Hərflərlə nümunələrin onlayn həlli. Cəbri ifadəni necə sadələşdirmək olar

İstənilən dil eyni məlumatı ifadə edə bilər fərqli sözlərlə və inqilablar. Riyazi dil də istisna deyil. Ancaq eyni ifadə müxtəlif yollarla ekvivalent şəkildə yazıla bilər. Və bəzi hallarda, girişlərdən biri daha sadədir. Bu dərsdə ifadələrin sadələşdirilməsi haqqında danışacağıq.

İnsanlar ünsiyyət qururlar müxtəlif dillər. Bizim üçün vacib bir müqayisə "Rus dili - riyazi dil" cütüdür. Eyni məlumat müxtəlif dillərdə ötürülə bilər. Bununla yanaşı, bir dildə müxtəlif yollarla tələffüz edilə bilər.

Məsələn: "Petya Vasya ilə dostdur", "Vasya Petya ilə dostdur", "Petya və Vasya dostdur". Fərqli dedi, amma eyni şeydi. Bu ifadələrin hər hansı birindən biz nədən danışdığımızı başa düşə bilərik.

Gəlin bu ifadəyə baxaq: "Oğlan Petya və oğlan Vasya dostdurlar." Nə demək istədiyimizi başa düşürük haqqında danışırıq. Ancaq bu ifadənin səslənməsini bəyənmirik. Bunu sadələşdirə, eyni şeyi, amma daha sadə deyə bilmərik? "Oğlan və oğlan" - bir dəfə deyə bilərsiniz: "Oğlanlar Petya və Vasya dostdurlar."

“Oğlanlar”... Adlarından görünmür ki, qız deyillər? "Oğlanları" çıxarırıq: "Petya və Vasya dostdur." Və "dostlar" sözünü "dostlar" ilə əvəz etmək olar: "Petya və Vasya dostdur." Nəticədə, birinci, uzun, çirkin ifadə demək daha asan və başa düşülən ekvivalent ifadə ilə əvəz olundu. Biz bu ifadəni sadələşdirmişik. Sadələşdirmək daha sadə demək deməkdir, lakin mənasını itirmək və ya təhrif etmək deyil.

Riyazi dildə təxminən eyni şey olur. Eyni şeyi demək olar, fərqli yazmaq olar. Bir ifadəni sadələşdirmək nə deməkdir? Bu o deməkdir ki, ilkin ifadə üçün çoxlu ekvivalent ifadələr, yəni eyni şeyi ifadə edən ifadələr var. Və bütün bu müxtəliflikdən, fikrimizcə, ən sadəini və ya gələcək məqsədlərimiz üçün ən uyğununu seçməliyik.

Məsələn, ədədi ifadəni nəzərdən keçirək. -ə bərabər olacaq.

O, həmçinin ilk ikisinə bərabər olacaq: .

Belə çıxır ki, biz ifadələrimizi sadələşdirmişik və ən qısa ekvivalent ifadəni tapmışıq.

Rəqəmli ifadələr üçün həmişə bütün addımları yerinə yetirməli və ekvivalent ifadəni tək ədəd kimi əldə etməlisiniz.

Hərfi ifadə nümunəsinə baxaq . Aydındır ki, daha sadə olacaq.

Hərfi ifadələri sadələşdirərkən bütün mümkün hərəkətləri yerinə yetirmək lazımdır.

Həmişə ifadəni sadələşdirmək lazımdırmı? Xeyr, bəzən bizim üçün ekvivalent, lakin daha uzun bir girişə sahib olmaq daha rahat olacaq.

Misal: nömrədən rəqəmi çıxarmaq lazımdır.

Hesablamaq mümkündür, lakin əgər birinci ədəd onun ekvivalent qeydi ilə göstərilsəydi: , onda hesablamalar ani olardı: .

Yəni sadələşdirilmiş ifadə sonrakı hesablamalar üçün bizim üçün həmişə faydalı olmur.

Buna baxmayaraq, çox vaxt "ifadəsini sadələşdirmək" kimi səslənən bir vəzifə ilə qarşılaşırıq.

İfadəni sadələşdirin: .

Həll

1) Birinci və ikinci mötərizədə olan hərəkətləri yerinə yetirin: .

2) Məhsulları hesablayaq: .

Aydındır ki, sonuncu ifadə ilkin ifadədən daha sadə formadadır. Biz bunu sadələşdirmişik.

İfadəni sadələşdirmək üçün onu ekvivalent (bərabər) ilə əvəz etmək lazımdır.

Ekvivalent ifadəni müəyyən etmək üçün sizə lazımdır:

1) bütün mümkün hərəkətləri yerinə yetirmək,

2) hesablamaları sadələşdirmək üçün toplama, çıxma, vurma və bölmənin xassələrindən istifadə edin.

Toplama və çıxmanın xüsusiyyətləri:

1. Toplamanın kommutativ xassəsi: şərtlərin yenidən düzülməsi cəmi dəyişmir.

2. Toplamanın birləşmə xassəsi: iki ədədin cəminə üçüncü ədədi əlavə etmək üçün birinci ədədə ikinci və üçüncü ədədlərin cəmini əlavə etmək olar.

3. Ədəddən cəmi çıxma xassəsi: ədəddən cəmi çıxmaq üçün hər bir termini ayrıca çıxmaq olar.

Vurma və bölmənin xassələri

1. Vurmanın kommutativ xassəsi: amillərin yenidən düzülməsi hasili dəyişmir.

2. Kombinativ xassə: bir ədədi iki ədədin hasilinə vurmaq üçün əvvəlcə onu birinci amillə, sonra isə əldə olunan hasili ikinci amillə çoxalda bilərsiniz.

3. Vurmanın paylanma xassəsi: ədədi cəminə vurmaq üçün onu hər bir həddi ayrıca vurmaq lazımdır.

Gəlin görək əslində zehni hesablamaları necə edirik.

Hesablayın:

Həll

1) Gəlin necə olduğunu təsəvvür edək

2) Birinci amili bit şərtlərinin cəmi kimi təsəvvür edək və vurmanı yerinə yetirək:

3) vurmağın necə və yerinə yetirildiyini təsəvvür edə bilərsiniz:

4) Birinci amili ekvivalent cəmi ilə əvəz edin:

Paylanma qanunu əks istiqamətdə də istifadə edilə bilər: .

Bu addımları izləyin:

1) 2)

Həll

1) Rahatlıq üçün siz paylayıcı qanundan istifadə edə bilərsiniz, lakin onu əks istiqamətdə istifadə edin - mötərizədə ümumi faktoru çıxarın.

2) Mötərizədə ümumi amili çıxaraq

Mətbəx və koridor üçün linoleum almaq lazımdır. Mətbəx sahəsi - , dəhliz - . Üç növ linoleum var: üçün və rubl üçün. Hər biri neçəyə başa gələcək? üç növ linoleum? (Şəkil 1)

düyü. 1. Problem bəyanatı üçün illüstrasiya

Həll

Metod 1. Siz ayrı-ayrılıqda mətbəx üçün linoleum almaq üçün nə qədər pul lazım olduğunu öyrənə bilərsiniz, sonra isə koridorda və nəticədə alınan məhsulları əlavə edə bilərsiniz.

§ 1 Hərfi ifadənin sadələşdirilməsi anlayışı

Bu dərsdə biz “oxşar terminlər” anlayışı ilə tanış olacağıq və misallardan istifadə edərək oxşar terminlərin ixtisarını necə yerinə yetirməyi, beləliklə də hərfi ifadələri sadələşdirməyi öyrənəcəyik.

Gəlin “sadələşdirmə” anlayışının mənasını öyrənək. “Sadələşdirmə” sözü “sadələşdirmək” sözündən əmələ gəlib. Sadələşdirmək sadələşdirmək, sadələşdirmək deməkdir. Buna görə də, hərf ifadəsini sadələşdirmək, minimum sayda hərəkətlə onu qısaltmaqdır.

9x + 4x ifadəsini nəzərdən keçirək. Bu, cəmi olan hərfi ifadədir. Buradakı terminlər rəqəm və hərfin hasilləri kimi təqdim olunur. Belə terminlərin ədədi faktoruna əmsal deyilir. Bu ifadədə əmsallar 9 və 4 rəqəmləri olacaq. Nəzərə alın ki, hərflə göstərilən amil bu məbləğin hər iki şərtində eynidir.

Çoxalmanın paylanma qanununu xatırlayaq:

Cəmi bir ədədə vurmaq üçün hər bir termini həmin ədədə vurub nəticədə hasilləri əlavə edə bilərsiniz.

IN ümumi görünüş aşağıdakı kimi yazılır: (a + b) ∙ c = ac + bc.

Bu qanun ac + bc = (a + b) ∙ c hər iki istiqamətdə doğrudur

Gəlin bunu hərfi ifadəmizə tətbiq edək: 9x və 4x məhsullarının cəmi birinci amili olan məhsula bərabərdir. məbləğinə bərabərdir 9 və 4, ikinci amil x-dir.

9 + 4 = 13, yəni 13x.

9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.

İfadədə üç hərəkət əvəzinə yalnız bir hərəkət qalır - vurma. Bu o deməkdir ki, biz hərfi ifadəmizi sadələşdirmişik, yəni. sadələşdirdi.

§ 2 Oxşar terminlərin azaldılması

9x və 4x terminləri yalnız əmsallarında fərqlənir - belə terminlər oxşar adlanır. Oxşar terminlərin hərf hissəsi eynidir. Oxşar terminlərə ədədlər və bərabər şərtlər də daxildir.

Məsələn, 9a + 12 - 15 ifadəsində oxşar şərtlər 12 və -15 rəqəmləri, 12 və 6a hasilinin cəmində 14 rəqəmi və 12 və 6a (12 ∙ 6a + 14) məhsulu olacaqdır. + 12 ∙ 6a) 12 və 6a məhsulu ilə təmsil olunan bərabər həddlər.

