Əsas elementar funksiyaların inteqral cədvəli. Triqonometrik funksiyaların əsas inteqralları
Tərif 1
$$ seqmentində $y=f(x)$ funksiyası üçün $F(x)$ antiderivativi bu seqmentin hər bir nöqtəsində diferensiallana bilən funksiyadır və onun törəməsi üçün aşağıdakı bərabərlik yerinə yetirilir:
Tərif 2
Müəyyən seqmentdə müəyyən edilmiş $y=f(x)$ funksiyasının bütün əks törəmələrinin çoxluğuna verilmiş $y=f(x)$ funksiyasının qeyri-müəyyən inteqralı deyilir. Qeyri-müəyyən inteqral $\int f(x)dx $ simvolu ilə işarələnir.
Törəmələr cədvəlindən və tərif 2-dən əsas inteqrallar cədvəlini alırıq.
Misal 1
İnteqrallar cədvəlindən düstur 7-nin etibarlılığını yoxlayın:
\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]
Sağ tərəfi fərqləndirək: $-\ln |\cos x|+C$.
\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) =tgx\]
Misal 2
İnteqrallar cədvəlindən 8-ci düsturun etibarlılığını yoxlayın:
\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]
Sağ tərəfi fərqləndirək: $\ln |\sin x|+C$.
\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]
Törəmə inteqrana bərabər oldu. Buna görə də formula düzgündür.
Misal 3
İnteqrallar cədvəlindən 11" düsturunun etibarlılığını yoxlayın:
\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]
Sağ tərəfi fərqləndirək: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.
\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]
Törəmə inteqrana bərabər oldu. Buna görə də formula düzgündür.
Misal 4
12-ci düsturun etibarlılığını inteqral cədvəlindən yoxlayın:
\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \sağ|+ C,\, \, C=const.\]
Sağ tərəfi fərqləndirək: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.
$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \sağ)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Törəmə inteqrana bərabər oldu. Buna görə də formula düzgündür.
Misal 5
İnteqrallar cədvəlindən 13" düsturunun etibarlılığını yoxlayın:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]
Sağ tərəfi fərqləndirək: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.
\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \sağ)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]
Törəmə inteqrana bərabər oldu. Buna görə də formula düzgündür.
Misal 6
İnteqrallar cədvəlindən 14-cü düsturun etibarlılığını yoxlayın:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C ,\, \, C=const.\]
Sağ tərəfi fərqləndirək: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.
\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm) a^(2) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\ frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt( x^(2) \pm a^(2) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]
Törəmə inteqrana bərabər oldu. Buna görə də formula düzgündür.
Misal 7
İnteqralı tapın:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]
Cəm inteqral teoremindən istifadə edək:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]
Sabit əmsalı inteqral işarədən kənarda yerləşdirmək haqqında teoremdən istifadə edək:
\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]
İnteqral cədvəlinə görə:
\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]
Birinci inteqralı hesablayarkən 3-cü qaydadan istifadə edirik:
\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]
Beləliklə,
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1) ) +C_(2) \]
Bəzən cədvəl adlanan elementar funksiyaların inteqrallarını sadalayaq:
Yuxarıdakı düsturlardan hər hansı birini sağ tərəfin törəməsi götürməklə sübut etmək olar (nəticə inteqral olacaq).
İnteqrasiya üsulları
Bəzi əsas inteqrasiya üsullarına nəzər salaq. Bunlara daxildir:
1. Parçalanma üsulu(birbaşa inteqrasiya).
Bu üsul cədvəlli inteqralların birbaşa istifadəsinə, eləcə də qeyri-müəyyən inteqralın 4 və 5-ci xassələrinin istifadəsinə əsaslanır (yəni, sabit əmsalı çıxarmaq və/və ya inteqranı funksiyaların cəmi kimi ifadə etmək - inteqralın parçalanması). şərtlərə inteqrasiya etmək).
Misal 1. Məsələn,(dx/x 4) tapmaq üçün birbaşa forx n dx cədvəlinin inteqralından istifadə edə bilərsiniz. Əslində,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Gəlin daha bir neçə nümunəyə baxaq.
Misal 2. Onu tapmaq üçün eyni inteqraldan istifadə edirik:
Misal 3. Onu tapmaq üçün götürmək lazımdır
Misal 4. Tapmaq üçün inteqral funksiyanı formada təqdim edirik 
və eksponensial funksiya üçün cədvəl inteqralından istifadə edin:
Mötərizənin istifadəsini sabit faktor hesab edək.
