Tam diferensial funksiya. Bir neçə dəyişənli funksiyanın tam diferensialı Bir nöqtədə cəmi diferensial

Gördüyünüz kimi, diferensial tapmaq üçün törəməni dx-ə vurmaq lazımdır. Bu, dərhal törəmələr üçün düsturlar cədvəlindən diferensiallar üçün müvafiq cədvəli yazmağa imkan verir.

İki dəyişənli funksiya üçün ümumi diferensial:

Üç dəyişənli funksiya üçün ümumi diferensial qismən diferensialların cəminə bərabərdir: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x) ,y,z)dz

Tərif. y=f(x) funksiyası x 0 nöqtəsində diferensiallanan adlanır, əgər onun bu nöqtədəki artımı ∆y=A∆x + α(∆x)∆x şəklində göstərilə bilər, burada A sabitdir və α(∆) x) – ∆x → 0 kimi sonsuz kiçikdir.
Funksiyanın nöqtədə diferensiallana bilməsi tələbi bu nöqtədə törəmənin mövcudluğuna bərabərdir və A=f’(x 0).

f(x) x 0 və f "(x 0)≠0 nöqtəsində diferensiallana bilsin, onda ∆y=f'(x 0)∆x + α∆x, burada α= α(∆x) →0 nöqtəsində ∆x →0 ∆y kəmiyyəti və sağ tərəfdəki hər bir üzv ∆x→0 üçün sonsuz kiçik kəmiyyətlərdir. , yəni α(∆x)∆x f’(x 0)∆x-dən daha yüksək tərtibli sonsuz kiçikdir.
, yəni ∆y~f’(x 0)∆x. Nəticə etibarilə, f’(x 0)∆x ∆y artımının ∆x hissəsinə nisbətən əsas və eyni zamanda xəttini təmsil edir (xətti, yəni birinci həddə ∆x ehtiva edir). Bu termin x 0 nöqtəsində y=f(x) funksiyasının diferensialı adlanır və dy(x 0) və ya df(x 0) ilə işarələnir. Beləliklə, x-in ixtiyari qiymətləri üçün
dy=f′(x)∆x. (1)
Sonra dx=∆x təyin edin
dy=f′(x)dx. (2)

Misal. Bu funksiyaların törəmələrini və diferensiallarını tapın.
a) y=4 tan2 x
Həll:

diferensial:
b)
Həll:

diferensial:
c) y=arcsin 2 (lnx)
Həll:

diferensial:
G)
Həll:
=
diferensial:

Misal. y=x 3 funksiyası üçün x və ∆x-in bəzi qiymətləri üçün ∆y və dy üçün ifadə tapın.
Həll. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 ; dy=3x 2 ∆x (∆x-ə nisbətən əsas xətti hissə ∆y götürdük). Bu halda α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3.

Tərif: Tam diferensial funksiya bir neçə dəyişən onun bütün qismən diferensiallarının cəmidir:

Misal 1: .

Həll:

Bu funksiyanın qismən törəmələri bərabər olduğundan:

Onda dərhal bu funksiyaların qismən diferensiallarını yaza bilərik:

, ,

Onda funksiyanın tam diferensialı belə görünəcək:

Misal 2 Funksiyanın tam diferensialını tapın

Həll:

Bu funksiya mürəkkəbdir, yəni. kimi təmsil oluna bilər

Qismən törəmələrin tapılması:

Tam diferensial:

Ümumi diferensialın analitik mənası ondan ibarətdir ki, bir neçə dəyişənli funksiyanın ümumi diferensialı bu funksiyanın ümumi artımının əsas hissəsini təmsil edir, yəni təqribi bərabərlik var: ∆z≈dz.

Bununla belə, yadda saxlamaq lazımdır ki, bu təxmini bərabərliklər yalnız z=f(x,y) funksiyasının arqumentlərinin dx və dy kiçik diferensialları üçün etibarlıdır.

Təxmini hesablamalarda ümumi diferensialın istifadəsi ∆z≈dz düsturunun istifadəsinə əsaslanır.

Həqiqətən də, əgər bu düsturda funksiyanın artımı ∆z şəklində, tam diferensial isə formada göstərilmişdirsə , onda alırıq:

≈ ,

Nəticə düsturdan iki dəyişənli funksiyanın “yeni” dəyərini tapmaq üçün istifadə oluna bilər ki, bu da onun hər iki arqumentinin kifayət qədər kiçik artımları üçün tələb olunur.

Misal. Funksiyanın təxmini qiymətini tapın , arqumentlərinin aşağıdakı dəyərləri ilə: 1.01, .

