Parçalanma qaydası. Çoxhədlilərin faktorinqinin mürəkkəb halları

Çoxhədlilərin faktorinqi şəxsiyyət çevrilməsidir, bunun nəticəsində çoxhədli bir neçə amilin - çoxhədlilərin və ya monohəminlərin məhsuluna çevrilir.

Çoxhədli faktorların bir neçə yolu var.

Metod 1. Mötərizədə ümumi amilin çıxarılması.

Bu çevrilmə vurmanın distributiv qanununa əsaslanır: ac + bc = c(a + b). Transformasiyanın mahiyyəti nəzərdən keçirilən iki komponentdə ümumi faktoru təcrid etmək və onu mötərizədə “çıxarmaq”dır.

28x 3 – 35x 4 çoxhədlini faktorlara ayıraq.

Həll.

1. 28x3 və 35x4 elementləri üçün ortaq bölən tapın. 28 və 35 üçün 7 olacaq; x 3 və x 4 - x 3 üçün. Başqa sözlə, bizim ümumi əmsalımız 7x3-dür.

2. Elementlərin hər birini amillərin məhsulu kimi təqdim edirik, onlardan biri
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Mötərizədə ümumi faktoru çıxarırıq
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metod 2. Qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə etməklə. Bu metoddan istifadənin “ustalığı” ifadədə qısaldılmış vurma düsturlarından birinə diqqət yetirməkdir.

x 6 – 1 çoxhədlini amil edək.

Həll.

1. Bu ifadəyə kvadratlar fərqi düsturunu tətbiq edə bilərik. Bunu etmək üçün x 6-nı (x 3) 2, 1-i isə 1 2 kimi təsəvvür edin, yəni. 1. İfadə aşağıdakı formanı alacaq:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Əldə edilən ifadəyə kubların cəmi və fərqi düsturu tətbiq edə bilərik:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Belə ki,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x) 2 + x + 1).

Metod 3. Qruplaşdırma. Qruplaşdırma üsulu çoxhədlinin komponentlərini elə birləşdirməkdir ki, onlar üzərində əməliyyatları (ümumi amilin toplanması, çıxılması, çıxılması) yerinə yetirmək asan olsun.

x 3 – 3x 2 + 5x – 15 çoxhədlini faktorlara ayıraq.

Həll.

1. Komponentləri bu şəkildə qruplaşdıraq: 1-ci 2-ci, 3-cü isə 4-cü ilə
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Alınan ifadədə mötərizədə ümumi amilləri çıxarırıq: birinci halda x 2, ikinci halda isə 5.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Mötərizədə ümumi x – 3 amilini çıxarırıq və alırıq:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Belə ki,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5) ).

Materialı qoruyaq.

a 2 – 7ab + 12b 2 çoxhədlini faktor edin.

Həll.

1. 7ab monomialını 3ab + 4ab cəmi kimi təqdim edək. İfadə aşağıdakı formanı alacaq:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Mötərizələri açıb əldə edək:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Çoxhədlinin komponentlərini bu şəkildə qruplaşdıraq: 1-ci 2-ci və 3-cü 4-cü ilə. Biz əldə edirik:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Mötərizədə ümumi amilləri çıxaraq:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Mötərizədə ümumi əmsalı (a – 3b) çıxaraq:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Belə ki,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

vebsayt, materialı tam və ya qismən köçürərkən, orijinal mənbəyə keçid tələb olunur.

Ümumiyyətlə, bu məsələ yaradıcı yanaşma tələb edir, çünki onun həlli üçün universal bir üsul yoxdur. Ancaq gəlin bir neçə məsləhət verməyə çalışaq.

Əksər hallarda polinomun faktorlara bölünməsi Bezout teoreminin nəticəsi əsasında aparılır, yəni kök tapılır və ya seçilir və çoxhədlinin dərəcəsi bölünərək bir azaldılır. Yaranan çoxhədlinin kökü axtarılır və tam genişlənənə qədər proses təkrarlanır.

