Ən kiçik kvadratlar üsulu qrupa daxildir. Eksperimental məlumatların yaxınlaşması

Düzləşdirildikdən sonra aşağıdakı formanın funksiyasını alırıq: g (x) = x + 1 3 + 1 .

Biz müvafiq parametrləri hesablayaraq y = a x + b xətti əlaqəsindən istifadə edərək bu məlumatları təxmini hesablaya bilərik. Bunun üçün ən kiçik kvadratlar adlanan metodu tətbiq etməliyik. Eksperimental məlumatları hansı xəttin ən yaxşı şəkildə uyğunlaşdıracağını yoxlamaq üçün bir rəsm çəkməlisiniz.

OLS (ən kiçik kvadratlar metodu) dəqiq nədir

Bizim etməli olduğumuz əsas şey elə xətti asılılıq əmsallarını tapmaqdır ki, bu zaman iki dəyişənin F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 funksiyasının qiyməti ən kiçik. Başqa sözlə, a və b-nin müəyyən dəyərləri üçün təqdim olunan məlumatların alınan düz xəttdən kvadrat sapmalarının cəmi minimum dəyərə malik olacaqdır. Ən kiçik kvadratlar metodunun mənası budur. Məsələni həll etmək üçün bizə lazım olan hər şey iki dəyişənin funksiyasının ekstremumunu tapmaqdır.

Əmsalların hesablanması üçün düsturları necə əldə etmək olar

Əmsalların hesablanması üçün düsturlar əldə etmək üçün iki dəyişənli tənliklər sistemi yaratmaq və həll etmək lazımdır. Bunun üçün F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 ifadəsinin a və b-yə nisbətən qismən törəmələrini hesablayırıq və onları 0-a bərabərləşdiririk.

δ F (a , b) δ a = 0 δ F (a , b) δ b = 0 ⇔ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i = 0 - 2 ∑ i = 1 n ( y i - (a x i + b)) = 0 ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + ∑ i = y ∑ i = a ∑ i = a ∑ i = 1 1 ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + n b = ∑ i = 1 n y i

Tənliklər sistemini həll etmək üçün istənilən üsullardan, məsələn, əvəzetmə və ya Kramer metodundan istifadə edə bilərsiniz. Nəticədə, ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edərək əmsalları hesablamaq üçün istifadə edilə bilən düsturlarımız olmalıdır.

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 a n y i - ∑ i = 1 n y i - i

Funksiyanın olduğu dəyişənlərin dəyərlərini hesabladıq
F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 minimum qiyməti alacaq. Üçüncü abzasda bunun niyə məhz belə olduğunu sübut edəcəyik.

Bu, ən kiçik kvadratlar metodunun praktikada tətbiqidir. Onun a parametrini tapmaq üçün istifadə edilən düsturuna ∑ i = 1 n x i, ∑ i = 1 n y i, ∑ i = 1 n x i y i, ∑ i = 1 n x i 2, həmçinin parametr daxildir.
n – eksperimental məlumatların miqdarını bildirir. Hər bir məbləği ayrıca hesablamağı məsləhət görürük. b əmsalının dəyəri a-dan dərhal sonra hesablanır.

Orijinal nümunəyə qayıdaq.

Misal 1

Burada beşə bərabər n var. Əmsal düsturlarına daxil edilmiş tələb olunan məbləğləri hesablamağı daha rahat etmək üçün cədvəli dolduraq.

Həll

Dördüncü cərgəyə ikinci cərgənin dəyərlərini hər bir fərdi i üçün üçüncünün dəyərlərinə vurmaqla əldə edilən məlumatlar daxildir. Beşinci sətir kvadrat şəklində ikincidən alınan məlumatları ehtiva edir. Son sütun fərdi sətirlərin dəyərlərinin cəmini göstərir.

Bizə lazım olan a və b əmsallarını hesablamaq üçün ən kiçik kvadratlar üsulundan istifadə edək. Bunu etmək üçün son sütundan tələb olunan dəyərləri əvəz edin və məbləğləri hesablayın:

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n ∑ i = ∑ y = ∑ i 33, 8 - 12 12, 9 5 46 - 12 2 b = 12, 9 - a 12 5 ⇒ a ≈ 0, 165 b ≈ 2, 184

Belə çıxır ki, tələb olunan yaxınlaşan düz xətt y = 0, 165 x + 2, 184 kimi görünəcək. İndi hansı xəttin məlumatları daha yaxşı təxmin edəcəyini müəyyən etməliyik - g (x) = x + 1 3 + 1 və ya 0, 165 x + 2, 184. Ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edərək təxmin edək.

Xətanı hesablamaq üçün σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 və σ 2 = ∑ i = 1 n (y i) düz xətlərindən verilənlərin kvadratik sapmalarının cəmini tapmaq lazımdır. - g (x i)) 2, minimum dəyər daha uyğun bir xəttə uyğun olacaq.

σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (0, 165 x i + 2, 184)) 2 ≈ 0, 019 σ 2 = ∑ 1 n (y i - g (x i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (x i + 1 3 + 1)) 2 ≈ 0,096

Cavab:σ 1-dən< σ 2 , то прямой, наилучшим образом аппроксимирующей исходные данные, будет
y = 0,165 x + 2,184.

Ən kiçik kvadratlar üsulu qrafik təsvirdə aydın şəkildə göstərilmişdir. Qırmızı xətt düz xətti g (x) = x + 1 3 + 1, mavi xətt y = 0, 165 x + 2, 184 işarələrini göstərir. Orijinal məlumatlar çəhrayı nöqtələrlə göstərilir.

Bu tip təxminlərin niyə lazım olduğunu izah edək.

Onlar məlumatların hamarlanması tələb olunan tapşırıqlarda, həmçinin məlumatların interpolyasiyası və ya ekstrapolyasiyası tələb olunan tapşırıqlarda istifadə edilə bilər. Məsələn, yuxarıda müzakirə olunan məsələdə x = 3 və ya x = 6-da müşahidə olunan y kəmiyyətinin qiymətini tapmaq olar. Bu cür nümunələrə ayrıca məqalə ayırdıq.

OLS metodunun sübutu

a və b hesablanarkən funksiyanın minimum qiymət alması üçün verilmiş nöqtədə F (a, b) formasının funksiyasının diferensialının kvadrat formasının matrisinin = ∑ i = olması lazımdır. 1 n (y i - (a x i + b)) 2 müsbət müəyyəndir. Bunun necə görünməli olduğunu sizə göstərək.

Misal 2

Aşağıdakı formada ikinci dərəcəli diferensialımız var:

d 2 F (a ; b) = δ 2 F (a ; b) δ a 2 d 2 a + 2 δ 2 F (a ; b) δ a δ b d a d b + δ 2 F (a ; b) δ b 2 d 2 b

Həll

δ 2 F (a ; b) δ a 2 = δ δ F (a ; b) δ a δ a = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i δ a = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 δ 2 F (a; b) δ a δ b = δ δ F (a; b) δ a δ b = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b) ) x i δ b = 2 ∑ i = 1 n x i δ 2 F (a ; b) δ b 2 = δ δ F (a ; b) δ b δ b = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i +) b)) δ b = 2 ∑ i = 1 n (1) = 2 n

Başqa sözlə, bunu belə yaza bilərik: d 2 F (a ; b) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 d 2 a + 2 2 ∑ x i i = 1 n d a d b + (2 n) d 2 b.

M = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n kvadrat formalı matrisi əldə etdik.

Bu halda, ayrı-ayrı elementlərin dəyərləri a və b-dən asılı olaraq dəyişməyəcəkdir. Bu matris müsbət müəyyəndirmi? Bu suala cavab vermək üçün onun bucaq kiçiklərinin müsbət olub olmadığını yoxlayaq.