Həll.

Daha əvvəl tapılmış funksiyaların qismən törəmələrini düsturda əvəz edərək, əldə edirik:

x=1, ∆х=0,01, y=2, ∆у=0,02 qiymətlərini əvəz etdikdə alırıq:

Skalyar sahə.

Əgər D fəzasının müəyyən bölgəsinin hər bir nöqtəsində U(p)=U(x,y,z) funksiyası göstərilibsə, o zaman D bölgəsində skalyar sahənin göstərildiyini deyirlər.

Əgər, məsələn, U(x,y,z) M(x,y,z) nöqtəsində temperaturu bildirirsə, onda skalyar temperatur sahəsinin təyin olunduğunu deyirlər. Əgər D bölgəsi maye və ya qazla doludursa və U(x,y,z) təzyiqi bildirirsə, onda skalyar təzyiq sahəsi var. Kosmosda yüklərin və ya kütləvi cisimlərin yeri verilirsə, o zaman potensial sahə haqqında danışırıq.

Skaler sahə adlanır stasionar, U(x,y,z) funksiyası zamanla dəyişməzsə: U(x,y,z) ≠ f(t).

İstənilən stasionar sahə aşağıdakılarla xarakterizə olunur:

1) skalyar sahənin səviyyəli səthi

2) verilmiş istiqamətdə sahənin dəyişmə sürəti.

Səviyyə səthi skalyar sahə U(x,y,z) funksiyasının sabit qiymət aldığı nöqtələrin həndəsi yeridir, yəni U(x,y,z) = const. Bu nöqtələrin toplanması müəyyən bir səth təşkil edir. Fərqli bir sabit götürsək, fərqli bir səth əldə edirik.

Misal: Skayar sahə verilsin. Belə sahəyə misal olaraq nöqtə elektrik yükünün (+q) elektrik potensial sahəsini göstərmək olar. Burada səviyyəli səthlər ekvipotensial səthlər olacaqdır , yəni mərkəzində sahə yaradan yük olan kürələr.

Skayar funksiyada ən böyük artım istiqaməti adlı vektor verilir gradient və simvolu (və ya ) ilə göstərilir.

Funksiyanın qradiyenti bu funksiyanın qismən törəmələri vasitəsilə tapılır və həmişə verilmiş nöqtədə skalyar sahənin səviyyəli səthinə perpendikulyardır:

, Harada

Müvafiq olaraq OX, OY, OZ oxları boyunca vahid vektorları

U(x,y,z) funksiyasının hər hansı digər istiqamətdə (λ) törəməsi düsturla müəyyən edilir:

, Harada

α, β, γ müvafiq olaraq OX, OY, OZ koordinat oxları ilə istiqamət arasındakı bucaqlardır.

Hər bir qismən törəmə (tərəfindən x və tərəfindən y) iki dəyişənli funksiyanın bir dəyişənin funksiyasının digər dəyişənin sabit dəyəri üçün adi törəməsidir:

(Harada y= const),

(Harada x= const).

Buna görə də, qismən törəmələr istifadə edərək hesablanır bir dəyişənli funksiyaların törəmələrinin hesablanması düsturları və qaydaları, digər dəyişən sabiti nəzərə alaraq.

Əgər nümunələrin təhlilinə və bunun üçün tələb olunan minimum nəzəriyyəyə ehtiyacınız yoxdursa, ancaq probleminizin həllinə ehtiyacınız varsa, o zaman bu ünvana keçin. onlayn qismən törəmə kalkulyatoru .

Funksiyada sabitin harada olduğunu izləmək üçün diqqəti cəmləmək çətindirsə, o zaman nümunənin layihə həllində sabit dəyəri olan dəyişən əvəzinə istənilən ədədi əvəz edə bilərsiniz - onda siz qismən törəməni aşağıdakı kimi tez hesablaya bilərsiniz. bir dəyişənli funksiyanın adi törəməsi. Yalnız son dizaynı bitirərkən sabiti (sabit dəyəri olan dəyişən) yerinə qaytarmağı xatırlamaq lazımdır.

Yuxarıda təsvir edilən qismən törəmələrin xassəsi imtahan suallarında görünə bilən qismən törəmənin tərifindən irəli gəlir. Buna görə də, aşağıdakı təriflə tanış olmaq üçün nəzəri arayışı aça bilərsiniz.

Funksiyanın davamlılığı anlayışı z= f(x, y) nöqtədə bir dəyişənin funksiyası üçün bu anlayışa bənzər şəkildə müəyyən edilir.