Kök tapmaq mümkün deyilsə, o zaman xüsusi genişləndirmə üsullarından istifadə olunur: qruplaşdırmadan bir-birini istisna edən əlavə şərtlərin tətbiqinə qədər.

Sonrakı təqdimat tam əmsallı daha yüksək dərəcəli tənliklərin həlli bacarıqlarına əsaslanır.

Ümumi faktoru mötərizədən çıxarmaq.

Ən sadə halda başlayaq, zaman pulsuz müddət sıfıra bərabərdir, yəni çoxhədli formaya malikdir.

Aydındır ki, belə çoxhədlinin kökü dir, yəni çoxhədli formada təmsil edə bilərik.

Bu üsul başqa bir şey deyil ümumi amili mötərizədən çıxarmaq.

Misal.

Üçüncü dərəcəli çoxhədlini faktor edin.

Həll.

Aydındır ki, çoxhədlinin kökü nədir, yəni X mötərizədən çıxarıla bilər:

Kvadrat üçhəmin köklərini tapaq

Beləliklə,

Səhifənin yuxarısı

Rasional kökləri olan polinomun faktorinqi.

Birincisi, formanın tam əmsalları olan bir çoxhədli genişləndirmə üsulunu nəzərdən keçirək , ən yüksək dərəcə əmsalı birə bərabərdir.

Bu halda çoxhədlinin tam kökləri varsa, o zaman onlar sərbəst terminin bölənləridir.

Misal.

Həll.

Gəlin bütöv köklərin olub olmadığını yoxlayaq. Bunun üçün ədədin bölənlərini yazın -18 : . Yəni çoxhədlinin tam kökləri varsa, o zaman onlar yazılı ədədlər sırasındadır. Horner sxemindən istifadə edərək bu rəqəmləri ardıcıl olaraq yoxlayaq. Onun rahatlığı həm də ondan ibarətdir ki, sonda polinomun genişlənmə əmsallarını əldə edirik:

Yəni, x=2 Və x=-3 orijinal çoxhədlinin kökləridir və biz onu məhsul kimi təqdim edə bilərik:

Qalan tək şey parçalanmaqdır kvadrat üçbucaqlı.

Bu trinomialın diskriminantı mənfidir, ona görə də onun həqiqi kökləri yoxdur.

Cavab:

Şərh:

Horner sxeminin əvəzinə kökün seçilməsindən və çoxhədlinin çoxhədli ilə sonrakı bölünməsindən istifadə etmək olar.

İndi formanın tam əmsalları olan bir polinomun genişlənməsini nəzərdən keçirək və ən yüksək dərəcə əmsalı birə bərabər deyil.

Bu halda çoxhədlinin kəsr rasional kökləri ola bilər.

Misal.

İfadə faktoru.

Həll.

Dəyişən dəyişikliyi həyata keçirərək y=2x, əmsalı ən yüksək dərəcədə birə bərabər olan çoxhədliyə keçək. Bunu etmək üçün əvvəlcə ifadəni ilə çarpın 4 .

Əgər alınan funksiyanın tam kökləri varsa, onlar sərbəst terminin bölənləri sırasındadırlar. Gəlin onları yazaq:

Funksiyanın dəyərlərini ardıcıl olaraq hesablayaq g(y) sıfıra çatana qədər bu nöqtələrdə.

Tənliyin faktorinqi, vurulduqda ilkin tənliyə səbəb olan termin və ya ifadələrin tapılması prosesidir. Faktorinq əsas cəbr məsələlərini həll etmək üçün faydalı bacarıqdır və kvadrat tənliklər və digər çoxhədlilərlə işləyərkən demək olar ki, vacib olur. Faktorinq cəbri tənlikləri sadələşdirmək üçün onların həllini asanlaşdırmaq üçün istifadə olunur. Faktorinq tənliyi əl ilə həll etməklə müəyyən mümkün cavabları aradan qaldırmağınıza kömək edə bilər.