Misal 5.
Məsələn, tapaq 
. Bunu nəzərə alsaq, əldə edirik
Misal 6. Biz tapacağıq. ildən 
, cədvəl inteqralından istifadə edək 
alırıq
Aşağıdakı iki nümunədə mötərizə və cədvəl inteqrallarından da istifadə edə bilərsiniz:
Misal 7.
(istifadə edirik və 
);
Misal 8.
(istifadə edirik 
Və 
).
Gəlin cəmi inteqraldan istifadə edən daha mürəkkəb nümunələrə baxaq.
Misal 9. Məsələn, tapaq 
. Genişlənmə üsulunu paylayıcıda tətbiq etmək üçün cəmi kub düsturundan istifadə edirik və sonra əldə edilən çoxhədlini məxrəcə, hədlərə bölürük.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
Qeyd etmək lazımdır ki, həllin sonunda bir ümumi sabit C yazılır (hər bir termini inteqral edərkən ayrı-ayrılıqda deyil). Gələcəkdə, həmçinin ifadədə ən azı bir qeyri-müəyyən inteqral (həllin sonunda bir sabit yazacağıq) olması şərti ilə həll prosesində fərdi şərtlərin inteqrasiyasından sabitlərin buraxılması da təklif olunur.
Misal 10. tapacağıq 
. Bu problemi həll etmək üçün payı faktorlara ayıraq (bundan sonra məxrəci azalda bilərik).
Misal 11. Biz tapacağıq. Burada triqonometrik eyniliklərdən istifadə etmək olar.
Bəzən bir ifadəni terminlərə bölmək üçün daha mürəkkəb üsullardan istifadə etməli olursunuz.
Misal 12. tapacağıq 
. İnteqralda biz fraksiyanın bütün hissəsini seçirik 
. Sonra
Misal 13. tapacağıq
2. Dəyişən əvəzetmə üsulu (əvəzetmə üsulu)
Metod aşağıdakı düstura əsaslanır: f(x)dx=f((t))`(t)dt, burada x =(t) nəzərdən keçirilən interval üzrə diferensiallanan funksiyadır.
Sübut. Düsturun sol və sağ tərəflərindən t dəyişəninə aid törəmələri tapaq.
Qeyd edək ki, sol tərəfdə aralıq arqumenti x = (t) olan mürəkkəb funksiya var. Buna görə də onu t-ə görə diferensiallaşdırmaq üçün əvvəlcə inteqralı x-ə görə diferensiallayırıq, sonra isə t-ə münasibətdə ara arqumentin törəməsini götürürük.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
Sağ tərəfdən törəmə:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Bu törəmələr bərabər olduğundan, Laqranj teoreminin nəticəsi olaraq, sübut edilən düsturun sol və sağ tərəfləri müəyyən sabitlə fərqlənir. Qeyri-müəyyən inteqralların özləri qeyri-müəyyən sabit müddətə qədər təyin olunduğundan, bu sabit son qeyddən çıxarıla bilər. Sübut edilmişdir.
Dəyişənlərin uğurlu dəyişməsi orijinal inteqralı sadələşdirməyə, ən sadə hallarda isə onu cədvələ endirməyə imkan verir. Bu metodun tətbiqi zamanı xətti və qeyri-xətti əvəzetmə üsulları arasında fərq qoyulur.
a) Xətti əvəzetmə üsulu Bir nümunəyə baxaq.
Misal 1.
. t= 1 – 2x olsun, onda
dx=d(½ - ½t) = - ½dt
Qeyd etmək lazımdır ki, yeni dəyişənin açıq şəkildə yazılmasına ehtiyac yoxdur. Belə hallarda, diferensial işarə altında funksiyanın çevrilməsindən və ya diferensial işarə altında sabitlərin və dəyişənlərin daxil edilməsindən danışırlar, yəni. O gizli dəyişənlərin dəyişdirilməsi.
Misal 2. Məsələn,cos(3x + 2)dx-i tapaq. Diferensialın xassələrinə görə dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), ondacos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
Nəzərdən keçirilən hər iki nümunədə inteqralları tapmaq üçün xətti əvəzetmə t=kx+b(k0) istifadə edilmişdir.