Funksiya z = f(x, y) əgər nöqtədə davamlı adlanır

Fərq (2) funksiyanın ümumi artımı adlanır z(hər iki arqumentin artımı nəticəsində əldə edilir).

Funksiya verilsin z= f(x, y) və nöqtə

Funksiya dəyişərsə z arqumentlərdən yalnız biri dəyişdikdə baş verir, məsələn, x, başqa bir arqumentin sabit dəyəri ilə y, onda funksiya artım alacaq

funksiyanın qismən artımı adlanır f(x, y) tərəfindən x.

Funksiya dəyişikliyini nəzərə alaraq z arqumentlərdən yalnız birinin dəyişdirilməsindən asılı olaraq, bir dəyişənin funksiyasına effektiv şəkildə dəyişirik.

Sonlu bir hədd varsa

onda funksiyanın qismən törəməsi adlanır f(x, y) arqumentlə x və simvollardan biri ilə göstərilir

(4)

Qismən artım eyni şəkildə müəyyən edilir z By y:

və qismən törəmə f(x, y) tərəfindən y:

(6)

Misal 1.

Həll. "x" dəyişəninə görə qismən törəməni tapın:

(y sabit);

"y" dəyişəninə görə qismən törəmə tapırıq:

(x sabit).

Gördüyünüz kimi, dəyişənin nə dərəcədə sabit olmasının əhəmiyyəti yoxdur: bu halda, sadəcə olaraq, qismən törəməni tapdığımız dəyişənin amili (adi törəmədə olduğu kimi) olan müəyyən bir ədəddir. . Əgər sabit dəyişən qismən törəməni tapdığımız dəyişənə vurulmazsa, adi törəmədə olduğu kimi, bu tək sabit nə dərəcədə olursa olsun, yox olur.

Misal 2. Funksiya verilmişdir

Qismən törəmələri tapın

(X ilə) və (Y ilə) və nöqtədə onların dəyərlərini hesablayın A (1; 2).

Həll. Sabit vəziyyətdə y birinci həddinin törəməsi güc funksiyasının törəməsi kimi tapılır ( bir dəyişənin törəmə funksiyaları cədvəli):

Sabit vəziyyətdə x birinci terminin törəməsi eksponensial funksiyanın törəməsi, ikincisi isə sabitin törəməsi kimi tapılır:

İndi nöqtədə bu qismən törəmələrin dəyərlərini hesablayaq A (1; 2):

Qismən törəmə məsələlərin həllini burada yoxlaya bilərsiniz onlayn qismən törəmə kalkulyatoru .

Misal 3. Funksiyanın qismən törəmələrini tapın

Həll. Bir addımda tapırıq

(y x, sanki sinusun arqumenti 5-dir x: eyni şəkildə funksiya işarəsindən əvvəl 5 görünür);

(x sabitdir və bu halda at çarpandır y).

Qismən törəmə məsələlərin həllini burada yoxlaya bilərsiniz onlayn qismən törəmə kalkulyatoru .

Üç və ya daha çox dəyişənin funksiyasının qismən törəmələri oxşar şəkildə müəyyən edilir.

Əgər hər bir dəyər dəsti ( x; y; ...; t) çoxluqdan müstəqil dəyişənlər D müəyyən bir dəyərə uyğundur uçoxlarından E, Bu u dəyişənlərin funksiyası adlanır x, y, ..., t və işarə edir u= f(x, y, ..., t).

Üç və ya daha çox dəyişənli funksiyalar üçün həndəsi şərh yoxdur.

Bir neçə dəyişənli funksiyanın qismən törəmələri də müstəqil dəyişənlərdən yalnız birinin dəyişdiyi, digərlərinin isə sabit olduğu fərziyyəsi ilə müəyyən edilir və hesablanır.

Misal 4. Funksiyanın qismən törəmələrini tapın

Həll. y Və z sabit:

x Və z sabit:

x Və y sabit:

Qismən törəmələri özünüz tapın və sonra həll yollarına baxın

Misal 5.

Misal 6. Funksiyanın qismən törəmələrini tapın.

Bir neçə dəyişənli funksiyanın qismən törəməsi eynidir mexaniki məna bir dəyişənin funksiyasının törəməsi ilə eynidir, arqumentlərdən birinin dəyişməsinə nisbətən funksiyanın dəyişmə sürətidir.