Addımlar

Faktorinq ədədləri və əsas cəbri ifadələr

1. Faktorinq nömrələri. Faktorinq anlayışı sadədir, lakin praktikada faktorinq çətin ola bilər (mürəkkəb tənlik verilirsə). Buna görə də əvvəlcə ədədlərdən istifadə edərək faktorlara ayırma anlayışına nümunə olaraq baxaq və davam edək sadə tənliklər, sonra isə mürəkkəb tənliklərə keçin. Verilmiş ədədin amilləri, vurulduqda orijinal ədədi verən ədədlərdir. Məsələn, 12 rəqəminin amilləri rəqəmlərdir: 1, 12, 2, 6, 3, 4, çünki 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Eynilə, siz ədədin amillərini onun bölənləri, yəni ədədin bölündüyü ədədlər kimi düşünə bilərsiniz.
   • 60 rəqəminin bütün amillərini tapın. Biz tez-tez 60 rəqəmindən istifadə edirik (məsələn, bir saatda 60 dəqiqə, dəqiqədə 60 saniyə və s.) və bu rəqəm kifayət qədər var. çoxlu saydaçarpanları.
     • 60 çarpan: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 və 60.

2. Unutmayın:əmsal (ədəd) və dəyişəni olan ifadənin şərtləri də faktorlara bölünə bilər. Bunun üçün dəyişən üçün əmsal əmsallarını tapın. Tənliklərin şərtlərini faktorlarla necə hesablayacağınızı bilməklə bu tənliyi asanlıqla sadələşdirə bilərsiniz.

   • Məsələn, 12x termini 12 və x-in hasili kimi yazıla bilər. Siz həmçinin 12x-i 3(4x), 2(6x) və s. kimi yaza bilərsiniz, 12-ni sizin üçün ən uyğun olan amillərə bölə bilərsiniz.
     • Ardıcıl olaraq 12 dəfə bir neçə dəfə məşğul ola bilərsiniz. Başqa sözlə, siz 3(4x) və ya 2(6x) ilə dayanmamalısınız; genişlənməyə davam edin: 3(2(2x)) və ya 2(3(2x)) (açıqcası 3(4x)=3(2(2x)) və s.)

3. Çarpmanın paylanma xassəsini faktorlu cəbri tənliklərə tətbiq edin.Ədədləri və ifadə şərtlərini (dəyişənləri olan əmsallar) faktorla necə ayırmağı bilməklə, siz ədədin və ifadə termininin ümumi amilini tapmaqla sadə cəbri tənlikləri sadələşdirə bilərsiniz. Tipik olaraq, tənliyi sadələşdirmək üçün ən böyük ümumi faktoru (GCD) tapmaq lazımdır. Bu sadələşdirmə vurmanın paylanma xüsusiyyətinə görə mümkündür: istənilən a, b, c ədədləri üçün a(b+c) = ab+ac bərabərliyi doğrudur.

   • Misal. 12x + 6 tənliyini hesablayın. Əvvəlcə 12x və 6-nın gcd-ni tapın. 6 həm 12x, həm də 6-nı bölən ən böyük ədəddir, ona görə də bu tənliyi 6(2x+1) ilə ayıra bilərsiniz.
   • Bu proses mənfi və kəsr həddi olan tənliklər üçün də keçərlidir. Məsələn, x/2+4 1/2(x+8) faktoruna bölünə bilər; məsələn, -7x+(-21) -7(x+3) faktoruna bölünə bilər.

   Kvadrat tənliklərin faktorinqi

   1. Tənliyin kvadrat formada verildiyinə əmin olun (ax 2 + bx + c = 0). Kvadrat tənliklər formaya malikdir: ax 2 + bx + c = 0, burada a, b, c 0-dan fərqli ədədi əmsallardır. Əgər sizə bir dəyişən (x) olan tənlik verilirsə və bu tənlikdə bir və ya bir neçə hədd varsa ikinci dərəcəli dəyişən ilə siz tənliyin bütün şərtlərini tənliyin bir tərəfinə köçürə və onu sıfıra bərabər təyin edə bilərsiniz.