Qeyd etmək lazımdır ki, əmsalları bərabər olan, lakin hərf faktorları fərqli olan terminlər oxşar deyildir, baxmayaraq ki, bəzən onlara vurmanın paylayıcı qanununu tətbiq etmək faydalıdır, məsələn, 5x və 5y hasillərinin cəmi. 5 rəqəminin hasilinə və x və y cəminə bərabərdir

5x + 5y = 5(x + y).

-9a + 15a - 4 + 10 ifadəsini sadələşdirək.

Bu vəziyyətdə oxşar terminlər -9a və 15a terminləridir, çünki onlar yalnız əmsallarında fərqlənirlər. Onların hərf çarpanı eynidir və -4 və 10 terminləri də rəqəmlər olduğu üçün oxşardır. Oxşar terminləri əlavə edin:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Alırıq: 6a + 6.

İfadəni sadələşdirərək, riyaziyyatda oxşar terminlərin cəmini tapdıq, buna oxşar terminlərin reduksiyası deyilir;

Bu cür terminləri əlavə etmək çətindirsə, onlar üçün sözlər tapıb obyektlər əlavə edə bilərsiniz.

Məsələn, ifadəni nəzərdən keçirək:

Hər hərf üçün öz obyektimizi götürürük: b-alma, c-armud, sonra alırıq: 2 alma minus 5 armud plus 8 armud.

Armudları almadan çıxara bilərikmi? Əlbəttə yox. Amma mənfi 5 armuda 8 armudu əlavə edə bilərik.

Oxşar terminləri təqdim edək -5 armud + 8 armud. Oxşar terminlər eyni hərf hissəsinə malikdir, buna görə də oxşar terminləri gətirərkən əmsalları əlavə etmək və nəticəyə hərf hissəsini əlavə etmək kifayətdir:

(-5 + 8) armud - 3 armud alırsınız.

Hərfi ifadəmizə qayıdaraq -5 s + 8 s = 3 s. Beləliklə, oxşar şərtləri gətirdikdən sonra 2b + 3c ifadəsini alırıq.

Beləliklə, bu dərsdə siz “oxşar terminlər” anlayışı ilə tanış oldunuz və oxşar terminləri ixtisar etməklə hərf ifadələrini sadələşdirməyi öyrəndiniz.

İstifadə olunmuş ədəbiyyat siyahısı:

1. Riyaziyyat. 6-cı sinif: I.I.-nin dərsliyi üçün dərs planları. Zubareva, A.G. Mordkoviç // müəllif-tərtibçi L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
2. Riyaziyyat. 6-cı sinif: ümumi təhsil müəssisələrinin şagirdləri üçün dərslik. I.I Zubareva, A.G. Mordkoviç - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Riyaziyyat. 6-cı sinif: ümumi təhsil müəssisələri üçün dərslik/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov və başqaları/redaktə edən G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Rusiya Elmlər Akademiyası, Rusiya Təhsil Akademiyası. M.: “Maarifçilik”, 2010.
4. Riyaziyyat. 6-cı sinif: ümumi təhsil müəssisələri üçün təhsil/N.Ya. Vilenkin, V.I. Joxov, A.S. Çesnokov, S.I. Şvartsburd. – M.: Mnemosyna, 2013.
5. Riyaziyyat. 6-cı sinif: dərslik/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014.

İstifadə olunan şəkillər:

Hərfi ifadə (və ya dəyişənləri olan ifadə). riyazi ifadə, riyazi əməliyyatların rəqəmləri, hərfləri və simvollarından ibarət olan. Məsələn, aşağıdakı ifadə hərfidir:

a+b+4

Əlifba ifadələrindən istifadə edərək qanunlar, düsturlar, tənliklər və funksiyalar yaza bilərsiniz. Hərf ifadələrini manipulyasiya etmək bacarığı cəbr və ali riyaziyyat üzrə yaxşı biliklərin açarıdır.

Riyaziyyatda istənilən ciddi problem tənliklərin həlli ilə bağlıdır. Tənlikləri həll edə bilmək üçün isə hərfi ifadələrlə işləməyi bacarmaq lazımdır.

Hərfi ifadələrlə işləmək üçün əsas arifmetikanı yaxşı bilmək lazımdır: toplama, çıxma, vurma, bölmə, riyaziyyatın əsas qanunları, kəsrlər, kəsrlərlə əməllər, nisbətlər. Və yalnız öyrənmək deyil, hərtərəfli başa düşmək.

Dəyişənlər

Hərfi ifadələrdə olan hərflər adlanır dəyişənlər. Məsələn, ifadədə a+b+ 4 dəyişən hərfdir a Və b. Bu dəyişənlərin yerinə hər hansı rəqəmləri əvəz etsəniz, hərfi ifadə a+b+ 4 dəyəri tapıla bilən ədədi ifadəyə çevriləcək.

Dəyişənləri əvəz edən ədədlər deyilir dəyişənlərin dəyərləri. Məsələn, dəyişənlərin dəyərlərini dəyişək a Və b. Bərabər işarəsi dəyərləri dəyişdirmək üçün istifadə olunur

a = 2, b = 3

Dəyişənlərin dəyərlərini dəyişdirdik a Və b. Dəyişən a dəyər təyin etdi 2 , dəyişən b dəyər təyin etdi 3 . Nəticədə, hərfi ifadə a+b+4 müntəzəm ədədi ifadəyə çevrilir 2+3+4 kimin dəyərini tapmaq olar:

Dəyişənlər vurulduqda birlikdə yazılır. Məsələn, qeyd ab girişlə eyni deməkdir a×b. Dəyişənləri əvəz etsək a Və b nömrələr 2 Və 3 , onda biz 6 alırıq

Siz həmçinin mötərizədə bir ifadə ilə ədədin vurulmasını birlikdə yaza bilərsiniz. Məsələn, əvəzinə a×(b + c) yazıla bilər a(b + c). Vurmanın paylama qanununu tətbiq edərək əldə edirik a(b + c)=ab+ac.

Oranlar

Hərfi ifadələrdə siz tez-tez nömrə və dəyişənin birlikdə yazıldığı qeydi tapa bilərsiniz, məsələn 3a. Bu əslində 3 rəqəmini dəyişənə vurmaq üçün stenoqramdır. a və bu giriş belə görünür 3×a .

Başqa sözlə, ifadə 3a 3 rəqəminin və dəyişənin hasilidir a. Nömrə 3 bu işdə çağırırlar əmsalı. Bu əmsal dəyişənin neçə dəfə artırılacağını göstərir a. Bu ifadəni " kimi oxumaq olar aüç dəfə" və ya "üç dəfə A", və ya "bir dəyişənin dəyərini artırın aüç dəfə", lakin çox vaxt "üç" kimi oxunur a«

Məsələn, əgər dəyişən a bərabərdir 5 , sonra ifadənin dəyəri 3a 15-ə bərabər olacaq.

3 × 5 = 15

Danışan sadə dildə, əmsal hərfdən əvvəl gələn rəqəmdir (dəyişəndən əvvəl).

Məsələn, bir neçə hərf ola bilər 5abc. Burada əmsal rəqəmdir 5 . Bu əmsal dəyişənlərin məhsulu olduğunu göstərir abc beş dəfə artır. Bu ifadəni " kimi oxumaq olar abc beş dəfə" və ya "ifadənin dəyərini artırın abc beş dəfə" və ya "beş abc«.

Əgər dəyişənlərin yerinə abc 2, 3 və 4 rəqəmlərini, sonra ifadənin qiymətini əvəz edin 5abc bərabər olacaq 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Siz zehni olaraq 2, 3 və 4 rəqəmlərinin ilk dəfə necə vurulduğunu və nəticədə alınan dəyərin beş dəfə artdığını təsəvvür edə bilərsiniz:

Əmsalın işarəsi yalnız əmsala aiddir və dəyişənlərə şamil edilmir.

İfadəsini nəzərdən keçirin −6b. Əmsaldan əvvəl mənfi 6 , yalnız əmsala aiddir 6 , və dəyişənə aid deyil b. Bu həqiqəti başa düşmək, gələcəkdə işarələrlə səhv etməməyə imkan verəcəkdir.

İfadənin qiymətini tapaq −6b saat b = 3.

−6b −6×b. Aydınlıq üçün ifadəni yazaq −6b genişləndirilmiş formada və dəyişənin qiymətini əvəz edin b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Misal 2.İfadənin qiymətini tapın −6b saat b = −5

İfadəsini yazaq −6b genişləndirilmiş formada

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Misal 3.İfadənin qiymətini tapın −5a+b saat a = 3 Və b = 2

−5a+büçün qısa formadır −5 × a + b, buna görə də aydınlıq üçün ifadəni yazırıq −5×a+b genişləndirilmiş formada və dəyişənlərin dəyərlərini əvəz edin a Və b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Bəzən hərflər, məsələn, əmsal olmadan yazılır a və ya ab. Bu halda əmsal vahiddir:

lakin ənənəvi olaraq vahid yazılmır, ona görə də sadəcə yazırlar a və ya ab

Hərfdən əvvəl bir mənfi varsa, o zaman əmsal rəqəmdir −1 . Məsələn, ifadə −aəslində bənzəyir −1a. Bu mənfi bir və dəyişənin məhsuludur a. Belə çıxdı:

−1 × a = −1a

Burada kiçik bir tutma var. İfadədə −a dəyişənin qarşısında mənfi işarə aəslində dəyişənə deyil, "görünməz vahidə" istinad edir a. Ona görə də problemləri həll edərkən diqqətli olmalısınız.