Misal 8. Axının kəmiyyət dəyəri P dəmir yolu sərnişinləri funksiyası ilə ifadə edilə bilər

Harada P- sərnişinlərin sayı, N- müxbir məntəqələrinin sakinlərinin sayı, R- nöqtələr arasındakı məsafə.

Funksiyanın qismən törəməsi P By R, bərabərdir

göstərir ki, sərnişin axınının azalması ballarda eyni sayda sakinlərin olduğu müvafiq məntəqələr arasındakı məsafənin kvadratına tərs mütənasibdir.

Qismən törəmə P By N, bərabərdir

sərnişin axınındakı artımın məntəqələr arasında eyni məsafədə yerləşən yaşayış məntəqələrinin sakinlərinin sayının iki dəfə artmasına mütənasib olduğunu göstərir.

Qismən törəmə məsələlərin həllini burada yoxlaya bilərsiniz onlayn qismən törəmə kalkulyatoru .

Tam diferensial

Qismən törəmənin hasilinə və müvafiq müstəqil dəyişənin artımına qismən diferensial deyilir. Qismən diferensiallar aşağıdakı kimi qeyd olunur:

Bütün müstəqil dəyişənlər üçün qismən diferensialların cəmi ümumi diferensial verir. İki müstəqil dəyişənin funksiyası üçün ümumi diferensial bərabərliklə ifadə edilir

(7)

Misal 9. Funksiyanın tam diferensialını tapın

Həll. Düsturdan (7) istifadənin nəticəsi:

Müəyyən bir sahənin hər nöqtəsində tam diferensial olan funksiyaya həmin oblastda diferensiallana bilən funksiya deyilir.

Ümumi diferensialı özünüz tapın və sonra həllinə baxın

Bir dəyişənin funksiyası vəziyyətində olduğu kimi, müəyyən bir sahədə funksiyanın diferensiallığı onun bu sahədə davamlılığını nəzərdə tutur, lakin əksinə deyil.

Sübutsuz funksiyanın diferensiallığı üçün kifayət qədər şərti formalaşdıraq.

Teorem.Əgər funksiyası z= f(x, y) davamlı qismən törəmələrə malikdir

verilmiş regionda, onda bu regionda diferensiallaşır və onun diferensialı (7) düsturu ilə ifadə edilir.

Göstərilə bilər ki, bir dəyişənli funksiyada funksiyanın diferensialı funksiyanın artımının əsas xətti hissəsi olduğu kimi, bir neçə dəyişənli funksiyada da tam diferensial müstəqil dəyişənlərin artımlarına nəzərən əsas, xətti, funksiyanın ümumi artımının bir hissəsi.

İki dəyişənli funksiya üçün funksiyanın ümumi artımı formaya malikdir

(8)

burada α və β və -də sonsuz kiçikdir.

Daha yüksək dərəcəli qismən törəmələr

Qismən törəmələr və funksiyalar f(x, y) özləri eyni dəyişənlərin bəzi funksiyalarıdır və öz növbəsində müxtəlif dəyişənlərə münasibətdə törəmələrə malik ola bilər ki, bunlar daha yüksək dərəcəli qismən törəmələr adlanır.

İki dəyişənli funksiyanı nəzərdən keçirək z=f(x, y) və nöqtədə onun ümumi artımı M 0 (x 0 , y 0)

Δ z = f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) - f(x 0 , y 0).

Tərif. Əgər nömrələr varsa P Və Q belə ki, ümumi artım kimi təmsil oluna bilər

Δ z = PΔ x + QΔ y + ε Δρ,

harada və ε→ 0 saat Δρ→ 0 , sonra ifadə PΔ x + QΔ y funksiyanın tam diferensialı adlanır z=f(x,y) nöqtədə M 0 (x 0 ,y 0).

Bu halda funksiyanın tam artımı iki hissədən ibarətdir: birinci hissə PΔ x + QΔ y ilə əlaqədar xəttidir Δ x Və Δy, ikincisi ilə müqayisədə daha yüksək dərəcəli sonsuz kiçikdir.

Tam diferensial funksiya z=f(x,y) ilə işarələnir dz, yəni

dz = PΔ x+QΔ y.

Verilmiş nöqtədə tam diferensial olan funksiyaya həmin nöqtədə diferensiallana bilən funksiya deyilir.

Teorem. Əgər u=f(M) nöqtədə fərqlənə bilər M0, onda davamlıdır.

Şərh. İki dəyişənli funksiyanın davamlılığı onun diferensiallığını nəzərdə tutmur.

Misal. davamlı olaraq (0,0) , lakin qismən törəmə yoxdur - mövcud deyil. Eynilə, ilə bağlı heç bir qismən törəmə yoxdur y. Buna görə də funksiya diferensiallaşmır.