      • Məsələn, verilən tənlik: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Bu, kvadrat tənlik olan x 2 + 6x + 9 = 0 tənliyinə çevrilə bilər.
      • Böyük sifarişli x dəyişəni olan tənliklər, məsələn, x 3, x 4 və s. kvadrat tənliklər deyil. Bunlar kub tənlikləri, dördüncü dərəcəli tənliklər və s.

   2. a = 1 olan kvadrat tənliklər (x+d)(x+e) şəklində genişləndirilir, burada d*e=c və d+e=b.Əgər sizə verilən kvadrat tənlik aşağıdakı formadadırsa: x 2 + bx + c = 0 (yəni x 2 əmsalı 1-dir), onda belə bir tənliyi yuxarıda göstərilən amillərə genişləndirmək olar (lakin zəmanət verilmir). Bunu etmək üçün, vurulduqda "c" və əlavə edildikdə "b" verən iki ədəd tapmaq lazımdır. Bu iki ədədi (d və e) tapdıqdan sonra onları aşağıdakı ifadə ilə əvəz edin: (x+d)(x+e), mötərizələri açarkən ilkin tənliyə gətirib çıxarır.

      • Məsələn, x 2 + 5x + 6 = 0 kvadrat tənliyi verilmişdir. 3*2=6 və 3+2=5, ona görə də bu tənliyi (x+3)(x+2) faktorlarına ayıra bilərsiniz.
      • Mənfi şərtlər üçün faktorizasiya prosesində aşağıdakı kiçik dəyişiklikləri edin:
        • Kvadrat tənlik x 2 -bx+c formasına malikdirsə, o zaman genişlənir: (x-_)(x-_).
        • Kvadrat tənlik x 2 -bx-c formasına malikdirsə, o zaman genişlənir: (x+_)(x-_).
      • Qeyd: boşluqlar kəsr və ya ilə əvəz edilə bilər ondalık ədədlər. Məsələn, x 2 + (21/2)x + 5 = 0 tənliyi (x+10)(x+1/2) şəklində genişləndirilir.

   3. Sınaq və səhv yolu ilə faktorizasiya. Sadə kvadrat tənliklər ədədləri sadəcə olaraq əvəz etməklə faktorlara bölünə bilər mümkün həllər tapana qədər düzgün qərar. Əgər tənliyin ax 2 +bx+c forması varsa, burada a>1, mümkün həllər (dx +/- _)(ex +/- _) şəklində yazılır, burada d və e sıfırdan fərqli ədədi əmsallardır. , vurulduqda a verir. İstər d, istərsə də e (yaxud hər iki əmsal) 1-ə bərabər ola bilər. Əgər hər iki əmsal 1-ə bərabərdirsə, yuxarıda təsvir edilən üsuldan istifadə edin.

      • Məsələn, 3x 2 - 8x + 4 tənliyi verilmişdir. Burada 3-ün yalnız iki amili var (3 və 1), ona görə də mümkün həllər (3x +/- _)(x +/- _) kimi yazılır. Bu halda boşluqları -2 ilə əvəz etməklə düzgün cavabı tapacaqsınız: -2*3x=-6x və -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x və -2*-2=4, yəni mötərizələri açarkən belə genişlənmə ilkin tənliyin şərtlərinə gətirib çıxaracaq.

Hər hansı n dərəcə cəbri polinomu formanın n-xətti amillərinin məhsulu və ən yüksək x dərəcəsində polinomun əmsalları olan sabit ədəd kimi təqdim edilə bilər, yəni.

Harada - çoxhədlinin kökləridir.

