Triqonometriyanın əsas düsturları. Əsas triqonometrik eynilik

Aşağıdakı şəkildə mərkəzi O nöqtəsində olan ACB yarımdairəsinin bir hissəsi ilə Oxy koordinat sistemi göstərilir. Bu hissə vahid dairənin qövsdür. Vahid çevrə x^2+y^2 = 1 tənliyi ilə təsvir edilir.

Əsas triqonometrik eynilik

Ordinat y və absis x aşağıdakı düsturlardan istifadə edərək bucağın sinusu və kosinusu kimi təqdim edilə bilər:

Bu dəyərləri vahid dairənin tənliklərinə əvəz edərək, aşağıdakı bərabərliyə sahibik:

(sin(a))^2 + (cos(a))^2 = 1, a-nın 0 dərəcədən 180 dərəcəyə qədər istənilən dəyəri üçün təmin ediləcək. Bu bərabərlik adlanır əsas triqonometrik eynilik.

Azaltma düsturları

Azaltma düsturları triqonometrik funksiyaların qiymətlərini sin(a), cos(a), tg(a) formalarının arqumentlərindən (90˚ ±a), (180˚ ±a) ifadə etmək üçün istifadə olunur. ) və ctg(a).

Azaltma düsturlarından istifadə etmək üçün iki qayda var.

1. Əgər bucaq (90˚ ±a) kimi göstərilə bilərsə, onda funksiyanın adı sin-i cos, cos-u, tg-ni ctg, ctg-ni tg-ə dəyişir. Əgər bucaq (180˚ ±a) şəklində göstərilə bilirsə, onda funksiyanın adı dəyişməz qalır.

İşarənin nə vaxt dəyişdirilməli olduğunu sxematik şəkildə göstərən aşağıdakı şəkilə baxın.

2. “Necə idinsə, elə də qalırsan” qaydası.

Azaldılmış funksiyanın işarəsi eyni qalır. Orijinal funksiyanın artı işarəsi varsa, azaldılmış funksiyanın da artı işarəsi var. Orijinal funksiyanın mənfi işarəsi varsa, azaldılmış funksiyanın da mənfi işarəsi var.

Aşağıdakı şəkildə rübdən asılı olaraq əsas triqonometrik funksiyaların əlamətləri göstərilir.

Tərif. Azaltma düsturları formanın triqonometrik funksiyalarından arqument funksiyalarına keçməyə imkan verən düsturlardır. Onların köməyi ilə ixtiyari bir bucağın sinusunu, kosinusunu, tangensini və kotangensini 0-dan 90 dərəcəyə qədər (0-dan radana qədər) intervaldan bir bucağın sinusuna, kosinusuna, tangensinə və kotangensinə endirmək olar. Beləliklə, azalma düsturları bizə 90 dərəcə daxilində bucaqlarla işləməyə keçməyə imkan verir ki, bu da şübhəsiz ki, çox rahatdır.

Azaltma düsturları:

Azaltma düsturlarından istifadə etmək üçün iki qayda var.

1. Əgər bucaq (π/2 ±a) və ya (3*π/2 ±a) kimi göstərilə bilərsə, onda funksiyanın adı dəyişir sin cos, cos to sin, tg to ctg, ctg to tg. Əgər bucaq (π ±a) və ya (2*π ±a) şəklində göstərilə bilərsə, onda Funksiya adı dəyişməz olaraq qalır.

Aşağıdakı şəklə baxın, işarənin nə vaxt dəyişdiriləcəyini və nə vaxt dəyişdirilməyəcəyini sxematik şəkildə göstərir

2. Azaldılmış funksiyanın işarəsi eyni olaraq qalır. Orijinal funksiyanın artı işarəsi varsa, azaldılmış funksiyanın da artı işarəsi var. Orijinal funksiyanın mənfi işarəsi varsa, azaldılmış funksiyanın da mənfi işarəsi var.

Aşağıdakı şəkildə rübdən asılı olaraq əsas triqonometrik funksiyaların əlamətləri göstərilir.

Misal:

Hesablayın

Azaltma düsturlarından istifadə edək:

Sin(150˚) ikinci rübdədir, rəqəmdən görürük ki, bu dörddəbirdə günahın işarəsi “+”ya bərabərdir. Bu o deməkdir ki, verilmiş funksiyanın da “+” işarəsi olacaqdır. İkinci qaydanı tətbiq etdik.

İndi 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ π/2-dir. Yəni biz π/2+60 işi ilə məşğul oluruq, ona görə də birinci qaydaya əsasən funksiyanı sindən cos-a dəyişirik. Nəticədə Sin(150˚) = cos(60˚) = ½ alırıq.

Bu yazıda hərtərəfli nəzərdən keçirəcəyik. Əsas triqonometrik eyniliklər bir bucağın sinusu, kosinusu, tangensi və kotangensi arasında əlaqə yaradan və məlum digəri vasitəsilə bu triqonometrik funksiyalardan hər hansı birini tapmağa imkan verən bərabərliklərdir.

Bu məqalədə təhlil edəcəyimiz əsas triqonometrik şəxsiyyətləri dərhal sadalayaq. Gəlin onları cədvəldə yazaq və aşağıda bu düsturların çıxışını verəcəyik və lazımi izahatları verəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

Bir bucağın sinüsü ilə kosinusu arasında əlaqə

Bəzən yuxarıdakı cədvəldə sadalanan əsas triqonometrik eyniliklər haqqında deyil, bir tək haqqında danışırlar əsas triqonometrik eynilik mehriban . Bu faktın izahı olduqca sadədir: bərabərliklər əsas triqonometrik eynilikdən onun hər iki hissəsini müvafiq olaraq və bərabərliklərə böldükdən sonra əldə edilir. Və sinus, kosinus, tangens və kotangensin təriflərindən əməl edin. Bu barədə növbəti paraqraflarda daha ətraflı danışacağıq.

Yəni, əsas triqonometrik eyniliyin adı verilən bərabərlik xüsusi maraq doğurur.

Əsası sübut etməzdən əvvəl triqonometrik eynilik, onun formulasını verək: bir bucağın sinusunun və kosinusunun kvadratlarının cəmi eyni olaraq birinə bərabərdir. İndi bunu sübut edək.

Əsas triqonometrik şəxsiyyət çox vaxt istifadə olunur triqonometrik ifadələrin çevrilməsi. Bu, bir bucağın sinus və kosinusunun kvadratlarının cəmini bir ilə əvəz etməyə imkan verir. Əsas triqonometrik eynilik daha az tez-tez istifadə olunur tərs qaydada: vahid istənilən bucağın sinus və kosinusunun kvadratlarının cəmi ilə əvəz olunur.

Sinus və kosinus vasitəsilə tangens və kotangens

Tangens və kotangensi bir baxış bucağının sinus və kosinusu ilə birləşdirən eyniliklər və sinus, kosinus, tangens və kotangensin təriflərindən dərhal əməl edin. Həqiqətən də, tərifə görə sinus y-nin ordinatıdır, kosinus x-in absisidir, tangens ordinatın absissə nisbətidir, yəni. , kotangens isə absislərin ordinata nisbətidir, yəni .

Kimliklərin belə aşkarlığı sayəsində və Tangens və kotangens çox vaxt absis və ordinat nisbəti ilə deyil, sinus və kosinus nisbəti ilə müəyyən edilir. Deməli, bucağın tangensi sinusun bu bucağın kosinusuna, kotangens isə kosinusun sinusuna nisbətidir.

Bu bəndin sonunda qeyd etmək lazımdır ki, şəxsiyyətlər və onlara daxil olan triqonometrik funksiyaların məna kəsb etdiyi bütün bucaqlar üçün baş verir. Beləliklə, düstur (əks halda məxrəc sıfır olacaq və biz sıfıra bölməni təyin etməmişik) və düsturdan başqa hər hansı biri üçün etibarlıdır. - hamı üçün , fərqli , burada z hər hansıdır .

Tangens və kotangens arasındakı əlaqə

Əvvəlki ikisindən daha aydın triqonometrik eynilik, formanın bir bucağının tangensini və kotangensini birləşdirən eynilikdir. . Aydındır ki, -dən başqa hər hansı bucaqlar üçün uyğundur, əks halda ya tangens, ya da kotangens müəyyən edilmir.

Formulun sübutu çox sadə. Tərifinə görə və haradan . Sübut bir az fərqli həyata keçirilə bilərdi. ildən , Bu .

Beləliklə, onların məna verdiyi eyni bucağın tangensi və kotangensi .