Birinci dərəcəli bucaq minorunu hesablayırıq: 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 > 0 . x i nöqtələri üst-üstə düşmədiyi üçün bərabərsizlik sərtdir. Sonrakı hesablamalarda bunu nəzərə alacağıq.

İkinci dərəcəli bucaq minorunu hesablayırıq:

d e t (M) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n = 4 n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ x i = 12

Bundan sonra riyazi induksiyadan istifadə edərək n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 bərabərsizliyini sübut etməyə davam edirik.

1. Bu bərabərsizliyin ixtiyari n üçün etibarlı olub olmadığını yoxlayaq. 2 götürüb hesablayaq:

2 ∑ i = 1 2 (x i) 2 - ∑ i = 1 2 x i 2 = 2 x 1 2 + x 2 2 - x 1 + x 2 2 = = x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 > 0

Düzgün bərabərlik əldə etdik (x 1 və x 2 qiymətləri üst-üstə düşmürsə).

1. Bu bərabərsizliyin n üçün doğru olacağını fərz edək, yəni. n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 – doğrudur.
2. İndi n + 1 üçün etibarlılığı sübut edəcəyik, yəni. ki (n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 > 0, əgər n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 .

Hesablayırıq:

(n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = = (n + 1) ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 + n x n + 1 2 + ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - - ∑ i = 1 n x i 2 + 2 x n + 1 ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + n x n + 1 2 - x n + 1 ∑ i = +1 n xi = +1 n xi n (x i) 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x 1 2 + + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 2 + x 2 2 + . . . + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x n 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + + (x n + 1 - x 1) 2 + (x n + 1) - x 2) 2 + . . . + (x n - 1 - x n) 2 > 0

Qıvrımlı mötərizələrə daxil edilmiş ifadə 0-dan böyük olacaq (2-ci addımda qəbul etdiyimizə əsasən) və qalan şərtlər 0-dan böyük olacaq, çünki onların hamısı ədədlərin kvadratlarıdır. Biz bərabərsizliyi sübut etdik.

Cavab: tapılan a və b F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 funksiyasının ən kiçik qiymətinə uyğun olacaq, bu o deməkdir ki, onlar ən kiçik kvadratlar metodunun tələb olunan parametrləridir. (LSM).

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Müəyyən bir fiziki kəmiyyət başqa kəmiyyətdən asılıdırsa, bu asılılığı x-in müxtəlif qiymətlərində y ölçməklə öyrənmək olar. Ölçmələr nəticəsində bir sıra dəyərlər əldə edilir:

x 1, x 2, ..., x i, ..., x n;

y 1 , y 2 , ..., y i , ... , y n .

Belə bir təcrübənin məlumatlarına əsasən y = ƒ(x) asılılığının qrafikini qurmaq olar. Alınan əyri ƒ(x) funksiyasının formasını mühakimə etməyə imkan verir. Lakin bu funksiyaya daxil olan sabit əmsallar naməlum olaraq qalır. Onlar ən kiçik kvadratlar üsulu ilə müəyyən edilə bilər. Eksperimental nöqtələr, bir qayda olaraq, əyri üzərində tam olaraq yatmır. Ən kiçik kvadratlar metodu tələb edir ki, eksperimental nöqtələrin əyridən kənara çıxmalarının kvadratlarının cəmi, yəni. 2 ən kiçik idi.

Praktikada bu üsul ən çox (və ən sadə) xətti əlaqə vəziyyətində istifadə olunur, yəni. Nə vaxt

y = kx və ya y = a + bx.

Xətti asılılıq fizikada çox geniş yayılmışdır. Hətta əlaqə qeyri-xətti olduqda belə, onlar adətən düz xətt əldə etmək üçün qrafik qurmağa çalışırlar. Məsələn, n şüşəsinin sındırma göstəricisinin n = a + b/λ 2 əlaqəsi ilə işıq dalğasının uzunluğu λ ilə əlaqəli olduğu qəbul edilərsə, onda n-nin λ -2-dən asılılığı qrafikdə göstərilir.

Asılılığı nəzərdən keçirin y = kx(mənşədən keçən düz xətt). Nöqtələrimizin düz xəttdən sapmalarının kvadratlarının cəmi φ dəyərini tərtib edək

φ dəyəri həmişə müsbətdir və nöqtələrimiz düz xəttə nə qədər yaxın olarsa, o qədər kiçik olur. Ən kiçik kvadratlar metodu bildirir ki, k üçün dəyər elə seçilməlidir ki, φ minimuma malik olsun

və ya
(19)

Hesablama göstərir ki, k-nin dəyərinin müəyyən edilməsində orta kök-kvadrat səhvi bərabərdir.

, (20)
burada n ölçmələrin sayıdır.

İndi xalların düsturla uyğunlaşmalı olduğu bir az daha çətin bir işi nəzərdən keçirək y = a + bx(mənşədən keçməyən düz xətt).

Tapşırıq mövcud x i, y i dəyərlərindən a və b-nin ən yaxşı dəyərlərini tapmaqdır.

Yenidən x i, y i nöqtələrinin düz xəttdən kvadratik kənarlaşmalarının cəminə bərabər olan φ kvadrat formasını tərtib edək.

və φ-nin minimuma malik olduğu a və b qiymətlərini tapın

;

.

Bu tənliklərin birgə həlli verir

(21)

a və b-nin təyin edilməsinin kök orta kvadrat səhvləri bərabərdir

(23)

.  (24)

Bu üsuldan istifadə edərək ölçmə nəticələrini emal edərkən, bütün məlumatları (19) (24) düsturlarına daxil edilmiş bütün məbləğlərin əvvəlcədən hesablandığı bir cədvəldə ümumiləşdirmək rahatdır. Bu cədvəllərin formaları aşağıdakı nümunələrdə verilmişdir.

Misal 1. Fırlanma hərəkəti dinamikasının əsas tənliyi ε = M/J (başlanğıcdan keçən düz xətt) tədqiq edilmişdir. M anının müxtəlif dəyərlərində müəyyən bir cismin bucaq sürəti ε ölçüldü. Bu cismin ətalət anını təyin etmək tələb olunur. İkinci və üçüncü sütunlarda güc anının və bucaq sürətinin ölçülməsinin nəticələri verilmişdir. cədvəl 5.

Cədvəl 5

Formula (19) istifadə edərək müəyyən edirik:

.

Kök orta kvadrat səhvini müəyyən etmək üçün (20) düsturundan istifadə edirik.

0.005775Kiloqram-1 · m -2 .

Formula (18) görə bizdə var

S J = (2,996 0,005775)/0,3337 = 0,05185 kq m2.

Etibarlılığı P = 0,95 təyin edərək, n = 5 üçün Tələbə əmsalları cədvəlindən istifadə edərək, t = 2,78 tapırıq və mütləq xətanı ΔJ = 2,78 0,05185 = 0,1441 ≈ 0,2 təyin edirik. kq m2.

Nəticələri formada yazaq:

J = (3,0 ± 0,2) kq m2;

Misal 2.Ən kiçik kvadratlar üsulu ilə metal müqavimətinin temperatur əmsalını hesablayaq. Müqavimət temperaturdan xətti olaraq asılıdır

R t = R 0 (1 + α t°) = R 0 + R 0 α t°.

Sərbəst termin 0 ° C temperaturda R 0 müqavimətini təyin edir və yamac əmsalı temperatur əmsalı α və müqavimət R 0 məhsuludur.

Ölçmə və hesablamaların nəticələri cədvəldə verilmişdir ( 6-cı cədvələ baxın).

Cədvəl 6

(21), (22) düsturlarından istifadə edərək müəyyən edirik

R 0 = ¯ R- α R 0 ¯ t = 1,4005 - 0,002645 85,83333 = 1,1735 Ohm.

