Paraleloqramın hansı xüsusiyyətləri onun tərifinə daxildir. “Paralleloqram və onun xassələri” tədqiqat layihəsi

Verilmiş fiqurun paraleloqram olub olmadığını müəyyən etmək üçün bir sıra işarələr var. Paraleloqramın üç əsas xüsusiyyətinə nəzər salaq.

1 paraleloqram işarəsi

Dördbucaqlının iki tərəfi bərabər və paraleldirsə, bu dördbucaq paraleloqram olacaq.

Sübut:

ABCD dördbucağını nəzərdən keçirək. AB və CD tərəfləri paralel olsun. Və AB=CD olsun. Bunun içərisində BD diaqonalını çəkək. Bu dördbucaqlı iki bərabər üçbucağa bölünəcək: ABD və CBD.

Bu üçbucaqlar iki tərəfdən bir-birinə bərabərdir və aralarındakı bucaq (BD ümumi tərəfdir, AB = şərtlə CD, bucaq1 = bucaq2 paralel AB və CD xətlərinin eninə BD ilə çarpaz bucaqlar kimi.) və buna görə də bucaq3. = bucaq4.

BC və AD xətləri BD kəsici ilə kəsişdikdə bu bucaqlar çarpaz yatacaq. Buradan belə çıxır ki, BC və AD bir-birinə paraleldir. Bizdə var ki, ABCD dördbucağında əks tərəflər cüt-cüt paraleldir və buna görə də ABCD dördbucaqlı paraleloqramdır.

Paraleloqram işarəsi 2

Əgər dördbucaqlıda əks tərəflər cüt-cüt bərabərdirsə, onda bu dördbucaq paraleloqram olacaq.

Sübut:

ABCD dördbucağını nəzərdən keçirək. Bunun içərisində BD diaqonalını çəkək. Bu dördbucaqlı iki bərabər üçbucağa bölünəcək: ABD və CBD.

Bu iki üçbucaq üç tərəfdən bir-birinə bərabər olacaq (BD ümumi tərəfdir, şərtlə AB = CD və BC = AD). Buradan belə nəticəyə gələ bilərik ki, bucaq1 = bucaq2. Buradan belə çıxır ki, AB CD-yə paraleldir. Və AB = CD və AB CD-yə paralel olduğundan, paraleloqramın birinci meyarına görə, ABCD dördbucaqlı paraleloqram olacaq.

3 paraleloqram işarəsi

Dördbucaqlının diaqonalları kəsişirsə və kəsişmə nöqtəsi ilə ikiyə bölünürsə, bu dördbucaq paraleloqram olacaqdır.

ABCD dördbucağını nəzərdən keçirək. Onun içində O nöqtəsində kəsişəcək və bu nöqtə ilə ikiyə bölünən iki AC və BD diaqonalını çəkək.

Üçbucaqların bərabərliyinin ilk əlamətinə görə AOB və COD üçbucaqları bir-birinə bərabər olacaqdır. (AO = OC, BO = OD şərtlə, bucaq AOB = bucaq COD kimi şaquli açılar.) Deməli, AB = CD və bucaq 1 = bucaq 2. 1 və 2 bucaqlarının bərabərliyindən AB-nin CD-yə paralel olduğunu görürük. Onda əldə edirik ki, ABCD dördbucağında AB tərəfləri CD və paralelə bərabərdir və paraleloqramın birinci meyarına görə, ABCD dördbucaqlı paraleloqram olacaqdır.

Dərsin xülasəsi.

Cəbr 8 sinif

Müəllim Sysoy A.K.

1828-ci il məktəbi

Dərsin mövzusu: “Paralleloqram və onun xassələri”

Dərsin növü: birləşdirilmiş

Dərsin məqsədləri:

1) Yeni bir anlayışın - paraleloqramın və onun xüsusiyyətlərinin mənimsənilməsini təmin edin

2) Həndəsi məsələləri həll etmək üçün bacarıq və bacarıqları inkişaf etdirməyə davam etmək;

3) Riyazi nitq mədəniyyətinin inkişafı

Dərs planı:

1. Təşkilati məqam

(Slayd 1)

Slaydda Lyuis Kerrollun bəyanatı göstərilir. Şagirdlərə dərsin məqsədi haqqında məlumat verilir. Şagirdlərin dərsə hazırlığı yoxlanılır.