Ümumi halda aşağıdakı teorem etibarlıdır.
Xətti əvəzetmə teoremi. F(x) f(x) funksiyasının hansısa antitörəvi olsun. Ondaf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, burada k və b bəzi sabitlərdir,k0.
Sübut.
f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C inteqralının tərifinə görə. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Sabit k əmsalını inteqral işarədən çıxaraq: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. İndi bərabərliyin sol və sağ tərəflərini ikiyə bölüb sabit terminin təyin edilməsinə qədər isbat olunacaq ifadəni ala bilərik.
Bu teorem bildirir ki, əgər f(x)dx= F(x) + C inteqralının tərifində x arqumentinin yerinə (kx+b) ifadəsini əvəz etsək, bu, əlavənin yaranmasına səbəb olacaq. əmsal 1/k antitörəmə qarşısında.
Sübut edilmiş teoremdən istifadə edərək aşağıdakı nümunələri həll edirik.
Misal 3.
tapacağıq 
. Burada kx+b= 3 –x, yəni k= -1,b= 3. Sonra
Misal 4.
Biz tapacağıq. Herekx+b= 4x+ 3, yəni k= 4,b= 3. Onda
Misal 5.
tapacağıq 
. Burada kx+b= -2x+ 7, yəni k= -2,b= 7. Onda
.
Misal 6. tapacağıq 
. Burada kx+b= 2x+ 0, yəni k= 2,b= 0.
.
Alınan nəticəni parçalanma üsulu ilə həll edilən 8-ci nümunə ilə müqayisə edək. Eyni problemi fərqli bir üsulla həll edərək, cavabı aldıq 
. Nəticələri müqayisə edək: Beləliklə, bu ifadələr bir-birindən sabit terminlə fərqlənir 
, yəni. Alınan cavablar bir-biri ilə ziddiyyət təşkil etmir.
Misal 7. tapacağıq 
. Məxrəcdə mükəmməl bir kvadrat seçək.
Bəzi hallarda dəyişənin dəyişdirilməsi inteqralı birbaşa cədvələ endirmir, lakin həlli sadələşdirə bilər və sonrakı mərhələdə genişləndirmə metodundan istifadə etməyə imkan verir.
Misal 8. Məsələn, tapaq 
. t=x+ 2, sonra dt=d(x+ 2) =dx əvəz edin. Sonra
,
burada C = C 1 – 6 (ilk iki şərtin yerinə (x+ 2) ifadəsini əvəz etdikdə ½x 2 -2x– 6 alınır).
Misal 9. tapacağıq 
. t= 2x+ 1 olsun, onda dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2 olsun.
(2x+ 1) ifadəsini t ilə əvəz edək, mötərizələri açıb oxşarlarını verək.
Qeyd edək ki, çevrilmə prosesində biz başqa sabit terminə keçdik, çünki transformasiya prosesi zamanı sabit terminlər qrupu buraxıla bilər.
b) Qeyri-xətti əvəzetmə üsulu Bir nümunəyə baxaq.
Misal 1.
. Lett = -x 2. Sonra, x-i t baxımından ifadə etmək, sonra dx üçün ifadə tapmaq və dəyişənin istənilən inteqralda dəyişməsini həyata keçirmək olar. Ancaq bu vəziyyətdə hər şeyi başqa cür etmək daha asandır. Gəlin dt=d(-x 2) = -2xdx tapaq. Qeyd edək ki, xdx ifadəsi arzu olunan inteqralın inteqralının faktorudur. Nəticə xdx= - ½dt bərabərliyindən ifadə edək. Sonra
İnteqrasiyanın diferensiallaşmanın tərs hərəkəti olması faktından istifadə edərək. diferensial hesabın (diferensiallar cədvəlinin) uyğun düsturlarını tərsinə çevirməklə və qeyri-müəyyən inteqralın xassələrindən istifadə etməklə əsas inteqrallar cədvəlini əldə etmək olar. Məsələn, çünki
d(günah u) = cos u*du, sonra inteqrasiyanın əsas üsullarını nəzərdən keçirərkən cədvəldəki bir sıra düsturların əldə edilməsi veriləcəkdir.