Çoxhədlinin kökü polinomu yox edən ədəddir (həqiqi və ya mürəkkəb). Çoxhədlinin kökləri ya həqiqi köklər, ya da mürəkkəb birləşmiş köklər ola bilər, sonra polinom aşağıdakı formada təqdim edilə bilər:

“n” dərəcəli çoxhədlilərin birinci və ikinci dərəcəli amillərin hasilinə parçalanması üsullarını nəzərdən keçirək.

Metod №1.Qeyri-müəyyən əmsallar üsulu.

Belə çevrilmiş ifadənin əmsalları qeyri-müəyyən əmsallar üsulu ilə müəyyən edilir. Metodun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, verilmiş çoxhədlinin parçalandığı amillərin növü əvvəlcədən məlumdur. Qeyri-müəyyən əmsallar metodundan istifadə edərkən aşağıdakı ifadələr doğrudur:

S.1. İki çoxhədli, əmsalları x-in eyni gücləri üçün bərabər olarsa, eyni dərəcədə bərabərdir.

S.2. Üçüncü dərəcəli hər hansı çoxhədli xətti və kvadrat amillərin hasilinə parçalanır.

S.3. İstənilən dördüncü dərəcə çoxhədli iki ikinci dərəcəli çoxhədlinin hasilinə parçalana bilər.

Misal 1.1. Kub ifadəsini faktorlara ayırmaq lazımdır:

S.1. Qəbul edilmiş müddəalara uyğun olaraq, kub ifadəsi üçün eyni bərabərlik mövcuddur:

S.2. İfadənin sağ tərəfi aşağıdakı kimi terminlərlə təmsil oluna bilər:

S.3. Kub ifadəsinin müvafiq güclərində əmsalların bərabərliyi şərtindən tənliklər sistemi qururuq.

Bu tənliklər sistemi əmsalları seçməklə həll edilə bilər (əgər bu sadə akademik problemdirsə) və ya həll üsullarından istifadə edilə bilər. qeyri-xətti sistemlər tənliklər. Qərar vermək bu sistem tənliklərdə qeyri-müəyyən əmsalların aşağıdakı kimi təyin olunduğunu görürük:

Beləliklə, orijinal ifadə aşağıdakı formada faktorlara bölünür:

Bu üsul həm analitik hesablamalarda, həm də tənliyin kökünün tapılması prosesini avtomatlaşdırmaq üçün kompüter proqramlaşdırmasında istifadə oluna bilər.

Metod № 2.Vieta düsturları

Vyeta düsturları n dərəcəli cəbri tənliklərin əmsallarını və onun köklərini birləşdirən düsturlardır. Bu düsturlar fransız riyaziyyatçısı Fransua Vietanın (1540 - 1603) əsərlərində gizli şəkildə təqdim edilmişdir. Viet yalnız müsbət real köklər hesab etdiyinə görə bu düsturları ümumi açıq formada yazmaq imkanı yox idi.

n-həqiqi kökləri olan hər hansı n dərəcəli cəbri polinom üçün,

Çoxhədlinin köklərini onun əmsalları ilə birləşdirən aşağıdakı əlaqələr etibarlıdır:

Vietanın düsturlarından çoxhədlinin köklərinin tapılmasının düzgünlüyünü yoxlamaq, həmçinin verilmiş köklərdən çoxhədli qurmaq üçün istifadə etmək rahatdır.

Misal 2.1. Bir kub tənliyi nümunəsindən istifadə edərək polinomun köklərinin onun əmsalları ilə necə əlaqəli olduğunu nəzərdən keçirək.

Vyeta düsturlarına uyğun olaraq, polinomun kökləri ilə onun əmsalları arasındakı əlaqə aşağıdakı formaya malikdir:

Oxşar əlaqələr istənilən n dərəcə çoxhədli üçün də edilə bilər.

