Halqa gövdəsində dayanan elastik dalğalar. Daimi dalğalar

Fəsil 7. Mexaniki dalğalar

Dalğalar. Dalğa tənliyi

Artıq nəzərdən keçirdiyimiz hərəkətlərə əlavə olaraq, fizikanın demək olar ki, bütün sahələrində daha bir hərəkət növünə rast gəlinir - dalğalar. Fərqli xüsusiyyət Bu hərəkəti unikal edən odur ki, dalğada yayılan maddənin zərrəciklərinin özləri deyil, onların vəziyyətindəki dəyişikliklər (təzyiqlər).

Zamanla fəzada yayılan pozulmalara deyilir dalğalar . Dalğalar mexaniki və elektromaqnitdir.

Elastik dalğalarelastik mühitin pozulmalarını yayırlar.

Elastik mühitin pozulması bu mühitin hissəciklərinin tarazlıq vəziyyətindən hər hansı bir sapmasıdır. Mühitin müəyyən yerdə deformasiyası nəticəsində pozuntular yaranır.

Dalğanın daxil olduğu bütün nöqtələrin çoxluğu Bu an zaman adlı bir səth meydana gətirir dalğa cəbhəsi .

Cəbhənin formasına görə dalğalar sferik və yastı bölünür. İstiqamət dalğa cəbhəsinin yayılması müəyyən edilir dalğa cəbhəsinə perpendikulyar, adlanır şüa . üçün sferik dalğaşüalar radial şəkildə ayrılan şüadır. Müstəvi dalğa üçün şüalar paralel xətlərin şüasıdır.

İstənilən mexaniki dalğada eyni vaxtda iki növ hərəkət mövcuddur: mühitin hissəciklərinin vibrasiyası və pozğunluqların yayılması.

Mühitin hissəciklərinin salınımlarının və pozulmaların yayılmasının eyni istiqamətdə baş verdiyi dalğa adlanır. uzununa (Şəkil 7.2 A).

Mühitin hissəciklərinin pozğunluqların yayılma istiqamətinə perpendikulyar salındığı dalğa adlanır. eninə (Şəkil 7.2 b).

Uzunlamasına dalğada pozuntular mühitin sıxılmasını (və ya nadirləşməsini), eninə dalğada isə digərlərinə nisbətən mühitin bəzi təbəqələrinin yerdəyişmələrini (kəsmələrini) təmsil edir. Uzununa dalğalar bütün mühitlərdə (maye, bərk və qaz halında), eninə dalğalar isə yalnız bərk mühitlərdə yayıla bilər.

Hər bir dalğa müəyyən bir sürətlə yayılır . Altında dalğa sürəti υ narahatlığın yayılma sürətini başa düşmək. Dalğanın sürəti dalğanın yayıldığı mühitin xüsusiyyətləri ilə müəyyən edilir. IN bərk maddələr sürət uzununa dalğalar yanal sürətdən böyükdür.

Dalğa uzunluğuλ dalğanın mənbəyində salınma dövrünə bərabər bir müddətdə yayıldığı məsafədir.. Dalğanın sürəti sabit qiymət olduğundan (müəyyən mühit üçün) dalğanın qət etdiyi məsafə sürətin və onun yayılma vaxtının hasilinə bərabərdir. Beləliklə, dalğa uzunluğu

(7.1) tənliyindən belə çıxır ki, bir-birindən λ intervalı ilə ayrılmış hissəciklər eyni fazada rəqs edirlər. Sonra dalğa uzunluğunun aşağıdakı tərifini verə bilərik: dalğa uzunluğu eyni fazada salınan iki ən yaxın nöqtə arasındakı məsafədir.

Müstəvi dalğa üçün istənilən vaxt dalğanın istənilən nöqtəsinin yerdəyişməsini təyin etməyə imkan verən tənlik çıxaraq. Mənbədən gələn şüa boyunca dalğa müəyyən v sürəti ilə yayılsın.

Mənbə sadə harmonik salınımları həyəcanlandırır və dalğanın istənilən nöqtəsinin istənilən vaxt yerdəyişməsi tənliklə müəyyən edilir.

S = Asinωt (7.2)

Sonra dalğa mənbəyindən x məsafədə yerləşən mühitdə bir nöqtə də harmonik salınımlar həyata keçirəcək, lakin müəyyən bir zaman gecikməsi ilə, yəni. titrəmələrin mənbədən bu nöqtəyə qədər yayılması üçün tələb olunan vaxt. İstənilən vaxt tarazlıq vəziyyətinə nisbətən salınan nöqtənin yerdəyişməsi əlaqə ilə təsvir ediləcəkdir.

Bu müstəvi dalğa tənliyidir. Bu dalğa xarakterikdir aşağıdakı parametrlər:

· S - rəqsin çatdığı elastik mühitin nöqtəsinin tarazlıq mövqeyindən yerdəyişməsi;

· ω - mənbənin yaratdığı rəqslərin tsiklik tezliyi, onunla mühitin nöqtələri də salınır;

· υ - dalğanın yayılma sürəti (faza sürəti);

· x - mühitdə rəqsin çatdığı və yerdəyişməsi S-ə bərabər olan nöqtəyə qədər olan məsafə;

· t – rəqslərin əvvəlindən hesablanan vaxt;

Dalğa uzunluğunu λ ifadəsinə (7.3) daxil etməklə, müstəvi dalğa tənliyini aşağıdakı kimi yazmaq olar:

(7. 4)

Dalğa müdaxiləsi. Daimi dalğalar. Daimi dalğa tənliyi

Daimi dalğalar eyni tezlikli ω və amplituda A olan iki əks yayılan müstəvi dalğanın müdaxiləsi nəticəsində əmələ gəlir.

