Sonsuz kiçik və sonsuz böyük funksiyaların müqayisəsi. Sonsuz kiçik funksiyaların 12 müqayisəsi daxilində əlamətdar ekvivalentlər

Sonsuz kiçik funksiyalar nədir

Bununla belə, funksiya yalnız müəyyən bir nöqtədə sonsuz kiçik ola bilər. Şəkil 1-də göstərildiyi kimi, funksiya yalnız 0 nöqtəsində sonsuz kiçikdir.

Şəkil 1. Sonsuz kiçik funksiya

Əgər iki funksiyanın bölünməsinin həddi 1 ilə nəticələnirsə, funksiyalar ekvivalent sonsuz kiçik hesab olunur, çünki x a nöqtəsinə meyl edir.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Tərif

Əgər f(x), g(x) funksiyaları $x > a$ üçün sonsuz kiçikdirsə, onda:

• Aşağıdakı şərt yerinə yetirilərsə, f(x) funksiyası g(x)-ə nisbətən daha yüksək dərəcəli sonsuz kiçik adlanır:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• f(x) funksiyası 0-dan fərqlidirsə və həddi sonludursa, g(x)-ə münasibətdə n sıralı sonsuz kiçik adlanır:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

Misal 1

$y=x^3$ funksiyası y=5x funksiyası ilə müqayisədə x>0 üçün daha yüksək tərtibli sonsuz kiçikdir, çünki onların nisbət həddi 0-dır, bu, $y=x funksiyasının olması ilə izah olunur. ^3$ daha tez sıfır dəyərə meyl edir:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0) ) x=0\]

Misal 2

y=x2-4 və y=x2-5x+6 funksiyaları x>2 üçün eyni tərtibli sonsuz kiçikdir, çünki onların nisbət həddi 0-a bərabər deyil:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2) ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

Ekvivalent sonsuz kiçiklərin xassələri

1. İki ekvivalent sonsuz kiçiklər arasındakı fərq onların hər birinə nisbətən daha yüksək dərəcəli sonsuz kiçikdir.
2. Əgər müxtəlif düzənli bir neçə sonsuz kiçiklərin cəmindən daha yüksək dərəcəli sonsuz kiçikləri atırıqsa, əsas hissə adlanan qalan hissə bütün cəminə bərabərdir.

Birinci xassədən belə çıxır ki, ekvivalent sonsuz kiçiklər ixtiyari kiçik nisbi xəta ilə təxminən bərabər ola bilər. Buna görə də ≈ işarəsi həm sonsuz kiçiklərin ekvivalentliyini qeyd etmək, həm də onların kifayət qədər kiçik qiymətlərinin təxmini bərabərliyini yazmaq üçün istifadə olunur.

Limitləri taparkən, hesablamaların sürəti və rahatlığı üçün ekvivalent funksiyaların dəyişdirilməsindən istifadə etmək çox vaxt lazımdır. Ekvivalent sonsuz kiçiklərin cədvəli aşağıda verilmişdir (Cədvəl 1).

Cədvəldə verilmiş sonsuz kiçiklərin ekvivalentliyi bərabərliyə əsasən sübut edilə bilər:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Cədvəl 1

Misal 3

Sonsuz kiçik ln(1+x) və x-in ekvivalentliyini sübut edək.

Sübut:

1. Kəmiyyətlərin nisbətinin həddini tapaq
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. Bunun üçün loqarifmin xassəsini tətbiq edirik:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
3. Loqarifmik funksiyanın tərif sahəsində davamlı olduğunu bilərək, limitin işarəsini və loqarifmik funksiyanı dəyişə bilərik:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+) x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ sağ)\]
4. x sonsuz kiçik kəmiyyət olduğundan, limit 0-a meyl edir. Bu o deməkdir ki:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+) x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ sağ)=\ln e=1\]

(ikinci gözəl limit tətbiq olundu)

Göstərildiyi kimi, sonsuz kiçik funksiyaların cəmi, fərqi və hasili sonsuz kiçikdir, lakin xüsusi haqqında eyni şeyi demək olmaz: bir sonsuz kiçiki digərinə bölmək müxtəlif nəticələr verə bilər.

Məsələn, a(x) = 2x, p(x) = 3x olarsa, onda

Əgər a(x) = x 2, P (l;) = x 3 olarsa, onda

Müvafiq terminologiyadan istifadə edərək sonsuz kiçik funksiyaların müqayisəsi qaydalarını təqdim etmək məqsədəuyğundur.

