = y 0 . Тази крива може да се разглежда като графика на функция на една променлива z = f(x, y) в самолета y = y 0 . Ако рисувате в точката Р 0 (х 0 , y 0 , z 0) допирателна към кривата Л, тогава според геометричния смисъл на производната на функция на една променлива , където а – ъгъл, образуван от допирателна с положителна посока на ос ох.