Təsəvvür edək ki, S nöqtəsində SO şüası boyunca müstəvi dalğa yayılan bir vibrator var. O nöqtəsindəki maneəyə çatdıqdan sonra dalğa əks olunacaq və əks istiqamətə gedəcək, yəni. Şüa boyunca iki hərəkət edən təyyarə dalğası yayılır: irəli və geri. Bu iki dalğa koherentdir, çünki onlar eyni mənbədən yaranır və bir-birinin üstünə qoyularaq bir-birinə müdaxilə edəcəklər.

Mühitin müdaxilə nəticəsində yaranan salınım vəziyyətinə daimi dalğa deyilir.

İrəli və geriyə doğru hərəkət edən dalğaların tənliyini yazaq:

düz - ; tərs -

burada S 1 və S 2 SO şüası üzərində ixtiyari nöqtənin yerdəyişməsidir. Cəmin sinusunun düsturunu nəzərə alaraq, nəticədə yerdəyişmə bərabərdir

Beləliklə, daimi dalğa tənliyi formaya malikdir

cosωt çarpanı göstərir ki, SO şüasındakı mühitin bütün nöqtələri tezliyə malik sadə harmonik rəqsləri yerinə yetirir. İfadə dayanan dalğa amplitudası adlanır. Göründüyü kimi, amplituda nöqtənin SO (x) şüasındakı mövqeyi ilə müəyyən edilir.

Maksimum dəyər amplitüdlərin hansı nöqtələrə sahib olacağı

Və ya (n = 0, 1, 2,….)

haradan və ya (4.70)

daimi dalğa antinodları .

Minimum dəyər , sıfıra bərabərdir, hansı xallara sahib olacaq

Və ya (n = 0, 1, 2,….)

haradan və ya (4.71)

Belə koordinatları olan nöqtələr deyilir daimi dalğa düyünləri . (4.70) və (4.71) ifadələrini müqayisə etdikdə görürük ki, qonşu antinodlarla qonşu qovşaqlar arasındakı məsafə λ/2-ə bərabərdir.

Şəkil üzərində möhkəm xətt müəyyən bir anda mühitin salınan nöqtələrinin yerdəyişməsini göstərir, nöqtəli əyri T/2 vasitəsilə bu eyni nöqtələrin mövqeyini göstərir. Hər bir nöqtə vibratordan (x) məsafəsi ilə müəyyən edilən amplituda ilə salınır.

Səyahət dalğasından fərqli olaraq, dayanan dalğada enerji ötürülməsi baş vermir. Enerji sadəcə olaraq potensialdan (mühitdəki nöqtələrin tarazlıq mövqeyindən maksimum yerdəyişməsində) hərəkətsiz qalan qovşaqlar arasında sərhədlər daxilində kinetikaya (nöqtələr tarazlıq mövqeyindən keçdikcə) keçir.

Düyünlər arasındakı sərhədlər daxilində dayanan dalğanın bütün nöqtələri eyni fazada və uyğun olaraq salınır müxtəlif tərəflər düyündən - antifazada.

Daimi dalğalar, məsələn, eninə titrəmələr həyəcanlandıqda hər iki ucunda sabitlənmiş gərgin bir simdə yaranır. Üstəlik, bərkidilmə yerlərində daimi dalğanın düyünləri var.

Bir ucu açıq olan hava sütununda (səs dalğası) daimi dalğa qurulursa, açıq ucunda bir antinod, əks ucunda isə bir düyün meydana gəlir.

Səs. Doppler effekti

Qaz, maye və bərk cisimlərdə yayılan uzununa elastik dalğalar görünməzdir. Ancaq müəyyən şərtlər altında onlar eşidilə bilər. Beləliklə, əgər biz bir dirsəkdə sıxılmış uzun bir polad hökmdarın vibrasiyasını həyəcanlandırsaq, onun yaratdığı dalğaları eşitməyəcəyik. Ancaq hökmdarın çıxan hissəsini qısaldsaq və bununla da onun salınımlarının tezliyini artırsaq, hökmdarın səs verməyə başlayacağını görərik.

İnsanlarda eşitmə hisslərinə səbəb olan elastik dalğalar deyilir səs dalğaları və ya sadəcə səs.

İnsan qulağı elastikliyi qavramağa qadirdir mexaniki dalğalarν tezliyi ilə 16Hz-dən 20000Hz-ə qədər. Tezliyi ν olan elastik dalğalar<16Гц называют инфразвуком, а волны с частотой ν>20000Hz - ultrasəs.

16 Hz-dən 20.000 Hz-ə qədər olan tezliklərə səs tezlikləri deyilir. Səs tezliyində titrəyən hər hansı bir cisim (bərk, maye və ya qaz halında) yaradır mühit səs dalğası.