Teorem [diferensiallaşma üçün zəruri şərt]. Əgər z=f(x,y) nöqtədə fərqlənə bilər M0, onda bu nöqtədə onun qismən törəmələri var x Və y, və

f′ x (x 0 ,y 0) = P, f′ y (x 0 , y 0) = Q.

Şərh. Diferensiallıq qismən törəmələrin mövcudluğundan irəli gəlmir. Misal:

bizdə var , lakin funksiya davamlı deyil, ona görə də diferensiallaşmır.

Teorem [diferensiallaşma üçün kifayət şərt]. Əgər funksiyanın birinci qismən törəmələri z=f(x,y) nöqtənin bəzi məhəlləsində müəyyən edilmişdir M 0 (x 0 ,y 0) və nöqtənin özündə davamlıdır M0, onda bu funksiyanın bu nöqtədə tam diferensialı var.

Şərh. bizdə var

Δ z = f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y + ε Δρ,

Harada ε→ 0 saat Δρ→ 0 . Beləliklə,

f(x 0 +Δ x,y 0 +Δ y) - f(x 0 ,y 0) ≈ f′ x (x 0 ,y 0)Δ x + f′ y (x 0 ,y 0)Δ y

f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) ≈ f(x 0 ,y 0) + f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y.

Bu düstur təxmini hesablamalarda istifadə olunur.

Sabit vəziyyətdə Δ x Və Δyümumi diferensial dəyişənlərin funksiyasıdır x Və y:

qoyaq dx=Δx, dy=Δy və bu kəmiyyətləri müstəqil dəyişənlərin diferensialları adlandıraq.

Sonra düsturu alırıq

yəni funksiyanın tam diferensialı birinci qismən törəmələrin hasillərinin və arqumentlərin müvafiq diferensiallarının cəminə bərabərdir.

Üç dəyişənli funksiyanın ümumi diferensialı eyni şəkildə müəyyən edilir və ifadə edilir. Əgər u=f(x, y, z) və rəqəmlər var P, Q, R belə

Δ u = PΔ x+QΔ y+RΔ z+εΔρ, ε→ 0 saat δρ→ 0 ,

onda tam diferensial ifadədir

du = PΔ x+QΔ y+RΔ z.

Bu funksiyanın birinci qismən törəmələri davamlıdırsa, onda

Harada dx=Δx, dz=Δ z, dz=Δ z.

Tərif. Funksiyanın ikinci dərəcəli tam diferensialı onun tam diferensialının tam diferensialıdır.

Əgər z=f(x,y), dz=z′ x dx+z′ y dy, Bu

Tangens müstəvisi və səthi normal

Səthi nəzərə alın S, tənliyi ilə verilmişdir

z=f(x, y).

Qoy f(x, y) bəzi regionlarda qismən törəmələrə malikdir. Gəlin nəzərdən keçirək M 0 (x 0 , y 0).

- nöqtədəki tangensin bucaq əmsalı M0 bir müstəvi ilə səthin bir hissəsinə y=y 0, yəni xəttə z=f(x,y 0). Bu xəttin tangensi aşağıdakı formaya malikdir:

z-z 0 =f′ x (x 0 , y 0)(x-x 0), y=y 0.

Eynilə, bir təyyarə bölməsi x=x 0 tənliyini verir

z-z 0 =f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0), x=x 0.

Bu xətlərin hər ikisini ehtiva edən müstəvi tənliyə malikdir

z-z 0 =f′ x (x 0 , y 0)(x-x 0)+f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0)

və səthə toxunan müstəvi adlanır S nöqtədə P 0 (x 0, y 0, z 0).

Qeyd edək ki, tangens müstəvi tənliyi kimi yenidən yazıla bilər

z-z 0 =df.

Beləliklə, tam diferensialın həndəsi mənası belədir: bir nöqtədə diferensial M0 artım üçün (x-x 0 , y-y 0) tangens müstəvisinin tətbiq nöqtəsinin səthə artımıdır z=f(x,y) nöqtədə (x 0 , y 0) eyni artımlar üçün.

Tangens müstəvisi nöqtədə normal vektora malikdir (x 0 , y 0 , z 0) - \vec(n)=(f′ x (x 0 , y 0), f′ y (x 0 , y 0), -1). Bir nöqtədən keçən xətt P0 və istiqamət vektorunun olması \vec(n), səth normal adlanır z=f(x,y) Bu nöqtədə. Onun tənlikləri: