Bir addımlı proseslərin stoxastik modellərinin qurulması metodu Anastasiya Vyaçeslavovna Demidova. Stokastik proses modeli Riyazi modelləşdirmə. Analitik və simulyasiya modelləri

"İqtisadiyyat və İdarəetmə" seriyası

6. Kondratyev N.D. Konyunkturanın böyük dövrləri və uzaqgörənlik nəzəriyyəsi. - M.: İqtisadiyyat, 2002. 768 s.

7. Kuzık B.N., Kuşlin V.İ., Yakovets Yu.V. Proqnozlaşdırma, strateji planlaşdırma və milli proqramlaşdırma. M.: “İqtisadiyyat” nəşriyyatı, 2008. 573 s.

8. Lyasnikov N.V., Dudin M.N. Vençur bazarının formalaşması və inkişafı kontekstində innovativ iqtisadiyyatın modernləşdirilməsi // Sosial elmlər. M.: "MII Elm" nəşriyyatı, 2011. No 1. S. 278-285.

9. Sekerin V.D., Kuznetsova O.S. İnnovasiya layihələrinin idarə edilməsi strategiyasının inkişafı // Moskva Dövlət Biznes İdarəetmə Akademiyasının bülleteni. Seriya: İqtisadiyyat. - 2013. No 1 (20). - S. 129 - 134.

10. Yakovlev V.M., Senin A.S. Rusiya iqtisadiyyatının innovativ inkişafının alternativi yoxdur // İnnovativ iqtisadiyyatın aktual problemləri. M.: “Elm” nəşriyyatı; Rusiya Elmlər Akademiyasının İdarəetmə və Marketinq İnstitutu və Rusiya Federasiyası Prezidenti yanında Dövlət Universiteti, 2012. No 1(1).

11. Baranenko S.P., Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Busygin KD. Sənaye müəssisələrinin innovasiya yönümlü inkişafına ekoloji yanaşmadan istifadə // American Journal of Applied Sciences.- 2014.- Cild. 11, No2, - S. 189-194.

12. Dudin M.N. Böyük və kiçik biznesin qarşılıqlı əlaqə rejimlərinin müəyyənləşdirilməsinə sistemli yanaşma // Avropa İqtisadi Araşdırmalar Jurnalı. 2012. Cild. (2), No 2, S. 84-87.

13. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Kuznecov A.V., Fedorova İ.Ju. Sosial-iqtisadi sistemlərin innovativ transformasiyası və transformasiya potensialı // Middle East Journal of Scientific Research, 2013. Cild. 17, No 10. S. 1434-1437.

14. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Pankov S.V., Sepiaşvili E.N. Biznes strukturlarının strateji davamlı inkişafının idarə edilməsi metodu kimi innovativ uzaqgörənlik // World Applied Sciences Journal. - 2013. - Cild. 26, No 8. - S. 1086-1089.

15. Sekerin V. D., Avramenko S. A., Veselovski M. Ya., Aleksakhina V. G. B2G bazarı: mahiyyət və statistik təhlil // World Applied Sciences Journal 31 (6): 1104-1108, 2014

İstehsal prosesinin bir parametrli, stoxastik modelinin qurulması

Ph.D. Dos. Mordasov Yu.P.

Mexanika Mühəndisliyi Universiteti, 8-916-853-13-32, mordasov2001@mail. gi

Annotasiya. Müəllif istehsal prosesinin bir parametrdən asılı olaraq riyazi, stoxastik modelini işləyib hazırlayıb. Model sınaqdan keçirilib. Bu məqsədlə təsadüfi pozuntuların və nasazlıqların təsirini nəzərə alaraq istehsal və maşınqayırma prosesinin simulyasiya modeli yaradılmışdır. Riyazi və simulyasiya modelləşdirmənin nəticələrinin müqayisəsi riyazi modeldən praktikada istifadənin məqsədəuyğunluğunu təsdiq edir.

Açar sözlər: texnoloji proses, riyazi, simulyasiya modeli, əməliyyat nəzarəti, sınaq, təsadüfi pozuntular.

Əməliyyat planlaşdırma xərcləri ilə plan göstəriciləri ilə faktiki istehsal proseslərinin göstəriciləri arasında uyğunsuzluq nəticəsində yaranan itkilər arasında optimalı tapmağa imkan verən metodologiyanın işlənib hazırlanması ilə operativ idarəetmə xərcləri əhəmiyyətli dərəcədə azaldıla bilər. Bu, əks əlaqə dövrəsində siqnal keçidinin optimal müddətini tapmaq deməkdir. Praktikada bu, montaj aqreqatlarının istehsalata buraxılması üçün təqvim cədvəllərinin hesablamalarının sayını azaltmaq və bununla əlaqədar olaraq maddi resurslara qənaət etmək deməkdir.

Maşınqayırmada istehsal prosesinin gedişi ehtimal xarakteri daşıyır. Davamlı olaraq dəyişən amillərin daimi təsiri istehsal prosesinin məkan və zaman üzrə gedişini müəyyən dövr (ay, rüb) üçün proqnozlaşdırmağa imkan vermir. Statistik planlaşdırma modellərində, hər bir konkret vaxtda hissənin vəziyyəti müxtəlif iş yerlərində onun tapılmasının müvafiq ehtimalı (ehtimal bölgüsü) şəklində göstərilməlidir. Eyni zamanda, müəssisənin fəaliyyətinin yekun nəticəsinin müəyyənləşdirilməsini təmin etmək lazımdır. Bu da öz növbəsində deterministik metodlardan istifadə edərək hissələrin istehsalda olması üçün müəyyən dövrlərin planlaşdırılmasının mümkünlüyünü nəzərdə tutur. Lakin təcrübə göstərir ki, real istehsal proseslərinin müxtəlif əlaqələri və qarşılıqlı keçidləri müxtəlif və çoxsaylıdır. Bu, deterministik modelləri hazırlayarkən əhəmiyyətli çətinliklər yaradır.

İstehsalın gedişatına təsir edən bütün amilləri nəzərə almaq cəhdi modeli çətinləşdirir və o, planlaşdırma, uçot və tənzimləmə vasitəsi kimi fəaliyyətini dayandırır.

Nəzərə almaq çətin və hətta qeyri-mümkün olan çoxlu sayda müxtəlif amillərdən asılı olan mürəkkəb real proseslərin riyazi modellərini qurmaq üçün daha sadə üsul stoxastik modellərin qurulmasıdır. Bu zaman real sistemin iş prinsiplərini təhlil edərkən və ya onun fərdi xüsusiyyətlərini müşahidə edərkən bəzi parametrlər üçün ehtimal paylama funksiyaları qurulur. Prosesin kəmiyyət xarakteristikalarının yüksək statistik sabitliyini və onların aşağı dispersiyasını nəzərə alaraq, qurulan modeldən istifadə etməklə əldə edilən nəticələr real sistemin fəaliyyət göstəriciləri ilə yaxşı uyğunlaşır.

İqtisadi proseslərin statistik modellərinin qurulması üçün əsas şərtlər bunlardır:

Müvafiq deterministik modelin həddindən artıq mürəkkəbliyi və əlaqəli iqtisadi səmərəsizliyi;

Faktiki fəaliyyət göstərən obyektlərin göstəricilərindən bir model üzərində təcrübə nəticəsində əldə edilən nəzəri göstəricilərin böyük sapmaları.

Buna görə də, stokastik pozğunluqların istehsal prosesinin qlobal xüsusiyyətlərinə (kommersiya məhsulu, bitməmiş işin həcmi və s.) təsirini təsvir edən sadə riyazi aparatın olması arzu edilir. Yəni, az sayda parametrlərdən asılı olaraq və müxtəlif xarakterli bir çox amillərin istehsal prosesinin gedişinə ümumi təsirini əks etdirən istehsal prosesinin riyazi modelini qurmaq. Tədqiqatçının model qurarkən qarşısına qoymalı olduğu əsas vəzifə real sistemin parametrlərinin passiv müşahidəsi deyil, pozğunluqların təsiri altında hər hansı bir sapma halında parametrləri gətirəcək modelin qurulmasıdır. göstərilən proseslərdən müəyyən rejimə keçir. Yəni sistemdə hər hansı təsadüfi faktorun təsiri altında planlaşdırılmış həllə yaxınlaşan proses qurulmalıdır. Hazırda avtomatlaşdırılmış idarəetmə sistemlərində bu funksiya əsasən istehsal proseslərinin idarə edilməsində əks əlaqə zəncirinin həlqələrindən birini təşkil edən şəxsə həvalə edilir.

Gəlin real istehsal prosesinin təhlilinə keçək. Tipik olaraq, planlaşdırma dövrünün müddəti (seminarlara planların verilməsi tezliyi) ənənəvi təqvim vaxt intervalları əsasında seçilir: növbə, gün, beş günlük dövr və s. Onlar əsasən praktiki mülahizələri rəhbər tuturlar. Planlaşdırma dövrünün minimum müddəti planlaşdırılan orqanların əməliyyat imkanları ilə müəyyən edilir. Müəssisənin istehsal və göndəriş şöbəsi sexlərə düzəliş edilmiş növbə tapşırıqlarının verilməsinin öhdəsindən gəlirsə, onda hər növbə üçün hesablama aparılır (yəni plan tapşırıqlarının hesablanması və təhlili ilə bağlı xərclər hər növbədə çəkilir).

Təsadüfi ehtimal paylanmasının ədədi xarakteristikalarını müəyyən etmək

"İqtisadiyyat və İdarəetmə" seriyasında biz bir montaj vahidinin istehsalının real texnoloji prosesinin ehtimal modelini quracağıq. Burada və bundan sonra montaj qurğusunun istehsalının texnoloji prosesi texnologiyada sənədləşdirilmiş əməliyyatlar ardıcıllığını (hissə və ya montaj üzrə məlumatların istehsalı üzrə iş) nəzərdə tutur. Məhsulun texnoloji marşruta uyğun istehsalının hər bir texnoloji əməliyyatı yalnız əvvəlkindən sonra həyata keçirilə bilər. Nəticə etibarilə, montaj qurğusunun istehsalının texnoloji prosesi hadisələr-əməliyyatlar ardıcıllığıdır. Müxtəlif stoxastik səbəblərin təsiri altında fərdi əməliyyatın müddəti dəyişə bilər. Bəzi hallarda, bu növbə tapşırığının müddəti ərzində əməliyyat tamamlanmaya bilər. Aydındır ki, bu hadisələr elementar komponentlərə bölünə bilər: fərdi əməliyyatların icrası və icra edilməməsi, bu da icra və uğursuzluq ehtimalları ilə əlaqələndirilə bilər.

Konkret texnoloji proses üçün K əməliyyatlarından ibarət ardıcıllığın yerinə yetirilməsi ehtimalı aşağıdakı düsturla ifadə edilə bilər:

RS5 = k) = (1-rk+1)PG = 1Р1 , (1)

burada: P1 ayrıca götürülən 1-ci əməliyyatın yerinə yetirilməsi ehtimalıdır; g - texnoloji prosesdə ardıcıllıqla əməliyyatların sayı.

Bu düsturdan istehsala buraxılan məhsulların çeşidi və müəyyən planlaşdırma dövründə yerinə yetirilməli olan işlərin siyahısı məlum olduqda, konkret planlaşdırma dövrünün stoxastik xüsusiyyətlərini, habelə onların stoxastik xüsusiyyətlərini müəyyən etmək üçün istifadə edilə bilər. empirik olaraq müəyyən edilir. Praktikada sadalanan tələblər yalnız xüsusiyyətlərin yüksək statistik sabitliyinə malik olan bəzi kütləvi istehsal növləri ilə təmin edilir.

Bir fərdi əməliyyatın yerinə yetirilməsi ehtimalı yalnız xarici amillərdən deyil, həm də yerinə yetirilən işin spesifik xarakterindən və montaj bölməsinin növündən asılıdır.

Verilmiş düsturun parametrlərini müəyyən etmək üçün, hətta nisbətən kiçik bir montaj vahidi dəsti ilə, məhsul çeşidində kiçik dəyişikliklər olsa da, əhəmiyyətli maddi və təşkilati xərclərə səbəb olan və bu metodu müəyyən etməyə imkan verən əhəmiyyətli miqdarda eksperimental məlumat tələb olunur. az istifadə olunan məhsulların fasiləsiz istehsalı ehtimalı.

Sadələşdirilə biləcəyini görmək üçün ortaya çıxan modeli nəzərdən keçirək. Təhlilin ilkin dəyəri məhsulun istehsalının texnoloji prosesinin bir əməliyyatının uğursuz yerinə yetirilməsi ehtimalıdır. Real istehsal şəraitində hər bir növün əməliyyatlarının yerinə yetirilməsi ehtimalları müxtəlifdir. Müəyyən bir texnoloji proses üçün bu ehtimal aşağıdakılardan asılıdır:

Görülən əməliyyatın növü üzrə;

Müəyyən bir montaj vahidindən;

Paralel istehsal olunan məhsullardan;

Xarici amillərdən.

Bir əməliyyatın yerinə yetirilməsi ehtimalının dəyişməsinin bu modeldən istifadə etməklə müəyyən edilmiş məhsulların istehsalı prosesinin ümumiləşdirilmiş xüsusiyyətlərinə (kommersiya məhsulunun həcmi, tamamlanmamış işin həcmi və s.) təsirini təhlil edək. Tədqiqatın məqsədi modeldə bir əməliyyatın yerinə yetirilməsinin müxtəlif ehtimallarının orta qiymətlə əvəzlənməsinin mümkünlüyünü təhlil etməkdir.

Orta texnoloji prosesin bir əməliyyatının yerinə yetirilməsinin həndəsi orta ehtimalı hesablanarkən bütün bu amillərin birgə təsiri nəzərə alınır. Müasir istehsalın təhlili göstərir ki, o, bir qədər dəyişir: praktiki olaraq 0,9 - 1,0 aralığında.