Qazlarda və mayelərdə səs dalğaları uzununa sıxılma və seyrəkləşmə dalğaları şəklində yayılır. Səs mənbəyinin titrəyişləri (simlər, tüninq çəngəllərinin ayaqları, səs telləri və s.) nəticəsində yaranan mühitin sıxılması və seyrəkləşməsi müəyyən müddətdən sonra insan qulağına çatır və qulaq pərdəsinin məcburi titrəyişlərə səbəb olması müəyyən eşitmə qabiliyyətinə səbəb olur. bir insanda hisslər.

Vakuumda səs dalğaları yayıla bilməz, çünki orada titrəyəcək heç bir şey yoxdur. Bu ünvanda yoxlanıla bilər sadə təcrübə. Şüşə örtünün altına qoyularsa nasos elektrik zəngi, sonra hava vurulduqca səsin tamamilə dayanana qədər zəifləyəcəyini görəcəyik.

Qazlarda səs. Məlumdur ki, tufan zamanı biz əvvəlcə şimşək çaxmasını görürük və yalnız sonra ildırımın gurultusunu eşidirik. Bu gecikmə ona görə baş verir ki, havadakı səs sürəti işıq sürətindən xeyli azdır. Havada səsin sürətini ilk dəfə 1646-cı ildə fransız alimi Marin Mersen ölçmüşdür.+20ºС temperaturda 343 m/s-ə bərabərdir, yəni. 1235 km/saat.

Səsin sürəti mühitin temperaturundan asılıdır. Temperatur artdıqca artır, azaldıqca azalır.

Səsin sürəti bu səsin keçdiyi qazın sıxlığından asılı deyil. Bununla belə, onun molekullarının kütləsindən asılıdır. Qaz molekullarının kütləsi nə qədər çox olarsa, içindəki səs sürəti də bir o qədər aşağı olar. Beləliklə, bir temperaturda

0 ºС hidrogendə səsin sürəti 1284 m/s-dir karbon qazı– 259 m/s.

Mayelərdə səs. Mayelərdə səsin sürəti adətən qazlardakı səs sürətindən böyükdür. Suda səsin sürəti ilk dəfə 1826-cı ildə ölçüldü. Təcrübələr İsveçrənin Cenevrə gölündə aparılıb. Bir gəmidə barıt yandırdılar və eyni zamanda suya endirilmiş zəngi vurdular. Xüsusi bir buynuzdan istifadə edərək suya endirilən bu zəngin səsi birincidən 14 km məsafədə yerləşən başqa bir qayıqda tutuldu. İşığın yanıb-sönməsi ilə səs siqnalının gəlməsi arasındakı vaxt fərqinə əsasən səsin suda sürəti müəyyən edilmişdir. 8 ºС temperaturda 1435 m/s-ə bərabər olduğu ortaya çıxdı.

Mayelərdə səsin sürəti ümumiyyətlə temperaturun artması ilə azalır. Su bu qayda üçün istisnadır. Orada səsin sürəti artan temperaturla artır və 74 ºС temperaturda maksimuma çatır və temperaturun daha da artması ilə azalır.

Demək lazımdır ki, insan qulağı su altında yaxşı “işləmir”. Səsin çox hissəsi qulaq pərdəsindən əks olunur və buna görə də eşitmə hisslərinə səbəb olmur. Bu, bir vaxtlar əcdadlarımıza sualtı dünyasını “səssizlik dünyası” hesab etmək üçün əsas verdi. Beləliklə, “balıq kimi lal” ifadəsi. Bununla belə, Leonardo da Vinçi qulağını suya endirilmiş avarın yanına tutaraq sualtı səsləri dinləməyi də təklif edib. Bu üsuldan istifadə edərək, balıqların əslində kifayət qədər danışan olduğunu görə bilərsiniz.

Bərk cisimlərdə səs. Bərk cisimlərdə səsin sürəti mayelərdən daha böyükdür. Yalnız burada nəzərə almaq lazımdır ki, həm uzununa, həm də eninə dalğalar. Bu dalğaların sürəti, bildiyimiz kimi, fərqlidir. Məsələn, poladda eninə dalğalar 3300 m/s, uzununa dalğalar isə 6100 m/s sürətlə yayılır. Bərk cisimdə səsin sürətinin havadan daha böyük olması aşağıdakı kimi yoxlanıla bilər. Dostunuz relsin bir ucuna dəysə və siz qulağını digər ucuna qoysanız, iki vuruş eşidiləcək. Səs əvvəlcə relsdən, sonra isə havadan qulağınıza çatacaq.

Yer yaxşı keçiriciliyə malikdir. Buna görə də, köhnə günlərdə mühasirə zamanı qala divarlarına yerin ötürdüyü səslə düşmənin divarları qazıb-qazmadığını müəyyən edə bilən “dinləyicilər” yerləşdirilirdi. Qulağını yerə qoymaq da düşmən süvarilərinin yaxınlaşmasını aşkar etməyə imkan verirdi.

Səslənən səslərə əlavə olaraq, yer qabığıİnsan qulağının artıq qəbul edə bilmədiyi infrasəs dalğaları da yayılır. Belə dalğalar zəlzələlər zamanı yarana bilər.

Həm yerdə, həm də havada yayılan güclü infrasəs dalğaları vulkan püskürmələri və partlayışlar zamanı baş verir. atom bombaları. İnfrasəsin mənbələrinə həmçinin atmosferdəki hava burulğanları, yük atışları, silah atışları, külək, dəniz dalğalarının axan zirvələri, işləyən reaktiv mühərriklər və s.