α-nın tərifində səhv tapaq. -dən bəri (18) düsturuna görə biz:

.

(23), (24) düsturlarından istifadə etməklə bizdə var

;

0.014126 Ohm.

Etibarlılığı P = 0,95 olaraq təyin edərək, n = 6 üçün Tələbə əmsalları cədvəlindən istifadə edərək, t = 2,57 tapırıq və mütləq xətanı müəyyən edirik Δα = 2,57 0,000132 = 0,000338 -1 dərəcə.

α = (23 ± 4) 10 -4 dolu P = 0,95-də -1.

Misal 3. Nyuton halqalarından istifadə edərək linzanın əyrilik radiusunu təyin etmək tələb olunur. Nyutonun halqalarının radiusları r m ölçüldü və bu halqaların ədədləri m təyin olundu. Nyuton halqalarının radiusları lensin əyrilik radiusu R və üzük nömrəsi tənliklə bağlıdır.

r 2 m = mλR - 2d 0 R,

burada d 0 linza ilə müstəvi-paralel lövhə arasındakı boşluğun qalınlığı (və ya linzanın deformasiyası),

λ düşən işığın dalğa uzunluğu.

λ = (600 ± 6) nm;
r 2 m = y;
m = x;
λR = b;
-2d 0 R = a,

onda tənlik formasını alacaq y = a + bx.

Ölçmə və hesablamaların nəticələri daxil edilir cədvəl 7.

Cədvəl 7

Ən kiçik kvadrat üsulu

Mövzunun yekun dərsində ən məşhur proqramla tanış olacağıq FNP, müxtəlif elm və praktik fəaliyyət sahələrində ən geniş tətbiq tapır. Bu fizika, kimya, biologiya, iqtisadiyyat, sosiologiya, psixologiya və sair ola bilər. Taleyin iradəsi ilə mən tez-tez iqtisadiyyatla məşğul oluram və buna görə də bu gün sizin üçün heyrətamiz bir ölkəyə səyahət təşkil edəcəyəm. Ekonometriya=) ...Necə istəməzsən?! Orada çox yaxşıdır - sadəcə qərarınızı verməlisiniz! ...Amma yəqin ki, mütləq istədiyiniz şey problemləri həll etməyi öyrənməkdir ən kiçik kvadratlar üsulu. Və xüsusilə çalışqan oxucular onları nəinki dəqiq, həm də ÇOX TEZ ;-) həll etməyi öyrənəcəklər. problemin ümumi ifadəsi+ müşayiət edən nümunə:

Tutaq ki, müəyyən fənn sahəsində kəmiyyət ifadəsi olan göstəricilər öyrənilir. Eyni zamanda, göstəricinin göstəricidən asılı olduğuna inanmaq üçün hər cür əsas var. Bu fərziyyə ya elmi fərziyyə ola bilər, ya da əsas sağlam düşüncəyə əsaslana bilər. Bununla belə, elmi bir kənara qoyub daha iştahaaçan sahələri - yəni ərzaq mağazalarını araşdıraq. ilə işarə edək:

– ərzaq mağazasının pərakəndə satış sahəsi, kv.m.,
- bir ərzaq mağazasının illik dövriyyəsi, milyon rubl.

Tamamilə aydındır ki, mağaza sahəsi nə qədər böyükdürsə, əksər hallarda onun dövriyyəsi bir o qədər çox olacaqdır.

Tutaq ki, qavalla müşahidələr/təcrübələr/hesablamalar/rəqslər apardıqdan sonra ixtiyarımızda rəqəmsal məlumatlar var:

Ərzaq mağazaları ilə məncə hər şey aydındır: - bu, 1-ci mağazanın ərazisidir, - illik dövriyyəsi, - 2-ci mağazanın sahəsi, - illik dövriyyəsi və s. Yeri gəlmişkən, məxfi materiallara daxil olmaq heç də vacib deyil - ticarət dövriyyəsinin kifayət qədər dəqiq qiymətləndirilməsi aşağıdakı vasitələrlə əldə edilə bilər. riyazi statistika. Bununla belə, diqqətinizi yayındırmayaq, kommersiya casusluğu kursu artıq ödənişlidir =)

Cədvəl məlumatları nöqtələr şəklində də yazıla və tanış formada təsvir edilə bilər Kartezyen sistem .

Gəlin vacib suala cavab verək: Keyfiyyətli bir araşdırma üçün neçə bal lazımdır?

Nə qədər böyük olsa, bir o qədər yaxşıdır. Minimum məqbul dəst 5-6 baldan ibarətdir. Bundan əlavə, məlumatların miqdarı kiçik olduqda, "anomal" nəticələr nümunəyə daxil edilə bilməz. Beləliklə, məsələn, kiçik bir elit mağaza "həmkarlarından" daha çox böyük sifarişlər qazana bilər və bununla da tapmaq lazım olan ümumi nümunəni təhrif edə bilər!

Çox sadə desək, bir funksiya seçməliyik, cədvəli nöqtələrə mümkün qədər yaxın keçir . Bu funksiya deyilir yaxınlaşdıran (yaxınlaşma - yaxınlaşma) və ya nəzəri funksiya . Ümumiyyətlə, burada dərhal aşkar bir "iddiaçı" görünür - qrafiki BÜTÜN nöqtələrdən keçən yüksək dərəcəli polinom. Ancaq bu seçim mürəkkəbdir və çox vaxt sadəcə səhvdir. (çünki qrafik hər zaman "dövrə" olacaq və əsas trendi zəif əks etdirəcək).

Beləliklə, axtarılan funksiya kifayət qədər sadə olmalı və eyni zamanda asılılığı adekvat şəkildə əks etdirməlidir. Təxmin etdiyiniz kimi, bu cür funksiyaları tapmaq üsullarından biri adlanır ən kiçik kvadratlar üsulu. Əvvəlcə ümumi mənada onun mahiyyətinə nəzər salaq. Bəzi funksiyaların təxmini eksperimental məlumatlara icazə verin:


Bu yaxınlaşmanın düzgünlüyünü necə qiymətləndirmək olar? Eksperimental və funksional qiymətlər arasındakı fərqləri (sapmaları) da hesablayaq (rəsmi öyrənirik). Ağla gələn ilk fikir, məbləğin nə qədər böyük olduğunu təxmin etməkdir, lakin problem fərqlərin mənfi ola bilməsidir. (Misal üçün, ) və bu cür cəmləmə nəticəsində sapmalar bir-birini ləğv edəcəkdir. Buna görə də, yaxınlaşmanın düzgünlüyünü qiymətləndirmək üçün cəmi götürmək yalvarır. modullar sapmalar:

və ya çökdü: (heç kim bilmirsə: cəmi simvoludur və – 1-dən qiymət alan köməkçi “sayıcı” dəyişən ) .

Fərqli funksiyaları olan eksperimental nöqtələri yaxınlaşdırmaqla, fərqli qiymətlər əldə edəcəyik və açıq-aydın, bu cəm harada daha kiçikdirsə, o funksiya daha dəqiqdir.

Belə bir üsul mövcuddur və ona deyilir ən az modul metodu. Ancaq praktikada bu, daha geniş yayılmışdır ən kiçik kvadrat üsulu, burada mümkün mənfi dəyərlər modul tərəfindən deyil, sapmaların kvadratlaşdırılması ilə aradan qaldırılır:

, bundan sonra səylər bir funksiyanın seçilməsinə yönəldilir ki, kənarların kvadratı cəmi olsun mümkün qədər kiçik idi. Əslində metodun adı da buradan gəlir.