Bir əməliyyatın tamamlanma ehtimalının nə qədər aşağı olduğunun aydın təsviri

radio 0,9 dəyərinə uyğundur, aşağıdakı mücərrəd nümunədir. Fərz edək ki, on hissə etmək lazımdır. Onların hər birinin istehsalı üçün texnoloji proseslər on əməliyyatdan ibarətdir. Hər bir əməliyyatın yerinə yetirilməsi ehtimalı 0,9-dur. Müxtəlif sayda texnoloji proseslərin qrafikdən geri qalma ehtimallarını tapaq.

Montaj vahidinin istehsalı üçün müəyyən bir texnoloji prosesin qrafikdən geri qalmasından ibarət olan təsadüfi bir hadisə, bu prosesdə ən azı bir əməliyyatın aşağı performansına uyğundur. Bu, hadisənin əksidir: bütün əməliyyatların uğursuzluq olmadan yerinə yetirilməsi. Onun ehtimalı 1 - 0,910 = 0,65-dir. Cədvəl gecikmələri müstəqil hadisələr olduğundan, Bernoulli ehtimal paylanması müxtəlif sayda proseslərin qrafikdən geri qalma ehtimalını müəyyən etmək üçün istifadə edilə bilər. Hesablama nəticələri Cədvəl 1-də göstərilmişdir.

Cədvəl 1

Texnoloji proseslərin qrafikindən geri qalma ehtimallarının hesablanması

k С^о0,35к0,651О-к Məbləğ

Cədvəl göstərir ki, 0,92 ehtimalı ilə beş texnoloji proses, yəni yarı qrafikdən geri qalacaq. Cədvəldən geri qalan texnoloji proseslərin sayının riyazi gözləntisi 6,5 olacaq. Bu o deməkdir ki, orta hesabla 10-dan 6,5 yığma aqreqat qrafikdən geri qalacaq.Yəni orta hesabla 3-4 hissə nasazlıq olmadan istehsal olunacaq. Müəllifin real istehsalatda əməyin təşkilinin belə aşağı səviyyədə olması nümunələrindən xəbəri yoxdur. Nəzərdən keçirilən nümunə aydın şəkildə göstərir ki, bir əməliyyatın uğursuzluqlar olmadan yerinə yetirilməsi ehtimalına qoyulan məhdudiyyət praktikaya zidd deyil. Yuxarıda göstərilən tələblərin hamısı maşınqayırma istehsalının mexaniki yığma sexlərinin istehsal prosesləri ilə təmin edilir.

Beləliklə, istehsal proseslərinin stoxastik xüsusiyyətlərini müəyyən etmək üçün bir texnoloji prosesin operativ icrası üçün ehtimal paylamasının qurulması təklif olunur ki, bu da bir montaj vahidinin istehsalı üçün texnoloji əməliyyatların ardıcıllığının yerinə yetirilməsi ehtimalını həndəsi orta ehtimal vasitəsilə ifadə edir. bir əməliyyat yerinə yetirir. Bu halda K əməliyyatlarının yerinə yetirilməsi ehtimalı, hər bir əməliyyatın tamamlanma ehtimallarının hasilinə bərabər olacaq, qalan texnoloji prosesin yerinə yetirilməməsi ehtimalına vurulur və bu, (K) yerinə yetirilməməsi ehtimalı ilə üst-üstə düşür. + T)-ci əməliyyat. Bu fakt onunla izah olunur ki, hər hansı bir əməliyyat aparılmazsa, o zaman aşağıdakı əməliyyatlar həyata keçirilə bilməz. Sonuncu giriş qalanlardan fərqlənir, çünki bütün texnoloji prosesin uğursuzluqlar olmadan tam başa çatma ehtimalını ifadə edir. Texnoloji prosesin K birinci əməliyyatlarının tamamlanma ehtimalı qalan əməliyyatların tamamlanmaması ehtimalı ilə unikal şəkildə bağlıdır. Beləliklə, ehtimal paylanması aşağıdakı formaya malikdir:

RY=0)=р°(1-р),

Р(§=1) = р1(1-р), (2)

Р(^=1) = р1(1-р),

P(^=u-1) = pn"1(1 - p), P(£=p) = pn,

burada: ^ - təsadüfi dəyişən, yerinə yetirilən əməliyyatların sayı;

p - bir əməliyyatın yerinə yetirilməsinin orta həndəsi ehtimalı, n - texnoloji prosesdə əməliyyatların sayı.

Nəticədə bir parametrli ehtimal paylanmasının tətbiqinin ədalətliliyi aşağıdakı əsaslandırmadan intuitiv şəkildə görünür. Tutaq ki, n elementdən ibarət nümunə üzərində bir 1 əməliyyatın yerinə yetirilməsi ehtimalının həndəsi ortasını hesabladıq, burada n kifayət qədər böyükdür.

р = УШТ7Р7= tl|p]t=1р!), (3)

burada: Iу - eyni icra ehtimalına malik olan əməliyyatların sayı; ] - eyni icra ehtimalına malik olan əməliyyatlar qrupunun indeksi; t - eyni icra ehtimalına malik əməliyyatlardan ibarət qrupların sayı;

^ = - - icra olunma ehtimalı ilə əməliyyatların baş verməsinin nisbi tezliyi p^.

Böyük ədədlər qanununa görə, qeyri-məhdud sayda əməliyyatlarla, müəyyən stoxastik xüsusiyyətlərə malik əməliyyatlar ardıcıllığında baş vermənin nisbi tezliyi bu hadisənin ehtimalına meyl edir. Bu, haradan gəlir

iki kifayət qədər böyük nümunə üçün = , yəni:

burada: t1, t2 - müvafiq olaraq birinci və ikinci nümunələrdəki qrupların sayı;

1*, I2 - müvafiq olaraq birinci və ikinci nümunələr qrupundakı elementlərin sayı.

Bu göstərir ki, əgər parametr çoxlu sayda testlər üçün hesablanırsa, o zaman verilmiş kifayət qədər böyük nümunə üçün hesablanmış P parametrinə yaxın olacaqdır.

Müxtəlif sayda texnoloji proses əməliyyatlarının yerinə yetirilməsi ehtimallarının həqiqi dəyərinə müxtəlif yaxınlığına diqqət yetirilməlidir. Sonuncudan başqa paylamanın bütün elementləri çarpan (I - P) ehtiva edir. P parametrinin qiyməti 0,9 - 1,0 diapazonunda olduğundan, çarpan (I - P) 0 - 0,1 arasında dəyişir. Bu amil orijinal modeldəki faktora (I - p;) uyğun gəlir. Təcrübə göstərir ki, müəyyən bir ehtimal üçün bu uyğunluq 300%-ə qədər səhvə səbəb ola bilər. Bununla belə, praktikada adətən müəyyən sayda əməliyyatların yerinə yetirilməsi ehtimalları deyil, texnoloji prosesin nasazlığı olmadan tam yerinə yetirilməsi ehtimalı maraqlıdır. Bu ehtimal bir çarpan (I - P) ehtiva etmir və buna görə də onun faktiki dəyərdən sapması kiçikdir (praktiki olaraq 3% -dən çox deyil). İqtisadi problemlər üçün bu olduqca yüksək dəqiqlikdir.

Bu şəkildə qurulmuş təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanması montaj vahidinin istehsal prosesinin stoxastik dinamik modelidir. Zaman, bir əməliyyatın müddəti kimi, dolayısı ilə iştirak edir. Model müəyyən bir müddətdən sonra (müvafiq sayda əməliyyatlar) montaj qurğusunun istehsalının istehsal prosesinin kəsilməməsi ehtimalını müəyyən etməyə imkan verir. Maşınqayırma istehsalının mexaniki yığma sexləri üçün bir texnoloji prosesin əməliyyatlarının orta sayı kifayət qədər böyükdür (15 - 80). Bu rəqəmi əsas hesab etsək və orta hesabla bir montaj qurğusunun istehsalında kiçik bir genişləndirilmiş iş növünün (torna, metal emalı, freze və s.) istifadə edildiyini düşünsək,

onda yaranan paylamadan stoxastik pozuntuların istehsal prosesinin gedişinə təsirini qiymətləndirmək üçün uğurla istifadə etmək olar.

Müəllif bu prinsip üzərində qurulmuş simulyasiya eksperimentini aparmışdır. 0.9 - 1.0 intervalında bərabər paylanmış psevdo-təsadüfi dəyərlər ardıcıllığını yaratmaq üçün işdə təsvir olunan psevdo-təsadüfi nömrə sensoru istifadə edilmişdir. Təcrübə proqramı COBOL alqoritmik dilində yazılmışdır.

Təcrübədə müəyyən bir texnoloji prosesin tam yerinə yetirilməsinin real ehtimallarını simulyasiya edən yaradılan təsadüfi dəyişənlərin məhsulları formalaşır. Onlar eyni paylanmanın təsadüfi ədədlərinin müəyyən ardıcıllığı üçün hesablanmış həndəsi orta qiymətdən istifadə etməklə əldə edilən texnoloji prosesin yerinə yetirilməsi ehtimalı ilə müqayisə edilir. Həndəsi orta məhsuldakı amillərin sayına bərabər gücə qaldırılır. Bu iki nəticə arasında nisbi faiz fərqi hesablanır. Təcrübə məhsullardakı müxtəlif sayda amillər və həndəsi ortanın hesablandığı ədədlərin sayı üçün təkrarlanır. Təcrübə nəticələrinin bir hissəsi Cədvəl 2-də göstərilmişdir.

cədvəl 2

Simulyasiya eksperimentinin nəticələri:

n - həndəsi orta qiymətin dərəcəsi; k - məhsulun dərəcəsi

p məhsulun sapmasına məhsulun sapmasına

10 1 0,9680 0% 7 0,7200 3% 13 0,6277 -7%

10 19 0,4620 -1% 25 0,3577 -1% 31 0,2453 2%

10 37 0,2004 6% 43 0,1333 4% 49 0,0888 6%

10 55 0,0598 8% 61 0,0475 5% 67 0,0376 2%

10 73 0,0277 1% 79 0,0196 9% 85 0,0143 2%

10 91 0,0094 9% 97 0,0058 0%

13 7 0,7200 8% 13 0,6277 0% 19 0,4620 0%

13 25 0,3577 5% 31 0,2453 6% 37 0,2004 4%

13 43 0,1333 3% 49 0,0888 8% 55 0,0598 8%

13 61 0,0475 2% 67 0,0376 8% 73 0,0277 2%

13 79 0,0196 1% 85 0,0143 5% 91 0,0094 5%

16 1 0,9680 0% 7 0,7200 9%

16 13 0,6277 2% 19 0,4620 3% 25 0,3577 0%

16 31 0,2453 2% 37 0,2004 2% 43 0,1333 5%

16 49 0,0888 4% 55 0,0598 0% 61 0,0475 7%

16 67 0,0376 5% 73 0,0277 5% 79 0,0196 2%

16 85 0,0143 4% 91 0,0094 0% 97 0,0058 4%

19 4 0,8157 4% 10 0,6591 1% 16 0,5795 -9%

19 22 0,4373 -5% 28 0,2814 5% 34 0,2256 3%

19 40 0,1591 6% 46 0,1118 1% 52 0,0757 3%

19 58 0,0529 4% 64 0,0418 3% 70 0,0330 2%

19 76 0,0241 6% 82 0,0160 1% 88 0,0117 8%

19 94 0,0075 7% 100 0,0048 3%

22 10 0,6591 4% 16 0,5795 -4% 22 0,4373 0%

22 28 0,2814 5% 34 0,2256 5% 40 0,1591 1%

22 46 0,1118 1% 52 0,0757 0% 58 0,0529 8%

22 64 0,0418 1% 70 0,0330 3% 76 0,0241 5%

22 82 0,0160 4% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

22 100 0,0048 1%

25 4 0,8157 3% 10 0,6591 0%

25 16 0,5795 0% 72 0,4373 -7% 28 0,2814 2%

25 34 0,2256 9% 40 0,1591 1% 46 0,1118 4%

25 52 0,0757 5% 58 0,0529 4% 64 0,0418 2%

25 70 0,0330 0% 76 0,0241 2% 82 0,0160 4%

28 4 0,8157 2% 10 0,6591 -2% 16 0,5795 -5%

28 22 0,4373 -3% 28 0,2814 2% 34 0,2256 -1%

28 40 0,1591 6% 46 0,1118 6% 52 0,0757 1%

28 58 0,0529 4% 64 0,041 8 9% 70 0,0330 5%

28 70 0,0241 2% 82 0,0160 3% 88 0,0117 1%

28 94 0,0075 100 0,0048 5%

31 10 0,6591 -3% 16 0,5795 -5% 22 0,4373 -4%

31 28 0,2814 0% 34 0,2256 -3% 40 0,1591 4%

31 46 0,1118 3% 52 0,0757 7% 58 0,0529 9%

31 64 0,0418 4% 70 0,0330 0% 76 0,0241 6%

31 82 0,0160 6% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

Bu simulyasiya təcrübəsini qurarkən məqsəd istehsal prosesinin genişləndirilmiş statistik xüsusiyyətlərindən biri olan ehtimal paylanmasından (2) istifadə edərək əldə etmək imkanını araşdırmaq idi - montaj qurğusunun istehsalının bir texnoloji prosesinin səhvsiz yerinə yetirilməsi ehtimalı, K əməliyyatlarından ibarətdir. Konkret texnoloji proses üçün bu ehtimal onun bütün əməliyyatlarının yerinə yetirilməsi ehtimallarının hasilinə bərabərdir. Simulyasiya təcrübəsinin göstərdiyi kimi, onun işlənmiş ehtimal modelindən istifadə etməklə əldə edilən ehtimaldan nisbi kənarlaşmaları 9%-dən çox deyil.