Qoy X -» A a(x) və p(.v) funksiyaları sonsuz kiçikdir. Sonra dəyərindən asılı olaraq onların müqayisəsi üçün aşağıdakı variantlar fərqləndirilir ilə bir nöqtədə məhdudlaşdırın A onların əlaqəsi:

• 1. Əgər ilə= I, onda a(x) və P(x) ekvivalent sonsuz kiçikdir: a(x) - p(x).
• 2. Əgər ilə= 0, onda a(x) p(x)-dən daha yüksək sıralı sonsuz kiçikdir (yaxud daha yüksək kiçiklik sırasına malikdir).
• 3. Əgər ilə = d* 0 (d- nömrə), sonra Oh) və P(x) eyni tərtibli sonsuz kiçiklərdir.

Çox vaxt bir sonsuz kiçikin digərinə nisbətən daha yüksək kiçiklik sırasının sonsuz kiçik olduğunu bilmək kifayət deyil; Buna görə də aşağıdakı qayda istifadə olunur.

4. Əgər Mm - - =d*0, onda a(x) - *->lp"(*) ilə bağlı l-ci sıranın sonsuz kiçikidir.

hərfi mənada P(x). Bu vəziyyətdə simvoldan istifadə edin o "o" kiçik"): a(x) = o(P(x)).

Qeyd edək ki, x -»oo üçün sonsuz kiçik funksiyaları müqayisə etmək üçün oxşar qaydalar etibarlıdır, X-" -oo, X-> +«>, həmçinin x -» nöqtəsində birtərəfli limitlər olduqda A sol və sağ.

Müqayisə qaydalarından bir mühüm xüsusiyyət gəlir:

onda bir hədd var 1 və bu həddlərin hər ikisi bərabərdir.

Bir sıra hallarda sübut edilmiş bəyanat limitlərin hesablanmasını və təxminlərin aparılmasını asanlaşdırır.

Gəlin bir neçə nümunəyə baxaq.

1. Günah funksiyaları X Və X saat X-» 0 (8.11) limitinə görə sonsuz kiçiklərə ekvivalentdir, yəni. saat X -> 0 günah X ~ X.

Həqiqətən, bizdə:

• 2. Günah funksiyaları kh və günah X q-dadır: -> Eyni ardıcıllığın 0 sonsuz kiçikləri, çünki
• 3. a(x) = cos funksiyası ah - cos bx (a * b) Mən oturdum X-» Sonsuz kiçikliyə münasibətdə ikinci kiçiklik sırasının 0 sonsuz kiçik.v, çünki

Misal 7. Limi tapın

*-+° x + x"

Həll. Günahdan bəri kh ~ kh Və X + x 2 ~ X:

Sonsuz böyük funksiyaların müqayisəsi

Sonsuz böyük funksiyalar üçün oxşar müqayisə qaydaları da tətbiq edilir, yeganə fərq onlar üçün “kiçiklik sırası” termini əvəzinə “böyümə qaydası” termininin istifadə edilməsidir.

Deyilənləri misallarla izah edək.

1. Funksiyalar f(x) = (2 + x)/x və g(x) = 2/x saat X-» 0 sonsuz böyükə bərabərdir, çünki

Funksiya məlumatları /(X) və #(*) eyni artım sırasına malikdir.

2. Funksiyaların artım sıralarını müqayisə edək f(x) = 2x?+Mən və g(x)= x 3 + X saat X-> niyə onların nisbətinin həddini tapaq:

Bundan belə nəticə çıxır ki, funksiya g(x) / (x) funksiyasından daha yüksək artım sırasına malikdir.

3. x -» °o /(x) = 3x 3 + üçün sonsuz böyük funksiyalar X və #(x) = x 3 - 4x 2 eyni böyümə sırasına malikdir, çünki

4. /(x) = x 3 + 2x + 3 funksiyası x -» üçün sonsuz böyükdür.

sonsuz böyük funksiyaya görə üçüncü sıra g(x) = x - Mən, bəri

Qoy a(x) Və b(x) – b.m. funksiyalarını yerinə yetirir x® a (x® + ¥, x® –¥, x® x 0, …). Onların nisbətinin həddini nəzərdən keçirək x® a.

1. Əgər = b Və b- son nömrə, b¹ 0, sonra funksiyalar a(x), b(x) sonsuz kiçik adlanır kiçikliyin bir sırası saat x® a.

2. Əgər = 0 olarsa, onda a(x) sonsuz kiçik adlanır daha yüksək sifariş , Necə b(x) saat x® a. Aydındır ki, bu halda = ¥.

3. Əgər a(x) – b.m. daha yüksək sifariş b(x), və = b¹ 0 ( b- son nömrə, kÎ N ), Yəni a(x) sonsuz kiçik adlanır k-ci sıra ilə müqayisədə b(x) saat x® a.