İndi başqa bir vacib məqama qayıdırıq: yuxarıda qeyd edildiyi kimi, seçilmiş funksiya olduqca sadə olmalıdır - lakin belə funksiyalar da çoxdur: xətti , hiperbolik , eksponensial , loqarifmik , kvadratik və s. Və təbii ki, burada mən dərhal “fəaliyyət sahəsini azaltmaq” istərdim. Tədqiqat üçün hansı sinif funksiyaları seçməliyəm? Primitiv, lakin təsirli bir texnika:

– Ən asan yol nöqtələri təsvir etməkdir rəsm üzərində və onların yerini təhlil edin. Əgər onlar düz bir xətt üzrə qaçmağa meyllidirlərsə, onda siz axtarmalısınız xəttin tənliyi optimal dəyərlərlə və . Başqa sözlə, vəzifə BELƏ əmsalları tapmaqdır ki, kvadratdan kənara çıxanların cəmi ən kiçik olsun.

Nöqtələr, məsələn, boyunca yerləşirsə hiperbola, onda xətti funksiyanın zəif yaxınlaşma verəcəyi aydındır. Bu halda biz hiperbola tənliyi üçün ən “əlverişli” əmsalları axtarırıq – kvadratların minimum cəmini verənlər .

İndi qeyd edək ki, hər iki halda söhbət gedir iki dəyişənin funksiyaları, arqumentləri kimindir asılılıq parametrləri axtarılır:

Və mahiyyətcə standart bir problemi həll etməliyik - tapın iki dəyişənin minimum funksiyası.

Nümunəmizi xatırlayaq: fərz edək ki, “mağaza” nöqtələri düz bir xətt üzərində yerləşir və buna inanmaq üçün hər cür əsas var. xətti asılılıq pərakəndə satış sahəsindən dövriyyə. BELƏ “a” və “be” əmsallarını tapaq ki, kvadratdan kənara çıxanların cəmi olsun. ən kiçik idi. Hər şey həmişəki kimi - birincisi 1-ci dərəcəli qismən törəmələr. görə xəttilik qaydası Siz cəmi ikonasının altında fərqlənə bilərsiniz:

Bu məlumatı esse və ya kurs işi üçün istifadə etmək istəyirsinizsə, mənbələr siyahısında bir neçə yerdə belə ətraflı hesablamalar tapa bilərsiniz;

Standart bir sistem yaradaq:

Hər tənliyi "iki" azaldırıq və əlavə olaraq məbləğləri "parçalayırıq":

Qeyd : “a” və “be”nin nə üçün cəmi işarəsindən kənara çıxarıla biləcəyini müstəqil təhlil edin. Yeri gəlmişkən, formal olaraq bu, məbləğlə edilə bilər

Sistemi “tətbiq olunan” formada yenidən yazaq:

bundan sonra problemimizin həlli üçün alqoritm yaranmağa başlayır:

Nöqtələrin koordinatlarını bilirikmi? Biz bilirik. Məbləğlər tapa bilerik? Asanlıqla. Ən sadəini edək iki naməlumda iki xətti tənlik sistemi(“a” və “olmaq”). Sistemi həll edirik, məsələn, Kramer üsulu, bunun nəticəsində stasionar nöqtə əldə edirik. Yoxlama ekstremum üçün kifayət qədər şərtdir, biz bu nöqtədə funksiyanın olduğunu yoxlaya bilərik dəqiq çatır minimum. Çek əlavə hesablamaları əhatə edir və buna görə də onu pərdə arxasında qoyacağıq (lazım olduqda, çatışmayan çərçivəyə baxmaq olarBurada ) . Son nəticəni çıxarırıq:

Funksiya ən yaxşı yol (ən azı hər hansı digər xətti funksiya ilə müqayisədə) eksperimental nöqtələri yaxınlaşdırır . Kobud desək, onun qrafiki bu nöqtələrə mümkün qədər yaxın keçir. Ənənədə ekonometriya yaranan yaxınlaşma funksiyası da adlanır qoşalaşmış xətti reqressiya tənliyi .

Baxılan problem böyük praktik əhəmiyyət kəsb edir. Bizim nümunə vəziyyətimizdə, Eq. hansı ticarət dövriyyəsini proqnozlaşdırmağa imkan verir ("İqrek") mağaza satış sahəsinin bu və ya digər dəyərinə sahib olacaq (“x”in bu və ya digər mənası). Bəli, ortaya çıxan proqnoz yalnız bir proqnoz olacaq, lakin bir çox hallarda kifayət qədər dəqiq olacaq.

Mən "real" rəqəmlərlə yalnız bir problemi təhlil edəcəyəm, çünki orada heç bir çətinlik yoxdur - bütün hesablamalar 7-8-ci sinif məktəbi kurikulumu səviyyəsindədir. 95 faiz hallarda sizdən sadəcə xətti funksiyanı tapmağınız xahiş olunacaq, lakin məqalənin ən sonunda optimal hiperbolanın, eksponensialın və bəzi digər funksiyaların tənliklərini tapmaq daha çətin olmadığını göstərəcəyəm.

Əslində, yalnız vəd edilmiş yaxşılıqları yaymaq qalır - belə nümunələri yalnız dəqiq deyil, həm də tez həll etməyi öyrənə bilərsiniz. Standartı diqqətlə öyrənirik:

Tapşırıq

İki göstərici arasındakı əlaqənin öyrənilməsi nəticəsində aşağıdakı cüt ədədlər əldə edilmişdir:

Ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edərək, empirikə ən yaxşı yaxınlaşan xətti funksiyanı tapın (təcrübəli) data. Dekart düzbucaqlı koordinat sistemində eksperimental nöqtələrin və yaxınlaşma funksiyasının qrafikinin qurulması üçün rəsm çəkin. . Empirik və nəzəri qiymətlər arasındakı kvadratik kənarlaşmaların cəmini tapın. Xüsusiyyətin daha yaxşı olub olmadığını öyrənin (ən kiçik kvadratlar metodu baxımından) eksperimental nöqtələri yaxınlaşdırın.

Nəzərə alın ki, “x” mənaları təbiidir və bunun xarakterik mənalı mənası var ki, bu barədə bir az sonra danışacağam; lakin onlar, əlbəttə, fraksiya da ola bilər. Bundan əlavə, müəyyən bir tapşırığın məzmunundan asılı olaraq həm "X", həm də "oyun" dəyərləri tamamilə və ya qismən mənfi ola bilər. Yaxşı, bizə “simasız” tapşırıq verildi və biz ona başlayırıq həll:

Sistemin həlli kimi optimal funksiyanın əmsallarını tapırıq:

Daha yığcam qeyd etmək üçün "sayıcı" dəyişəni buraxıla bilər, çünki toplamanın 1-dən -ə qədər aparıldığı artıq aydındır.

Tələb olunan məbləğləri cədvəl şəklində hesablamaq daha rahatdır:


Hesablamalar mikrokalkulyatorda aparıla bilər, lakin Excel-dən istifadə etmək daha yaxşıdır - həm daha sürətli, həm də səhvsiz; qısa videoya baxın:

Beləliklə, aşağıdakıları əldə edirik sistemi:

Burada ikinci tənliyi 3 və vura bilərsiniz 1-ci tənliyin həddi ilə 2-cini çıxarın. Ancaq bu şansdır - praktikada sistemlər çox vaxt hədiyyə deyil və belə hallarda qənaət edir Kramer üsulu:
, yəni sistemin unikal həlli var.

yoxlayaq. Başa düşürəm ki, istəmirsiniz, amma niyə səhvləri qaçırmaq olmaz? Tapılan həlli sistemin hər bir tənliyinin sol tərəfində əvəz edək:

Müvafiq tənliklərin sağ tərəfləri alınır ki, bu da sistemin düzgün həll edildiyini bildirir.