Simulyasiya təcrübəsi realdan daha əlverişsiz ehtimal paylanmasından istifadə etdiyi üçün praktiki uyğunsuzluqlar daha da kiçik olacaq. Həm azalma istiqamətində, həm də orta xarakteristikalar əsasında alınan dəyəri aşmaq istiqamətində kənarlaşmalar müşahidə olunur. Bu fakt onu deməyə əsas verir ki, tək bir texnoloji prosesin deyil, bir neçə prosesin uğursuz icrası ehtimalında sapma nəzərə alınarsa, bu, əhəmiyyətli dərəcədə az olacaqdır. Aydındır ki, daha çox texnoloji proseslər nəzərə alınarsa, o qədər kiçik olacaqdır. Beləliklə, simulyasiya təcrübəsi məhsulun istehsalının texnoloji prosesinin nasazlıq olmadan başa çatdırılması ehtimalı ilə bir parametrli riyazi modeldən istifadə zamanı əldə edilən ehtimal arasında yaxşı uyğunluğu göstərir.

Bundan əlavə, simulyasiya təcrübələri aparıldı:

Ehtimalın paylanması parametrinin qiymətləndirilməsinin statistik yaxınlaşmasını öyrənmək;

Natamam yerinə yetirilən əməliyyatların sayının riyazi gözləntisinin statistik sabitliyini öyrənmək;

Minimum planlaşdırma dövrünün müddətini müəyyənləşdirmək və planlaşdırılan və istehsal dövrləri vaxtında üst-üstə düşmədikdə istehsal prosesinin planlı və faktiki göstəriciləri arasındakı uyğunsuzluğu qiymətləndirmək üçün metodları təhlil etmək.

Təcrübələr texnikanın istifadəsi ilə əldə edilən nəzəri məlumatlar ilə simulyasiya yolu ilə əldə edilən empirik məlumatlar arasında yaxşı uyğunluğu göstərmişdir.

"İqtisadiyyat və İdarəetmə" seriyası

Real istehsal proseslərinin kompüterləri.

Qurulmuş riyazi modelin tətbiqi əsasında müəllif operativ idarəetmənin səmərəliliyini artırmaq üçün üç xüsusi metod işləyib hazırlamışdır. Onları yoxlamaq üçün ayrıca simulyasiya təcrübələri aparıldı.

1. Planlaşdırma dövrü üçün istehsal tapşırığının rasional həcminin müəyyən edilməsi metodikası.

2. Əməliyyat planlaşdırma dövrünün ən səmərəli müddətini müəyyən etmək üçün metodologiya.

3. Planlaşdırma və istehsal dövrləri arasında vaxt uyğunsuzluğu olduqda uyğunsuzluğun qiymətləndirilməsi.

Ədəbiyyat

1. Mordasov Yu.P. Təsadüfi pozuntular şəraitində minimum əməliyyat planlaşdırma dövrünün müddətinin müəyyən edilməsi / Kompüterdən istifadə edərək iqtisadi-riyazi və simulyasiya modelləşdirmə. - M: MIU im. S. Orconikidze, 1984.

2. Naylor T. İqtisadi sistemlərin modelləri ilə maşın simulyasiya təcrübələri. -M: Mir, 1975.

Konsentrasiyadan şaxələndirməyə keçid kiçik və orta biznesin iqtisadiyyatını inkişaf etdirmək üçün səmərəli üsuldur

prof. Kozlenko N. N. Maşınqayırma Universiteti

Annotasiya. Bu məqalə təmərküzləşmə strategiyasından diversifikasiya strategiyasına keçid yolu ilə Rusiyanın kiçik və orta biznesinin ən effektiv inkişafının seçilməsi problemini araşdırır. Diversifikasiyanın məqsədəuyğunluğu, onun üstünlükləri, diversifikasiya yolunun seçilməsi meyarları məsələlərinə baxılır, diversifikasiya strategiyalarının təsnifatı verilir.

Açar sözlər: kiçik və orta biznes; diversifikasiya; strateji uyğunluq; rəqabət üstünlükləri.

Makromühitin parametrlərində aktiv dəyişikliklər (bazar konyukturasının dəyişməsi, əlaqəli sahələrdə yeni rəqiblərin meydana çıxması, ümumilikdə rəqabət səviyyəsinin yüksəlməsi) çox vaxt kiçik və orta biznesin planlaşdırılmış strateji planlarının yerinə yetirilməməsinə səbəb olur. , kiçik və orta biznes müəssisələrinin obyektiv şərtləri ilə onların idarə olunması texnologiyasının səviyyəsi arasında əhəmiyyətli fərq səbəbindən müəssisələrin maliyyə-iqtisadi sabitliyində itkilər.

İqtisadi sabitliyin və rəqabət üstünlüklərinin qorunub saxlanılmasının əsas şərtləri idarəetmə sisteminin vaxtında reaksiya vermək və daxili istehsal proseslərini dəyişdirmək qabiliyyətidir (şaxələndirməni nəzərə alaraq çeşidi dəyişdirmək, istehsal və texnoloji prosesləri yenidən qurmaq, istehsal strukturunu dəyişdirmək). təşkil etmək, innovativ marketinq və idarəetmə vasitələrindən istifadə etmək).

Rusiya kiçik və orta müəssisələrinin istehsal növü və xidmət göstərmə təcrübəsinin tədqiqi kiçik müəssisələrin konsentrasiyadan diversifikasiyaya keçməsinin mövcud tendensiyası ilə bağlı aşağıdakı xüsusiyyətləri və əsas səbəb-nəticə əlaqələrini müəyyən etməyə imkan verdi.

KOBİ-lərin əksəriyyəti yerli və ya regional bazarlara xidmət göstərən kiçik, tək xəttli müəssisələr kimi fəaliyyətə başlayır. Fəaliyyətinin başlanğıcında belə bir şirkətin məhsul çeşidi çox məhduddur, kapital bazası zəifdir və rəqabət qabiliyyəti zəifdir. Tipik olaraq, bu cür şirkətlərin strategiyası satışların artmasına və bazar payına, habelə

4. Stokastik modellərin qurulması sxemi

Stokastik modelin qurulması öyrənilən prosesi təsvir edən tənliklərdən istifadə edərək sistemin davranışının işlənməsini, keyfiyyətinin qiymətləndirilməsini və öyrənilməsini əhatə edir. Bunun üçün real sistemlə xüsusi təcrübə apararaq ilkin məlumatlar əldə edilir. Bu zaman riyazi statistikanın dispersiya, korrelyasiya, reqressiya təhlili və s. kimi bölmələri əsasında eksperimentin planlaşdırılması, nəticələrin emalı, habelə nəticədə alınan modellərin qiymətləndirilməsi meyarları üçün metodlardan istifadə olunur.

Stokastik modelin inkişaf mərhələləri:

problemin formalaşdırılması

amillərin və parametrlərin seçilməsi

model növünün seçimi

eksperimentin planlaşdırılması

eksperimentin plana uyğun həyata keçirilməsi

statistik modelin qurulması

modelin adekvatlığının yoxlanılması (8, 9, 2, 3, 4 ilə əlaqəli)

model tənzimlənməsi

modeldən istifadə edərək prosesin öyrənilməsi (11-ə bağlıdır)

optimallaşdırma parametrlərinin və məhdudiyyətlərinin müəyyən edilməsi

modeldən istifadə edərək prosesin optimallaşdırılması (10 və 13-ə bağlıdır)

avtomatlaşdırma avadanlığı haqqında eksperimental məlumatlar

modeldən istifadə edərək prosesə nəzarət (12 ilə əlaqələndirilir)

1-dən 9-a qədər mərhələlərin birləşdirilməsi bizə birdən on birə qədər məlumat modeli verir - optimallaşdırma modeli, bütün nöqtələri birləşdirən - idarəetmə modeli.

5. Modelin emalı alətləri

CAE sistemlərindən istifadə edərək, aşağıdakı model emal prosedurlarını yerinə yetirə bilərsiniz:

sonlu element şəbəkəsinin 3D modelin üzərinə qoyulması,

istilik gərginliyi vəziyyətinin problemləri; hidroqazdinamika problemləri;

istilik və kütlə ötürmə problemləri;

əlaqə vəzifələri;

kinematik və dinamik hesablamalar və s.

növbə modelləri və Petri şəbəkələri əsasında mürəkkəb istehsal sistemlərinin simulyasiya modelləşdirilməsi

Tipik olaraq, CAE modulları şəkilləri rəngləndirmək və boz miqyasda çəkmək, orijinal və deformasiyaya uğramış hissələri örtmək, maye və qaz axınlarını vizuallaşdırmaq imkanı verir.

FEM-ə uyğun olaraq fiziki kəmiyyət sahələrinin modelləşdirilməsi sistemlərinin nümunələri: Nastran, Ansys, Cosmos, Nisa, Moldflow.

Makro səviyyədə dinamik proseslərin modelləşdirilməsi sistemlərinin nümunələri: Adams və Dyna - mexaniki sistemlərdə, Spice - elektron sxemlərdə, PA9 - çox aspektli modelləşdirmə üçün, yəni. iş prinsipləri müxtəlif təbiətli fiziki proseslərin qarşılıqlı təsirinə əsaslanan modelləşdirmə sistemləri üçün.

6. Riyazi modelləşdirmə. Analitik və simulyasiya modelləri

Riyazi model - layihələndirilən texniki obyektin bəzi (əsas) xassələrini adekvat şəkildə əks etdirən riyazi obyektlərin (ədədlər, dəyişənlər, çoxluqlar və s.) və onlar arasındakı münasibətlər toplusu. Riyazi modellər həndəsi, topoloji, dinamik, məntiqi və s.

- modelləşdirilmiş obyektlərin təsvirinin adekvatlığı;

Adekvatlıq regionu parametr məkanında model xətalarının məqbul hədlərdə qaldığı bölgədir.

- səmərəlilik (hesablama səmərəliliyi)- resurs xərcləri ilə müəyyən edilir,
modeli həyata keçirmək üçün tələb olunur (kompüter vaxtının sərfi, istifadə olunan yaddaş və s.);

- dəqiqlik - hesablanmış və həqiqi nəticələr arasında uyğunluq dərəcəsini (obyektin və modelin eyni xassələrinin təxminləri arasında uyğunluq dərəcəsi) müəyyən edir.

Riyazi modelləşdirmə- riyazi modellərin qurulması prosesi. Aşağıdakı mərhələləri ehtiva edir: problemin ifadəsi; modelin qurulması və onun təhlili; modeldən istifadə etməklə dizayn həllərinin alınması üsullarının işlənib hazırlanması; model və metodların eksperimental yoxlanılması və tənzimlənməsi.

Yaradılan riyazi modellərin keyfiyyəti daha çox məsələnin düzgün formalaşdırılmasından asılıdır. Həll olunan problemin texniki və iqtisadi məqsədlərini müəyyən etmək, bütün ilkin məlumatları toplamaq və təhlil etmək, texniki məhdudiyyətləri müəyyən etmək lazımdır. Modellərin qurulması prosesində sistem təhlili metodlarından istifadə edilməlidir.

Modelləşdirmə prosesi, bir qayda olaraq, iterativ xarakter daşıyır və bu, hər bir iterasiya addımında modelin inkişafının əvvəlki mərhələlərində qəbul edilmiş əvvəlki qərarların aydınlaşdırılmasını nəzərdə tutur.

Analitik modellər -çıxış parametrlərinin daxili və xarici parametrlərdən açıq-aşkar asılılıqları şəklində təqdim oluna bilən ədədi riyazi modellər. Simulyasiya modelləri - sistemə xarici təsirlər olduqda sistemdə prosesləri əks etdirən ədədi alqoritmik modellər. Alqoritmik modellər çıxış, daxili və xarici parametrlər arasındakı əlaqənin modelləşdirmə alqoritmi şəklində gizli şəkildə göstərildiyi modellərdir. Simulyasiya modelləri çox vaxt dizaynın sistem səviyyəsində istifadə olunur. Simulyasiya modelləşdirməsi eyni vaxtda və ya ardıcıl olaraq baş verən hadisələri simulyasiya edilmiş vaxtda təkrarlamaqla həyata keçirilir. Simulyasiya modelinə misal olaraq növbə sistemini simulyasiya etmək üçün Petri şəbəkəsindən istifadə etmək olar.

7. Riyazi modellərin qurulmasının əsas prinsipləri

Klassik (induktiv) yanaşma. Modelləşdiriləcək real obyekt ayrıca alt sistemlərə bölünür, yəni. modelləşdirmə üçün ilkin məlumatlar seçilir və modelləşdirmə prosesinin fərdi aspektlərini əks etdirən məqsədlər müəyyən edilir. Ayrı bir ilkin məlumat toplusuna əsaslanaraq, sistemin işləməsinin ayrı bir aspektinin modelləşdirilməsi məqsədi qoyulur, bu məqsəd əsasında gələcək modelin müəyyən bir komponenti formalaşır. Komponentlər dəsti bir modelə birləşdirilir.

Bu klassik yanaşma real obyektin fəaliyyətinin ayrı-ayrı aspektlərini ayırmaq və qarşılıqlı müstəqil şəkildə nəzərdən keçirmək mümkün olan kifayət qədər sadə modellər yaratmaq üçün istifadə edilə bilər. Xüsusidən ümumiyə doğru hərəkəti həyata keçirir.

Sistem yanaşması. Xarici sistemin təhlilindən məlum olan ilkin məlumatlara əsasən sistemə yuxarıdan qoyulan və ya onun həyata keçirilməsi imkanlarına əsaslanan məhdudiyyətlər və istismar məqsədi əsasında sistem modeli formalaşdırılır. Bu tələblərə əsasən, təxminən bəzi alt sistemlər və elementlər formalaşır və sintezin ən mürəkkəb mərhələsi - xüsusi seçim meyarlarından istifadə edilən sistem komponentlərinin seçilməsi həyata keçirilir. Sistem yanaşması həm də dizaynın iki əsas mərhələsini müəyyən etməkdən ibarət olan modelin inkişafının müəyyən ardıcıllığını nəzərdə tutur: makro dizayn və mikro dizayn.

Makro dizayn mərhələsi– real sistem və xarici mühit haqqında məlumatlar əsasında xarici mühitin modeli qurulur, sistem modelinin qurulması üçün resurslar və məhdudiyyətlər müəyyən edilir, real sistem modelinin adekvatlığını qiymətləndirmək üçün sistem modeli və meyarlar seçilir. Sistemin modelini və xarici mühitin modelini quraraq, sistemin işləməsinin effektivliyi meyarına əsaslanaraq, modelləşdirmə zamanı optimal idarəetmə strategiyası seçilir ki, bu da modelin imkanlarını həyata keçirməyə imkan verir. real sistemin fəaliyyətinin fərdi aspektlərini təkrarlayır.