2. Biliklərin yenilənməsi

(Slayd 2)

Lövhədə tapşırıqlar var şifahi iş. Müəllim şagirdləri bu problemlər üzərində düşünməyə və problemin həllini başa düşənlərə əl qaldırmağa dəvət edir. İki məsələni həll etdikdən sonra bucaqların cəminə dair teoremi sübut etmək üçün lövhəyə bir şagird çağırılır, o, rəsm üzərində müstəqil olaraq əlavə konstruksiyalar aparır və teoremi şifahi şəkildə sübut edir.

Şagirdlər çoxbucaqlının bucaqlarının cəmi üçün düsturdan istifadə edirlər:

3. Əsas hissə

(Slayd 3)

Lövhədə paraleloqramın tərifi. Müəllim danışır yeni fiqur və təsvirin köməyi ilə lazımi izahatları verərək tərifi formalaşdırır. Sonra təqdimatın damalı hissəsində marker və hökmdardan istifadə edərək paraleloqramın necə çəkiləcəyini göstərir (bir neçə hal mümkündür)

(Slayd 4)

Müəllim paraleloqramın ilk xassəsini tərtib edir. Şagirdləri rəsmdən nəyin verildiyini və nəyin sübut edilməli olduğunu söyləməyə dəvət edir. Bundan sonra verilən tapşırıq lövhədə görünür. Şagirdlər (bəlkə də müəllimin köməyi ilə) təxmin edirlər ki, tələb olunan bərabərliklər üçbucaqların bərabərlikləri vasitəsilə sübut edilməlidir, bunu diaqonal çəkməklə əldə etmək olar (lövhədə diaqonal görünür). Sonra tələbələr üçbucaqların niyə bərabər olduğunu təxmin edir və üçbucaqların bərabər olduğunu göstərən işarəni adlandırırlar (uyğun forma görünür). Üçbucaqları bərabərləşdirmək üçün zəruri olan faktları şifahi şəkildə çatdırırlar (adlandırdıqları zaman müvafiq vizuallaşdırma görünür). Sonra tələbələr konqruent üçbucaqların xassəsini formalaşdırır, o, sübutun 3-cü bəndi kimi görünür və sonra müstəqil olaraq teoremin isbatını şifahi şəkildə tamamlayır.

(Slayd 5)

Müəllim paraleloqramın ikinci xassəsini tərtib edir. Lövhədə paraleloqramın təsviri görünür. Müəllim nəyin verildiyini və nəyin sübut edilməli olduğunu söyləmək üçün şəkildən istifadə etməyi təklif edir. Şagirdlər nəyin verildiyini və nəyin isbat edilməli olduğunu düzgün bildirdikdən sonra teoremin şərti meydana çıxır. Şagirdlər təxmin edirlər ki, diaqonalların hissələrinin bərabərliyini üçbucaqların bərabərliyi ilə sübut etmək olarAOB Və C.O.D.. Paraleloqramın əvvəlki xüsusiyyətindən istifadə edərək, tərəflərin bərabər olduğunu təxmin etmək olarAB Və CD. Sonra onlar başa düşürlər ki, bərabər bucaqlar tapmalı və paralel xətlərin xassələrindən istifadə edərək bərabər tərəflərə bitişik bucaqların bərabərliyini sübut etməlidirlər. Bu mərhələlər slaydda vizual olaraq göstərilir. Teoremin həqiqəti üçbucaqların bərabərliyindən irəli gəlir - tələbələr bunu deyirlər və slaydda müvafiq vizuallaşdırma görünür.

(Slayd 6)

Müəllim paraleloqramın üçüncü xassəsini tərtib edir. Müəllim dərsin sonuna qədər qalan vaxtdan asılı olaraq tələbələrə bu xassəni müstəqil şəkildə sübut etmək imkanı verə və ya onun tərtibi ilə məhdudlaşa, sübutu isə tələbələrin öhdəsinə buraxa bilər. ev tapşırığı. Sübut dərsin əvvəlində təkrarlanan yazılı çoxbucaqlının bucaqlarının cəminə və ya iki paralel xəttin daxili birtərəfli bucaqlarının cəminə əsaslana bilər.AD Və B.C., və məsələn, sekantAB.