Ultrasəs də insan qulağı tərəfindən qəbul edilmir. Bununla belə, bəzi heyvanlar, məsələn, onu buraxa və tuta bilirlər yarasalar və delfinlər. Texnologiyada ultrasəs almaq üçün xüsusi cihazlardan istifadə olunur.

Elastik mühitə yerləşdirilmiş salınan cisim ondan bütün istiqamətlərə yayılan vibrasiya mənbəyidir. Bir mühitdə titrəmələrin yayılması prosesi deyilir dalğa.

Dalğa yayıldıqda, mühitin hissəcikləri dalğa ilə birlikdə hərəkət etmir, tarazlıq mövqeləri ətrafında salınır. Dalğa ilə birlikdə yalnız vibrasiya hərəkətinin vəziyyəti və onun enerjisi hissəcikdən hissəcikə ötürülür. Ona görə də təbiətindən asılı olmayaraq bütün dalğaların əsas xassəsi enerjinin maddənin ötürülmədən ötürülməsidir.

Dalğalar eninə (yayılma istiqamətinə perpendikulyar müstəvidə salınımlar baş verir) və uzununa (yayılma istiqamətində mühitin hissəciklərinin kondensasiyası və boşalması baş verir) ola bilər.

Bərabər amplituda və dövrlərə malik iki eyni dalğa bir-birinə doğru yayıldıqda, üst-üstə düşdükdə daimi dalğalar yaranır. Daimi dalğalar maneələrdən əks olunmaqla yarana bilər. Tutaq ki, emitent bir maneəyə dalğa göndərir (insident dalğası). Ondan əks olunan dalğa hadisə dalğasının üzərinə qoyulacaq. Daimi dalğa tənliyi, gələn dalğa tənliyini əlavə etməklə əldə edilə bilər

(Çox mühüm interferensiya halı eyni amplitudalı əks yayılan iki müstəvi dalğanın üst-üstə yığılması zamanı müşahidə olunur. Nəticədə yaranan salınım prosesi dayanan dalğa adlanır. Praktiki olaraq dayanan dalğalar maneələrdən əks olunduqda yaranır.)

Bu tənliyə dalğa tənliyi deyilir. Bu tənliyi təmin edən hər hansı bir funksiya müəyyən bir dalğanı təsvir edir.
Dalğa tənliyi verən ifadədir qərəz salınan nöqtə onun koordinatlarından asılı olaraq ( x, y, z) və vaxt t.

Bu funksiya həm zamana, həm də koordinatlara görə dövri olmalıdır (dalğa yayılan rəqsdir, buna görə də vaxtaşırı təkrarlanan hərəkətdir). Bundan əlavə, bir-birindən l məsafədə yerləşən nöqtələr eyni şəkildə titrəyir.

- Bu müstəvi dalğa tənliyi.
Əgər vibrasiya ox boyunca yayılarsa, tənlik (5.2.3) eyni formaya malik olacaqdır. y və ya z
IN ümumi görünüş müstəvi dalğa tənliyi belə yazılır:

(5.2.3) və (5.2.4) ifadələridir səyahət dalğa tənlikləri .

Tənlik (5.2.3) artım istiqamətində yayılan dalğanı təsvir edir x. Əks istiqamətdə yayılan dalğa aşağıdakı formaya malikdir:

tanış edək dalğa nömrəsi və ya vektor şəklində:

dalğa vektoru haradadır və dalğa səthinin normalıdır.

O vaxtdan bəri. Buradan. Sonra müstəvi dalğa tənliyi belə yazılacaq:

sferik dalğa tənliyi:

Harada A mənbədən bir məsafədə amplituda bərabərdir.

DALĞA VEKTORU- vektor k, yastı monoxromatikin yayılma istiqamətini və fəza dövrünü təyin edir. dalğalar

dalğanın sabit amplitudası və fazası haradadır, dairəvi tezlikdir, r- radius vektoru. Modul V.V. çağırdı dalğa nömrəsi k= , Harada - məkan dövrü və ya dalğa uzunluğu. E istiqamətində. dalğanın fazasında ən sürətli dəyişiklik baş verir, buna görə də yayılma istiqaməti kimi qəbul edilir. Bu istiqamətdə faza hərəkətinin sürəti və ya faza sürəti dalğa nömrəsi ilə müəyyən edilir .. c.

6.1 Elastik mühitdə dayanan dalğalar

Superpozisiya prinsipinə görə, elastik mühitdə eyni vaxtda bir neçə dalğa yayıldıqda, onların superpozisiyası baş verir və dalğalar bir-birini pozmur: mühitin hissəciklərinin rəqsləri hissəciklərin edəcəyi rəqslərin vektor cəmidir. dalğaların hər biri ayrı-ayrılıqda yayıldıqda.

Aralarındakı faza fərqləri fəzanın hər bir nöqtəsində sabit olan mühitin salınımlarını yaradan dalğalara deyilir. ardıcıl.