4. Əgər mövcud deyilsə (nə sonlu, nə də sonsuz), onda a(x), b(x) adlandırılır müqayisə olunmaz b.m. saat x® a.

5. Əgər = 1 olarsa, onda a(x), b(x) adlandırılır ekvivalent b.m. saat x® a, bu aşağıdakı kimi qeyd olunur: a(x) ~ b(x) saat x® a.

Misal 1. a(x) = (1 – x) 3 , b (x) = 1 – x 3 .

Aydındır ki, nə vaxt x® 1 funksiyaları a(x), b(x) b.m. Onları müqayisə etmək üçün onların nisbətinin həddini tapaq x® 1:

Nəticə: a(x b(x) saat x® 1.

Bunu yoxlamaq asandır = (əmin olun!), buradan belə çıxır a(x) – b.m. ilə müqayisədə kiçikliyin 3-cü sırası b(x) saat x® 1.

Misal 2. Funksiyalar a 1 (x) = 4x, a 2 (x) = x 2 , a 3 (x) = günah x, a 4 (x) = tg x-də sonsuz kiçikdir x® 0. Onları müqayisə edək:

0, , = 1, = ¥.

Buradan belə nəticəyə gəlirik a 2 (x) = x 2 – səhər ilə müqayisədə daha yüksək sifariş a 1 (x) Və a 3 (x) (at x® 0), a 1 (x) Və a 3 (x) – b.m. eyni sifariş a 3 (x) Və a 4 (x) – ekvivalent b.m., yəni. günah x~tg x saat x® 0.

Teorem 1. Qoy a(x) ~ a 1 (x), b(x) ~ b 1 (x) saat x® a. Mövcuddursa, hər ikisi və = mövcuddur.

Sübut. = 1, = 1,

= = .

Bu teorem hədləri tapmağı asanlaşdırır.

Misal 3.

Birinci əlamətdar həddi görə sin4 x~ 4x, tg3 x~ 3x saat x® 0, buna görə də

Teorem 2. Sonsuz kiçik funksiyalar a(x) Və b(x) ekvivalentdir (ilə x® a) yalnız və yalnız əgər a(x) – b(x) b.m. ilə müqayisədə daha yüksək sifariş a(x) Və b(x) (at x® a).

Sübut

Qoy a(x) ~ b(x) saat x® a. Sonra = = 0, yəni. fərq a(x) – b(x a(x) saat x® a(oxşar b(x)).

Qoy a(x) – b(x) – b.m. ilə müqayisədə daha yüksək sifariş a(x) Və b(x), biz bunu göstərəcəyik a(x) ~ b(x) saat x® a:

= = + = 1,

Test

İntizam: Ali riyaziyyat

Mövzu: Limitlər. Sonsuz kiçik kəmiyyətlərin müqayisəsi

1. Ədəd ardıcıllığının limiti

2. Funksiya limiti

3. İkinci gözəl hədd

4. Sonsuz kiçik kəmiyyətlərin müqayisəsi

Ədəbiyyat

1. Ədəd ardıcıllığının limiti

Bir çox riyazi və tətbiqi məsələlərin həlli müəyyən bir şəkildə göstərilən ədədlərin ardıcıllığına gətirib çıxarır. Onların bəzi xüsusiyyətlərini öyrənək.

Tərif 1.1. Hər natural ədəd üçün

1-ci tərifə əsasən aydın olur ki, nömrə ardıcıllığı həmişə sonsuz sayda elementdən ibarətdir. Müxtəlif ədəd ardıcıllığının tədqiqi göstərir ki, say artdıqca onların üzvləri fərqli davranırlar. Onlar qeyri-müəyyən müddətə arta və ya azala, daim müəyyən bir rəqəmə yaxınlaşa və ya heç bir nümunə göstərməyə bilər.

Tərif 1.2. Nömrə

Limiti olan ardıcıllığa konvergent deyilir. Bu halda yazırlar

Aydındır ki, ədədi ardıcıllığın yaxınlaşması məsələsini aydınlaşdırmaq üçün yalnız onun elementlərinin xassələrinə əsaslanacaq bir meyara sahib olmaq lazımdır.

Teorem 1.1.(Ədədlər ardıcıllığının yaxınlaşması haqqında Koşi teoremi). Ədəd ardıcıllığının yaxınlaşması üçün bu, istənilən ədəd üçün zəruri və kifayətdir

Sübut. Zərurət. Nömrə ardıcıllığını nəzərə alsaq

Bundan belə çıxır

Adekvatlıq. Belə verilir

Bir ixtiyari götürək

Bundan belə çıxır