Aşağıdakı cədvəldəki inteqrallar adlanır cədvəlli. Onları əzbər bilmək lazımdır. İnteqral hesablamada diferensial hesabda olduğu kimi elementar funksiyaların antitörəmələrini tapmaq üçün sadə və universal qaydalar yoxdur. Antitörəmələrin tapılması üsulları (yəni, funksiyanın inteqrasiyası) verilmiş (axtarılan) inteqralı cədvələ gətirən göstərici üsullarına qədər azaldılır. Buna görə də cədvəl inteqrallarını bilmək və onları tanımağı bacarmaq lazımdır.
Qeyd edək ki, əsas inteqrallar cədvəlində inteqrasiya dəyişəni həm müstəqil dəyişəni, həm də müstəqil dəyişənin funksiyasını (inteqrasiya düsturunun dəyişməzlik xassəsinə görə) işarə edə bilər.
Aşağıdakı düsturların etibarlılığı düsturun sol tərəfindəki inteqrana bərabər olacaq diferensialın sağ tərəfində götürülməklə yoxlanıla bilər.
Məsələn, 2-ci düsturun etibarlılığını sübut edək. Funksiya 1/ u bütün dəyərlər üçün müəyyən edilmiş və davamlıdır u, sıfırdan fərqli.
Əgər u> 0. sonra ln | u| = log u, Sonra d ln | u| = d ln u = du/u. Buna görə 
Əsas inteqrallar cədvəli 
Məktəbdə bir çox insanlar inteqralları həll edə bilmir və ya onlarla çətinlik çəkirlər. Bu məqalə bunu anlamağa kömək edəcək, çünki orada hər şeyi tapa bilərsiniz. inteqral cədvəllər.
İnteqral riyazi analizdə əsas hesablamalardan və anlayışlardan biridir. Onun görünüşü iki məqsədlə nəticələndi:
İlk qol- törəməsindən istifadə edərək funksiyanı bərpa etmək.
İkinci qol- a-nın b-dən böyük və ya bərabər olduğu və x oxundan böyük və ya bərabər olduğu düz xətt üzərində qrafikdən f(x) funksiyasına qədər olan məsafədə yerləşən sahənin hesablanması.
Bu məqsədlər bizi müəyyən və qeyri-müəyyən inteqrallara aparır. Bu inteqrallar arasındakı əlaqə xassələrin axtarışında və hesablanmasındadır. Lakin hər şey axır və zaman keçdikcə hər şey dəyişir, yeni həll yolları tapıldı, əlavələr müəyyən edildi və bununla da müəyyən və qeyri-müəyyən inteqralları digər inteqrasiya formalarına apardı.
Nə olub qeyri-müəyyən inteqral soruşursan. Bu, a-dan böyük x-dən b-dən böyük intervalda bir x dəyişənin F(x) antiderivativ funksiyasıdır. hər hansı F(x) funksiyası adlanır, istənilən x təyinatı üçün verilmiş intervalda törəmə F(x)-ə bərabərdir. Aydındır ki, a x-dən böyük, b-dən böyük olan intervalda f(x) üçün F(x) antitörəmədir. Bu o deməkdir ki, F1(x) = F(x) + C. C - verilmiş intervalda f(x) üçün istənilən sabit və əks törəmədir. Bu müddəa f(x) - 2 funksiyası üçün əks törəmələr yalnız sabitdə fərqlənir; İnteqral hesablama teoreminə əsaslanaraq məlum olur ki, hər biri a intervalında davamlı
Müəyyən inteqral inteqral cəmlərdə həddi kimi başa düşülür və ya hansısa (a,b) sətirində müəyyən edilmiş, üzərində antitörəmə F olan, verilmiş sətrin sonundakı ifadələrinin fərqini bildirən f(x) funksiyasının vəziyyətində başa düşülür. F(b) - F(a).
Bu mövzunun öyrənilməsini göstərmək üçün videoya baxmağı təklif edirəm. Bu, inteqralların necə tapılacağını ətraflı izah edir və göstərir.
Hər bir inteqral cədvəli özlüyündə çox faydalıdır, çünki müəyyən bir növ inteqralın həllinə kömək edir.
Bütün mümkün növ dəftərxana ləvazimatı və s. Siz v-kant.ru onlayn mağazası vasitəsilə satın ala bilərsiniz. Və ya sadəcə Dəftərxana ləvazimatları Samara linkini izləyin (http://v-kant.ru) keyfiyyət və qiymətlər sizi xoş təəccübləndirəcək.