Məsələn, ifadə verilirsə −a və bizdən onun dəyərini tapmağımız xahiş olunur a = 2, sonra məktəbdə dəyişən əvəzinə iki əvəz etdik a və cavab aldı −2 , necə nəticələndiyinə çox diqqət yetirmədən. Əslində, mənfi bir müsbət rəqəm 2 ilə vuruldu

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

İfadə verilirsə −a və onun dəyərini tapmaq lazımdır a = −2, sonra əvəz edirik −2 dəyişən əvəzinə a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Səhvlərin qarşısını almaq üçün əvvəlcə görünməz vahidləri açıq şəkildə yazmaq olar.

Misal 4.İfadənin qiymətini tapın abc saat a=2 , b=3 Və c=4

İfadə abc 1×a×b×c. Aydınlıq üçün ifadəni yazaq abc a, b Və c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Misal 5.İfadənin qiymətini tapın abc saat a=−2 , b=−3 Və c=−4

İfadəsini yazaq abc genişləndirilmiş formada və dəyişənlərin dəyərlərini əvəz edin a, b Və c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Misal 6.İfadənin qiymətini tapın − abc saat a=3 , b=5 və c=7

İfadə − abcüçün qısa formadır −1×a×b×c. Aydınlıq üçün ifadəni yazaq − abc genişləndirilmiş formada və dəyişənlərin dəyərlərini əvəz edin a, b Və c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Misal 7.İfadənin qiymətini tapın − abc saat a=−2 , b=−4 və c=−3

İfadəsini yazaq − abc genişləndirilmiş formada:

−abc = −1 × a × b × c

Dəyişənlərin qiymətlərini əvəz edək a , b Və c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Əmsalı necə təyin etmək olar

Bəzən bir ifadənin əmsalını təyin etməli olduğunuz bir problemi həll etməlisiniz. Prinsipcə, bu vəzifə çox sadədir. Rəqəmləri düzgün vurmağı bacarmaq kifayətdir.

İfadədəki əmsalı müəyyən etmək üçün bu ifadəyə daxil olan ədədləri ayrıca çoxaltmalı və hərfləri ayrıca çoxaltmalısınız. Nəticədə çıxan ədədi amil əmsal olacaqdır.

Misal 1. 7m×5a×(−3)×n

İfadə bir neçə amildən ibarətdir. İfadəni genişləndirilmiş formada yazsanız, bunu aydın görmək olar. Yəni əsərlər 7m Və 5a formada yazın 7×m Və 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Faktorları istənilən ardıcıllıqla çoxaltmağa imkan verən vurmanın assosiativ qanununu tətbiq edək. Məhz, rəqəmləri ayrıca çoxaldacağıq və hərfləri (dəyişənləri) ayrıca çoxaldacağıq:

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Əmsal belədir −105 . Tamamladıqdan sonra hərf hissəsini əlifba sırası ilə düzmək məsləhətdir:

-105 min

Misal 2.İfadədəki əmsalı təyin edin: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Əmsal 6-dır.

Misal 3.İfadədəki əmsalı təyin edin:

Rəqəmləri və hərfləri ayrıca çoxaldaq:

Əmsal −1-dir. Nəzərə alın ki, vahid yazılmır, çünki əmsalı 1 yazmamaq adətdir.

Ən sadə görünən bu tapşırıqlar bizimlə çox qəddar zarafat edə bilər. Çox vaxt məlum olur ki, əmsalın işarəsi səhv qoyulub: ya mənfi yoxdur, ya da əksinə, boş yerə qoyulub. Bu bezdirici səhvlərdən qaçmaq üçün onu yaxşı səviyyədə öyrənmək lazımdır.

Hərfi ifadələrdə əlavələr

Bir neçə ədədi toplayanda bu ədədlərin cəmi alınır. Toplayan ədədlərə əlavələr deyilir. Bir neçə termin ola bilər, məsələn:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

İfadə terminlərdən ibarət olduqda, onu qiymətləndirmək daha asandır, çünki əlavə etmək çıxmaqdan daha asandır. Ancaq ifadə yalnız toplama deyil, həm də çıxma ola bilər, məsələn:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

Bu ifadədə 3 və 5 rəqəmləri əlavə deyil, çıxarışdır. Amma heç nə bizə çıxma əməliyyatını əlavə ilə əvəz etməyə mane olmur. Sonra yenidən terminlərdən ibarət bir ifadə alırıq:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

−3 və −5 rəqəmlərinin indi mənfi işarəsi olmasının əhəmiyyəti yoxdur. Əsas odur ki, bu ifadədəki bütün rəqəmlər əlavə işarəsi ilə bağlanır, yəni ifadə cəmidir.

Hər iki ifadə 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Və 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) eyni dəyərə bərabər - mənfi bir

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Beləliklə, hardasa çıxmağı toplama ilə əvəz etsək, ifadənin mənası zərər görməz.

Siz həmçinin hərfi ifadələrdə toplamanı toplama ilə əvəz edə bilərsiniz. Məsələn, aşağıdakı ifadəni nəzərdən keçirin:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Dəyişənlərin istənilən dəyərləri üçün a, b, c, d Və s ifadələr 7a + 6b − 3c + 2d − 4s Və 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) eyni qiymətə bərabər olacaq.

Siz hazır olmalısınız ki, məktəb müəllimi və ya institut müəllimi əlavə olunmayan cüt nömrələri (və ya dəyişənləri) çağıra bilər.

Məsələn, əgər fərq lövhədə yazılıbsa a - b, onda müəllim bunu deməyəcək a bir minuenddir və b- çıxıla bilən. O, hər iki dəyişəni bir ümumi sözlə çağıracaq - şərtlər. Və hamısı formanın ifadəsi səbəbindən a - b riyaziyyatçı cəminin necə olduğunu görür a+(−b). Bu halda ifadə cəmi olur və dəyişənlər a Və (−b)şərtlərə çevrilir.

Oxşar terminlər

Oxşar terminlər- bunlar eyni hərf hissəsi olan terminlərdir. Məsələn, ifadəni nəzərdən keçirək 7a + 6b + 2a. Komponentlər 7a Və 2a eyni hərf hissəsi var - dəyişən a. Beləliklə, şərtlər 7a Və 2a oxşardırlar.

Tipik olaraq, oxşar terminlər ifadəni sadələşdirmək və ya tənliyi həll etmək üçün əlavə edilir. Bu əməliyyat adlanır oxşar şərtləri gətirir.

Bənzər şərtləri gətirmək üçün bu şərtlərin əmsallarını əlavə etməlisiniz və nəticəni ümumi hərf hissəsinə vurmalısınız.

Məsələn, ifadədə oxşar terminləri təqdim edək 3a + 4a + 5a. Bu vəziyyətdə bütün terminlər oxşardır. Onların əmsallarını toplayaq və nəticəni ümumi hərf hissəsinə - dəyişənə vuraq a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Oxşar terminlər adətən nəzərə alınır və nəticə dərhal yazılır:

3a + 4a + 5a = 12a

Həmçinin, aşağıdakı kimi səbəb ola bilər:

3 a dəyişəni var idi, onlara daha 4 a dəyişəni və daha 5 a dəyişəni əlavə edildi. Nəticədə 12 dəyişən əldə etdik a

Oxşar terminlərin gətirilməsinə dair bir neçə nümunəyə baxaq. Bu mövzunun çox vacib olduğunu nəzərə alaraq əvvəlcə hər bir xırda detalı ətraflı yazacağıq. Burada hər şey çox sadə olsa da, insanların çoxu çoxlu səhvlərə yol verir. Əsasən diqqətsizlikdən deyil, məlumatsızlıqdan.

Misal 1. 3a + 2a + 6a + 8 a

Bu ifadədəki əmsalları toplayaq və nəticəni ümumi hərf hissəsinə vuraq:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

dizayn (3 + 2 + 6 + 8)×a Bunu yazmağa ehtiyac yoxdur, ona görə də dərhal cavabı yazacağıq

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Misal 2.İfadədə oxşar terminlər verin 2a+a

İkinci dövr aəmsalsız yazılıb, amma əslində qarşısında bir əmsal var 1 , qeyd olunmadığı üçün görmürük. Beləliklə, ifadə belə görünür:

2a + 1a

İndi oxşar terminləri təqdim edək. Yəni əmsalları əlavə edirik və nəticəni ümumi hərf hissəsinə vururuq:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Həllini qısaca yazaq:

2a + a = 3a

2a+a, fərqli düşünə bilərsiniz:

Misal 3.İfadədə oxşar terminlər verin 2a−a

Çıxmağı toplama ilə əvəz edək:

2a + (−a)

İkinci dövr (−a)əmsalsız yazılıb, amma əslində belə görünür (−1a).Əmsal −1 qeydə alınmaması səbəbindən yenə görünməzdir. Beləliklə, ifadə belə görünür:

2a + (−1a)

İndi oxşar terminləri təqdim edək. Gəlin əmsalları əlavə edək və nəticəni ümumi hərf hissəsinə vuraq:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Adətən daha qısa yazılır:

2a − a = a

İfadədə oxşar terminlərin verilməsi 2a−a Siz fərqli düşünə bilərsiniz:

2 dəyişən var idi a, bir dəyişən a çıxın, sonunda yalnız bir dəyişən a qaldı

Misal 4.İfadədə oxşar terminlər verin 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

İndi oxşar terminləri təqdim edək. Gəlin əmsalları əlavə edək və nəticəni ümumi hərf hissəsinə vuraq

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Həllini qısaca yazaq:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Oxşar terminlərin bir neçə müxtəlif qruplarını ehtiva edən ifadələr var. Məsələn, 3a + 3b + 7a + 2b. Bu cür ifadələr üçün digərləri ilə eyni qaydalar tətbiq olunur, yəni əmsalların əlavə edilməsi və nəticənin ümumi hərf hissəsinə vurulması. Ancaq səhvlərə yol verməmək üçün müxtəlif termin qruplarını fərqli sətirlərlə vurğulamaq rahatdır.