Mikro dizayn mərhələsiəsasən seçilmiş modelin xüsusi növündən asılıdır. Simulyasiya modeli zamanı modelləşdirmə sisteminin informasiya, riyazi, texniki və proqram təminatının yaradılmasını təmin etmək lazımdır. Bu mərhələdə siz yaradılmış modelin əsas xüsusiyyətlərini müəyyən edə, onunla işləməyə sərf olunan vaxtı və modelin sistemin işləmə prosesinə uyğunluğunun verilmiş keyfiyyətini əldə etmək üçün resursların dəyərini qiymətləndirə bilərsiniz.Model növündən asılı olmayaraq. istifadə olunur
onu qurarkən sistemli yanaşmanın bir sıra prinsiplərini rəhbər tutmaq lazımdır:

modelin yaradılmasının mərhələləri və istiqamətləri üzrə mütənasib və ardıcıl irəliləyiş;

informasiyanın, resursun, etibarlılığın və digər xüsusiyyətlərin əlaqələndirilməsi;

modelləşdirmə sistemində fərdi iyerarxiya səviyyələri arasında düzgün əlaqə;

modelin qurulmasının fərdi təcrid olunmuş mərhələlərinin bütövlüyü.

Riyazi modelləşdirmədə istifadə olunan metodların təhlili

Riyazi modelləşdirmədə diferensial və ya inteqrodiferensial qismən diferensial tənliklərin həlli ədədi üsullardan istifadə etməklə həyata keçirilir. Bu üsullar müstəqil dəyişənlərin diskretləşdirilməsinə əsaslanır - onların tədqiq olunan məkanın seçilmiş nodal nöqtələrində sonlu dəyərlər dəsti ilə təmsil olunması. Bu nöqtələr bəzi şəbəkənin qovşaqları hesab olunur.

Şəbəkə üsulları arasında iki üsul ən çox istifadə olunur: sonlu fərq metodu (FDM) və sonlu elementlər metodu (FEM). Tipik olaraq, məkan müstəqil dəyişənlərin diskretləşdirilməsi həyata keçirilir, yəni. məkan şəbəkəsindən istifadə edin. Bu halda diskretləşmənin nəticəsi adi diferensial tənliklər sistemidir, daha sonra onlar sərhəd şərtlərindən istifadə edərək cəbri tənliklər sisteminə endirilir.

Tənliyi həll etmək lazım olsun LV(z) = f(z)

verilmiş sərhəd şərtləri ilə MV(z) = .(z),

Harada L Və M- diferensial operatorlar, V(z) - faza dəyişəni, z= (x 1, x 2, x 3, t) - müstəqil dəyişənlərin vektoru, f(z) və ψ.( z) - müstəqil dəyişənlərin verilmiş funksiyaları.

IN MKR törəmələrin fəza koordinatlarına görə cəbrləşdirilməsi törəmələrin sonlu fərq ifadələri ilə yaxınlaşmasına əsaslanır. Metoddan istifadə edərkən, hər bir koordinat və şablon növü üçün grid addımlarını seçməlisiniz. Şablon, müəyyən bir nöqtədə törəməni təxmin etmək üçün istifadə olunan dəyişənlərin dəyərləri olan nodal nöqtələr toplusu kimi başa düşülür.

FEA törəmələrin deyil, həllin özünün yaxınlaşmasına əsaslanır V(z). Lakin məlum olmadığı üçün yaxınlaşma əmsalları müəyyən edilməmiş ifadələrlə həyata keçirilir.

Bu zaman söhbət sonlu elementlər daxilində həllin yaxınlaşmasından gedir və onların kiçik ölçülərini nəzərə alaraq nisbətən sadə yaxınlaşdıran ifadələrin (məsələn, aşağı dərəcəli çoxhədlilərin) istifadəsindən danışmaq olar. Əvəzetmə nəticəsində belə polinomlar orijinal diferensial tənliyə daxil edilərək və diferensiallaşdırma əməliyyatları yerinə yetirilərək, verilmiş nöqtələrdə faza dəyişənlərinin qiymətləri alınır.

Çoxhədli yaxınlaşma. Metodların istifadəsi hamar funksiyanı çoxhədli ilə yaxınlaşdırmaq və daha sonra optimal nöqtənin koordinatlarını qiymətləndirmək üçün yaxınlaşan polinomdan istifadə etmək imkanı ilə əlaqələndirilir. Bu yanaşmanın səmərəli həyata keçirilməsi üçün zəruri şərtlər vardır unimodallıq və davamlılıq tədqiq olunan funksiya. Weierstrassın yaxınlaşma teoreminə görə, əgər funksiya müəyyən intervalda kəsilməzdirsə, o zaman onu kifayət qədər yüksək tərtibli çoxhədli ilə istənilən dəqiqlik dərəcəsi ilə yaxınlaşdırmaq olar. Weierstrass teoreminə görə, yaxınlaşan çoxhəddən istifadə etməklə alınan optimal nöqtənin koordinatlarının qiymətləndirilməsinin keyfiyyəti iki yolla yaxşılaşdırıla bilər: daha yüksək dərəcəli çoxhəddən istifadə etməklə və yaxınlaşma intervalını azaltmaqla. Polinom interpolyasiyasının ən sadə variantı kvadratik yaxınlaşmadır ki, bu da intervalın daxili nöqtəsində minimum qiymət alan funksiyanın ən azı kvadratik olması faktına əsaslanır.

"Dizayn həllərinin təhlili üçün modellər və üsullar" fənni (Kazakov Yu.M.)

Riyazi modellərin təsnifatı.

Riyazi modellərin abstraksiya səviyyələri.

Riyazi modellərə olan tələblər.

Stokastik modellərin qurulması sxemi.

Model emal alətləri.

Riyazi modelləşdirmə. Analitik və simulyasiya modelləri.

Riyazi modellərin qurulmasının əsas prinsipləri.

Riyazi modelləşdirmədə istifadə olunan metodların təhlili.

1. Riyazi modellərin təsnifatı

Riyazi model Texniki obyektin (MM) bu obyekti inkişaf etdirən mühəndisi maraqlandıran texniki obyektin xassələrini adekvat şəkildə əks etdirən riyazi obyektlərin (ədədlər, dəyişənlər, matrislər, çoxluqlar və s.) və onlar arasındakı münasibətlər məcmusudur.

Obyekt xassələrinin göstərilməsi xarakteri ilə:

Funksional - texniki sistemlərdə onların istismarı zamanı baş verən fiziki və ya informasiya proseslərini göstərmək üçün nəzərdə tutulmuşdur. Tipik funksional model elektrik, istilik, mexaniki prosesləri və ya məlumatın çevrilməsi proseslərini təsvir edən tənliklər sistemidir.

Struktur - obyektin struktur xüsusiyyətlərini (topoloji, həndəsi) göstərir. . Struktur modellər ən çox qrafiklər şəklində təqdim olunur.

İerarxik səviyyəyə aid olmaqla:

Mikro səviyyəli modellər – fiziki proseslərin fasiləsiz məkanda və zamanda nümayişi. Modelləşdirmə üçün riyazi fizika tənlikləri aparatından istifadə olunur. Bu cür tənliklərə qismən diferensial tənlikləri misal göstərmək olar.

Makro səviyyəli modellər. Əsas xüsusiyyətlərə görə məkanın genişləndirilməsi və detallaşdırılmasından istifadə olunur. Makro səviyyədə funksional modellər cəbri və ya adi diferensial tənliklər sistemləridir, onları əldə etmək və həll etmək üçün müvafiq ədədi üsullardan istifadə olunur.

Meta səviyyəli modellər. Nəzərdən keçirilən obyektlər ətraflı təsvir edilmişdir. Meta səviyyədə riyazi modellər - adi diferensial tənliklər sistemləri, məntiqi tənliklər sistemləri, növbə sistemlərinin simulyasiya modelləri.

Modeli əldə etmə üsulu ilə:

Nəzəri - nümunələrin öyrənilməsi əsasında qurulur. Empirik modellərdən fərqli olaraq, nəzəri modellər əksər hallarda daha universaldır və daha geniş problemlərə tətbiq olunur. Nəzəri modellər xətti və qeyri-xətti, davamlı və diskret, dinamik və statistikdir.

Empirik

CAD-də riyazi modellərə əsas tələblər:

modelləşdirilmiş obyektlərin təsvirinin adekvatlığı;

Model obyektin müəyyən edilmiş xassələrini məqbul dəqiqliklə əks etdirdikdə və əks olunan xassələrin və adekvatlıq sahələrinin siyahısı ilə qiymətləndirilirsə, adekvatlıq baş verir. Adekvatlıq regionu parametr məkanında model xətalarının məqbul hədlərdə qaldığı bölgədir.

iqtisadiyyat (hesablama səmərəliliyi)– modeli həyata keçirmək üçün tələb olunan resursların məsrəfləri ilə müəyyən edilir (kompüter vaxtı xərcləri, istifadə olunan yaddaş və s.);

dəqiqlik– hesablanmış və həqiqi nəticələr arasında üst-üstə düşmə dərəcəsini müəyyən edir (obyekt və modelin eyni xassələrinin təxminləri arasında uyğunluq dərəcəsi).

Riyazi modellərə bir sıra digər tələblər də qoyulur:

Hesablama qabiliyyəti, yəni. obyektin (sistemin) işləməsinin keyfiyyət və kəmiyyət qanunauyğunluqlarını əl ilə və ya kompüterin köməyi ilə öyrənmək bacarığı.

Modulluq, yəni. model strukturların obyektin (sistemin) struktur komponentlərinə uyğunluğu.

Alqoritmlilik, yəni. riyazi modeli kompüterdə həyata keçirən müvafiq alqoritmin və proqramın işlənib hazırlanması imkanı.

Görünüş, yəni. modelin rahat vizual qavrayışı.

Cədvəl. Riyazi modellərin təsnifatı

Mikro səviyyədə riyazi modellər istehsal prosesi, məsələn, metalların kəsilməsi zamanı baş verən fiziki prosesləri əks etdirir. Onlar keçid səviyyəsində prosesləri təsvir edirlər.

Makro səviyyədə riyazi modellər istehsal prosesi texnoloji prosesləri təsvir edir.

Meta səviyyədə riyazi modellərİstehsal prosesi texnoloji sistemlərlə (sahələr, sexlər, bütövlükdə müəssisə) təsvir olunur.

Struktur riyazi modellər obyektlərin struktur xüsusiyyətlərini göstərmək üçün nəzərdə tutulmuşdur. Məsələn, CAD TP-də texnoloji prosesin strukturunu və məhsulların parçalanmasını təmsil etmək üçün struktur-məntiqi modellərdən istifadə olunur.

Funksional riyazi modellərəməliyyat avadanlıqlarında, texnoloji proseslər zamanı və s. baş verən informasiya, fiziki, zaman proseslərini göstərmək üçün nəzərdə tutulmuşdur.

Nəzəri riyazi modellər obyektlərin (proseslərin) nəzəri səviyyədə öyrənilməsi nəticəsində yaranır.

Empirik riyazi modellər təcrübələrin aparılması (giriş və çıxışda onun parametrlərini ölçməklə obyektin xassələrinin xarici təzahürlərinin öyrənilməsi) və onların nəticələrinin riyazi statistika metodlarından istifadə etməklə işlənməsi nəticəsində yaradılır.

Deterministik riyazi modellər indiki və gələcəkdə tam əminlik mövqeyindən obyektin davranışını təsvir edin. Belə modellərə misal olaraq: fiziki qanunların düsturları, hissələrin emalı üçün texnoloji proseslər və s.

Ehtimallı riyazi modellər təsadüfi amillərin obyektin davranışına təsirini nəzərə almaq, yəni. onun gələcəyini müəyyən hadisələrin baş vermə ehtimalı nöqteyi-nəzərindən qiymətləndirmək.

Analitik modellər - çıxış parametrlərinin daxili və xarici parametrlərdən açıq-aşkar asılılıqları şəklində təqdim oluna bilən ədədi riyazi modellər.

Alqoritmik riyazi modellərçıxış parametrləri ilə giriş və daxili parametrlər arasında əlaqəni alqoritm şəklində ifadə edin.

Simulyasiya riyazi modelləri– bunlar prosesə (obyektə) xarici təsirlərin müəyyən edildiyi zaman prosesin inkişafını (tədqiq olunan obyektin davranışını) əks etdirən alqoritmik modellərdir. Məsələn, bunlar alqoritmik formada göstərilən növbə sistemlərinin modelləridir.

Stokastik modelin qurulması öyrənilən prosesi təsvir edən tənliklərdən istifadə edərək sistemin davranışının işlənməsini, keyfiyyətinin qiymətləndirilməsini və öyrənilməsini əhatə edir.

Bunun üçün real sistemlə xüsusi təcrübə apararaq ilkin məlumatlar əldə edilir. Bu zaman riyazi statistikanın dispersiya, korrelyasiya, reqressiya təhlili və s. kimi bölmələri əsasında eksperimentin planlaşdırılması, nəticələrin emalı, habelə nəticədə alınan modellərin qiymətləndirilməsi meyarları üçün metodlardan istifadə olunur.

Texnoloji prosesi təsvir edən statistik modelin qurulması üsulları (şək. 6.1) “qara qutu” konsepsiyasına əsaslanır. Bunun üçün giriş faktorlarının bir neçə ölçülməsi mümkündür: x 1 ,x 2 ,…,x k və çıxış parametrləri: y 1 ,y 2 ,…,y s, nəticələrinə əsasən asılılıqlar qurulur:

Statistik modelləşdirmədə problemin (1) formalaşdırılmasından sonra prosesin gedişatına təsir edən çoxlu sayda giriş dəyişənlərindən ən az əhəmiyyətli amillər aradan qaldırılır (2). Əlavə tədqiqat üçün seçilmiş giriş dəyişənləri amillərin siyahısını təşkil edir x 1 ,x 2 ,…,x k(6.1)-də, hansını idarə etməklə çıxış parametrlərini tənzimləyə bilərsiniz y n. Eksperimental və məlumatların emalı xərclərini azaltmaq üçün mümkün olduqda model nəticələrinin sayı da azaldılmalıdır.