Metod №3. Parçalanma kvadrat tənlik rasional kökləri olan amillərə

Vietanın son düsturundan belə çıxır ki, çoxhədlinin kökləri onun sərbəst müddətinin və aparıcı əmsalının bölənləridir. Bununla əlaqədar, əgər məsələnin ifadəsi tam əmsallı n dərəcə polinomunu təyin edirsə

onda bu çoxhədlinin rasional kökü (reduksiyası olmayan kəsr) olur, burada p sərbəst terminin, q isə aparıcı əmsalın bölənidir. Bu halda, n dərəcə polinomu (Bezout teoremi) kimi təqdim edilə bilər:

Dərəcəsi ilkin çoxhədlinin dərəcəsindən 1 az olan çoxhədli n dərəcəli polinomun bölünməsi yolu ilə müəyyən edilir, məsələn Horner sxemindən istifadə etməklə və ya ən çox sadə şəkildə- "sütun".

Misal 3.1.Çoxhədli faktorlara uyğunlaşdırmaq lazımdır

S.1. Ən yüksək hədd əmsalı birə bərabər olduğuna görə, bu çoxhədlinin rasional kökləri ifadənin sərbəst müddətinin bölənləridir, yəni. tam ədədlər ola bilər . Təqdim olunan ədədlərin hər birini orijinal ifadədə əvəz edirik və tapırıq ki, təqdim olunan çoxhədlinin kökü -ə bərabərdir.

Orijinal çoxhədlini binomuna bölək:

Hornerin sxemindən istifadə edək

Orijinal çoxhədlinin əmsalları yuxarı sətirdə qoyulur, yuxarı sətrin birinci xanası isə boş qalır.

İkinci sətrin birinci xanasında tapılan kök yazılır (baxılan nümunədə “2” rəqəmi yazılır) və xanalarda aşağıdakı qiymətlər müəyyən qaydada hesablanır və onlar əmsallardır. çoxhədlinin binomuna bölünməsi ilə əldə edilən çoxhədlinin. Naməlum əmsallar aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

Birinci sətirin müvafiq xanasından qiymət ikinci sətirin ikinci xanasına köçürülür (baxılan nümunədə “1” rəqəmi yazılır).

İkinci cərgənin üçüncü xanası birinci xananın hasilinin dəyərini və ikinci cərgənin ikinci xanasının dəyərini və birinci cərgənin üçüncü xanasının dəyərini ehtiva edir (baxılan misalda 2 ∙1 -5 = -3) ).

İkinci cərgənin dördüncü xanası birinci xananın hasilinin dəyərini və ikinci cərgənin üçüncü xanasının qiymətini və birinci cərgənin dördüncü xanasının dəyərini (baxılan nümunədə 2 ∙ (-3) +7) ehtiva edir. = 1).

Beləliklə, orijinal çoxhədli faktorlara bölünür:

Metod № 4.Qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə

Qısaldılmış vurma düsturları hesablamaları sadələşdirmək üçün, eləcə də çoxhədli faktorlara görə istifadə olunur. Qısaldılmış vurma düsturları fərdi məsələlərin həllini sadələşdirməyə imkan verir.

Faktorlara ayırmaq üçün istifadə olunan düsturlar

Çoxhədlilərin vurulmasını nəzərə alaraq, bir neçə düsturları xatırladıq, yəni: (a + b)², (a – b)², (a + b) (a – b), (a + b)³ və (a – b)³ üçün.

Verilmiş çoxhədli bu düsturlardan biri ilə üst-üstə düşərsə, onu faktorlara ayırmaq mümkün olacaq. Məsələn, a² – 2ab + b² polinomu, bilirik, (a – b)² [ya da (a – b) · (a – b) bərabərdir, yəni a² – 2ab + b²-ni 2 amilə çevirə bildik. ]; Həmçinin