Məsələn, ifadədə 3a + 3b + 7a + 2b dəyişəni ehtiva edən terminlər a, bir sətirlə və tərkibində dəyişən olan terminlərin altından xətt çəkilə bilər b, iki sətirlə vurğulana bilər:

İndi oxşar terminləri təqdim edə bilərik. Yəni əmsalları əlavə edin və alınan nəticəni ümumi hərf hissəsinə vurun. Bu, hər iki termin qrupu üçün edilməlidir: dəyişəni ehtiva edən şərtlər üçün a və dəyişəni olan şərtlər üçün b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Yenə təkrar edirik, ifadə sadədir və oxşar terminləri nəzərə almaq olar:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Misal 5.İfadədə oxşar terminlər verin 5a − 6a −7b + b

Mümkünsə, çıxma əməliyyatını toplama ilə əvəz edək:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Oxşar terminləri müxtəlif sətirlərlə vurğulayaq. Dəyişənləri ehtiva edən terminlər a altını bir sətirlə çəkirik, şərtlər isə dəyişənlərin məzmunudur b, iki sətirlə altını çəkin:

İndi oxşar terminləri təqdim edə bilərik. Yəni əmsalları əlavə edin və nəticəni ümumi hərf hissəsinə vurun:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

İfadə hərf faktorları olmayan adi ədədlərdən ibarətdirsə, onlar ayrıca əlavə olunur.

Misal 6.İfadədə oxşar terminlər verin 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Mümkünsə, çıxma əməliyyatını toplama ilə əvəz edək:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Oxşar terminləri təqdim edək. Nömrələr −5 Və 7 hərf faktorları yoxdur, lakin onlar oxşar terminlərdir - sadəcə əlavə etmək lazımdır. Və müddət 2b dəyişməz qalacaq, çünki bu ifadədə hərf faktoru olan yeganədir b, və əlavə etmək üçün heç bir şey yoxdur:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Həllini qısaca yazaq:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Terminlər elə sıralana bilər ki, eyni hərf hissəsi olan terminlər ifadənin eyni hissəsində yerləşsin.

Misal 7.İfadədə oxşar terminlər verin 5t+2x+3x+5t+x

İfadə bir neçə terminin cəmi olduğundan, bu, onu istənilən ardıcıllıqla qiymətləndirməyə imkan verir. Buna görə dəyişəni ehtiva edən şərtlər t, ifadənin əvvəlində yazıla bilər və dəyişəni ehtiva edən terminlər x ifadənin sonunda:

5t + 5t + 2x + 3x + x

İndi oxşar terminləri təqdim edə bilərik:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Həllini qısaca yazaq:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Qarşılıqlı ədədlərin cəmi sıfırdır. Bu qayda hərfi ifadələr üçün də işləyir. İfadə eyni terminləri ehtiva edirsə, lakin ilə əks əlamətlər, onda oxşar terminlərin azaldılması mərhələsində onlardan xilas ola bilərsiniz. Başqa sözlə, cəmi sıfır olduğu üçün onları sadəcə ifadədən çıxarın.

Misal 8.İfadədə oxşar terminlər verin 3t − 4t − 3t + 2t

Mümkünsə, çıxma əməliyyatını toplama ilə əvəz edək:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Komponentlər 3t Və (−3t) qarşıdırlar. Əks şərtlərin cəmi sıfırdır. Bu sıfırı ifadədən çıxarsaq, ifadənin qiyməti dəyişməyəcək, ona görə də onu çıxaracağıq. Və biz sadəcə şərtlərin üstündən xətt çəkməklə onu aradan qaldıracağıq 3t Və (−3t)

Nəticədə biz ifadə ilə qalacağıq (−4t) + 2t. Bu ifadədə siz oxşar terminlər əlavə edib yekun cavabı ala bilərsiniz:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Həllini qısaca yazaq:

İfadələrin Sadələşdirilməsi

"ifadəsini sadələşdirin" və aşağıda sadələşdirilməli olan ifadə verilmişdir. Bir ifadəni sadələşdirin daha sadə və qısaltmaq deməkdir.

Əslində biz fraksiyaları ixtisar etdikdə artıq ifadələri sadələşdirirdik. Azaldılmadan sonra fraksiya daha qısa və başa düşülməsi asanlaşdı.

Gəlin nəzərdən keçirək növbəti misal. İfadəni sadələşdirin.

Bu vəzifə hərfi mənada aşağıdakı kimi başa düşülə bilər: "Bu ifadəyə hər hansı etibarlı hərəkət tətbiq edin, lakin onu sadələşdirin." .

Bu vəziyyətdə, kəsri azalda bilərsiniz, yəni kəsrin payını və məxrəcini 2-ə bölmək olar:

Başqa nə edə bilərsən? Yaranan fraksiyanı hesablaya bilərsiniz. Sonra 0,5 onluq kəsr alırıq

Nəticədə, fraksiya 0,5-ə qədər sadələşdirildi.

Bu cür problemləri həll edərkən özünüzə verməli olduğunuz ilk sual olmalıdır "Nə etmək olar?" . Çünki elə hərəkətlər var ki, edə bilərsən, elə hərəkətlər var ki, onları edə bilmirsən.

Başqa mühüm məqam Xatırlamaq lazım olan odur ki, ifadəni sadələşdirdikdən sonra ifadənin dəyəri dəyişməməlidir. İfadəyə qayıdaq. Bu ifadə yerinə yetirilə bilən bölməni təmsil edir. Bu bölməni yerinə yetirdikdən sonra 0,5-ə bərabər olan bu ifadənin qiymətini alırıq

Amma biz ifadəni sadələşdirdik və yeni sadələşdirilmiş ifadə aldıq. Yeni sadələşdirilmiş ifadənin dəyəri hələ də 0,5-dir

Amma biz də ifadəni hesablayaraq sadələşdirməyə çalışdıq. Nəticədə 0,5 yekun cavab aldıq.

Beləliklə, ifadəni necə sadələşdirsək də, nəticədə alınan ifadələrin qiyməti yenə də 0,5-ə bərabərdir. Bu o deməkdir ki, sadələşdirmə hər mərhələdə düzgün aparılıb. İfadələri sadələşdirərkən məhz buna çalışmalıyıq - ifadənin mənası hərəkətlərimizdən əziyyət çəkməməlidir.

Çox vaxt hərfi ifadələri sadələşdirmək lazımdır. Onlara ədədi ifadələr üçün olduğu kimi eyni sadələşdirmə qaydaları tətbiq edilir. İfadənin dəyəri dəyişmədiyi müddətcə istənilən etibarlı hərəkətləri yerinə yetirə bilərsiniz.

Gəlin bir neçə nümunəyə baxaq.

Misal 1. Bir ifadəni sadələşdirin 5,21s × t × 2,5

Bu ifadəni sadələşdirmək üçün rəqəmləri ayrı-ayrılıqda, hərfləri isə ayrıca çoxalda bilərsiniz. Bu tapşırıq əmsalı təyin etməyi öyrəndiyimiz zaman baxdığımız tapşırıqla çox oxşardır:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Belə ki, ifadə 5,21s × t × 2,5 qədər sadələşdirilmişdir 13,025 st.

Misal 2. Bir ifadəni sadələşdirin −0,4 × (−6,3b) × 2

İkinci parça (−6,3b) bizim üçün başa düşülən bir forma tərcümə edilə bilər, yəni formada yazılmışdır ( −6,3)×b , sonra ədədləri ayrı-ayrılıqda və hərfləri ayrıca çoxaltın:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Belə ki, ifadə −0,4 × (−6,3b) × 2 qədər sadələşdirilmişdir 5.04b

Misal 3. Bir ifadəni sadələşdirin

Rəqəmlərin və hərflərin harada olduğunu aydın görmək üçün bu ifadəni daha ətraflı yazaq:

İndi rəqəmləri ayrıca çoxaldaq və hərfləri ayrıca çoxaldaq:

Belə ki, ifadə qədər sadələşdirilmişdir −abc. Bu həlli qısaca yazmaq olar:

İfadələri sadələşdirərkən, kəsrləri həll prosesi zamanı azaltmaq olar, nəinki bizdə etdiyimiz kimi ən sonunda deyil. adi fraksiyalar. Məsələn, həll zamanı formanın ifadəsi ilə qarşılaşırıqsa, onda pay və məxrəci hesablamaq və belə bir şey etmək qətiyyən lazım deyil:

Kəsiri həm payda, həm də məxrəcdə amil seçməklə və bu amilləri ən böyük ortaq amillə azaltmaqla azaltmaq olar. Başqa sözlə, say və məxrəcin nəyə bölündüyünü ətraflı təsvir etmədiyimiz istifadə edin.

Məsələn, payda amil 12, məxrəcdə isə 4 amili 4-ə endirilə bilər. Dördünü ağlımızda saxlayırıq və 12 və 4-ü bu dördə bölərək, bu rəqəmlərin yanına cavabları yazırıq, əvvəlcə onların üstündən xətt çəkdi

İndi ortaya çıxan kiçik amilləri çoxalda bilərsiniz. Bu vəziyyətdə onlardan bir neçəsi var və onları ağlınızda çoxalda bilərsiniz:

Vaxt keçdikcə, müəyyən bir problemi həll edərkən ifadələrin "kökəlməyə" başladığını görə bilərsiniz, buna görə də tez hesablamalara alışmağınız məsləhətdir. Ağılda hesablana bilən şey ağılda hesablanmalıdır. Tez azaldıla bilən şey tez azaldılmalıdır.

Misal 4. Bir ifadəni sadələşdirin

Belə ki, ifadə qədər sadələşdirilmişdir

Misal 5. Bir ifadəni sadələşdirin

Rəqəmləri ayrıca, hərfləri isə ayrıca çoxaldaq:

Belə ki, ifadə qədər sadələşdirilmişdir mn.