Statistik model işlənib hazırlanarkən onun strukturu (3) adətən ixtiyari olaraq, eksperimental məlumatları təxmin edən asan istifadə olunan funksiyalar şəklində dəqiqləşdirilir və sonra modelin adekvatlığının qiymətləndirilməsi əsasında dəqiqləşdirilir.

Modelin çoxhədli forması ən çox istifadə olunur. Beləliklə, kvadrat funksiya üçün:

(6.2)

Harada b 0 , b i , b ij , b ii– reqressiya əmsalları.

Adətən, biz əvvəlcə özümüzü ən sadə xətti modellə məhdudlaşdırırıq, bunun üçün (6.2) b ii =0, b ij =0. Qeyri-adekvat olarsa, model amillərin qarşılıqlı təsirini nəzərə alan terminlər tətbiq etməklə mürəkkəbləşir. x i , x j və (və ya) kvadrat terminlər.

Aparılan təcrübələrdən maksimum məlumat çıxarmaq və onların sayını azaltmaq üçün təcrübələr planlaşdırılır (4), yəni. problemi verilmiş dəqiqliklə həll etmək üçün zəruri və kifayət qədər təcrübələrin aparılması üçün sayda və şərtlərin seçilməsi.

Statistik modelləri qurmaq üçün iki növ təcrübədən istifadə olunur: passiv və aktiv. Passiv təcrübə nəzarətsiz prosesin gedişatının uzunmüddətli müşahidəsi formasında həyata keçirilir ki, bu da statistik təhlil üçün geniş spektrli məlumat toplamaq imkanı verir. IN aktiv təcrübə təcrübələrin şərtlərini tənzimləmək mümkündür. Onu həyata keçirərkən, faktorların qarşılıqlı təsirini müəyyən etməyə və təcrübələrin sayını azaltmağa imkan verən müəyyən bir plana uyğun olaraq bütün amillərin dəyərlərini eyni vaxtda dəyişdirmək ən effektivdir.

Təcrübələrin (5) nəticələrinə əsasən reqressiya əmsalları (6.2) hesablanır və onların statistik əhəmiyyəti qiymətləndirilir ki, bu da modelin (6) qurulmasını tamamlayır. Modelin (7) adekvatlığının ölçüsü dispersiyadır, yəni. eksperimental olanlardan hesablanmış dəyərlərin standart sapması. Təcrübələrin əldə edilən dəqiqliyi nəzərə alınmaqla əldə edilən dispersiya icazə verilən ilə müqayisə edilir.

Bilik bazasında yaxşı işinizi göndərin sadədir. Aşağıdakı formadan istifadə edin

Tədris və işlərində bilik bazasından istifadə edən tələbələr, aspirantlar, gənc alimlər Sizə çox minnətdar olacaqlar.

http://www.allbest.ru/ saytında yerləşdirilib

1. Stokastik proses modelinin qurulması nümunəsi

Bankın fəaliyyət göstərməsi prosesində çox vaxt aktivlərin vektorunu seçmək problemini həll etmək zərurəti yaranır, yəni. bankın investisiya portfeli və bu tapşırıqda nəzərə alınmalı olan qeyri-müəyyən parametrlər ilk növbədə aktivlərin qiymətlərinin qeyri-müəyyənliyi ilə bağlıdır (qiymətli kağızlar, real investisiyalar və s.). Nümunə olaraq dövlətin qısamüddətli öhdəlikləri portfelinin formalaşmasını misal göstərə bilərik.

Bu sinfin problemləri üçün əsas məsələ qiymət dəyişikliklərinin stoxastik prosesinin modelinin qurulmasıdır, çünki əməliyyat tədqiqatçısının ixtiyarında, təbii ki, təsadüfi dəyişənlərin - qiymətlərin reallaşdırılmasının yalnız sonlu müşahidələri mövcuddur. Sonra, Rusiya Elmlər Akademiyasının Hesablama Mərkəzində stoxastik Markov proseslərinə nəzarət problemlərinin həlli ilə əlaqədar hazırlanan bu problemin həllinə yanaşmalardan birini təsvir edirik.

Baxılır M qiymətli kağızların növləri, i=1,… , M, xüsusi birja sessiyalarında satılan. Qiymətli kağızlar dəyərlərlə xarakterizə olunur - cari sessiya zamanı faizlə ifadə olunan gəlirlər. Əgər sessiyanın sonunda növlü qiymətli kağız bir qiymətə alınıb sessiyanın sonunda qiymətə satılırsa, o zaman.

Gəlirlər aşağıdakı kimi formalaşmış təsadüfi dəyişənlərdir. Əsas gəlirlərin - Markov prosesini təşkil edən və aşağıdakı düsturla təyin olunan təsadüfi dəyişənlərin olduğu güman edilir:

Burada, sabitlərdir və standart normal paylanmış təsadüfi dəyişənlərdir (yəni, sıfır riyazi gözlənti və vahid dispersiya ilə).

burada müəyyən miqyas əmsalı ()-ə bərabərdir və əsas dəyərdən kənarlaşma mənasını daşıyan və oxşar şəkildə müəyyən edilən təsadüfi dəyişəndir:

burada da standart normal paylanmış təsadüfi dəyişənlərdir.

Ehtimal edilir ki, bundan sonra operator adlanacaq hansısa əməliyyat tərəfi öz qiymətli kağızlara yatırılan kapitalını (hər an dəqiq bir qiymətli kağız növündə) idarə edir, cari sessiyanın sonunda onları satır və əldə edilən vəsaitlə dərhal digər qiymətli kağızları alır. Alınan qiymətli kağızların idarə edilməsi və seçilməsi operatorun qiymətli kağızların gəlirliliyini formalaşdıran prosesdən xəbərdarlığından asılı olan alqoritmə uyğun olaraq həyata keçirilir. Bu şüurla bağlı müxtəlif fərziyyələri və müvafiq olaraq müxtəlif nəzarət alqoritmlərini nəzərdən keçirəcəyik. Güman edirik ki, əməliyyat tədqiqatçısı prosesin mövcud müşahidə silsiləsi, yəni mübadilə sessiyalarında qiymətlərin bağlanması haqqında məlumatlardan istifadə edərək, həmçinin müəyyən bir müddət ərzində müvafiq qiymətlər haqqında məlumatlardan istifadə edərək nəzarət alqoritmini hazırlayır və optimallaşdırır. nömrələrlə seanslara. Təcrübələrin məqsədi müxtəlif nəzarət alqoritmlərinin gözlənilən səmərəliliyinin təxminlərini onların nəzəri riyazi gözləntiləri ilə alqoritmlərin eyni müşahidələr seriyası üzrə konfiqurasiya edildiyi və qiymətləndirildiyi şəraitdə müqayisə etməkdir. Nəzəri riyazi gözləntiləri qiymətləndirmək üçün Monte Karlo metodu kifayət qədər həcmli yaradılan seriya üzərində nəzarəti “işlətməklə” istifadə olunur, yəni. ölçülər matrisinə görə, burada sütunlar dəyərlərin reallaşdırılmasına və seanslara uyğundur və sayı hesablama imkanları ilə müəyyən edilir, lakin matrisin ən azı 10.000 elementi olması şərtilə. ” həyata keçirilən bütün təcrübələrdə eyni olmalıdır. Mövcud müşahidələr seriyası, hüceyrələrdəki dəyərlərin yuxarıdakı kimi eyni mənaya sahib olduğu yaradılan ölçülü matris tərəfindən simulyasiya edilir. Bu matrisin sayı və dəyərləri daha da dəyişəcək. Hər iki növün matrisləri təsadüfi ədədlərin yaradılması, təsadüfi dəyişənlərin reallaşdırılmasının imitasiya edilməsi və bu tətbiqlərdən və düsturlardan (1) - (3) istifadə edərək tələb olunan matrisin elementlərinin hesablanması proseduru ilə formalaşır.

Bir sıra müşahidələr üzrə idarəetmənin səmərəliliyinin qiymətləndirilməsi düsturdan istifadə etməklə aparılır

burada müşahidələr silsiləsində sonuncu sessiyanın indeksi və addımda alqoritm tərəfindən seçilmiş bağların sayıdır, yəni. seans zamanı alqoritmə uyğun olaraq operatorun kapitalının tutulacağı istiqrazların növü. Bundan əlavə, aylıq səmərəliliyi də hesablayacağıq. 22 rəqəmi təxminən ayda keçirilən ticarət sessiyalarının sayına uyğundur.

Hesablama təcrübələri və nəticələrin təhlili

Hipotezlər

Gələcək gəlirliliyin operator tərəfindən dəqiq biliyi.

İndeks kimi seçilir. Bu seçim bütün mümkün idarəetmə alqoritmləri üçün yuxarı qiymət verir, hətta əlavə məlumat (bəzi əlavə amillər nəzərə alınmaqla) qiymət proqnozu modelini dəqiqləşdirməyə imkan verir.

Təsadüfi nəzarət.

Operator qiymət qanununu bilmir və əməliyyatları təsadüfi şəkildə həyata keçirir. Nəzəri olaraq, bu modeldə əməliyyatların nəticəsinin riyazi gözləntiləri eyni ilə üst-üstə düşür, sanki operator kapitalı bir qiymətli kağıza deyil, hamısına bərabər şəkildə yatırmışdır. Dəyərlərin riyazi gözləntiləri sıfır olduqda, dəyərin riyazi gözləntiləri 1-ə bərabərdir. Bu fərziyyəyə əsaslanan hesablamalar yalnız o mənada faydalıdır ki, onlar yazılan proqramların düzgünlüyünə və yaradılan matrisa müəyyən dərəcədə nəzarət etməyə imkan verir. dəyərlər.

Mənfəət modelini, onun bütün parametrlərini və müşahidə edilə bilən dəyərlərini dəqiq bilən idarəetmə .

Bu halda, seansın sonunda operator hər iki seans üçün dəyərləri bilərək və hesablamalarımızda sətirlərdən və matrislərdən istifadə edərək (1) - ( düsturlardan istifadə edərək dəyərlərin riyazi gözləntilərini hesablayır. 3) və bu kəmiyyətlərin ən böyüyü olan kağızı almaq üçün seçir.

harada, (2)-ə uyğun olaraq. (6)

Qayıdış modelinin strukturu və müşahidə olunan dəyər haqqında məlumatlı idarəetmə , lakin naməlum əmsallar .

Güman edirik ki, əməliyyatın tədqiqatçısı nəinki əmsalların dəyərlərini bilmir, həm də formalaşmaya təsir edən kəmiyyətlərin sayını, bu parametrlərin əvvəlki dəyərlərini (Markov proseslərinin yaddaş dərinliyi) bilmir. . O, həmçinin fərqli qiymətlər üçün əmsalların eyni və ya fərqli olduğunu bilmir. Tədqiqatçının hərəkətlərinin müxtəlif variantlarını nəzərdən keçirək - 4.1, 4.2 və 4.3, burada ikinci indeks tədqiqatçının proseslərin yaddaş dərinliyi haqqında fərziyyəsini ifadə edir (və üçün eynidir). Məsələn, 4.3-cü halda tədqiqatçı onun tənliyə uyğun formalaşdığını güman edir

Tamlıq üçün buraya dummy termin əlavə edilmişdir. Bununla belə, bu termin istər əsas mülahizələrdən, istərsə də statistik üsullarla xaric edilə bilər. Buna görə hesablamaları sadələşdirmək üçün parametrləri nəzərdən keçirərkən pulsuz şərtləri daha da istisna edirik və düstur (7) formanı alır:

Tədqiqatçının müxtəlif qiymətlər üçün əmsalların eyni və ya fərqli olmasını qəbul etməsindən asılı olaraq, biz 4.m. 1 - 4.m. 2, m = 1 - 3. hallarda 4.m. 1 əmsal bütün qiymətli kağızlar üçün birlikdə müşahidə edilən dəyərlər əsasında düzəldiləcəkdir. hallarda 4.m. 2-də əmsallar hər bir məqalə üçün ayrıca düzəldilir, tədqiqatçı isə əmsalların fərqli olanlar üçün fərqli olması fərziyyəsi ilə işləyir, məsələn, 4.2.2. dəyərlər dəyişdirilmiş düsturla müəyyən edilir (3)

İlk quraşdırma üsulu- klassik ən kiçik kvadratlar üsulu. 4.3-cü variantda əmsalların təyin edilməsi nümunəsindən istifadə edərək bunu nəzərdən keçirək.

Formula (8) uyğun olaraq,

Dəyərlərin riyazi gözləntisinin (9) düsturla müəyyən edilməsi şərti ilə məlum müşahidələr seriyası, massiv üzrə həyata keçirmək üçün seçmə fərqini minimuma endirmək üçün əmsalların belə dəyərlərini tapmaq tələb olunur.

Burada və bundan sonra “” işarəsi təsadüfi dəyişənin həyata keçirilməsini göstərir.

Kvadrat formanın (10) minimumu bütün qismən törəmələrin sıfıra bərabər olduğu bir nöqtədə əldə edilir. Buradan üç cəbri xətti tənlik sistemi əldə edirik:

həlli əmsalların tələb olunan qiymətlərini verən.

Əmsallar yoxlanıldıqdan sonra nəzarət vasitələrinin seçilməsi 3-cü halda olduğu kimi həyata keçirilir.

Şərh. Proqramlar üzərində işi asanlaşdırmaq üçün, düstura (5) deyil, formada onun dəyişdirilmiş versiyasına diqqət yetirərək, Hipotez 3 üçün təsvir olunan nəzarət seçim prosedurunu dərhal yazmaq adətdir.

Bu halda 4.1.m və 4.2.m, m = 1, 2 halları üçün hesablamalarda əlavə əmsallar sıfıra endirilir.