Beləliklə, istədiyiniz yaxınlaşma funksiyası: – dən bütün xətti funksiyalar Eksperimental məlumatları ən yaxşı şəkildə təxmin edən odur.

Fərqli düz mağazanın dövriyyəsinin onun sahəsindən asılılığı, tapılan asılılıqdır tərs ("nə qədər çox, bir o qədər az" prinsipi), və bu fakt dərhal mənfi ilə aşkar edilir yamac. Funksiya müəyyən bir göstəricinin 1 vahid artması ilə asılı göstəricinin dəyərinin azaldığını söyləyir orta 0,65 vahid. Necə deyərlər, qarabaşaq yarmasının qiyməti nə qədər bahadırsa, o qədər az satılır.

Təxmini funksiyanın qrafikini çəkmək üçün onun iki qiymətini tapırıq:

və rəsmini yerinə yetirin:

Qurulmuş düz xətt deyilir trend xətti (yəni xətti trend xətti, yəni ümumi halda trend mütləq düz xətt deyil). “Trenddə olmaq” ifadəsi ilə hər kəs tanışdır və hesab edirəm ki, bu terminin əlavə şərhə ehtiyacı yoxdur.

Kvadrat sapmaların cəmini hesablayaq empirik və nəzəri dəyərlər arasında. Həndəsi olaraq bu, "moruq" seqmentlərinin uzunluqlarının kvadratlarının cəmidir (onlardan ikisi o qədər kiçikdir ki, hətta görünmür).

Hesablamaları cədvəldə ümumiləşdirək:


Yenə də, hər halda, onlar əl ilə edilə bilər, mən 1-ci nöqtə üçün bir nümunə verəcəyəm:

lakin bunu artıq məlum üsulla etmək daha effektivdir:

Bir daha təkrar edirik: Əldə edilən nəticənin mənası nədir? From bütün xətti funksiyalar y funksiyası göstərici ən kiçikdir, yəni ailəsində ən yaxşı yaxınlaşmadır. Və burada, yeri gəlmişkən, problemin son sualı təsadüfi deyil: əgər təklif olunan eksponensial funksiya eksperimental nöqtələri yaxınlaşdırmaq daha yaxşı olardı?

Kvadrat sapmaların müvafiq cəmini tapaq - ayırd etmək üçün onları "epsilon" hərfi ilə işarələyəcəyəm. Texnika tamamilə eynidır:


Və yenə də, hər halda, 1-ci nöqtə üçün hesablamalar:

Excel-də biz standart funksiyadan istifadə edirik EXP (sintaksis Excel Yardımında tapıla bilər).

Nəticə: , bu o deməkdir ki, eksponensial funksiya düz xəttdən daha pis eksperimental nöqtələrə yaxınlaşır. .

Ancaq burada qeyd etmək lazımdır ki, “daha ​​pis” hələ demək deyil, səhv nədir. İndi mən bu eksponensial funksiyanın qrafikini qurmuşam və o da nöqtələrə yaxın keçir - o qədər ki, analitik araşdırma olmadan hansı funksiyanın daha dəqiq olduğunu söyləmək çətindir.

Bu, həlli yekunlaşdırır və mən mübahisənin təbii dəyərləri sualına qayıdıram. Müxtəlif tədqiqatlarda, adətən iqtisadi və ya sosioloji, təbii “X”lər ayları, illəri və ya digər bərabər zaman intervallarını saymaq üçün istifadə olunur. Məsələn, aşağıdakı problemi nəzərdən keçirin:

İlin birinci yarısı üçün mağazanın pərakəndə dövriyyəsi haqqında aşağıdakı məlumatlar mövcuddur:

Analitik düz xəttdən istifadə edərək, iyul ayı üçün dövriyyənin həcmini müəyyənləşdirin.

Bəli, heç bir problem yoxdur: biz 1, 2, 3, 4, 5, 6 ayları nömrələyirik və adi alqoritmdən istifadə edirik, nəticədə tənlik əldə edirik - yeganə şey odur ki, vaxta gəldikdə, onlar adətən istifadə edirlər. "te" hərfi (bu kritik olmasa da). Əldə edilən tənlik göstərir ki, ilin birinci yarısında ticarət dövriyyəsi orta hesabla 27,74 ədəd artıb. aylıq. İyul ayı üçün proqnozu öyrənək (ay №7): d.e.

Və bunun kimi saysız-hesabsız tapşırıqlar var. Arzu edənlər əlavə xidmətdən, yəni mənim Excel kalkulyatoru (demo versiya), hansı təhlil edilən problemi demək olar ki, dərhal həll edir! Proqramın işlək versiyası mövcuddur müqabilində və ya üçün simvolik ödəniş.

Dərsin sonunda bəzi digər növ asılılıqların tapılması haqqında qısa məlumat verilir. Əslində, əsas yanaşma və həll alqoritmi eyni qaldığından, demək üçün çox şey yoxdur.

Fərz edək ki, təcrübə nöqtələrinin düzülüşü hiperbolaya bənzəyir. Sonra, ən yaxşı hiperbolanın əmsallarını tapmaq üçün funksiyanın minimumunu tapmaq lazımdır - hər kəs ətraflı hesablamalar apara və oxşar sistemə gələ bilər:

Formal texniki nöqteyi-nəzərdən “xətti” sistemdən əldə edilir (bunu ulduzla işarə edək)"x" ilə əvəz olunur. Yaxşı, bəs məbləğlər? hesablayın, bundan sonra optimal “a” və “be” əmsallarına yaxın.

Bu nöqtələrə inanmaq üçün hər cür səbəb varsa loqarifmik əyri boyunca yerləşir, sonra optimal dəyərləri tapmaq üçün funksiyanın minimumunu tapırıq . Formal olaraq, sistemdə (*) aşağıdakılarla əvəz edilməlidir:

Excel-də hesablamalar apararkən funksiyadan istifadə edin LN. Etiraf edirəm ki, baxılan halların hər biri üçün kalkulyatorlar yaratmaq mənim üçün o qədər də çətin olmayacaq, amma hesablamaları özünüz "proqramlaşdırsanız" daha yaxşı olar. Kömək etmək üçün dərs videoları.

Eksponensial asılılıq ilə vəziyyət bir az daha mürəkkəbdir. Məsələni xətti vəziyyətə endirmək üçün loqarifm funksiyasını götürüb istifadə edirik loqarifmin xassələri:

İndi yaranan funksiyanı xətti funksiya ilə müqayisə edərək belə nəticəyə gəlirik ki, sistemdə (*) , və – ilə əvəz olunmalıdır. Rahatlıq üçün qeyd edək:

Diqqət yetirin ki, sistem ona görə həll olunur və buna görə də kökləri tapdıqdan sonra əmsalın özünü tapmağı unutmamalısınız.