Misal 6. Bir ifadəni sadələşdirin

Rəqəmlərin və hərflərin harada olduğunu aydın görmək üçün bu ifadəni daha ətraflı yazaq:

İndi rəqəmləri ayrı-ayrılıqda, hərfləri isə ayrıca çoxaldaq. Hesablama asanlığı üçün −6.4 onluq kəsr və qarışıq ədədi adi kəsrlərə çevirmək olar:

Belə ki, ifadə qədər sadələşdirilmişdir

Bu nümunənin həlli daha qısa yazıla bilər. Bu belə görünəcək:

Misal 7. Bir ifadəni sadələşdirin

Rəqəmləri ayrıca, hərfləri isə ayrıca çoxaldaq. Hesablama asanlığı üçün qarışıq bir nömrə və ondalıklar 0.1 və 0.6 adi kəsrlərə çevrilə bilər:

Belə ki, ifadə qədər sadələşdirilmişdir abcd. Təfərrüatları atlasanız, bu həll daha qısa şəkildə yazıla bilər:

Fraksiyanın necə azaldıldığına diqqət yetirin. Əvvəlki amillərin azalması nəticəsində əldə edilən yeni amillərin də azaldılmasına icazə verilir.

İndi nə etməmək barədə danışaq. İfadələri sadələşdirərkən, ifadə hasil deyil, cəmidirsə, rəqəmləri və hərfləri çoxaltmaq qəti qadağandır.

Məsələn, ifadəni sadələşdirmək istəyirsinizsə 5a+4b, onda siz bunu belə yaza bilməzsiniz:

Bu eynidir ki, sanki bizdən iki ədədi toplamaq istənilib və biz onları toplamaq əvəzinə onları vurmuşuq.

Hər hansı dəyişən dəyərləri əvəz edərkən a Və b ifadə 5a +4b adi ədədi ifadəyə çevrilir. Fərz edək ki, dəyişənlər a Və b aşağıdakı mənalara malikdir:

a = 2, b = 3

Onda ifadənin qiyməti 22-yə bərabər olacaqdır

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Əvvəlcə vurma aparılır, sonra nəticələr əlavə olunur. Rəqəmləri və hərfləri vurmaqla bu ifadəni sadələşdirməyə çalışsaq, aşağıdakıları alardıq:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Bu ifadənin tamamilə fərqli bir mənası ortaya çıxır. Birinci halda işlədi 22 , ikinci halda 120 . Bu ifadənin sadələşdirilməsi deməkdir 5a+4b səhv yerinə yetirilmişdir.

İfadə sadələşdirildikdən sonra onun dəyəri dəyişənlərin eyni qiymətləri ilə dəyişməməlidir. Hər hansı dəyişən dəyərləri orijinal ifadəyə əvəz edərkən bir qiymət alınırsa, ifadəni sadələşdirdikdən sonra sadələşdirmədən əvvəlki qiymət alınmalıdır.

İfadə ilə 5a+4b həqiqətən edə biləcəyiniz heç bir şey yoxdur. Onu sadələşdirmir.

Əgər ifadədə oxşar terminlər varsa, məqsədimiz ifadəni sadələşdirməkdirsə, onlar əlavə edilə bilər.

Misal 8. Bir ifadəni sadələşdirin 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

və ya daha qısa: 0,3a − 0,4a + a = 0.9a

Belə ki, ifadə 0,3a−0,4a+a qədər sadələşdirilmişdir 0.9a

Misal 9. Bir ifadəni sadələşdirin −7,5a − 2,5b + 4a

Bu ifadəni sadələşdirmək üçün oxşar terminləri əlavə edə bilərik:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

və ya daha qısa −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Müddət (−2,5b) dəyişməz qaldı, çünki onu qoymaq üçün heç bir şey yox idi.

Misal 10. Bir ifadəni sadələşdirin

Bu ifadəni sadələşdirmək üçün oxşar terminləri əlavə edə bilərik:

Əmsal hesablama asanlığı üçün idi.

Belə ki, ifadə qədər sadələşdirilmişdir

Misal 11. Bir ifadəni sadələşdirin

Bu ifadəni sadələşdirmək üçün oxşar terminləri əlavə edə bilərik:

Belə ki, ifadə qədər sadələşdirilmişdir.

IN bu misaldaƏvvəlcə birinci və sonuncu əmsalları əlavə etmək daha məqsədəuyğun olardı. Bu vəziyyətdə qısa bir həllimiz olacaq. Bu belə görünəcək:

Misal 12. Bir ifadəni sadələşdirin

Bu ifadəni sadələşdirmək üçün oxşar terminləri əlavə edə bilərik:

Belə ki, ifadə qədər sadələşdirilmişdir .

Termin dəyişməz qaldı, çünki ona əlavə ediləcək bir şey yox idi.

Bu həlli daha qısa yazmaq olar. Bu belə görünəcək:

Qısa həll çıxma əməliyyatını toplama ilə əvəz etmək və fraksiyaların ümumi məxrəcə necə endirilməsinin təfərrüatlarını vermək addımlarını atladı.

Başqa bir fərq, içərisində olmasıdır ətraflı həlli cavab kimi görünür , lakin qısaca olaraq. Əslində, onlar eyni ifadədir. Fərq ondadır ki, birinci halda çıxma toplama ilə əvəz olunur, çünki həllini yazdığımız zaman əvvəldən ətraflı, biz mümkün olan yerlərdə toplamanı toplama ilə əvəz etdik və bu əvəzetmə cavab üçün qorunub saxlanıldı.

Şəxsiyyətlər. Eyni şəkildə bərabər ifadələr

Hər hansı bir ifadəni sadələşdirdikdən sonra o, daha sadə və qısa olur. Sadələşdirilmiş ifadənin düzgün olub-olmadığını yoxlamaq üçün hər hansı dəyişən dəyərini əvvəlcə sadələşdirilməsi lazım olan əvvəlki ifadəyə, sonra isə sadələşdirilmiş yenisinə əvəz etmək kifayətdir. Hər iki ifadədə qiymət eyni olarsa, sadələşdirilmiş ifadə doğrudur.

Gəlin nəzərdən keçirək ən sadə misal. İfadəsini sadələşdirmək lazım olsun 2a×7b. Bu ifadəni sadələşdirmək üçün rəqəmləri və hərfləri ayrıca çoxalda bilərsiniz:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

İfadəni düzgün sadələşdirdiyimizi yoxlayaq. Bunu etmək üçün dəyişənlərin istənilən qiymətini əvəz edək a Və bəvvəlcə sadələşdirilməsi lazım olan birinci ifadəyə, sonra isə sadələşdirilmiş ikinci ifadəyə.

Dəyişənlərin dəyərlərinə icazə verin a , b aşağıdakı kimi olacaq:

a = 4, b = 5

Onları birinci ifadədə əvəz edək 2a×7b

İndi eyni dəyişən dəyərləri sadələşdirmə nəticəsində yaranan ifadəyə əvəz edək 2a×7b, yəni ifadədə 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Biz bunu nə vaxt görürük a=4 Və b=5 birinci ifadənin dəyəri 2a×7b və ikinci ifadənin mənası 14ab bərabərdir

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Eyni şey digər dəyərlər üçün də baş verəcəkdir. Məsələn, qoy a=1 Və b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

Beləliklə, ifadə dəyişənlərinin istənilən dəyərləri üçün 2a×7b Və 14ab eyni qiymətə bərabərdir. Belə ifadələr deyilir eyni dərəcədə bərabərdir.

İfadələr arasında belə nəticəyə gəlirik 2a×7b Və 14ab eyni qiymətə bərabər olduqları üçün bərabər işarə qoya bilərsiniz.

2a × 7b = 14ab

Bərabərlik bərabər işarəsi (=) ilə bağlanan istənilən ifadədir.

Və formanın bərabərliyi 2a×7b = 14abçağırdı şəxsiyyət.

Eynilik dəyişənlərin istənilən dəyəri üçün doğru olan bərabərlikdir.

Digər şəxsiyyət nümunələri:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Bəli, öyrəndiyimiz riyaziyyat qanunları şəxsiyyətlərdir.

Həqiqi ədədi bərabərliklər də eyniliklərdir. Məsələn:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Qərar vermək çətin iş Hesablamanı asanlaşdırmaq üçün mürəkkəb ifadə əvvəlki ilə eyni olan daha sadə ifadə ilə əvəz olunur. Bu əvəz adlanır ifadənin eyni çevrilməsi və ya sadəcə ifadənin çevrilməsi.

Məsələn, ifadəni sadələşdirdik 2a×7b, və daha sadə ifadə əldə etdi 14ab. Bu sadələşdirməni şəxsiyyətin transformasiyası adlandırmaq olar.

Tez-tez deyən bir tapşırıq tapa bilərsiniz "bərabərliyin bir şəxsiyyət olduğunu sübut et" və sonra isbat edilməli olan bərabərlik verilir. Adətən bu bərabərlik iki hissədən ibarətdir: bərabərliyin sol və sağ hissələri. Bizim vəzifəmiz bərabərliyin hissələrindən biri ilə şəxsiyyət çevrilmələrini həyata keçirmək və digər hissəsini əldə etməkdir. Və ya bərabərliyin hər iki tərəfi ilə eyni çevrilmələr edin və bərabərliyin hər iki tərəfinin eyni ifadələri ehtiva etdiyinə əmin olun.

Məsələn, bərabərliyi sübut edək 0,5a × 5b = 2,5abşəxsiyyətdir.

Bu bərabərliyin sol tərəfini sadələşdirək. Bunu etmək üçün rəqəmləri və hərfləri ayrıca çarpın:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2.5ab = 2.5ab

Kiçik bir şəxsiyyət çevrilməsi nəticəsində, sol tərəf bərabərlik bərabərliyin sağ tərəfinə bərabər oldu. Yəni bərabərliyi sübut etdik 0,5a × 5b = 2,5abşəxsiyyətdir.