Bu misallardan ikincisinə baxaq. Görürük ki, burada verilmiş çoxhədli iki ədədin fərqinin kvadratı (birinci ədədin kvadratı, birinci ədədə və ikinciyə ikinin hasili çıxılmaqla, ikinci ədədin kvadratı çıxılmaqla) alınan düstura uyğun gəlir: x 6 birinci ədədin kvadratıdır və buna görə də , birinci ədədin özü x 3, ikinci ədədin kvadratı verilmiş çoxhədlinin son həddi, yəni 1-dir, ikinci ədədin özü də buna görə də 1-dir; ikinin birinci ədədə hasili, ikincisi isə –2x 3 terminidir, çünki 2x 3 = 2 x 3 1. Buna görə də polinomumuz x 3 və 1 ədədlərinin fərqinin kvadratı alınmaqla alınmışdır, yəni. (x 3 – 12 . Başqa 4-cü misala baxaq. Görürük ki, bu a 2 b 2 – 25 çoxhədli iki ədədin kvadratlarının fərqi kimi qəbul edilə bilər, yəni birinci ədədin kvadratı a 2 b 2-dir, ona görə də birinci ədədin özü ab, rəqəmin kvadratıdır. ikinci ədəd 25-dir, ikinci ədədin özü niyə 5-dir. Buna görə də bizim çoxhədli iki ədədin cəmini onların fərqinə vurmaqla alınmış hesab etmək olar, yəni.

(ab + 5) (ab – 5).

Bəzən elə olur ki, verilmiş çoxhədlidə şərtlər, məsələn, öyrəşdiyimiz ardıcıllıqla düzülmür.

9a 2 + b 2 + 6ab – zehni olaraq biz ikinci və üçüncü hədləri yenidən təşkil edə bilərik və onda bizə aydın olacaq ki, üçbucaqlımız = (3a + b) 2.

... (birinci və ikinci şərtləri zehni olaraq yenidən təşkil edirik).

25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2 və s.

Başqa bir polinomu nəzərdən keçirək

a 2 + 2ab + 4b 2.

Görürük ki, onun birinci həddi a rəqəminin kvadratı, üçüncü həddi isə 2b rəqəminin kvadratıdır, lakin ikinci həd birinci rəqəmin ikisinin hasili deyil, ikincisi isə belə bir hasil olacaq. 2 a 2b = 4ab. Ona görə də bu çoxhədliyə iki ədədin cəminin kvadratının düsturunu tətbiq etmək mümkün deyil. Əgər kimsə 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2 yazsaydı, bu, düzgün olmazdı - düsturlardan istifadə edərək çoxhədlinin bütün şərtlərini diqqətlə nəzərdən keçirmək lazımdır.

40. Hər iki texnikanın birləşməsi. Bəzən çoxhədlilərin faktorinqi zamanı həm ümumi əmsalı mötərizədən çıxarma texnikasını, həm də düsturlardan istifadə texnikasını birləşdirməli olursunuz. Budur nümunələr:

1. 2a 3 – 2ab 2. Əvvəlcə mötərizədə 2a ümumi amilini çıxaraq və 2a (a 2 - b 2) alırıq. a 2 – b 2 əmsalı da öz növbəsində düstura görə (a + b) və (a – b) əmsallarına parçalanır.

Bəzən düsturun parçalanması texnikasından bir neçə dəfə istifadə etməlisiniz:

1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)

Görürük ki, birinci a 2 + b 2 faktoru tanış olan düsturların heç birinə uyğun gəlmir; Üstəlik, bölmənin xüsusi hallarını (37-ci bənd) xatırladaraq, müəyyən edəcəyik ki, a 2 + b 2 (iki ədədin kvadratlarının cəmi) ümumiyyətlə faktorlara bölünə bilməz. Nəticədə a 2 – b 2 faktorlarından ikincisi (iki ədədin kvadratı ilə fərq) (a + b) və (a – b) amillərə parçalanır. Belə ki,

41. Bölmənin xüsusi hallarının tətbiqi. 37-ci paraqrafa əsaslanaraq dərhal yaza bilərik ki, məsələn,