Təcrübə nöqtələrini yaxınlaşdırmaq üçün optimal parabola , tapılmalıdır üç dəyişənin minimum funksiyası . Standart hərəkətləri yerinə yetirdikdən sonra aşağıdakı "işləyən" alırıq sistemi:

Bəli, əlbəttə ki, burada daha çox məbləğ var, lakin sevimli proqramdan istifadə edərkən heç bir çətinlik yoxdur. Və nəhayət, Excel-dən istifadə edərək tez bir şəkildə yoxlama aparmağı və istədiyiniz trend xəttini necə quracağınızı söyləyəcəyəm: səpələnmə qrafiki yaradın, siçan ilə hər hansı bir nöqtəni seçin. və sağ klikləyin və seçimi seçin "Trend xətti əlavə et". Sonra, diaqram növünü və nişanı seçin "Seçimlər" seçimi aktivləşdirin "Dəngliyi diaqramda göstər". tamam

Həmişə olduğu kimi, məqaləni gözəl bir ifadə ilə bitirmək istəyirəm və az qala “Trenddə ol!” yazısını yazdım. Lakin o, zamanla fikrini dəyişdi. Həm də stereotip olduğu üçün deyil. Bunun heç kəs üçün necə olduğunu bilmirəm, amma təbliğat aparan Amerika və xüsusən də Avropa tendensiyasını izləmək istəmirəm =) Buna görə də hər birinizə öz xəttinizdən qalmanızı arzulayıram!

http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/metod-naimenshih-kvadratov.html

Ən kiçik kvadratlar metodu ən çox yayılmış və ən inkişaf etmiş üsullardan biridir xətti ekonometrik modellərin parametrlərinin qiymətləndirilməsi üsullarının sadəliyi və səmərəliliyi. Eyni zamanda, ondan istifadə edərkən bir qədər ehtiyatlı olmaq lazımdır, çünki ondan istifadə edərək qurulan modellər parametrlərinin keyfiyyətinə dair bir sıra tələblərə cavab verməyə bilər və nəticədə prosesin inkişaf nümunələrini "yaxşı" əks etdirmir. yetər.

Ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə etməklə xətti ekonometrik modelin parametrlərinin qiymətləndirilməsi prosedurunu daha ətraflı nəzərdən keçirək. Ümumiyyətlə belə bir model (1.2) tənliyi ilə təmsil oluna bilər:

y t = a 0 + a 1 x 1t +...+ a n x nt + ε t.

a 0, a 1,..., a n parametrlərini qiymətləndirərkən ilkin məlumatlar asılı dəyişənin qiymət vektorudur. y= (y 1 , y 2 , ... , y T)" və müstəqil dəyişənlərin dəyərlərinin matrisi

burada birlərdən ibarət birinci sütun model əmsalına uyğun gəlir.

Ən kiçik kvadratlar metodu, onun əsasında alınan parametr qiymətləndirmələrinin təmin etməli olduğu əsas prinsipə əsaslanaraq adını aldı: model xətasının kvadratlarının cəmi minimal olmalıdır.

Ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə etməklə məsələlərin həlli nümunələri

Misal 2.1. Ticarət müəssisəsi 12 mağaza şəbəkəsinə malikdir, onların fəaliyyəti haqqında məlumatlar cədvəldə verilmişdir. 2.1.

Müəssisənin rəhbərliyi illik dövriyyənin həcminin mağazanın pərakəndə satış yerindən necə asılı olduğunu bilmək istərdi.

Cədvəl 2.1

Ən kiçik kvadratların həlli. Mağazanın illik dövriyyəsini, milyon rublu qeyd edək; - mağazanın pərakəndə satış sahəsi, min m2.

Şəkil 2.1. Misal 2.1 üçün səpələnmə qrafiki

Dəyişənlər arasında funksional əlaqənin formasını müəyyən etmək üçün səpilmə diaqramını quracağıq (şək. 2.1).

Səpələnmə diaqramına əsaslanaraq belə nəticəyə gələ bilərik ki, illik dövriyyə pərakəndə satış sahəsindən müsbət asılıdır (yəni, y artdıqca artacaq). Funksional əlaqənin ən uyğun formasıdır xətti.

Əlavə hesablamalar üçün məlumatlar cədvəldə təqdim olunur. 2.2. Ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edərək xətti bir faktorlu ekonometrik modelin parametrlərini qiymətləndiririk

Cədvəl 2.2

Beləliklə,

Buna görə, pərakəndə satış sahəsinin 1 min m2 artması ilə, digər şeylər bərabər olduqda, orta illik dövriyyə 67,8871 milyon rubl artır.

Misal 2.2.Şirkət rəhbərliyi qeyd etdi ki, illik dövriyyə təkcə mağazanın satış sahəsindən deyil (bax nümunə 2.1), həm də ziyarətçilərin orta sayından asılıdır. Müvafiq məlumatlar cədvəldə təqdim olunur. 2.3.

Cədvəl 2.3

Həll.İşarə edək - gündə ci mağazaya gələnlərin orta sayı, min nəfər.

Dəyişənlər arasında funksional əlaqənin formasını müəyyən etmək üçün səpilmə diaqramını quracağıq (şək. 2.2).

Səpələnmə qrafikinə əsaslanaraq belə nəticəyə gələ bilərik ki, illik dövriyyə gündəlik ziyarətçilərin orta sayından müsbət asılıdır (yəni, y artdıqca artacaq). Funksional asılılığın forması xəttidir.

düyü. 2.2. Nümunə 2.2 üçün səpələnmə qrafiki

Cədvəl 2.4

Ümumiyyətlə, iki faktorlu ekonometrik modelin parametrlərini müəyyən etmək lazımdır

y t = a 0 + a 1 x 1t + a 2 x 2t + ε t

Əlavə hesablamalar üçün tələb olunan məlumatlar cədvəldə təqdim olunur. 2.4.

Ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edərək xətti iki faktorlu ekonometrik modelin parametrlərini qiymətləndirək.

Beləliklə,

=61,6583 əmsalının qiymətləndirilməsi göstərir ki, digər şeylər bərabər olduqda, pərakəndə satış sahəsinin 1 min m 2 artması ilə illik dövriyyə orta hesabla 61,6583 milyon rubl artacaqdır.

Qiymətləndirmə əmsalı = 2,2748 göstərir ki, digər şeylər bərabər olduqda, 1 min nəfərə düşən ziyarətçilərin orta sayının artması ilə. gündə illik dövriyyə orta hesabla 2,2748 milyon rubl artacaq.

Misal 2.3. Cədvəldə göstərilən məlumatlardan istifadə etməklə. 2.2 və 2.4, bir faktorlu ekonometrik modelin parametrini qiymətləndirin

ci mağazanın illik dövriyyəsinin mərkəzləşdirilmiş dəyəri haradadır, milyon rubl; - t-ci mağazaya gələnlərin orta gündəlik sayının mərkəzləşdirilmiş dəyəri, min nəfər. (2.1-2.2 nümunələrinə baxın).

Həll. Hesablamalar üçün tələb olunan əlavə məlumatlar cədvəldə təqdim olunur. 2.5.

Cədvəl 2.5

(2.35) düsturundan istifadə edərək əldə edirik

Beləliklə,

http://www.cleverstudents.ru/articles/mnk.html

Misal.

Dəyişənlərin dəyərlərinə dair eksperimental məlumatlar X Və saat cədvəldə verilmişdir.

Onların düzülməsi nəticəsində funksiya əldə edilir

İstifadə ən kiçik kvadrat üsulu, bu məlumatları xətti asılılıqla təxmin edin y=ax+b(parametrləri tapın A Və b). İki sətirdən hansının (ən kiçik kvadratlar metodu mənasında) eksperimental məlumatları daha yaxşı uyğunlaşdırdığını tapın. Rəsm çəkin.

Həll.

Bizim nümunəmizdə n=5. Tələb olunan əmsalların düsturlarına daxil olan məbləğlərin hesablanmasının rahatlığı üçün cədvəli doldururuq.

Cədvəlin dördüncü sətirindəki dəyərlər 2-ci sətrin dəyərlərini hər bir nömrə üçün 3-cü sətirin dəyərlərinə vurmaqla əldə edilir. i.

Cədvəlin beşinci cərgəsindəki dəyərlər hər bir nömrə üçün 2-ci sətirdəki dəyərlərin kvadratı ilə əldə edilir. i.

Cədvəlin son sütunundakı dəyərlər sətirlər arasında olan dəyərlərin cəmidir.