Eyni çevrilmələrdən biz ədədləri toplamaq, çıxmaq, vurmaq və bölmək, kəsrləri azaltmaq, oxşar terminlər əlavə etməyi, həmçinin bəzi ifadələri sadələşdirməyi öyrəndik.

Lakin bunlar riyaziyyatda mövcud olan bütün eyni çevrilmələr deyil. Daha çox oxşar çevrilmələr var. Biz bunu gələcəkdə bir dəfədən çox görəcəyik.

Müstəqil həll üçün tapşırıqlar:

Dərs xoşunuza gəldi?
Bizə qoşulun yeni qrup VKontakte və yeni dərslər haqqında bildirişlər almağa başlayın

İfadələr, ifadələrin çevrilməsi

Güc ifadələri (güclü ifadələr) və onların çevrilməsi

Bu yazıda ifadələri güclərlə çevirmək haqqında danışacağıq. Birincisi, mötərizələrin açılması və oxşar terminlərin gətirilməsi kimi güc ifadələri də daxil olmaqla istənilən növ ifadələrlə həyata keçirilən transformasiyalara diqqət yetirəcəyik. Və sonra biz dərəcələri olan ifadələrə xas olan çevrilmələri təhlil edəcəyik: əsas və eksponent ilə işləmək, dərəcələrin xüsusiyyətlərindən istifadə etmək və s.

Səhifə naviqasiyası.

Güc ifadələri hansılardır?

"Güc ifadələri" termini praktiki olaraq məktəb riyaziyyat dərsliklərində yoxdur, lakin problem toplularında, məsələn, Vahid Dövlət İmtahanına və Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq üçün nəzərdə tutulmuş problemlər toplularında tez-tez rast gəlinir. Güc ifadələri ilə hər hansı bir hərəkəti yerinə yetirmək lazım olan tapşırıqları təhlil etdikdən sonra aydın olur ki, güc ifadələri onların girişlərində səlahiyyətləri ehtiva edən ifadələr kimi başa düşülür. Beləliklə, özünüz üçün aşağıdakı tərifi qəbul edə bilərsiniz:

Tərif.

Güc ifadələri səlahiyyətləri ehtiva edən ifadələrdir.

verək güc ifadələrinə nümunələr. Üstəlik, onları təbii göstəricili dərəcədən həqiqi eksponentli dərəcəyə qədər baxışların inkişafının necə baş verdiyinə görə təqdim edəcəyik.

Məlum olduğu kimi, ilk növbədə bu mərhələdə natural göstəricili ədədin gücü ilə tanış olur, 3 tipli ən sadə dərəcə ifadələri 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1); 4, 3 a 2 görünür −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 və s.

Bir az sonra tam eksponentli ədədin gücü öyrənilir ki, bu da aşağıdakı kimi mənfi tam səviyyəli güc ifadələrinin yaranmasına səbəb olur: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Orta məktəbdə dərəcələrə qayıdırlar. Orada, müvafiq güc ifadələrinin görünməsinə səbəb olan rasional eksponentli bir dərəcə təqdim olunur: , , və s. Nəhayət, irrasional göstəriciləri olan dərəcələr və onları ehtiva edən ifadələr nəzərdən keçirilir: , .

Məsələ sadalanan güc ifadələri ilə məhdudlaşmır: daha sonra dəyişən eksponentə nüfuz edir və məsələn, aşağıdakı ifadələr yaranır: 2 x 2 +1 və ya . Və ilə tanış olduqdan sonra gücü və loqarifmli ifadələr görünməyə başlayır, məsələn, x 2·lgx −5·x lgx.

Beləliklə, biz güc ifadələrinin nəyi təmsil etdiyi sualı ilə məşğul olduq. Sonra onları çevirməyi öyrənəcəyik.

Güc ifadələrinin çevrilmələrinin əsas növləri

Güc ifadələri ilə siz ifadələrin əsas şəxsiyyət çevrilmələrindən hər hansı birini həyata keçirə bilərsiniz. Məsələn, mötərizələri aça, ədədi ifadələri onların qiymətləri ilə əvəz edə, oxşar terminlər əlavə edə və s. Təbii ki, bu halda hərəkətləri yerinə yetirmək üçün qəbul edilmiş prosedura riayət etmək lazımdır. Nümunələr verək.

Misal.

Dəyəri hesablayın güc ifadəsi 2 3 ·(4 2 −12) .

Həll.

Hərəkətlərin yerinə yetirilmə sırasına uyğun olaraq əvvəlcə mötərizədə olan hərəkətləri yerinə yetirin. Orada, birincisi, 4 2 gücünü 16 dəyəri ilə əvəz edirik (lazım olduqda bax), ikincisi, 16−12=4 fərqini hesablayırıq. bizdə var 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Alınan ifadədə 2 3 gücünü onun qiyməti 8 ilə əvəz edirik, bundan sonra 8·4=32 hasilini hesablayırıq. Bu arzu olunan dəyərdir.

Belə ki, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Cavab:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Misal.

İfadələri səlahiyyətlərlə sadələşdirin 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Həll.

Aydındır ki, bu ifadədə oxşar 3·a 4 ·b −7 və 2·a 4 ·b −7 terminləri var və biz onları təqdim edə bilərik: .

Cavab:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Misal.

Məhsul kimi səlahiyyətləri olan ifadəni ifadə edin.

Həll.

Tapşırığın öhdəsindən 9 rəqəmini 3 2 gücü kimi təqdim edərək və sonra qısaldılmış vurma formulundan istifadə edə bilərsiniz - kvadratların fərqi:

Cavab:

Xüsusilə güc ifadələrinə xas olan bir sıra eyni transformasiyalar da var. Onları daha ətraflı təhlil edəcəyik.

Baza və eksponentlə işləmək

Elə güclər var ki, onların bazası və/və ya eksponenti sadəcə ədədlər və ya dəyişənlər deyil, bəzi ifadələrdir. Nümunə olaraq (2+0,3·7) 5−3,7 və (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) girişlərini veririk.

Belə ifadələrlə işləyərkən həm dərəcə bazasındakı ifadəni, həm də eksponentdəki ifadəni onun dəyişənlərinin ODZ-də eyni bərabər ifadə ilə əvəz edə bilərsiniz. Başqa sözlə desək, bizə məlum olan qaydalara görə dərəcənin əsasını ayrı-ayrılıqda, eksponentini isə ayrıca çevirə bilərik. Aydındır ki, bu çevrilmə nəticəsində orijinala eyni dərəcədə bərabər olan ifadə alınacaq.

Bu cür çevrilmələr bizə güclərlə ifadələri sadələşdirməyə və ya ehtiyac duyduğumuz digər məqsədlərə nail olmağa imkan verir. Məsələn, yuxarıda qeyd olunan güc ifadəsində (2+0,3 7) 5−3,7 baza və eksponentdəki ədədlərlə əməliyyatlar yerinə yetirə bilərsiniz ki, bu da 4.1 1.3 gücünə keçməyə imkan verəcək. Mötərizələri açıb oxşar şərtləri (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) dərəcə əsasına gətirdikdən sonra daha çox güc ifadəsi alırıq. sadə növü a 2·(x+1) .

Dərəcə Xüsusiyyətlərindən istifadə

İfadələri güclərlə çevirmək üçün əsas vasitələrdən biri əks etdirən bərabərliklərdir. Əsas olanları xatırlayaq. İstənilən müsbət a və b və ixtiyari ədədlər üçün real ədədlər r və s dərəcələrin aşağıdakı xüsusiyyətləri etibarlıdır:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Nəzərə alın ki, natural, tam və müsbət göstəricilər üçün a və b rəqəmlərinə qoyulan məhdudiyyətlər o qədər də sərt olmaya bilər. Məsələn, üçün natural ədədlər m və n bərabərliyi a m ·a n =a m+n təkcə müsbət a üçün deyil, həm də mənfi a üçün doğrudur, a=0 üçün.

Məktəbdə güc ifadələrini dəyişdirərkən əsas diqqət seçmək qabiliyyətinə verilir uyğun əmlak və düzgün tətbiq edin. Bu halda dərəcələrin əsasları adətən müsbət olur ki, bu da dərəcələrin xüsusiyyətlərindən məhdudiyyətsiz istifadə etməyə imkan verir. Eyni şey, səlahiyyətlərin əsaslarında dəyişənləri ehtiva edən ifadələrin çevrilməsinə də aiddir - dəyişənlərin icazə verilən dəyərlərinin diapazonu adətən elədir ki, əsaslar onun üzərində yalnız müsbət dəyərlər alır, bu da səlahiyyətlərin xüsusiyyətlərindən sərbəst istifadə etməyə imkan verir. . Ümumiyyətlə, bu vəziyyətdə dərəcələrin hər hansı bir xüsusiyyətindən istifadə etmək mümkün olub-olmadığını özünüzdən daim soruşmalısınız, çünki xassələrin qeyri-dəqiq istifadəsi təhsil dəyərinin daralmasına və digər çətinliklərə səbəb ola bilər. Dərəcələrin xüsusiyyətlərindən istifadə edərək ifadələrin çevrilməsi məqaləsində bu məqamlar ətraflı və misallarla müzakirə olunur. Burada bir neçə sadə nümunəni nəzərdən keçirməklə kifayətlənəcəyik.

Misal.

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 ifadəsini a əsaslı qüvvə ilə ifadə edin.

Həll.

Birincisi, ikinci amili (a 2) −3-ü gücü gücə yüksəltmək xüsusiyyətindən istifadə edərək çeviririk: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Orijinal güc ifadəsi 2.5 ·a -6:a -5.5 formasını alacaq. Aydındır ki, eyni əsasla güclərin vurma və bölgü xassələrindən istifadə etmək qalır, bizdə
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Cavab:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Güc ifadələrini çevirərkən səlahiyyətlərin xüsusiyyətləri həm soldan sağa, həm də sağdan sola istifadə olunur.