İkinci quraşdırma üsulu düsturdan (4) təxmini maksimuma çatdırmaq üçün parametr dəyərlərinin seçilməsindən ibarətdir. Bu problem analitik və hesablama baxımından ümidsiz dərəcədə mürəkkəbdir. Buna görə də, burada yalnız başlanğıc nöqtəsinə nisbətən meyarın dəyərinin müəyyən qədər yaxşılaşdırılması üsulları haqqında danışa bilərik. Ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edərək əldə edilən dəyərləri başlanğıc nöqtəsi kimi götürə və sonra bu dəyərlər ətrafında bir şəbəkədə hesablaya bilərsiniz. Bu vəziyyətdə hərəkətlərin ardıcıllığı aşağıdakı kimidir. Birincisi, şəbəkə digər parametrlər sabit olan parametrlərdən (kvadrat və ya kub) istifadə etməklə hesablanır. Sonra hallar üçün 4.m. 1, tor parametrlərdən istifadə etməklə hesablanır və hallar üçün 4.m. 2 digər parametrləri sabit olan parametrlər üzrə. 4.m halda. 2, sonra parametrlər də optimallaşdırılır. Bu proseslə bütün parametrlər tükəndikdə proses təkrarlanır. Yeni dövrə əvvəlki ilə müqayisədə meyar dəyərlərində yaxşılaşma təmin edənə qədər təkrarlar həyata keçirilir. İterasiyaların sayının çox olmasının qarşısını almaq üçün aşağıdakı texnikanı tətbiq edirik. 2 və ya 3 ölçülü parametr fəzasında hesablamaların hər bir blokunun içərisində əvvəlcə kifayət qədər qaba tor götürülür, sonra ən yaxşı nöqtə şəbəkənin kənarındadırsa, o zaman tədqiq olunan kvadrat (kub) yerdəyişdirilir və hesablama təkrarlanır, əgər ən yaxşı nöqtə daxilidirsə, o zaman bu nöqtənin ətrafında daha kiçik bir addımla, lakin eyni ümumi xallarla yeni bir şəbəkə qurulur və s. müəyyən, lakin məqbul sayda.

Müşahidə olunmayanlar altında nəzarət və müxtəlif qiymətli kağızların gəlirləri arasında asılılıq nəzərə alınmadan.

Bu o deməkdir ki, əməliyyat tədqiqatçısı müxtəlif qiymətli kağızlar arasında asılılığı hiss etmir, mövcudluğu haqqında heç nə bilmir və hər bir qiymətli kağızın davranışını ayrıca proqnozlaşdırmağa çalışır. Həmişə olduğu kimi, tədqiqatçının 1, 2 və 3 dərinlikli Markov prosesi şəklində gəlirlərin yaradılması prosesini modelləşdirdiyi üç halı nəzərdən keçirək:

Gözlənilən gəlirliliyin proqnozlaşdırılması üçün əmsallar vacib deyil və əmsallar 4-cü bənddə təsvir olunan iki üsulla tənzimlənir. Nəzarət vasitələri yuxarıda göstərildiyi kimi seçilir.

Qeyd: Nəzarət elementinin seçilməsində olduğu kimi, ən kiçik kvadratlar metodu üçün də maksimum sayda dəyişənli tək prosedurun yazılması məna kəsb edir - 3. Əgər tənzimlənən dəyişənlər, məsələn, xətti sistemin həlli üçün düstur yazılır. out, yalnız sabitləri ehtiva edir, ilə müəyyən edilir, və vasitəsilə. Dəyişənlərin üçdən az olduğu hallarda əlavə dəyişənlərin dəyərləri sıfırlanır.

Müxtəlif variantlarda hesablamalar oxşar şəkildə aparılsa da, variantların sayı kifayət qədər çoxdur. Yuxarıda göstərilən bütün variantlarda hesablamalar üçün alətlər hazırlamaq çətin olduğu ortaya çıxdıqca, onların sayının azaldılması məsələsinə ekspert səviyyəsində baxılır.

Müşahidə olunmayanlar altında nəzarət müxtəlif qiymətli kağızların gəlirləri arasında asılılığı nəzərə alaraq.

Bu təcrübələr seriyası GKO tapşırığında yerinə yetirilən manipulyasiyaları simulyasiya edir. Güman edirik ki, tədqiqatçı gəlirlərin formalaşma mexanizmi haqqında praktiki olaraq heç nə bilmir. Onun yalnız bir sıra müşahidələri, matrisi var. Əhəmiyyətli səbəblərə görə o, bütövlükdə bazarın vəziyyəti ilə müəyyən edilmiş müəyyən əsas gəlir ətrafında qruplaşdırılan müxtəlif qiymətli kağızların cari gəlirlərinin qarşılıqlı asılılığı haqqında fərziyyə irəli sürür. Sessiyadan sessiyaya qiymətli kağızların gəlirlərinin qrafiklərini nəzərə alaraq, o, zamanın hər anında koordinatları qiymətli kağızların nömrələri və gəlirləri olan nöqtələrin (əslində, bunlar qiymətli kağızların ödəmə müddətləri və onların qiymətləri idi) yaxın qruplaşdırıldığını fərz edir. müəyyən əyri (GKO-larda - parabolalarda).

Burada nəzəri düz xəttin y oxu ilə kəsişmə nöqtəsi (əsas gəlirlilik) və onun yamacıdır (0,05-ə bərabər olmalıdır).

Nəzəri düz xətləri bu şəkildə quraraq, əməliyyat tədqiqatçısı dəyərləri - kəmiyyətlərin nəzəri dəyərlərindən kənarlaşmalarını hesablaya bilər.

(Qeyd edək ki, burada onlar (2) düsturundan bir qədər fərqli məna daşıyırlar. Ölçü əmsalı yoxdur və kənarlaşmalar əsas qiymətdən deyil, nəzəri düz xəttdən nəzərə alınır.)

Növbəti vəzifə, hazırda məlum olan dəyərlərə əsaslanan dəyərləri proqnozlaşdırmaqdır. Çünki

dəyərləri proqnozlaşdırmaq üçün tədqiqatçı dəyərlərin formalaşması haqqında fərziyyə təqdim etməlidir və. Matrisdən istifadə edərək tədqiqatçı kəmiyyətlər və arasında əhəmiyyətli korrelyasiya qura bilər. Kəmiyyətlər arasında xətti əlaqə fərziyyəsini aşağıdakılardan qəbul edə bilərsiniz: . Əsas səbəblərə görə əmsal dərhal sıfıra təyin olunur və ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edərək aşağıdakı formada tapılır:

Bundan əlavə, yuxarıda göstərildiyi kimi, onlar Markov prosesindən istifadə etməklə modelləşdirilir və baxılan variantda Markov prosesinin yaddaş dərinliyindən asılı olaraq müxtəlif sayda dəyişənlərlə (1) və (3) oxşar düsturlarla təsvir edilir. (burada düstur (2) ilə deyil, düstur (16) ilə müəyyən edilir)

Nəhayət, yuxarıda göstərildiyi kimi, ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə etməklə parametrlərin təyin edilməsinin iki üsulu həyata keçirilir və kriteriyanın birbaşa maksimumlaşdırılması ilə qiymətləndirmələr aparılır.

Təcrübələr

Təsvir edilən bütün variantlar üçün kriteriya təxminləri müxtəlif matrislərdən istifadə etməklə hesablanmışdır. (sətirlərin sayı 1003, 503, 103 olan matrislər və hər ölçü seçimi üçün yüzə yaxın matris yerinə yetirilmişdir). Hər bir ölçü üzrə hesablama nəticələrinə əsasən, hazırlanmış variantların hər biri üçün dəyərlərin riyazi gözləntiləri və dispersiyaları və onların qiymətlərdən kənara çıxması təxmin edilmişdir.

Az sayda tənzimlənən parametrlərlə (təxminən 4) hesablama təcrübələrinin ilk seriyası göstərdiyi kimi, tənzimləmə metodunun seçimi problemdəki meyarın dəyərinə əhəmiyyətli təsir göstərmir.

2. Modelləşdirmə vasitələrinin təsnifatı

stokastik simulyasiya bankı alqoritmi

Modelləşdirmə üsullarının və modellərinin təsnifatı modellərin təfərrüat dərəcəsinə, xüsusiyyətlərinin xarakterinə, tətbiq sahəsinə və s.

Modelləşdirmə vasitələrinə görə modellərin ümumi təsnifatlarından birini nəzərdən keçirək, bu aspekt müxtəlif hadisələri və sistemləri təhlil edərkən ən vacibdir.

material tədqiqat tədqiq olunan obyektlə əlaqəsi obyektiv mövcud olan və maddi xarakter daşıyan modellər üzrə aparıldıqda. Bu zaman modellər tədqiqatçı tərəfindən qurulur və ya ətraf aləmdən seçilir.

Modelləşdirmə vasitələrinə əsasən modelləşdirmə üsulları iki qrupa bölünür: maddi üsullar və ideal modelləşdirmə üsulları.Modelləşdirmə adlanır. material tədqiqat tədqiq olunan obyektlə əlaqəsi obyektiv mövcud olan və maddi xarakter daşıyan modellər üzrə aparıldıqda. Bu zaman modellər tədqiqatçı tərəfindən qurulur və ya ətraf aləmdən seçilir. Öz növbəsində, maddi modelləşdirmədə biz ayırd edə bilərik: məkan, fiziki və analoq modelləşdirmə.

Məkan modelləşdirməsində tədqiq olunan obyektin fəza xüsusiyyətlərini çoxaltmaq və ya göstərmək üçün nəzərdə tutulmuş modellərdən istifadə olunur. Bu vəziyyətdə modellər həndəsi cəhətdən öyrənilən obyektlərə (hər hansı bir plan) bənzəyir.

İstifadə olunan modellər fiziki modelləşdirmə tədqiq olunan obyektdə baş verən proseslərin dinamikasını təkrar etmək üçün nəzərdə tutulmuşdur. Üstəlik, öyrənilən obyektlə modeldəki proseslərin ümumiliyi onların fiziki təbiətinin oxşarlığına əsaslanır. Bu modelləşdirmə üsulu mühəndislikdə müxtəlif tipli texniki sistemlərin layihələndirilməsi zamanı geniş istifadə olunur. Məsələn, külək tunelinin təcrübələrinə əsaslanan təyyarələrin tədqiqi.

Analoq modelləşdirmə fərqli fiziki təbiətə malik olan, lakin tədqiq olunan obyektlə eyni riyazi əlaqələrlə təsvir olunan maddi modellərin istifadəsi ilə bağlıdır. O, modelin və obyektin riyazi təsvirində analogiyaya əsaslanır (eyni diferensial tənliklərlə təsvir edilən, lakin təcrübələrin aparılmasında daha rahat olan elektrik sistemindən istifadə etməklə mexaniki vibrasiyaların öyrənilməsi).

Maddi modelləşdirmənin bütün hallarda model ilkin obyektin maddi əksidir və tədqiqat modelə maddi təsirdən, yəni modellə təcrübədən ibarətdir. Təbiətinə görə materialın modelləşdirilməsi eksperimental üsuldur və iqtisadi tədqiqatlarda istifadə edilmir.

Material modelləşdirmədən əsaslı şəkildə fərqlənir mükəmməl modelləşdirmə, obyekt və model arasında ideal, təsəvvür edilə bilən əlaqəyə əsaslanır. İdeal modelləşdirmə üsullarından iqtisadi tədqiqatlarda geniş istifadə olunur. Onları iki qrupa bölmək olar: rəsmi və qeyri-rəsmi.

IN rəsmiləşdirilib Modelləşdirmədə model işarələr və ya təsvirlər sistemidir, onlarla birlikdə onların çevrilməsi və təfsiri qaydaları müəyyən edilir. Əgər işarə sistemləri model kimi istifadə olunursa, modelləşdirmə adlanır simvolik(rəsmlər, qrafiklər, diaqramlar, düsturlar).

İşarələrin modelləşdirilməsinin mühüm növüdür riyazi modelləşdirmə, tədqiq olunan müxtəlif obyekt və hadisələrin düsturlar, tənliklər toplusu şəklində eyni riyazi təsvirə malik ola biləcəyinə əsaslanaraq, onların çevrilməsi məntiq və riyaziyyat qaydaları əsasında həyata keçirilir.

Rəsmi modelləşdirmənin başqa bir formasıdır məcazi, hansı modellər vizual elementlər üzərində qurulur (elastik toplar, maye axınları, cisimlərin traektoriyaları). Obrazlı modellərin təhlili zehni olaraq həyata keçirilir, buna görə də modeldə istifadə olunan obyektlərin qarşılıqlı əlaqə qaydaları aydın şəkildə müəyyən edildikdə (məsələn, ideal qazda iki molekulun toqquşması hesab olunur) formallaşdırılmış modelləşdirməyə aid edilə bilər. topların toqquşması və toqquşmanın nəticəsi hər kəs tərəfindən eyni şəkildə düşünülür). Bu tip modellər fizikada geniş istifadə olunur və onlara adətən “düşüncə təcrübələri” deyilir.

Qeyri-formal modelləşdirmə. Buraya müxtəlif növ problemlərin belə təhlili daxildir, bir model formalaşmadıqda və bunun əvəzinə əsaslandırma və qərar qəbul etmək üçün əsas rolunu oynayan reallığın bəzi dəqiq sabit olmayan zehni təsviri istifadə olunur. Beləliklə, formal modeldən istifadə etməyən hər hansı mülahizə qeyri-formal modelləşdirmə hesab edilə bilər, o zaman ki, düşünən fərd öyrənilən obyektin hansısa obrazına malikdir və bu, reallığın qeyri-formal modeli kimi şərh edilə bilər.

Uzun müddət təsərrüfat obyektlərinin tədqiqi yalnız belə qeyri-müəyyən fikirlər əsasında aparılırdı. Hal-hazırda qeyri-rəsmi modellərin təhlili iqtisadi modelləşdirmənin ən geniş yayılmış vasitəsi olaraq qalır, yəni riyazi modellərdən istifadə etmədən iqtisadi qərar qəbul edən hər bir şəxs təcrübə və intuisiya əsasında vəziyyətin bu və ya digər təsvirini rəhbər tutmağa məcburdur.