Əmsalları tapmaq üçün ən kiçik kvadratlar metodunun düsturlarından istifadə edirik A Və b. Cədvəlin son sütunundan müvafiq dəyərləri onlara əvəz edirik:

Beləliklə, y = 0,165x+2,184- istədiyiniz təxmini düz xətt.

Sətirlərdən hansının olduğunu tapmaq qalır y = 0,165x+2,184 və ya ilkin məlumatları daha yaxşı təxmin edir, yəni ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edərək təxmin edir.

Sübut.

Belə ki, aşkar zaman A Və b funksiya ən kiçik qiyməti alır, bu nöqtədə funksiya üçün ikinci dərəcəli diferensialın kvadrat formasının matrisi lazımdır. müsbət müəyyən idi. Gəlin onu göstərək.

İkinci dərəcəli diferensial formaya malikdir:

Yəni

Buna görə kvadrat formanın matrisi formaya malikdir

və elementlərin qiymətləri asılı deyil A Və b.

Gəlin matrisin müsbət müəyyən olduğunu göstərək. Bunun üçün açısal azyaşlılar müsbət olmalıdır.

Birinci dərəcəli bucaq minoru . Ballardan bəri bərabərsizlik ciddidir

Eksperimental məlumatların yaxınlaşması eksperimental olaraq əldə edilmiş məlumatların düyün nöqtələrində orijinal dəyərlərlə (təcrübə və ya təcrübə zamanı əldə edilən məlumatlar) ən yaxından keçən və ya üst-üstə düşən analitik funksiya ilə əvəz edilməsinə əsaslanan bir üsuldur. Hal-hazırda analitik funksiyanı təyin etməyin iki yolu var:

Keçən n-dərəcəli interpolyasiya polinomu qurmaqla birbaşa bütün nöqtələr vasitəsilə verilmiş məlumat massivi. Bu halda yaxınlaşma funksiyası aşağıdakı formada təqdim olunur: Laqranj şəklində interpolyasiya çoxhədli və ya Nyuton şəklində interpolyasiya çoxhədli.

Keçən n-dərəcəli yaxınlaşan çoxhədli qurmaqla nöqtələrə ən yaxın məsafədə verilmiş məlumat massivindən. Beləliklə, yaxınlaşma funksiyası təcrübə zamanı yarana biləcək bütün təsadüfi səs-küyü (və ya səhvləri) hamarlayır: təcrübə zamanı ölçülmüş dəyərlər öz təsadüfi qanunlarına (ölçmə və ya alət səhvləri, qeyri-dəqiqlik və ya eksperimental) uyğun olaraq dəyişən təsadüfi amillərdən asılıdır. səhvlər). Bu halda, yaxınlaşma funksiyası ən kiçik kvadratlar üsulu ilə müəyyən edilir.

Ən kiçik kvadrat üsulu(ingilis dilli ədəbiyyatda Ordinary Least Squares, OLS) təxmini funksiyanın müəyyən edilməsinə əsaslanan riyazi metoddur və verilmiş eksperimental məlumat massivindən nöqtələrə ən yaxın məsafədə qurulur. F(x) orijinal və yaxınlaşma funksiyalarının yaxınlığı ədədi ölçü ilə müəyyən edilir, yəni: təcrübi məlumatların F(x) yaxınlaşma əyrisindən kvadratik kənarlaşmalarının cəmi ən kiçik olmalıdır.

Ən kiçik kvadratlar üsulu ilə qurulmuş təxmini əyri

Ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə olunur:

Tənliklərin sayı naməlumların sayından çox olduqda artıq təyin olunmuş tənlik sistemlərini həll etmək;

Adi (həddindən artıq təyin olunmamış) qeyri-xətti tənlik sistemləri vəziyyətində həllini tapmaq;

Bəzi yaxınlaşma funksiyası ilə nöqtə dəyərlərini təxmin etmək.

Ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə etməklə yaxınlaşma funksiyası verilmiş eksperimental məlumat massivindən hesablanmış yaxınlaşma funksiyasının kvadratik sapmalarının minimum cəminin şərtindən müəyyən edilir. Ən kiçik kvadratlar metodunun bu kriteriyası aşağıdakı ifadə kimi yazılır:

Düyün nöqtələrində hesablanmış yaxınlaşma funksiyasının dəyərləri,

Düyün nöqtələrində verilmiş eksperimental məlumat massivi.

Kvadrat meyar çoxhədli yaxınlaşma funksiyaları ilə yaxınlaşma məsələsinin unikal həllini təmin edən diferensiallıq kimi bir sıra “yaxşı” xüsusiyyətlərə malikdir.

Məsələnin şərtlərindən asılı olaraq, yaxınlaşma funksiyası m dərəcə çoxhədlidir

Təxmini funksiyanın dərəcəsi düyün nöqtələrinin sayından asılı deyil, lakin onun ölçüsü həmişə verilmiş eksperimental məlumat massivinin ölçüsündən (nöqtələrin sayından) az olmalıdır.

∙ Əgər yaxınlaşma funksiyasının dərəcəsi m=1 olarsa, onda cədvəl funksiyasını düz xəttlə (xətti reqressiya) yaxınlaşdırırıq.

∙ Əgər yaxınlaşma funksiyasının dərəcəsi m=2 olarsa, onda biz cədvəl funksiyasını kvadrat parabola (kvadrat yaxınlaşma) ilə yaxınlaşdırırıq.

∙ Əgər yaxınlaşma funksiyasının dərəcəsi m=3 olarsa, o zaman cədvəl funksiyasını kub parabola (kub yaxınlaşması) ilə yaxınlaşdırırıq.

Ümumi halda, verilmiş cədvəl qiymətləri üçün m dərəcəsinin təxmini polinomunu qurmaq lazım olduqda, bütün düyün nöqtələri üzərində kvadrat sapmaların cəminin minimumunun şərti aşağıdakı formada yenidən yazılır:

- m dərəcəsinin yaxınlaşan çoxhədlinin naməlum əmsalları;

Göstərilən cədvəl dəyərlərinin sayı.

Bir funksiyanın minimumunun olması üçün zəruri şərt onun naməlum dəyişənlərə münasibətdə qismən törəmələrinin sıfıra bərabər olmasıdır. . Nəticədə aşağıdakı tənliklər sistemini əldə edirik:

Gəlin yaranan xətti tənliklər sistemini çevirək: mötərizələri açın və sərbəst şərtləri ifadənin sağ tərəfinə keçirin. Nəticədə xətti cəbri ifadələr sistemi aşağıdakı formada yazılacaqdır:

Bu xətti cəbri ifadələr sistemi matris şəklində yenidən yazıla bilər:

Nəticədə m+1 naməlumlardan ibarət olan m+1 ölçülü xətti tənliklər sistemi alınmışdır. Bu sistem xətti cəbri tənliklərin həlli üçün istənilən üsuldan istifadə etməklə həll edilə bilər (məsələn, Qauss üsulu). Həlli nəticəsində yaxınlaşma funksiyasının ilkin verilənlərdən kvadratik sapmalarının minimum cəmini təmin edən yaxınlaşma funksiyasının naməlum parametrləri tapılacaq, yəni. mümkün olan ən yaxşı kvadratik yaxınlaşma. Yadda saxlamaq lazımdır ki, mənbə məlumatının hətta bir dəyəri dəyişərsə, bütün əmsallar mənbə məlumatları ilə tamamilə müəyyən edildiyi üçün öz dəyərlərini dəyişəcəkdir.

Mənbə məlumatlarının xətti asılılıqla yaxınlaşması

(xətti reqressiya)

Nümunə olaraq xətti asılılıq şəklində təyin olunan yaxınlaşma funksiyasının təyini texnikasını nəzərdən keçirək. Ən kiçik kvadratlar metoduna uyğun olaraq, kvadrat sapmaların cəminin minimumunun şərti aşağıdakı formada yazılır:

Cədvəl qovşaqlarının koordinatları;

Xətti asılılıq kimi təyin olunan yaxınlaşma funksiyasının naməlum əmsalları.