Misal.

Güc ifadəsinin qiymətini tapın.

Həll.

Sağdan sola tətbiq olunan (a·b) r =a r ·b r bərabərliyi bizə ilkin ifadədən formanın hasilinə və daha da irəli getməyə imkan verir. Gücləri eyni əsaslarla çoxaldarkən eksponentlər toplanır: .

Orijinal ifadəni başqa bir şəkildə çevirmək mümkün idi:

Cavab:

.

Misal.

1.5 −a 0.5 −6 güc ifadəsini nəzərə alaraq, yeni t=a 0.5 dəyişənini təqdim edin.

Həll.

a 1.5 gücü 0.5·3 kimi təqdim oluna bilər və sonra sağdan sola tətbiq olunan gücə (a r) s =a r·s dərəcəsinin xassəsinə əsaslanaraq onu (a 0.5) 3 formasına çevirin. . Beləliklə, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. İndi yeni t=a 0.5 dəyişənini təqdim etmək asandır, biz t 3 −t−6 alırıq.

Cavab:

t 3 −t−6 .

Gücləri ehtiva edən kəsrlərin çevrilməsi

Güc ifadələri səlahiyyətləri olan kəsrləri ehtiva edə və ya təmsil edə bilər. İstənilən növ kəsrlərə xas olan kəsrlərin əsas çevrilmələrindən hər hansı biri bu cür kəsrlərə tam tətbiq olunur. Yəni, səlahiyyətləri olan kəsrləri azaltmaq, yeni məxrəcə endirmək, onların payı ilə ayrı, məxrəclə ayrı işləmək və s. Bu sözləri göstərmək üçün bir neçə nümunənin həllini nəzərdən keçirin.

Misal.

Güc ifadəsini sadələşdirin .

Həll.

Bu güc ifadəsi kəsirdir. Gəlin onun payı və məxrəci ilə işləyək. Hesabda mötərizələri açır və güclərin xassələrindən istifadə edərək yaranan ifadəni sadələşdiririk və məxrəcdə oxşar şərtləri təqdim edirik:

Həm də kəsrin qarşısına mənfi qoyaraq məxrəcin işarəsini dəyişdirək: .

Cavab:

.

Səlahiyyətli kəsrlərin yeni məxrəcə endirilməsi rasional kəsrlərin yeni məxrəcə endirilməsi ilə eyni şəkildə həyata keçirilir. Bu zaman əlavə amil də tapılır və kəsrin payı və məxrəci ona vurulur. Bu hərəkəti yerinə yetirərkən, yeni məxrəcə endirilmənin VA-nın daralmasına səbəb ola biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Bunun baş verməsinin qarşısını almaq üçün orijinal ifadə üçün ODZ dəyişənlərindən dəyişənlərin heç bir dəyəri üçün əlavə amilin sıfıra enməməsi lazımdır.

Misal.

Kəsrləri yeni məxrəcə endirin: a) məxrəc a, b) məxrəcə.

Həll.

a) Bu vəziyyətdə hansı əlavə çarpanın istənilən nəticəni əldə etməyə kömək etdiyini anlamaq olduqca asandır. Bu, 0,3-ün çarpanıdır, çünki a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Qeyd edək ki, a dəyişəninin icazə verilən dəyərləri diapazonunda (bu, bütün müsbət həqiqi ədədlərin toplusudur) 0,3-ün gücü itmir, buna görə də verilmiş bir ədədin payını və məxrəcini çoxaltmaq hüququmuz var. bu əlavə faktora görə hissə:

b) Məxrəcə daha yaxından nəzər saldıqda bunu tapa bilərsiniz

və bu ifadəni vurmaq kubların cəmini verəcək və , yəni . Və bu, ilkin kəsri azaltmalı olduğumuz yeni məxrəcdir.

Biz əlavə faktoru belə tapdıq. X və y dəyişənlərinin icazə verilən dəyərləri diapazonunda ifadə itmir, buna görə də fraksiyanın payını və məxrəcini onunla çarpa bilərik:

Cavab:

A) , b) .

Tərkibində səlahiyyətləri olan fraksiyaların azaldılmasında da yeni bir şey yoxdur: pay və məxrəc bir sıra amillər kimi təmsil olunur və pay və məxrəcin eyni amilləri azaldılır.

Misal.

Kəsiri azaldın: a) , b).

Həll.

a) Birincisi, pay və məxrəci 15-ə bərabər olan 30 və 45 rəqəmləri ilə azaltmaq olar. Həmçinin açıq-aydın x 0,5 +1 və bir azalma həyata keçirmək mümkündür . Budur bizdə:

b) Bu halda pay və məxrəcdə eyni amillər dərhal görünmür. Onları əldə etmək üçün ilkin çevrilmələri yerinə yetirməli olacaqsınız. Bu halda, onlar kvadratların fərqi düsturundan istifadə edərək məxrəci faktorlara ayırmaqdan ibarətdir:

Cavab:

A)

b) .

Kəsrləri yeni məxrəcə çevirmək və kəsrləri azaltmaq, əsasən, kəsrlərlə iş görmək üçün istifadə olunur. Hərəkətlər məlum qaydalara uyğun həyata keçirilir. Kəsrləri toplayanda (çıxarkən) onlar ümumi məxrəcə endirilir, bundan sonra saylar əlavə olunur (çıxılır), lakin məxrəc eyni qalır. Nəticə kəsrdir ki, onun payı sayların hasili, məxrəci isə məxrəclərin hasilidir. Kəsrə bölmə onun tərsinə vurmaqdır.

Misal.

Addımları izləyin .

Həll.

Əvvəlcə mötərizədə kəsrləri çıxarırıq. Bunun üçün biz onları ortaq məxrəcə gətiririk, yəni , bundan sonra sayları çıxarırıq:

İndi kəsrləri çoxaldırıq:

Aydındır ki, x 1/2 gücü ilə azaltmaq mümkündür, bundan sonra bizdə var .

Siz həmçinin kvadratların fərqi düsturundan istifadə edərək məxrəcdəki güc ifadəsini sadələşdirə bilərsiniz: .

Cavab:

Misal.

Güc ifadəsini sadələşdirin .

Həll.

Aydındır ki, bu kəsr (x 2.7 +1) 2 ilə azaldıla bilər, bu kəsr verir. . Aydındır ki, X-in səlahiyyətləri ilə başqa bir şey etmək lazımdır. Bunun üçün yaranan fraksiyanı məhsula çeviririk. Bu, bizə eyni əsaslarla səlahiyyətlərin bölünməsi xüsusiyyətindən istifadə etmək imkanı verir: . Və prosesin sonunda biz son məhsuldan fraksiyaya keçirik.

Cavab:

.

Və onu da əlavə edək ki, göstəricinin işarəsini dəyişdirərək mənfi göstəriciləri olan amilləri paydan məxrəcə və ya məxrəcdən paya köçürmək mümkündür və bir çox hallarda arzuolunandır. Bu cür çevrilmələr çox vaxt sonrakı hərəkətləri asanlaşdırır. Məsələn, güc ifadəsi ilə əvəz edilə bilər.

Kökləri və gücləri olan ifadələrin çevrilməsi

Çox vaxt bəzi çevrilmələrin tələb olunduğu ifadələrdə səlahiyyətlərlə yanaşı kəsr göstəriciləri olan köklər də olur. Belə bir ifadəni çevirmək üçün düzgün tip, əksər hallarda yalnız köklərə və ya yalnız güclərə getmək kifayətdir. Amma səlahiyyətlərlə işləmək daha əlverişli olduğundan onlar adətən kökdən güclərə keçirlər. Bununla belə, orijinal ifadə üçün dəyişənlərin ODZ-i modula müraciət etmədən və ya ODZ-ni bir neçə intervala bölmədən kökləri səlahiyyətlərlə əvəz etməyə imkan verdikdə belə bir keçidin həyata keçirilməsi məqsədəuyğundur (bunu ətraflı müzakirə etdik. məqalənin köklərdən güclərə və geriyə keçidi Rasional göstərici ilə dərəcə ilə tanış olduqdan sonra irrasional göstərici ilə dərəcə təqdim olunur ki, bu da ixtiyari real göstərici ilə dərəcə haqqında danışmağa imkan verir öyrənmək. eksponensial funksiya, əsası ədəd, göstəricisi isə dəyişən olan qüvvə ilə analitik olaraq verilmişdir. Beləliklə, biz güc bazasında ədədlər, eksponentdə isə dəyişənli ifadələr olan güc ifadələri ilə qarşılaşırıq və təbii olaraq belə ifadələrin çevrilməsini həyata keçirmək zərurəti yaranır.

Qeyd etmək lazımdır ki, göstərilən tipli ifadələrin çevrilməsi adətən həll edildikdə həyata keçirilməlidir eksponensial tənliklər Və eksponensial bərabərsizliklər, və bu çevrilmələr olduqca sadədir. Əksər hallarda, onlar dərəcənin xüsusiyyətlərinə əsaslanır və əksər hallarda gələcəkdə yeni bir dəyişən təqdim etməyə yönəldilmişdir. Tənlik bizə onları nümayiş etdirməyə imkan verəcək 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Birincisi, eksponentlərində müəyyən bir dəyişənin (və ya dəyişənlərlə ifadənin) və bir ədədin cəmi olan səlahiyyətlər məhsullarla əvəz olunur. Bu, sol tərəfdəki ifadənin ilk və son şərtlərinə aiddir:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Sonra, bərabərliyin hər iki tərəfi orijinal tənlik üçün x dəyişəninin ODZ-də yalnız müsbət dəyərlər alan 7 2 x ifadəsi ilə bölünür (bu, bu tip tənliklərin həlli üçün standart bir texnikadır, biz deyilik. İndi bu barədə danışarkən, güclərlə ifadələrin sonrakı çevrilməsinə diqqət yetirin ):

İndi səlahiyyətləri olan kəsrləri ləğv edə bilərik, bu da verir .