4. Materialın bərkidilməsi

Bu mərhələdə tələbələr problemləri həll etmək üçün əvvəllər öyrənilmiş teoremlərdən istifadə edirlər. Şagirdlər problemin həlli üçün ideyaları müstəqil seçirlər. Çünki mümkün variantlar Bir çox dizayn var və hamısı tələbələrin problemin həllini necə axtaracağından asılıdır, problemlərin həllinin vizual görüntüsü yoxdur və tələbələr həllin hər mərhələsini müstəqil olaraq ayrıca lövhədə tərtib edirlər. həlli dəftərdə qeyd etmək.

(Slayd 7)

Tapşırıq şərti görünür. Müəllim şərtə uyğun olaraq “Verilmiş” ifadəsini tərtib etməyi təklif edir. Şagirdlər şərtin qısa ifadəsini düzgün tərtib etdikdən sonra lövhədə “Verildi” yazısı görünür. Problemin həlli prosesi belə görünə bilər:

Gəlin BH hündürlüyünü çəkək (vizual)

AHB üçbucağı düzbucaqlı üçbucaqdır. Bucaq A bucağa bərabərdir C və 30 0-a bərabərdir (paraleloqramda əks bucaqların xassəsinə görə). 2BH =AB (düzbucaqlı üçbucaqda 30 0 bucağın qarşısında uzanan ayağın xassəsinə görə). Beləliklə, AB = 13 sm.

AB = CD, BC = AD (paraleloqramda əks tərəflərin xassəsinə görə) Beləliklə, AB = CD = 13 sm. Paraleloqramın perimetri 50 sm olduğundan, BC = AD = (50 – 26): 2 = 12 sm.

Cavab: AB = CD = 13 sm, BC = AD = 12 sm.

(Slayd 8)

Tapşırıq şərti görünür. Müəllim şərtə uyğun olaraq “Verilmiş” ifadəsini tərtib etməyi təklif edir. Sonra ekranda “Given” görünür. Qırmızı xətlərdən istifadə edərək, dördbucaqlı vurğulanır, bunun paraleloqram olduğunu sübut etməlisiniz. Problemin həlli prosesi belə görünə bilər:

Çünki BK və MD bir xəttə perpendikulyar, sonra BK və MD xətləri paraleldir.

vasitəsilə bitişik açılar göstərmək olar ki, BM və KD düz xətlərində daxili birtərəfli bucaqlar və MD kəsici cəmi 180 0-a bərabərdir. Buna görə də bu xətlər paraleldir.

BMDK dördbucağının cüt-cüt paralel əks tərəfləri olduğundan, bu dördbucaq paraleloqramdır.

5. Dərsin sonu. Nəticələrin davranışı.

(Slayd 8)

Suallar slaydda görünür yeni mövzu, tələbələrin cavab verdiyi.

Paraleloqram, əks tərəfləri cüt-cüt paralel olan dördbucaqlıdır. Aşağıdakı şəkildə ABCD paraleloqramı göstərilir. Onun CD tərəfinə paralel AB tərəfi və AD tərəfinə paralel BC tərəfi var.

Təxmin etdiyiniz kimi, paraleloqram qabarıq dördbucaqlıdır. Paraleloqramın əsas xassələrini nəzərdən keçirək.

Paraleloqramın xassələri

1. Paraleloqramda əks bucaqlar və əks tərəflər bərabərdir. Bu xassəni sübut edək - aşağıdakı şəkildə təqdim olunan paraleloqramı nəzərdən keçirək.