Koherent dalğalar əlavə edildikdə, fenomen baş verir müdaxilə, kosmosun bəzi nöqtələrində dalğaların bir-birini gücləndirdiyi, digər nöqtələrdə isə bir-birini zəiflətməsindən ibarətdir. Mühüm müdaxilə halı eyni tezlik və amplituda olan iki əks yayılan müstəvi dalğanın üst-üstə qoyulması zamanı müşahidə olunur. Nəticədə yaranan salınımlar deyilir dayanan dalğa. Çox vaxt dayanan dalğalar hərəkət edən dalğanın maneədən əks olunması zamanı yaranır. Bu zaman hadisə dalğası və ona doğru əks olunan dalğa əlavə olunduqda daimi dalğa verir.

Daimi dalğa tənliyini əldə edirik. Ox boyunca bir-birinə doğru yayılan iki müstəvi harmonik dalğa götürək X və eyni tezlik və amplituda malik:

Harada – birinci dalğanın keçməsi zamanı mühitin nöqtələrinin rəqsləri mərhələsi;

– ikinci dalğanın keçməsi zamanı mühitdə nöqtələrin rəqsləri mərhələsi.

Oxun hər bir nöqtəsində faza fərqi Xşəbəkə vaxtdan asılı olmayacaq, yəni. daimi olacaq:

Beləliklə, hər iki dalğa koherent olacaqdır.

Nəzərə alınan dalğaların əlavə edilməsi nəticəsində yaranan mühitin hissəciklərinin titrəməsi aşağıdakı kimi olacaqdır:

Qaydaya (4.4) uyğun olaraq bucaqların kosinuslarının cəmini çevirək və əldə edək:

Faktorları yenidən qruplaşdıraraq, əldə edirik:

İfadəni sadələşdirmək üçün istinad nöqtəsini elə seçirik ki, faza fərqi olsun və vaxtın başlanğıcını hesablayın ki, fazaların cəmi sıfıra bərabər olsun: .

Sonra dalğaların cəmi üçün tənlik aşağıdakı formanı alacaq:

(6.6) tənliyi çağırılır daimi dalğa tənliyi. Bu göstərir ki, dayanan dalğanın tezliyi hərəkət edən dalğanın tezliyinə bərabərdir və amplituda, səyahət edən dalğadan fərqli olaraq, mənşədən olan məsafədən asılıdır:

. (6.7)

(6.7) nəzərə alınmaqla daimi dalğa tənliyi aşağıdakı formanı alır:

. (6.8)

Beləliklə, mühitin nöqtələri hərəkət edən dalğanın tezliyi və amplitudası ilə üst-üstə düşən tezliklə salınır. a, nöqtənin oxdakı mövqeyindən asılı olaraq X. Müvafiq olaraq, amplituda kosinus qanununa uyğun olaraq dəyişir və öz maksimum və minimumlarına malikdir (şək. 6.1).

Genlik minimumlarının və maksimalların yerini vizuallaşdırmaq üçün (5.29) uyğun olaraq dalğa nömrəsini onun dəyəri ilə əvəz edirik:

Sonra amplituda ifadəsi (6.7) formasını alacaq

(6.10)

Buradan aydın olur ki, yerdəyişmə amplitudası maksimumdur , yəni. koordinatları şərti ödəyən nöqtələrdə:

, (6.11)

Harada

Buradan yerdəyişmə amplitüdünün maksimum olduğu nöqtələrin koordinatlarını alırıq:

; (6.12)

Mühitin titrəyişlərinin amplitudasının maksimum olduğu nöqtələr adlanır dalğanın antinodları.

Dalğanın amplitudası olduğu nöqtələrdə sıfırdır . Belə nöqtələrin koordinatları deyilir dalğa düyünləri, şərti ödəyir:

, (6.13)

Harada

(6.13)-dən aydın olur ki, qovşaqların koordinatları qiymətlərə malikdir:

, (6.14)

Şəkildə. Şəkil 6.2, düyünlərin və antinodların yerini qeyd edən daimi dalğanın təxmini görünüşünü göstərir. Görünür ki, qonşu düyünlər və yerdəyişmə antinodları bir-birindən eyni məsafədə yerləşir.

Qonşu antinodlar və düyünlər arasındakı məsafəni tapaq. (6.12)-dən antinodlar arasındakı məsafəni alırıq:

(6.15)

Düyünlər arasındakı məsafə (6.14)-dən əldə edilir:

(6.16)

Alınmış (6.15) və (6.16) münasibətlərindən aydın olur ki, qonşu düyünlər, eləcə də qonşu antinodlar arasındakı məsafə sabit və bərabərdir; düyünlər və antinodlar bir-birinə nisbətən sürüşdürülür (Şəkil 6.3).

Dalğa uzunluğunun tərifindən dayanan dalğanın uzunluğu üçün bir ifadə yaza bilərik: bu, hərəkət edən dalğanın uzunluğunun yarısına bərabərdir:

(6.17) nəzərə alınmaqla düyünlərin və antinodların koordinatları üçün ifadələr yazaq:

, (6.18)

, (6.19)

Daimi dalğanın amplitudasını təyin edən amil sıfır qiymətindən keçərkən onun işarəsini dəyişir, nəticədə düyünün müxtəlif tərəflərindəki rəqslərin fazası ilə fərqlənir. Nəticədə, düyünün əks tərəflərində yerləşən bütün nöqtələr antifazada salınır. Qonşu qovşaqlar arasında yerləşən bütün nöqtələr fazada salınır.