Nəhayət, eyni eksponentlərə malik olan qüvvələrin nisbəti münasibətlərin səlahiyyətləri ilə əvəz olunur, nəticədə tənlik alınır. , ekvivalentdir . Edilən transformasiyalar həlli orijinala endirən yeni dəyişən təqdim etməyə imkan verir eksponensial tənlik kvadrat tənliyin həlli üçün

Təkcə bəzi cəbr nümunələri məktəbliləri dəhşətə gətirə bilər. Uzun ifadələr nəinki qorxudur, həm də hesablamaları çox çətinləşdirir. Nəyin ardınca gəldiyini dərhal anlamağa çalışaraq, çaşqınlıq çox çəkməyəcək. Məhz bu səbəbdən riyaziyyatçılar həmişə “dəhşətli” problemi mümkün qədər sadələşdirməyə çalışırlar və yalnız bundan sonra onu həll etməyə başlayırlar. Qəribədir ki, bu hiylə iş prosesini əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirir.

Sadələşdirmə cəbrdə əsas məqamlardan biridir. Əgər siz hələ də sadə məsələlərdə onsuz edə bilsəniz, hesablamaq daha çətin olan nümunələr çox çətin ola bilər. Bu bacarıqların lazımlı olduğu yer budur! Üstəlik, mürəkkəb riyazi bilik tələb olunmur: bir neçə əsas texnika və düsturları yadda saxlamaq və praktikada tətbiq etməyi öyrənmək kifayətdir.

Hesablamaların mürəkkəbliyindən asılı olmayaraq, hər hansı bir ifadəni həll edərkən vacibdir ədədlərlə əməliyyatların yerinə yetirilməsi sırasına əməl edin:

1. mötərizələr;
2. eksponentasiya;
3. çarpma;
4. bölmə;
5. əlavə;
6. çıxma.

Son iki nöqtəni asanlıqla dəyişdirmək olar və bu heç bir şəkildə nəticəyə təsir etməyəcək. Ancaq onlardan birinin yanında vurma işarəsi olduqda iki bitişik rəqəmin əlavə edilməsi qəti qadağandır! Cavab, əgər varsa, yanlışdır. Buna görə də, ardıcıllığı xatırlamaq lazımdır.

Oxşar tətbiq

Belə elementlərə eyni sıralı və ya eyni dərəcədə dəyişən olan ədədlər daxildir. Sərbəst adlanan terminlər də var ki, onların yanında naməlum üçün hərf təyinatı yoxdur.

Məsələ burasındadır ki, mötərizə olmadığı halda oxşarı əlavə və ya çıxarmaqla ifadəni sadələşdirə bilərsiniz.

Bir neçə illüstrativ nümunə:

• 8x 2 və 3x 2 - hər iki ədəd eyni ikinci dərəcəli dəyişənə malikdir, buna görə də onlar oxşardır və əlavə edildikdə (8+3)x 2 =11x 2-yə sadələşir, çıxdıqda isə (8-3)x 2 =5x olur. 2 ;
• 4x 3 və 6x - və burada "x" fərqli dərəcələrə malikdir;
• 2y 7 və 33x 7 - müxtəlif dəyişənləri ehtiva edir, buna görə də əvvəlki vəziyyətdə olduğu kimi, onlar oxşar deyil.

Ədədin faktorinqi

Bu kiçik riyazi hiylə, əgər siz ondan düzgün istifadə etməyi öyrənsəniz, gələcəkdə çətin bir problemin öhdəsindən gəlməyinizə bir neçə dəfə kömək edəcək. Və "sistemin" necə işlədiyini başa düşmək çətin deyil: parçalanma bir neçə elementin məhsuludur, onların hesablanması ilkin dəyəri verir. Beləliklə, 20 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 və ya başqa şəkildə göstərilə bilər.

Qeyd: Faktorlar həmişə bölənlərlə eynidir. Beləliklə, orijinalın qalıqsız bölündüyü ədədlər arasında parçalanma üçün işləyən "cüt" axtarmaq lazımdır.

Bu əməliyyat həm sərbəst şərtlərlə, həm də dəyişəndəki ədədlərlə yerinə yetirilə bilər. Əsas odur ki, hesablamalar zamanı sonuncunu itirməyin - hətta parçalandıqdan sonra naməlum sadəcə "heç bir yerə gedə bilməz". Bu çarpanlardan birində qalır:

• 15x=3(5x);
• 60y 2 =(15y 2)4.

Yalnız özlərinə və ya 1-ə bölünə bilən sadə ədədlər heç vaxt genişlənmir - bunun mənası yoxdur.

Sadələşdirmənin əsas üsulları

Gözünüzə ilk gələn şey:

• mötərizələrin olması;
• fraksiyalar;
• kökləri.

Məktəb proqramında cəbri nümunələr çox vaxt gözəl sadələşdirilə biləcəyi fikri ilə yazılır.

Mötərizədə hesablamalar

Mötərizənin qarşısındakı işarəyə çox diqqət yetirin! Daxildəki hər bir elementə vurma və ya bölmə tətbiq edilir və mənfi işarə mövcud "+" və ya "-" işarələrini tərsinə çevirir.

Mötərizələr qaydalara uyğun olaraq və ya qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə etməklə hesablanır, bundan sonra oxşarlar verilir.

Fraksiyaların azaldılması

Fraksiyaları azaldın Bu da asandır. Onlar özləri də hərdən, belə üzvlərin gətirilməsi üçün əməliyyatlar aparılan kimi “könüllü qaçırlar”. Ancaq ondan əvvəl nümunəni sadələşdirə bilərsiniz: saya və məxrəcə diqqət yetirin. Onlar tez-tez qarşılıqlı azaldıla bilən açıq və ya gizli elementləri ehtiva edir. Düzdür, əgər birinci halda sadəcə lazımsızı silmək lazımdırsa, ikincisində sadələşdirmə üçün ifadənin bir hissəsini formalaşdırmaq üçün düşünməli olacaqsınız. İstifadə olunan üsullar:

• payın və məxrəcin ən böyük ortaq böləninin axtarılması və mötərizəyə qoyulması;
• hər bir üst elementin məxrəcə bölünməsi.

Bir ifadə və ya onun bir hissəsi kök altında olduqda, sadələşdirmənin əsas vəzifəsi, demək olar ki, fraksiyaların işinə bənzəyir. Ondan tamamilə qurtulmağın yollarını axtarmaq və ya bu mümkün deyilsə, hesablamalara mane olan işarəni minimuma endirmək lazımdır. Məsələn, gözə çarpmayan √(3) və ya √(7) qədər.

Radikal ifadəni sadələşdirməyin etibarlı yolu onu faktorla hesablamaqdır, bəziləri işarədən kənara çıxır. Yaxşı bir nümunə: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Digər kiçik fəndlər və nüanslar:

• bu sadələşdirmə əməliyyatı kəsrlərlə, həm bütövlükdə, həm də ayrılıqda pay və ya məxrəc kimi işarədən çıxarılaraq yerinə yetirilə bilər;
• Cəmin və ya fərqin bir hissəsi genişləndirilə və kökdən kənara çıxarıla bilməz;
• dəyişənlərlə işləyərkən onun dərəcəsini nəzərə almağınızdan əmin olun, onu çıxarmaq üçün kökə bərabər və ya çoxlu olmalıdır: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3) )=√(x 2 ×x)=x√( x);
• bəzən radikal dəyişəni kəsr gücünə yüksəltməklə ondan xilas olmaq olar: √(y 3)=y 3/2.

Güc ifadəsinin sadələşdirilməsi

Sadə hesablamalar zamanı mənfi və ya üstəgəl nümunələr oxşar olanlara istinad etməklə sadələşdirilirsə, dəyişənləri vurarkən və ya bölərkən nə etməli müxtəlif dərəcələr? İki əsas məqamı xatırlamaqla onları asanlıqla sadələşdirmək olar:

1. Dəyişənlər arasında vurma işarəsi varsa, güclər toplanır.
2. Onlar bir-birinə bölündükdə, payın gücündən məxrəcin eyni gücü çıxılır.

Belə sadələşdirmənin yeganə şərti hər iki terminin eyni əsasa malik olmasıdır. Aydınlıq üçün nümunələr:

• 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13- 11 =20x 9 +y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

ilə əməliyyatları nəzərə alın ədədi dəyərlər, dəyişənlərin qarşısında duran, adi riyazi qaydalara uyğun olaraq baş verir. Diqqətlə baxsanız, "iş" ifadəsinin güc elementlərinin oxşar şəkildə işlədiyi aydın olur:

• termini gücə yüksəltmək onun özünə müəyyən sayda dəfə vurmaq deməkdir, yəni x 2 =x×x;
• bölmə oxşardır: əgər siz payın və məxrəcin səlahiyyətlərini genişləndirsəniz, dəyişənlərin bəziləri ləğv ediləcək, qalanları isə "toplanacaq", bu da çıxmaya bərabərdir.

Hər şeydə olduğu kimi, cəbri ifadələrin sadələşdirilməsi təkcə əsasları bilmək deyil, həm də təcrübə tələb edir. Cəmi bir neçə dərsdən sonra bir vaxtlar mürəkkəb görünən nümunələr çox çətinlik çəkmədən ixtisar edilərək qısa və asanlıqla həll olunanlara çevriləcək.

Video

Bu video sizə ifadələrin necə sadələşdirildiyini başa düşməyə və yadda saxlamağa kömək edəcək.

Sualınıza cavab almadınız? Müəlliflərə mövzu təklif edin.