Diaqonal BD onu iki bərabər üçbucağa bölür: ABD və CBD. Onlar BD tərəfi və ona bitişik iki bucaq boyunca bərabərdirlər, çünki bucaqlar müvafiq olaraq BC və AD və AB və CD paralel xətlərinin BD kəsişməsində çarpaz şəkildə uzanır. Buna görə də AB = CD və
BC = AD. Və 1, 2, 3 və 4 bucaqlarının bərabərliyindən belə çıxır ki, bucaq A = bucaq1 + bucaq3 = bucaq2 + bucaq4 = bucaq C.

2. Paraleloqramın diaqonalları kəsişmə nöqtəsinə görə yarıya bölünür. O nöqtəsi ABCD paraleloqramının AC və BD diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi olsun.

Sonra AOB üçbucağı və COD üçbucağı yan və iki bitişik bucaq boyunca bir-birinə bərabərdir. (AB = CD, çünki bunlar paraleloqramın əks tərəfləridir. Və bucaq1 = bucaq2 və bucaq3 = bucaq4 AB və CD xətləri müvafiq olaraq AC və BD kəsiciləri ilə kəsişdikdə çarpaz bucaqlar kimidir.) Buradan belə nəticə çıxır ki, AO = OC və OB = OD, hansı və sübut edilməli idi.

Bütün əsas xüsusiyyətlər aşağıdakı üç şəkildə təsvir edilmişdir.

Evklid həndəsəsində nöqtə və düz xətt müstəvilər nəzəriyyəsinin əsas elementləri olduğu kimi, paraleloqram da qabarıq dördbucaqlıların əsas fiqurlarından biridir. Ondan, bir topdan iplər kimi, "düzbucaqlı", "kvadrat", "romb" və digər həndəsi kəmiyyətlər anlayışları axır.

Paraleloqramın tərifi

qabarıq dördbucaqlı, hər bir cütü paralel olan seqmentlərdən ibarət olan həndəsə paraleloqram kimi tanınır.

Klassik paraleloqramın necə görünməsi dördbucaqlı ABCD ilə təsvir edilmişdir. Tərəflərə əsaslar (AB, BC, CD və AD), hər hansı təpədən bu təpənin əks tərəfinə çəkilmiş perpendikulyar hündürlük (BE və BF), AC və BD xətləri diaqonallar adlanır.

Diqqət! Kvadrat, romb və düzbucaqlı paraleloqramın xüsusi hallarıdır.

Tərəflər və açılar: əlaqənin xüsusiyyətləri

Əsas xüsusiyyətlər, ümumiyyətlə, təyinatın özü ilə əvvəlcədən müəyyən edilir, onlar teoremlə isbat edilir. Bu xüsusiyyətlər aşağıdakılardır:

Qarşı tərəflər cütlükdə eynidir.
Bir-birinə əks olan bucaqlar cütlükdə bərabərdir.

Sübut: ABCD dördbucağını AC düz xəttinə bölmək yolu ilə əldə edilən ∆ABC və ∆ADC-ni nəzərdən keçirək. ∠BCA=∠CAD və ∠BAC=∠ACD, çünki AC onlar üçün ümumidir (müvafiq olaraq BC||AD və AB||CD üçün şaquli bucaqlar). Buradan belə çıxır: ∆ABC = ∆ADC (üçbucaqların bərabərliyinin ikinci əlaməti).

∆ABC-də AB və BC seqmentləri ∆ADC-də CD və AD xətlərinə cüt-cüt uyğun gəlir, bu da onların eyni olduğunu bildirir: AB = CD, BC = AD. Beləliklə, ∠B ∠D-ə uyğundur və onlar bərabərdir. ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD olduğundan, onlar da cütlükdə eynidir, onda ∠A = ∠C olur. Mülkiyyət sübut edilmişdir.

Fiqurun diaqonallarının xüsusiyyətləri

Əsas xüsusiyyət paraleloqramın bu xətlərindən: kəsişmə nöqtəsi onları yarıya bölür.

Sübut: ABCD fiqurunun AC və BD diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi olsun. Onlar iki mütənasib üçbucaq əmələ gətirir - ∆ABE və ∆CDE.

AB=CD, çünki onlar əksdir. Xətlərə və sekanta görə ∠ABE = ∠CDE və ∠BAE = ∠DCE.