Düyünlər şərti olaraq ətraf mühiti harmonik salınımların müstəqil olaraq baş verdiyi muxtar bölgələrə bölür. Bölgələr arasında hərəkətin ötürülməsi yoxdur və buna görə də bölgələr arasında enerji axını yoxdur. Yəni ox boyunca heç bir pozğunluğun ötürülməsi yoxdur. Buna görə də dalğa dayanan dalğa adlanır.

Beləliklə, bərabər tezlik və amplitüdlü iki əks istiqamətdə hərəkət edən dalğalardan daimi dalğa əmələ gəlir. Bu dalğaların hər birinin Umov vektorları bərabər böyüklükdə və əks istiqamətdədir və əlavə olunduqda sıfır verir. Nəticə etibarilə, dayanan dalğa enerji ötürmür.

6.2 Daimi dalğaların nümunələri

6.2.1 Bir simdə daimi dalğa

Uzunluğu olan bir simli nəzərdən keçirək L, hər iki ucunda sabitlənmişdir (Şəkil 6.4).

Sim boyunca bir ox yerləşdirək X belə ki, sətirin sol ucu koordinata malik olsun x=0, və doğrusu - x=L. Tənliklə təsvir olunan sətirdə vibrasiya baş verir:

Baxılan sətir üçün sərhəd şərtlərini yazaq. Uçları sabit olduğundan, sonra koordinatları olan nöqtələrdə x=0 Və x=L tərəddüd etmədən:

(6.22)

Yazılı sərhəd şərtlərinə əsaslanaraq simli rəqslərin tənliyini tapaq. (6.21) nəzərə alınmaqla sətirin sol ucuna (6.20) tənliyini yazaq:

Münasibət (6.23) istənilən vaxt təmin edilir t iki halda:

1. . Bu, sətirdə heç bir vibrasiya olmadıqda mümkündür (). Bu iş maraq doğurmur və biz buna baxmayacağıq.

2.. Budur mərhələ. Bu hal bizə simli vibrasiya tənliyini əldə etməyə imkan verəcək.

Gəlin əldə olunan faza dəyərini sətirin sağ ucunun sərhəd şərtinə (6.22) əvəz edək:

. (6.25)

Bunu nəzərə alaraq

, (6.26)

(6.25)-dən əldə edirik:

Yenə də (6.27) əlaqənin təmin olunduğu iki hal yaranır. Sətirdə () heç bir titrəmə olmadıqda vəziyyəti nəzərdən keçirməyəcəyik.

İkinci halda bərabərlik təmin edilməlidir:

və bu, yalnız sinus arqumenti tam ədədin çoxluğu olduqda mümkündür:

Biz dəyəri atırıq, çünki bu halda və bu, ya sətrin sıfır uzunluğu deməkdir ( L=0) və ya dalğa nömrəsi k=0. Dalğa nömrəsi ilə dalğa uzunluğu arasındakı əlaqəni (6.9) nəzərə alsaq, aydın olur ki, dalğa nömrəsinin sıfıra bərabər olması üçün dalğa uzunluğu sonsuz olmalıdır və bu, rəqslərin olmaması demək olardı.

(6.28)-dən aydın olur ki, hər iki ucunda sabitlənmiş simi salınan zaman dalğa nömrəsi yalnız müəyyən diskret qiymətlər ala bilər:

(6.9) nəzərə alaraq (6.30) aşağıdakı formada yazırıq:

ondan sətirdə mümkün dalğa uzunluqları üçün ifadəni əldə edirik:

Başqa sözlə, ipin uzunluğu boyunca L tam ədədə uyğun olmalıdır n yarım dalğalar:

Müvafiq salınım tezlikləri (5.7)-dən müəyyən edilə bilər:

Dalğanın faza sürəti, (5.102) uyğun olaraq, ipin xətti sıxlığından və ipin gərginliyindən asılı olaraq:

(6.34) bəndini (6.33) əvəz edərək, sətrin mümkün vibrasiya tezliklərini təsvir edən bir ifadə əldə edirik:

, (6.36)

Tezliklər deyilir təbii tezliklər simlər. Tezlik (at n = 1):

(6.37)

çağırdı əsas tezlik(və ya əsas ton) simlər. Tezliklər müəyyən edilir n>1 adlandırılır ifrat tonlar və ya harmoniklər. Harmonik rəqəmdir n-1. Məsələn, tezlik:

birinci harmonik və tezliyə uyğundur:

ikinci harmonikə uyğun gəlir və s. Sətir sonsuz sayda sərbəstlik dərəcəsi olan diskret sistem kimi göstərilə bildiyi üçün hər bir harmonik moda simli vibrasiya. Ümumi halda simli vibrasiya rejimlərin superpozisiyasını təmsil edir.

Hər bir harmonik öz dalğa uzunluğuna malikdir. Əsas ton üçün (ile n= 1) dalğa uzunluğu:

birinci və ikinci harmoniklər üçün müvafiq olaraq (at n= 2 və n= 3) dalğa uzunluqları olacaq:

Şəkil 6.5 simlə həyata keçirilən bir neçə vibrasiya rejiminin görünüşünü göstərir.

Beləliklə, ucları sabit olan sim klassik fizika çərçivəsində müstəsna bir halı - vibrasiya tezliklərinin (və ya dalğa uzunluqlarının) diskret spektrini həyata keçirir. Bir və ya hər iki sıxılmış ucu və borulardakı hava sütununun salınımları olan elastik bir çubuq eyni şəkildə davranır, bu da sonrakı bölmələrdə müzakirə ediləcəkdir.