Bu yanaşmanın əsas çatışmazlığı ondan ibarətdir ki, həllər səmərəsiz və ya səhv ola bilər. Göründüyü kimi, uzun müddət bu üsullar təkcə əksər gündəlik situasiyalarda deyil, həm də iqtisadiyyatda qərar qəbul edərkən əsas qərar qəbuletmə vasitəsi olaraq qalacaq.

Allbest.ru saytında yerləşdirilib

Oxşar sənədlər

Avtoreqressiya modelinin qurulması prinsipləri və mərhələləri, onun əsas üstünlükləri. Avtoreqressiya prosesinin spektri, onun tapılması düsturu. Təsadüfi prosesin spektral qiymətləndirilməsini xarakterizə edən parametrlər. Avtoreqressiv modelin xarakterik tənliyi.

test, 11/10/2010 əlavə edildi


Modellərin konsepsiyası və növləri. Riyazi modelin qurulması mərhələləri. İqtisadi dəyişənlərin əlaqəsinin riyazi modelləşdirilməsinin əsasları. Xətti birfaktorlu reqressiya tənliyinin parametrlərinin təyini. İqtisadiyyatda riyaziyyatın optimallaşdırılması üsulları.

mücərrəd, 02/11/2011 əlavə edildi


Sosial-iqtisadi sistemin modelinin inkişafı və qurulması xüsusiyyətlərinin öyrənilməsi. Simulyasiya prosesinin əsas mərhələlərinin xüsusiyyətləri. Simulyasiya modelindən istifadə edərək sınaq. Simulyasiya modelləşdirməsinin təşkilati aspektləri.

mücərrəd, 15/06/2015 əlavə edildi


Simulyasiya modelləşdirmə anlayışı, onun iqtisadiyyatda tətbiqi. Mürəkkəb sistemin riyazi modelinin qurulması prosesinin mərhələləri, onun adekvatlıq meyarları. Diskret hadisələrin modelləşdirilməsi. Monte Karlo metodu bir simulyasiya növüdür.

test, 23/12/2013 əlavə edildi


Ekonometrikanın metodoloji əsasları. Ekonometrik modellərin qurulması problemləri. Ekonometrik tədqiqatın məqsədləri. Ekonometrik modelləşdirmənin əsas mərhələləri. Qoşalaşmış xətti reqressiyanın ekonometrik modelləri və onların parametrlərinin qiymətləndirilməsi üsulları.

test, 10/17/2014 əlavə edildi


Qərar ağaclarının qurulması mərhələləri: parçalanma, dayandırma və budama qaydaları. Mövzu sahəsində çoxpilləli stoxastik seçim probleminin ifadəsi. Tapşırıqda uğurlu və uğursuz fəaliyyətlərin həyata keçirilməsi ehtimalının, onun optimal yolunun qiymətləndirilməsi.

mücərrəd, 23/05/2015 əlavə edildi


Ekonometrikanın tərifi, məqsəd və vəzifələri. Modelin qurulması mərhələləri. İqtisadi proseslərin modelləşdirilməsi zamanı verilənlərin növləri. Nümunələr, formalar və modellər. Endogen və ekzogen dəyişənlər. Neoklassik istehsal funksiyasının spesifikasiyasının qurulması.

təqdimat, 03/18/2014 əlavə edildi


Formallaşdırmanın əsas tezisi. Dinamik proseslərin modelləşdirilməsi və mürəkkəb bioloji, texniki, sosial sistemlərin simulyasiyası. Obyektlərin modelləşdirilməsinin təhlili və onun bütün məlum xassələrinin identifikasiyası. Modelin təqdimat formasının seçilməsi.

mücərrəd, 09/09/2010 əlavə edildi


Riyazi modelləşdirmənin əsas mərhələləri, modellərin təsnifatı. İqtisadi proseslərin modelləşdirilməsi, onların tədqiqinin əsas mərhələləri. Xidmət müəssisəsinin marketinq fəaliyyətinin idarəetmə sisteminin modelinin formalaşdırılması üçün sistem ilkin şərtləri.

mücərrəd, 21/06/2010 əlavə edildi


Dizayn prosesinin ümumi diaqramı. Optimallaşdırma zamanı riyazi modelin qurulmasının rəsmiləşdirilməsi. Birölçülü axtarış metodlarından istifadə nümunələri. Sıfır sıralı çoxölçülü optimallaşdırma üsulları. Genetik və təbii alqoritmlər.

480 rub. | 150 UAH | $7.5 ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Dissertasiya - 480 RUR, çatdırılma 10 dəqiqə, gecə-gündüz, həftənin yeddi günü və bayram günləri

Demidova Anastasiya Vyaçeslavovna. Bir pilləli proseslərin stoxastik modellərinin qurulması metodu: dissertasiya... fizika-riyaziyyat elmləri namizədi: 13.05.18 / Anastasiya Vyaçeslavovna Demidova;[Müdafiə yeri: Rusiya Xalqlar Dostluğu Universiteti].- Moskva, 2014.- 126 səh.

Giriş

Fəsil 1. Dissertasiyanın mövzusu üzrə işlərin icmalı 14

1.1. Əhali dinamikası modellərinin icmalı 14

1.2. Stokastik əhali modelləri 23

1.3. Stokastik diferensial tənliklər 26

1.4. Stokastik hesablama haqqında məlumat 32

Fəsil 2. Bir addımlı proseslərin modelləşdirilməsi üsulu 39

2.1. Bir addımlı proseslər. Kolmoqorov-Çapman tənliyi. Əsas kinetik tənlik 39

2.2. Çoxölçülü bir addımlı proseslərin modelləşdirilməsi üsulu. 47

2.3. Rəqəmsal modelləşdirmə 56

Fəsil 3. Bir addımlı prosesin modelləşdirilməsi metodunun tətbiqi 60

3.1. Əhali dinamikasının stoxastik modelləri 60

3.2. Müxtəlif növlərarası və növlərarası qarşılıqlı əlaqəyə malik populyasiya sistemlərinin stoxastik modelləri 75

3.3. Şəbəkə qurdlarının yayılmasının stoxastik modeli. 92

3.4. Peer-to-peer protokollarının stoxastik modelləri 97

Nəticə 113

Ədəbiyyat 116

Stokastik diferensial tənliklər

Dissertasiya işinin məqsədlərindən biri də sistem üçün stoxastik diferensial tənliyin yazılması problemidir ki, stoxastik termin tədqiq olunan sistemin strukturu ilə əlaqəli olsun. Bu problemin mümkün həlli eyni tənlikdən stoxastik və deterministik hissələri əldə etməkdir. Bu məqsədlər üçün Fokker-Plank tənliyi ilə yaxınlaşdırıla bilən əsas kinetik tənlikdən istifadə etmək rahatdır ki, bunun üçün də öz növbəsində ekvivalent stoxastik diferensial tənliyi Lanqevin tənliyi şəklində yazıla bilər.

Bölmə 1.4. stoxastik diferensial tənlik və Fokker-Plank tənliyi arasında əlaqəni göstərmək üçün lazım olan əsas məlumatları, həmçinin stoxastik hesablamanın əsas anlayışlarını ehtiva edir.

İkinci fəsildə təsadüfi proseslər nəzəriyyəsindən əsas məlumatlar verilir və bu nəzəriyyəyə əsaslanaraq bir addımlı proseslərin modelləşdirilməsi metodu formalaşdırılır.

Bölmə 2.1 təsadüfi bir addımlı proseslər nəzəriyyəsindən əsas məlumatları təqdim edir.

Bir addımlı proseslər, keçid matrisi yalnız bitişik bölmələr arasında keçidlərə imkan verən tam ədədlər diapazonunda dəyərlər alan davamlı Markov prosesləri kimi başa düşülür.

Çoxölçülü bir addımlı prosesi hesab edirik X() = (i(),2(), ...,n()) = ( j(), = 1, ) , (0.1) seqment boyu dəyişən, yəni. Є, burada X() prosesinin təyin olunduğu vaxt intervalının uzunluğu. G = (x, = 1, Є NQ x NQ1 çoxluğu təsadüfi bir prosesin ala biləcəyi diskret dəyərlər toplusudur.

Verilmiş bir addımlı proses üçün müvafiq olaraq Xj vəziyyətindən Xj__i və Xj_i vəziyyətinə s+ və s zaman vahidinə keçid ehtimalları təqdim edilir. Hesab edilir ki, zaman vahidi üçün x vəziyyətindən iki və ya daha çox addıma keçid ehtimalı çox kiçikdir. Buna görə də deyə bilərik ki, sistemin vəziyyətinin Xj vektoru G( uzunluqlu addımlarla dəyişir və sonra x-dən Xj+i və Xj_i-yə keçidlər əvəzinə, X-dən X-ə keçidləri nəzərdən keçirə bilərik + Гі və X - Gі, müvafiq olaraq.

Sistem elementlərinin qarşılıqlı təsiri nəticəsində zamanın təkamülünün baş verdiyi sistemləri modelləşdirərkən onu əsas kinetik tənlikdən istifadə etməklə təsvir etmək rahatdır (digər adı idarəetmə tənliyidir, ingilis ədəbiyyatında isə ona Master equation deyilir).

Sonra, əsas kinetik tənlikdən Lanqevin tənliyi şəklində stoxastik diferensial tənlikdən istifadə edərək bir addımlı proseslərlə təsvir edilən tədqiq olunan sistemin təsvirini necə əldə etmək barədə sual yaranır. Formal olaraq, yalnız stoxastik funksiyaları ehtiva edən tənliklər stoxastik tənliklər kimi təsnif edilməlidir. Beləliklə, yalnız Lanqevin tənlikləri bu tərifi ödəyir. Bununla belə, onlar birbaşa digər tənliklərlə, yəni Fokker-Plank tənliyi və əsas kinetik tənliklə bağlıdır. Ona görə də bütün bu tənlikləri birlikdə nəzərdən keçirmək məntiqli görünür. Buna görə də, bu problemi həll etmək üçün əsas kinetik tənliyi Fokker-Plank tənliyi ilə yaxınlaşdırmaq təklif olunur ki, bunun üçün Lanqevin tənliyi şəklində ekvivalent stoxastik diferensial tənliyi yaza bilərik.

Bölmə 2.2 çoxölçülü bir addımlı proseslərlə təsvir edilən sistemlərin təsviri və stoxastik modelləşdirilməsi üçün metodu formalaşdırır.

Bundan əlavə, göstərilir ki, Fokker-Plank tənliyi üçün əmsallar tədqiq olunan sistem üçün qarşılıqlı təsir sxemi, vəziyyət dəyişmə vektoru r və s+ və s- keçid ehtimalları üçün ifadələr qeydə alındıqdan dərhal sonra əldə edilə bilər, yəni. bu metodun praktiki tətbiqində əsas kinetik tənliyi yazmağa ehtiyac yoxdur.

2.3-cü bölmədə. Stokastik diferensial tənliklərin ədədi həlli üçün Runge-Kutta metodu nəzərdən keçirilir ki, bu da üçüncü fəsildə əldə edilən nəticələri təsvir etmək üçün istifadə olunur.

Üçüncü fəsildə “yırtıcı-yırtıcı”, simbioz, rəqabət və onların modifikasiyaları kimi qarşılıqlı əlaqədə olan populyasiyaların artım dinamikasını təsvir edən sistemlərin nümunəsindən istifadə edərək, ikinci fəsildə təsvir edilmiş stoxastik modellərin qurulması metodunun tətbiqi təsviri verilmişdir. . Məqsəd onları stoxastik diferensial tənliklər şəklində yazmaq və stoxastikanın tətbiqinin sistemin davranışına təsirini öyrənməkdir.

3.1-ci bölmədə. İkinci fəsildə təsvir olunan metodun tətbiqi “yırtıcı-yırtıcı” modelinin nümunəsindən istifadə etməklə təsvir edilmişdir. "Yırtıcı-yırtıcı" tipli iki növ populyasiyanın qarşılıqlı əlaqəsi olan sistemlər geniş şəkildə tədqiq edilmişdir ki, bu da əldə edilmiş nəticələri artıq məlum olanlarla müqayisə etməyə imkan verir.

Alınan tənliklərin təhlili göstərdi ki, sistemin deterministik davranışını öyrənmək üçün yaranan stoxastik diferensial tənliyin A sürüşmə vektorundan istifadə etmək olar, yəni. Hazırlanmış metod həm stoxastik, həm də deterministik davranışı təhlil etmək üçün istifadə edilə bilər. Bundan əlavə, belə qənaətə gəlindi ki, stoxastik modellər sistemin davranışının daha real təsvirini verir. Xüsusilə, deterministik vəziyyətdə "yırtıcı-yırtıcı" sistemi üçün tənliklərin həlli dövri formaya malikdir və faza həcmi qorunur, modelə stoxastikanın daxil edilməsi faza həcmində monoton bir artım verir. bir və ya hər iki populyasiyanın qaçılmaz ölümünü göstərir. Əldə edilmiş nəticələri vizuallaşdırmaq üçün ədədi simulyasiya aparılmışdır.

3.2-ci bölmədə. Hazırlanmış üsul populyasiya dinamikasının müxtəlif stoxastik modellərini əldə etmək və təhlil etmək üçün istifadə olunur, məsələn, yırtıcı arasında növlərarası rəqabət, simbioz, rəqabət və üç populyasiyanın qarşılıqlı əlaqə modeli nəzərə alınmaqla “yırtıcı-yırtıcı” modeli.

Stokastik hesablamalar haqqında məlumat

Təsadüfi proseslər nəzəriyyəsinin inkişafı təbiət hadisələrinin tədqiqində populyasiya dinamikasının deterministik konsepsiyalarından və modellərindən ehtimal olunanlara keçidə və nəticədə riyazi biologiyada stoxastik modelləşdirməyə həsr olunmuş çoxlu sayda işlərin meydana çıxmasına səbəb oldu. , kimya, iqtisadiyyat və s.