Bərabərliyin ikinci meyarına görə ∆ABE = ∆CDE. Bu o deməkdir ki, ∆ABE və ∆CDE elementləri: AE = CE, BE = DE və eyni zamanda AC və BD-nin mütənasib hissələridir. Mülkiyyət sübut edilmişdir.

Bitişik künclərin xüsusiyyətləri

Bitişik tərəflər 180 ° -ə bərabər olan bucaqların cəminə malikdir, çünki onlar paralel xətlərin və eninənin eyni tərəfində yerləşirlər. Dördbucaqlı ABCD üçün:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Bisektorun xassələri:

, bir tərəfə endirilmiş, perpendikulyardır;
əks təpələrin paralel bisektorları var;
bissektrisa çəkməklə alınan üçbucaq ikitərəfli olacaq.

Teoremdən istifadə etməklə paraleloqramın xarakterik xüsusiyyətlərinin təyini

Bu rəqəmin xüsusiyyətləri onun aşağıdakıları ifadə edən əsas teoremindən irəli gəlir: dördbucaqlı paraleloqram hesab olunur onun diaqonallarının kəsişməsi halında və bu nöqtə onları bərabər seqmentlərə ayırır.

Sübut: ABCD dördbucağının AC və BD xətləri i.e.-də kəsişsin. ∠AED = ∠BEC, və AE+CE=AC BE+DE=BD olduğundan, ∆AED = ∆BEC (üçbucaqların bərabərliyi üçün birinci meyar əsasında). Yəni, ∠EAD = ∠ECB. Onlar həm də AD və BC xətləri üçün AC sekantının daxili çarpaz bucaqlarıdır. Beləliklə, paralelliyin tərifinə görə - AD || B.C. BC və CD xətlərinin də oxşar xassəsi əldə edilir. Teorem sübut edilmişdir.

Fiqurun sahəsinin hesablanması

Bu rəqəmin sahəsi bir neçə üsulla tapılırən sadələrindən biri: çəkildiyi hündürlüyün və bazanın çarpılması.

Sübut: B və C təpələrindən BE və CF perpendikulyarlarını çəkin. AB = CD və BE = CF olduğundan ∆ABE və ∆DCF bərabərdir. ABCD ölçüsünə görə EBCF düzbucağına bərabərdir, çünki onlar mütənasib fiqurlardan ibarətdir: S ABE və S EBCD, həmçinin S DCF və S EBCD. Buradan belə nəticə çıxır ki, bunun sahəsi həndəsi fiqur düzbucaqlı ilə eyni şəkildə yerləşir:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Paraleloqramın sahəsinin ümumi düsturunu müəyyən etmək üçün hündürlüyü kimi qeyd edək hb, və yan - b. Müvafiq olaraq:

Ərazini tapmağın digər yolları

Ərazi hesablamaları paraleloqramın və bucağın tərəfləri vasitəsiləəmələ gətirdikləri ikinci məlum üsuldur.

Spr-ma - sahə;

a və b onun tərəfləridir

α a və b seqmentləri arasındakı bucaqdır.

Bu üsul praktiki olaraq birinciyə əsaslanır, lakin bilinməyən halda. həmişə kəsir düz üçbucaq, kimin parametrləri triqonometrik eyniliklər, yəni. Münasibəti çevirərək alırıq. Birinci metodun tənliyində hündürlüyü bu məhsulla əvəz edirik və bu formulun etibarlılığının sübutunu əldə edirik.

Paraleloqramın və bucağın diaqonalları vasitəsilə, kəsişdikləri zaman meydana gətirdikləri ərazini də tapa bilərsiniz.

Sübut: AC və BD dörd üçbucaq yaratmaq üçün kəsişir: ABE, BEC, CDE və AED. Onların cəmi bu dördbucağın sahəsinə bərabərdir.

Bunların hər birinin sahəsi ∆ ifadəsi ilə tapıla bilər, burada a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Çünki hesablamalar tək sinus dəyərindən istifadə edir. ki . AE+CE=AC= d 1 və BE+DE=BD= d 2 olduğundan, sahə düsturu azalır:

Vektor cəbrində tətbiq

Bu dördbucağın tərkib hissələrinin xüsusiyyətləri vektor cəbrində, yəni iki vektorun əlavə edilməsində tətbiq tapmışdır. Paraleloqram qaydası bunu bildirir vektorlar verilmişdirsəVəyoxkollineardır, onda onların cəmi bu rəqəmin diaqonalına bərabər olacaq, əsasları bu vektorlara uyğundur.