6.2.2 İlkin şərtlərin hərəkətə təsiri

davamlı sim. Furye təhlili

Salınma tezliklərinin diskret spektrinə əlavə olaraq, sıxılmış ucları olan bir simin rəqsləri başqa bir vacib xüsusiyyətə malikdir: simin salınımlarının xüsusi forması salınımların həyəcanlanma üsulundan asılıdır, yəni. ilkin şərtlərdən. Gəlin daha yaxından nəzər salaq.

Sətirdə dayanan dalğanın bir rejimini təsvir edən (6.20) tənliyi diferensial dalğa tənliyinin (5.61) xüsusi həllidir. Sətin vibrasiyası bütün mümkün rejimlərdən ibarət olduğundan (sətir üçün - sonsuz sayda), onda ümumi qərar dalğa tənliyi (5.61) sonsuz sayda qismən həllərdən ibarətdir:

, (6.43)

Harada i– vibrasiya rejiminin nömrəsi. İfadə (6.43) simin uclarının sabit olması nəzərə alınmaqla yazılır:

və həmçinin tezlik əlaqəsini nəzərə alaraq i-ci rejim və onun dalğa nömrəsi:

(6.46)

Budur - dalğa nömrəsi i moda;

– 1-ci rejimin dalğa nömrəsi;

Hər bir rəqs rejimi üçün ilkin fazanın qiymətini tapaq. Bunun üçün, hazırda t=0 sətri funksiya ilə təsvir olunan forma verək f 0 (x), (6.43)-dən əldə etdiyimiz ifadə:

. (6.47)

Şəkildə. Şəkil 6.6-da funksiya ilə təsvir olunan sətir formasının nümunəsi göstərilir f 0 (x).

Bir anda t=0 sim hələ də istirahətdədir, yəni. onun bütün nöqtələrinin sürəti sıfırdır. (6.43)-dən sətir nöqtələrinin sürəti üçün ifadə tapırıq:

və onu əvəz etməklə t=0, zamanın başlanğıc anında sətirdəki nöqtələrin sürəti üçün ifadə alırıq:

. (6.49)

Zamanın ilkin anında sürət sıfıra bərabər olduğundan, (6.49) ifadəsi, əgər sətirin bütün nöqtələri üçün sıfıra bərabər olacaqdır. Buradan belə çıxır ki, bütün rejimlər üçün ilkin mərhələ də sıfırdır (). Bunu nəzərə alaraq sətrin hərəkətini təsvir edən (6.43) ifadəsi aşağıdakı formanı alır:

, (6.50)

və ifadə (6.47), təsvir edir ilkin forma simlər, belə görünür:

. (6.51)

Sətirdə dayanan dalğa, sətrin iki uzunluğuna bərabər olduğu intervalda dövri olan funksiya ilə təsvir olunur (Şəkil 6.7):

Bunu bir interval üzrə dövriliyin aşağıdakıları ifadə etdiyindən görmək olar:

Beləliklə,

bizi ifadəyə aparır (6.52).

Riyazi analizdən məlum olur ki, istənilən dövri funksiya yüksək dəqiqliklə Furye sırasına genişləndirilə bilər:

, (6.57)

burada , , Furye əmsallarıdır.

Bir mühitdə eyni vaxtda bir neçə dalğa yayılırsa, o zaman mühitin hissəciklərinin rəqsləri dalğaların hər biri ayrı-ayrılıqda yayılsa, hissəciklərin edəcəyi rəqslərin həndəsi cəminə çevrilir. Nəticə etibarı ilə dalğalar bir-birini narahat etmədən sadəcə olaraq bir-birinin üstünə çökür. Bu ifadə dalğa superpozisiya prinsipi adlanır. Superpozisiya prinsipi bildirir ki, bir neçə dalğanın eyni anda yayılması nəticəsində yaranan hərəkət yenə müəyyən dalğa prosesidir. Belə bir proses, məsələn, orkestrin səsidir. O, eyni vaxtda həyəcanlanma nəticəsində yaranır səs vibrasiyaları fərdi musiqi alətləri ilə hava. Maraqlıdır ki, dalğalar üst-üstə düşən zaman xüsusi hadisələr baş verə bilər. Onlara əlavə effektlər və ya necə deyərlər, dalğaların superpozisiyası deyilir. Bu təsirlər arasında ən mühümləri müdaxilə və difraksiyadır.

Interferensiya rəqs enerjisinin kosmosda zamana davamlı yenidən bölüşdürülməsi hadisəsidir ki, bunun nəticəsində rəqslər bəzi yerlərdə güclənir, bəzi yerlərdə zəifləyir. Bu hadisə, zamanla davam edən faza fərqi olan dalğaların, koherent dalğalar adlanan bir araya toplandığı zaman baş verir. Müdaxilə çox sayda dalğalara difraksiya deyilir. Əsas fərq Müdaxilə və difraksiya arasında heç bir fərq yoxdur. Bu hadisələrin təbiəti eynidir. Biz özümüzü yalnız bir çox vacib müdaxilə effektini, yəni daimi dalğaların əmələ gəlməsini müzakirə etməklə məhdudlaşdıracağıq.