Deterministik populyasiya modellərini nəzərdən keçirərkən, sistemin təkamülünə müxtəlif amillərin təsadüfi təsiri kimi vacib məqamlar açıq qalır. Populyasiya dinamikasını təsvir edərkən fərdlərin çoxalmasının və sağ qalmasının təsadüfi xarakterini, həmçinin zamanla ətraf mühitdə baş verən və sistem parametrlərində təsadüfi dalğalanmalara səbəb olan təsadüfi dalğalanmaları nəzərə almaq lazımdır. Buna görə də populyasiya dinamikasının istənilən modelinə bu məqamları əks etdirən ehtimal mexanizmləri daxil edilməlidir.

Stokastik modelləşdirmə həm bütün deterministik amilləri, həm də deterministik modellərdən gələn nəticələri əhəmiyyətli dərəcədə dəyişə bilən təsadüfi təsirləri nəzərə alaraq, populyasiya xüsusiyyətlərindəki dəyişiklikləri daha dolğun təsvir etməyə imkan verir. Digər tərəfdən, onların köməyi ilə əhalinin davranışının keyfiyyətcə yeni aspektlərini müəyyən etmək mümkündür.

Təsadüfi proseslərdən istifadə etməklə əhali vəziyyətlərində dəyişikliklərin stoxastik modelləri təsvir edilə bilər. Müəyyən fərziyyələrə əsasən, güman edə bilərik ki, əhalinin indiki vəziyyəti nəzərə alınmaqla davranışı bu vəziyyətə necə nail olunduğundan asılı deyil (yəni sabit indiki zamanla gələcək keçmişdən asılı deyil). Bu. Əhali dinamikası proseslərini modelləşdirmək üçün işin ikinci hissəsində ətraflı təsvir olunan Markov doğum-ölüm proseslərindən və müvafiq nəzarət tənliklərindən istifadə etmək rahatdır.

N. N. Kalinkin öz əsərlərində qarşılıqlı təsir edən elementləri olan sistemlərdə baş verən prosesləri təsvir etmək üçün qarşılıqlı təsir sxemlərindən istifadə edir və bu sxemlər əsasında Markov proseslərinin budaqlanması aparatından istifadə edərək bu sistemlərin modellərini qurur. Bu yanaşmanın tətbiqi kimyəvi, əhali, telekommunikasiya və digər sistemlərdə proseslərin modelləşdirilməsi nümunəsi ilə təsvir edilmişdir.

İşdə doğum-ölüm prosesləri aparatının istifadə olunduğu ehtimal populyasiya modelləri araşdırılır və nəticədə yaranan diferensial-fərq tənlik sistemləri təsadüfi proseslər üçün dinamik tənlikləri təmsil edir. Məqalədə bu tənliklərin həlli üsulları da müzakirə olunur.

Əhali dəyişmələrinin dinamikasına təsir edən müxtəlif amilləri nəzərə alan stoxastik modellərin qurulmasına həsr olunmuş bir çox məqalə tapa bilərsiniz. Məsələn, məqalələrdə fərdlərin tərkibində zərərli maddələr olan qida ehtiyatlarını istehlak etdiyi bioloji icmanın populyasiya dinamikasının modeli qurulmuş və təhlil edilmişdir. Əhalinin təkamülü modelində isə məqalədə populyasiyaların nümayəndələrinin yaşayış yerlərində məskunlaşma amili nəzərə alınır. Model öz-özünə ardıcıl Vlasov tənlikləri sistemidir.

Fluktuasiya nəzəriyyəsinə və fizika, kimya, biologiya və s. kimi təbiət elmlərində stoxastik metodların tətbiqinə həsr olunmuş əsərləri qeyd etmək lazımdır. Xüsusilə, qarşılıqlı əlaqədə olan populyasiyaların sayının dəyişməsinin riyazi modeli. “yırtıcı-yırtıcı” tipinə Markov çoxölçülü doğum-ölüm prosesləri əsasında qurulur.

“Yırtıcı-yırtıcı” modelini doğum-ölüm proseslərinin həyata keçirilməsi kimi qəbul etmək olar. Bu şərhdə onlardan bir çox elm sahələrində rejimlər üçün istifadə etmək mümkündür. 70-ci illərdə M. Doi yaradılış-annihilasiya operatorlarına əsaslanan (ikinci dərəcəli kvantlaşdırma ilə analogiya) bu cür modellərin öyrənilməsi metodunu təklif etdi. Əsərləri burada qeyd etmək olar. Bundan əlavə, bu üsul hazırda M. M. Gnatich qrupunda fəal şəkildə inkişaf etdirilir.

Populyasiya dinamikasının modellərinin modelləşdirilməsinə və öyrənilməsinə başqa bir yanaşma optimal idarəetmə nəzəriyyəsi ilə bağlıdır. Əsərləri burada qeyd etmək olar.

Qeyd etmək olar ki, populyasiya proseslərinin stoxastik modellərinin qurulmasına həsr olunmuş işlərin əksəriyyətində diferensial-fərq tənliklərinin alınması və sonrakı ədədi icrası üçün təsadüfi proseslər aparatından istifadə edilir. Bundan əlavə, Lanqevin formasındakı stoxastik diferensial tənliklərdən geniş istifadə olunur, burada sistemin davranışı haqqında ümumi mülahizələrdən stoxastik termin əlavə edilir və ətraf mühitin təsadüfi təsirlərini təsvir etmək nəzərdə tutulur. Modelin sonrakı tədqiqi onların keyfiyyət təhlili və ya ədədi üsullardan istifadə edərək həllərin tapılmasıdır.

Stokastik diferensial tənliklərin tərifi 1. Stokastik diferensial tənlik bir və ya bir neçə şərtin stoxastik prosesi təmsil etdiyi diferensial tənlikdir. Stokastik diferensial tənliyin (SDE) ən çox istifadə edilən və məşhur nümunəsi ağ səs-küyü təsvir edən və Wiener prosesi Wt, t 0 kimi düşünülə bilən termini olan tənlikdir.

Stokastik diferensial tənliklər müxtəlif təsadüfi pozulmalara məruz qalan dinamik sistemlərin öyrənilməsi və modelləşdirilməsində mühüm və geniş istifadə olunan riyazi aparatdır.

Təbiət hadisələrinin stoxastik modelləşdirilməsinin başlanğıcı R.Braun tərəfindən 1827-ci ildə bitki tozcuqlarının mayedə hərəkəti ilə bağlı tədqiqatlar apararkən kəşf edilmiş Broun hərəkəti fenomeninin təsviri hesab edilir. Bu fenomenin ilk ciddi izahını müstəqil olaraq A. Eynşteyn və M. Smoluxovski vermişlər. A.Einstein və M. Smoluchowskinin Brownian hərəkəti haqqında əsərlərini ehtiva edən məqalələr toplusunu qeyd etmək lazımdır. Bu tədqiqatlar Broun hərəkəti nəzəriyyəsinin inkişafına və onun eksperimental yoxlanılmasına mühüm töhfə verdi. A. Eynşteyn Broun hərəkətinin kəmiyyət təsviri üçün molekulyar kinetik nəzəriyyə yaratdı. Alınan düsturlar 1908-1909-cu illərdə C. Perrinin təcrübələri ilə təsdiq edilmişdir.

Çoxölçülü bir addımlı proseslərin modelləşdirilməsi üsulu.

Qarşılıqlı təsir göstərən elementləri olan sistemlərin təkamülünü təsvir etmək üçün iki yanaşma var - deterministik və ya stoxastik modellərin qurulması. Deterministik modellərdən fərqli olaraq stoxastik modellər tədqiq olunan sistemlərdə baş verən proseslərin ehtimal xarakterini, eləcə də model parametrlərində təsadüfi dalğalanmalara səbəb olan xarici mühitin təsirlərini nəzərə almağa imkan verir.

Tədqiqatın mövzusu sistemlərdir, baş verən proseslər bir addımlı proseslərdən istifadə etməklə təsvir edilə bilər və onların vəziyyətinin digərinə keçidi sistem elementlərinin qarşılıqlı təsiri ilə əlaqələndirilir. Nümunə olaraq, “yırtıcı-yırtıcı”, simbioz, rəqabət və onların modifikasiyası kimi qarşılıqlı əlaqədə olan populyasiyaların artım dinamikasını təsvir edən modellər verilə bilər. Məqsəd belə sistemlər üçün SDE-ləri yazmaq və deterministik davranışı təsvir edən tənliyin həllinin davranışına stoxastik hissənin daxil edilməsinin təsirini öyrənməkdir.

Kimyəvi kinetika

Qarşılıqlı təsir göstərən elementləri olan sistemləri təsvir edərkən yaranan tənliklər sistemləri bir çox cəhətdən kimyəvi reaksiyaların kinetikasını təsvir edən diferensial tənliklər sistemlərinə yaxındır. Məsələn, Lotka-Volterra sistemi əvvəlcə Lotka tərəfindən hansısa hipotetik kimyəvi reaksiyanı təsvir edən sistem kimi, yalnız sonralar Volterra tərəfindən yırtıcı-ov modelini təsvir edən sistem kimi işlənib hazırlanmışdır.

Kimyəvi kinetik kimyəvi reaksiyaları stexiometrik tənliklərdən - kimyəvi reaksiyanın reagentlərinin və məhsullarının kəmiyyət əlaqələrini əks etdirən və aşağıdakı ümumi formaya malik tənliklərdən istifadə edərək təsvir edir: burada m və n natural ədədləri stoxiometrik əmsallar adlanır. Bu kimyəvi reaksiyanın simvolik qeydidir ki, Xi reagentinin molekulları, Xh reagentinin ni2 molekulları, ..., Xp reagentinin 3 molekulu reaksiyaya girərkən Yi, n maddəsinin n molekulunu əmələ gətirir. maddənin molekulları I2, ..., nq maddənin molekulları müvafiq olaraq Yq .

Kimyəvi kinetikada kimyəvi reaksiyanın yalnız reagentlərin birbaşa qarşılıqlı təsiri ilə baş verə biləcəyinə inanılır və kimyəvi reaksiyanın sürəti vahid həcmdə vahid vaxtda əmələ gələn hissəciklərin sayı kimi müəyyən edilir.

Kimyəvi kinetikanın əsas postulatı kimyəvi reaksiyanın sürətinin reaktivlərin stexiometrik əmsallarının gücündə konsentrasiyalarının məhsulu ilə düz mütənasib olduğunu bildirən kütlə hərəkəti qanunudur. Buna görə də, müvafiq maddələrin konsentrasiyalarını XI və y I ilə işarələsək, kimyəvi reaksiya nəticəsində zamanla maddənin konsentrasiyasının dəyişmə sürəti üçün bir tənlik əldə edirik:

Sonra, kimyəvi kinetikanın əsas ideyalarından sistemləri təsvir etmək üçün istifadə etmək təklif olunur, onların təkamülü müəyyən bir sistemin elementlərinin bir-biri ilə qarşılıqlı təsiri nəticəsində aşağıdakı əsas dəyişiklikləri təqdim edir: 1. reaksiya deyil. dərəcələr nəzərə alınır, lakin keçid ehtimalları; 2. qarşılıqlı təsirin nəticəsi olan bir vəziyyətdən digər vəziyyətə keçid ehtimalının verilmiş növün mümkün qarşılıqlı təsirlərinin sayına mütənasib olması təklif edilir; 3. bu üsulda sistemi təsvir etmək üçün əsas kinetik tənlikdən istifadə olunur; 4. deterministik tənliklər stoxastik tənliklərlə əvəz olunur. Bu cür sistemləri təsvir etmək üçün oxşar yanaşma əsərlərdə tapıla bilər. Simulyasiya edilmiş sistemdə baş verən prosesləri təsvir etmək üçün yuxarıda qeyd edildiyi kimi, Markov bir addımlı proseslərdən istifadə etmək təklif olunur.

Bir-biri ilə müxtəlif yollarla qarşılıqlı əlaqədə ola bilən müxtəlif elementlərin növlərindən ibarət bir sistemi nəzərdən keçirək. -tipinin elementi ilə, burada = 1 və -tipinin elementlərinin sayı ilə işarə edək.

Qoy (), .

Faylın bir hissədən ibarət olduğunu fərz edək. Beləliklə, faylı yükləmək istəyən yeni node ilə faylı paylayan qovşaq arasında qarşılıqlı əlaqənin bir addımında yeni qovşaq bütün faylı yükləyir və paylama qovşağına çevrilir.

Gəlin yeni qovşağın təyinatı, paylayıcı qovşaqdır və qarşılıqlı təsir əmsalıdır. Yeni qovşaqlar sistemə intensivliklə daxil ola bilər və paylayıcı qovşaqlar onu intensivliklə tərk edə bilər. Onda qarşılıqlı təsir diaqramı və r vektoru belə görünəcək:

Lanqevin formasındakı stoxastik diferensial tənliyi müvafiq düsturdan (1.15) istifadə etməklə əldə etmək olar. Çünki sürüşmə vektoru A sistemin deterministik davranışını tamamilə təsvir edir; yeni müştərilərin və toxumların sayının dinamikasını təsvir edən adi diferensial tənliklər sistemini əldə edə bilərik:

Beləliklə, parametrlərin seçimindən asılı olaraq tək nöqtə fərqli xarakter daşıya bilər. Beləliklə, /ZA 4/I2 üçün tək nöqtə sabit fokus, əks nisbət üçün isə sabit düyündür. Hər iki halda, tək nöqtə sabitdir, çünki əmsal dəyərlərinin seçimi və sistem dəyişənlərində dəyişikliklər iki traektoriyadan biri boyunca baş verə bilər. Əgər tək nöqtə fokusdursa, sistemdə yeni və paylayıcı qovşaqların sayında sönümlü salınımlar baş verir (bax. Şəkil 3.12). Və nodal vəziyyətdə, nömrələrin stasionar dəyərlərə yaxınlaşması qeyri-salınma rejimində baş verir (bax Şəkil 3.13). İki halın hər biri üçün sistemin faza portretləri müvafiq olaraq (3.14) və (3.15) qrafiklərində təsvir edilmişdir.