Sübut: özbaşına seçilmiş başlanğıcdan - yəni. - vektorları qurmaq və . Sonra OA və OB seqmentlərinin tərəflər olduğu OASV paraleloqramını qururuq. Beləliklə, ƏS vektor və ya cəmi üzərində yerləşir.

Paraleloqramın parametrlərinin hesablanması üçün düsturlar

Şəxsiyyətlər aşağıdakı şərtlərlə verilir:

a və b, α - tərəflər və onların arasındakı bucaq;
d 1 və d 2, γ - diaqonallar və onların kəsişmə nöqtəsində;
h a və h b - a və b tərəflərinə endirilən hündürlüklər;

Parametr	Formula
Tərəfləri tapmaq
diaqonallar boyunca və aralarındakı bucağın kosinusu
diaqonallar və tərəflər boyunca
hündürlükdən və əks təpədən keçir
Diaqonalların uzunluğunu tapmaq
tərəflərdə və onların arasındakı zirvənin ölçüsü

Bu, əks tərəfləri cüt-cüt paralel olan dördbucaqlıdır.

Mülk 1. Paraleloqramın istənilən diaqonalı onu iki bərabər üçbucağa bölür.

Sübut. II xarakteristikaya görə (çarpaz bucaqlar və ümumi tərəf).

Teorem sübut edilmişdir.

Əmlak 2. Paraleloqramda əks tərəflər bərabər, əks bucaqlar isə bərabərdir.

Sübut.
Eynilə,

Teorem sübut edilmişdir.

Xüsusiyyət 3. Paraleloqramda diaqonallar kəsişmə nöqtəsi ilə ikiyə bölünür.

Sübut.

Teorem sübut edilmişdir.

Əmlak 4. Kəsişan paraleloqramın bucağının bisektoru qarşı tərəf, onu ikitərəfli üçbucaq və trapesiyaya ayırır. (Ç. sözləri - təpə - iki isosceles? -ka).

Sübut.

Teorem sübut edilmişdir.

Əmlak 5. Paraleloqramda diaqonalların kəsişmə nöqtəsindən keçən əks tərəfləri olan xətt seqmenti bu nöqtə ilə ikiyə bölünür.

Sübut.

Teorem sübut edilmişdir.

Əmlak 6. Paraleloqramın küt bucağının təpəsindən endirilən hündürlüklər arasındakı bucaq paraleloqramın iti bucağına bərabərdir.

Sübut.

Teorem sübut edilmişdir.

Əmlak 7. Bir tərəfə bitişik olan paraleloqramın bucaqlarının cəmi 180°-dir.

Sübut.

Teorem sübut edilmişdir.

Bucağın bissektrisasının qurulması. Üçbucağın bucaq bissektrisasının xassələri.

1) İxtiyari DE şüasını qurun.

2) Verilmiş şüada mərkəzi təpəsində və eyni olan ixtiyari bir dairə qurun.
mərkəzi qurulmuş şüanın başlanğıcında.

3) F və G - dairənin verilmiş bucağın tərəfləri ilə kəsişmə nöqtələri, H - dairənin qurulmuş şüa ilə kəsişmə nöqtəsi

Mərkəzi H nöqtəsində və radiusu FG-yə bərabər olan bir dairə qurun.

5) I - qurulmuş şüanın dairələrinin kəsişmə nöqtəsidir.

6) Təpə və I üzərindən düz xətt çəkin.

IDH tələb olunan bucaqdır.
)

Mülk 1. Üçbucağın bucağının bisektoru qarşı tərəfi bitişik tərəflərə mütənasib olaraq bölür.

Sübut. X, y c tərəfinin seqmentləri olsun. BC şüasını davam etdirək. BC şüasında C-dən AC-yə bərabər olan CK seqmentini çəkirik.