Lazımlı şərt Daimi dalğaların əmələ gəlməsi onların üzərinə düşən dalğaları əks etdirən sərhədlərin olmasıdır. Daimi dalğalar hadisə və əks olunan dalğaların əlavə edilməsi nəticəsində əmələ gəlir. Bu cür hadisələr olduqca tez-tez baş verir. Beləliklə, hər hansı bir musiqi alətinin hər tonu dayanan dalğa ilə həyəcanlanır. Bu dalğa ya simdə (simli alətlərdə) və ya hava sütununda ( nəfəs alətləri). Bu hallarda əks etdirən sərhədlər simin bağlanma nöqtələri və nəfəs alətlərinin daxili boşluqlarının səthləridir.

Hər bir daimi dalğa aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir. Dalğanın həyəcanlandığı kosmosun bütün bölgəsi hüceyrələrə elə bölünə bilər ki, hüceyrələrin hüdudlarında salınımlar tamamilə yoxdur. Bu sərhədlərdə yerləşən nöqtələrə daimi dalğa qovşaqları deyilir. Hər bir hüceyrənin daxili nöqtələrindəki rəqslərin fazaları eynidir. Qonşu hüceyrələrdə salınımlar bir-birinə doğru, yəni antifazada baş verir. Bir hüceyrə daxilində rəqslərin amplitudası məkanda dəyişir və bəzi yerlərdə maksimum dəyərə çatır. Bunun müşahidə olunduğu nöqtələrə daimi dalğa antinodları deyilir. Nəhayət, dayanan dalğaların xarakterik xüsusiyyəti onların tezlik spektrinin diskretliyidir. Daimi bir dalğada salınımlar yalnız ciddi şəkildə müəyyən edilmiş tezliklərlə baş verə bilər və onlardan birindən digərinə keçid kəskin şəkildə baş verir.

Daimi dalğanın sadə bir nümunəsinə baxaq. Fərz edək ki, ox boyunca məhdud uzunluqda bir sim uzanır; onun ucları sərt şəkildə sabitlənmişdir, sol ucu koordinatların başlanğıcında yerləşir. Sonra sağ ucun koordinatı olacaq. Gəlin simli bir dalğa həyəcanlandıraq

,

boyunca soldan sağa yayılır. Dalğa simin sağ ucundan əks olunacaq. Tutaq ki, bu, enerji itkisi olmadan baş verir. Bu vəziyyətdə əks olunan dalğa, hadisə ilə eyni amplituda və eyni tezlikdə olacaqdır. Buna görə əks olunan dalğa aşağıdakı formada olmalıdır:

Onun fazasında əks olunduqda fazanın dəyişməsini təyin edən sabit var. Yansıma simin hər iki ucunda və enerji itkisi olmadan baş verdiyi üçün eyni tezlikli dalğalar simdə eyni vaxtda yayılacaq. Buna görə də əlavə zamanı müdaxilə baş verməlidir. Nəticə dalğasını tapaq.

Bu daimi dalğa tənliyidir. Buradan belə nəticə çıxır ki, simin hər bir nöqtəsində bir tezliklə rəqslər baş verir. Bu halda, bir nöqtədə salınımların amplitudası bərabərdir

.

Telin ucları sabit olduğundan, orada heç bir titrəmə yoxdur. Şərtdən belə çıxır ki. Beləliklə, nəhayət əldə edirik:

.

İndi aydın olur ki, , olduğu nöqtələrdə heç bir salınım yoxdur. Bu nöqtələr daimi dalğanın düyünləridir. Harada , rəqslərin amplitudası maksimumdur, o, əlavə edilmiş rəqslərin amplitudasının iki qatına bərabərdir. Bu nöqtələr daimi dalğanın antinodlarıdır. Antinodların və düyünlərin görünüşü müdaxilənin olduğu yerdir: bəzi yerlərdə salınımlar güclənir, digərlərində isə yox olur. Qonşu düyünlər və antinodlar arasındakı məsafə aşkar vəziyyətdən tapılır: . Çünki, o zaman. Buna görə də qonşu qovşaqlar arasındakı məsafə .

Daimi dalğa tənliyindən aydın olur ki, faktor Sıfır dəyərindən keçəndə işarəni dəyişir. Buna uyğun olaraq düyünün əks tərəflərindəki rəqslərin fazası ilə fərqlənir. Bu o deməkdir ki, düyünün əks tərəflərində yerləşən nöqtələr antifazada salınır. İki bitişik qovşaq arasındakı bütün nöqtələr eyni fazada salınır.

Beləliklə, hadisəni və əks olunan dalğaları əlavə etməklə, həqiqətən də, əvvəllər xarakterizə edilən dalğa hərəkətinin şəklini əldə etmək mümkündür. Bu halda, bir ölçülü halda müzakirə olunan hüceyrələr, bitişik qovşaqlar arasında bağlanmış və uzunluğu olan seqmentlərdir.

Nəhayət, əmin olaq ki, nəzərdən keçirdiyimiz dalğa yalnız ciddi şəkildə müəyyən edilmiş salınım tezliklərində mövcud ola bilər. Simin sağ ucunda titrəmələrin olmamasından istifadə edək, yəni. Buradan belə çıxır ki. Bu bərabərlik ixtiyari müsbət tam ədəd olduğu halda mümkündür.