Funksiyanın minimumunun olması üçün zəruri şərt onun naməlum dəyişənlərə münasibətdə qismən törəmələrinin sıfıra bərabər olmasıdır. Nəticədə aşağıdakı tənliklər sistemini əldə edirik:

Əldə olunan xətti tənliklər sistemini çevirək.

Yaranan xətti tənliklər sistemini həll edirik. Analitik formada yaxınlaşma funksiyasının əmsalları aşağıdakı kimi müəyyən edilir (Kramer metodu):

Bu əmsallar verilmiş cədvəl qiymətlərindən (təcrübə məlumatları) yaxınlaşma funksiyasının kvadratlarının cəmini minimuma endirmək meyarına uyğun olaraq xətti yaxınlaşma funksiyasının qurulmasını təmin edir.

Ən kiçik kvadratlar metodunun həyata keçirilməsi alqoritmi

1. İlkin məlumatlar:

Ölçmələrin sayı N olan eksperimental verilənlər massivi müəyyən edilmişdir

Təqribən çoxhədlinin dərəcəsi (m) müəyyən edilir

2. Hesablama alqoritmi:

2.1. Ölçüləri olan tənliklər sisteminin qurulması üçün əmsallar müəyyən edilir

Tənliklər sisteminin əmsalları (tənliyin sol tərəfi)

- tənliklər sisteminin kvadrat matrisinin sütun nömrəsinin indeksi

Xətti tənliklər sisteminin sərbəst şərtləri (tənliyin sağ tərəfi)

- tənliklər sisteminin kvadrat matrisinin sıra nömrəsinin indeksi

2.2. Ölçüsü olan xətti tənliklər sisteminin formalaşması.

2.3. m dərəcəsinə yaxın olan çoxhədlinin naməlum əmsallarını təyin etmək üçün xətti tənliklər sisteminin həlli.

2.4 Bütün düyün nöqtələrində təxmini çoxhədlinin ilkin qiymətlərdən kvadrat sapmalarının cəminin təyini.

Kvadrat sapmaların cəminin tapılan dəyəri mümkün olan minimumdur.

Digər funksiyalardan istifadə edərək yaxınlaşma

Qeyd etmək lazımdır ki, ilkin verilənləri ən kiçik kvadratlar metoduna uyğun olaraq yaxınlaşdırarkən bəzən yaxınlaşma funksiyası kimi loqarifmik funksiya, eksponensial funksiya və güc funksiyasından istifadə olunur.

Loqarifmik yaxınlaşma

Təxmini funksiyanın formanın loqarifmik funksiyası ilə verildiyi halı nəzərdən keçirək:

Reqressiya funksiyasının növünü seçərək, yəni. Y-nin X-dən (və ya X-nin Y-dən) asılılığının nəzərdən keçirilən modelinin növü, məsələn, xətti model y x =a+bx, model əmsallarının xüsusi qiymətlərini müəyyən etmək lazımdır.

a və b-nin müxtəlif qiymətləri üçün y x = a + bx şəklində sonsuz sayda asılılıq qurmaq mümkündür, yəni koordinat müstəvisində sonsuz sayda düz xətlər var, lakin bizə ən yaxşı asılılıq lazımdır. müşahidə olunan qiymətlərə uyğundur. Beləliklə, vəzifə ən yaxşı əmsalları seçməkdən ibarətdir.

Biz yalnız müəyyən sayda mövcud müşahidələrə əsaslanaraq a+bx xətti funksiyasını axtarırıq. Müşahidə olunan qiymətlərə ən yaxşı uyğun gələn funksiyanı tapmaq üçün ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edirik.

İşarə edək: Y i - Y i =a+bx i tənliyi ilə hesablanan qiymət. y i - ölçülmüş dəyər, ε i =y i -Y i - tənlikdən istifadə edərək ölçülmüş və hesablanmış dəyərlər arasındakı fərq, ε i =y i -a-bx i .

Ən kiçik kvadratlar metodu tələb edir ki, ε i, ölçülən y i ilə tənlikdən hesablanmış Y i dəyərləri arasındakı fərq minimal olsun. Nəticə etibarilə, a və b əmsallarını tapırıq ki, müşahidə olunan dəyərlərin düz reqressiya xəttindəki dəyərlərdən kvadrat sapmalarının cəmi ən kiçik olsun:

Törəmələrdən istifadə edərək a və ekstremum üçün arqumentlərin bu funksiyasını araşdıraraq, a və b əmsalları sistemin həlli olduqda funksiyanın minimum qiymət aldığını sübut edə bilərik:

(2)

Normal tənliklərin hər iki tərəfini n-ə bölsək, alarıq:

Bunu nəzərə alaraq (3)

alırıq , buradan a-nın qiymətini birinci tənliyə əvəz edərək, alırıq:

Bu halda b reqressiya əmsalı adlanır; a reqressiya tənliyinin sərbəst müddəti adlanır və düsturla hesablanır:

Yaranan düz xətt nəzəri reqressiya xətti üçün təxmindir. Bizdə:

Belə ki, xətti reqressiya tənliyidir.

Reqressiya birbaşa (b>0) və əks ola bilər (b Nümunə 1. X və Y dəyərlərinin ölçülməsinin nəticələri cədvəldə verilmişdir:

X və Y y=a+bx arasında xətti əlaqə olduğunu fərz etsək, ən kiçik kvadratlar üsulu ilə a və b əmsallarını təyin edin.

Həll. Burada n=5
x i =-2+0+1+2+4=5;
x i 2 =4+0+1+4+16=25
x i y i =-2 0,5+0 1+1 1,5+2 2+4 3=16,5
y i =0,5+1+1,5+2+3=8

və normal sistem (2) formasına malikdir

Bu sistemi həll edərək əldə edirik: b=0,425, a=1,175. Buna görə də y=1,175+0,425x.

Misal 2. İqtisadi göstəricilərin (X) və (Y) 10 müşahidəsindən ibarət nümunə var.

X üzərində Y-nin nümunəvi reqressiya tənliyini tapmalısınız. X-də Y-nin nümunə reqressiya xəttini qurun.

Həll. 1. Verilənləri x i və y i qiymətlərinə görə çeşidləyək. Yeni bir cədvəl alırıq:

Hesablamaları sadələşdirmək üçün lazımi ədədi dəyərləri daxil edəcəyimiz bir hesablama cədvəli tərtib edəcəyik.

(4) düsturuna əsasən reqressiya əmsalını hesablayırıq

və (5) düstura görə

Beləliklə, seçmə reqressiya tənliyi y=-59.34+1.3804x-dir.
(x i ; y i) nöqtələrini koordinat müstəvisində çəkək və reqressiya xəttini qeyd edək.

Şəkil 4

Şəkil 4 müşahidə olunan dəyərlərin reqressiya xəttinə nisbətən necə yerləşdiyini göstərir. Y i-nin Y i-dən kənarlaşmalarını ədədi olaraq qiymətləndirmək üçün, burada y i müşahidə olunur və Y i reqressiya ilə təyin olunan dəyərlərdir, cədvəl yaradırıq:

Yi dəyərləri reqressiya tənliyinə görə hesablanır.

Bəzi müşahidə edilən dəyərlərin reqressiya xəttindən nəzərəçarpacaq dərəcədə sapması müşahidələrin azlığı ilə izah olunur. Y-nin X-dən xətti asılılıq dərəcəsi öyrənilərkən müşahidələrin sayı nəzərə alınır. Asılılığın gücü korrelyasiya əmsalının qiyməti ilə müəyyən edilir.