Müfəssəl həlli ilə funksiyanın tədqiqi. Funksiyanı necə yoxlamaq və onun qrafikini çəkmək olar

Diferensial hesablamanın ən mühüm vəzifələrindən biri işlənib hazırlanmasıdır ümumi nümunələr funksiya davranışının öyrənilməsi.

Əgər y=f(x) funksiyası , intervalında fasiləsizdirsə və onun törəməsi (a,b) intervalında müsbət və ya 0-a bərabərdirsə, y=f(x) (f"(x)0) artır. y=f (x) funksiyası seqmentdə kəsilməzdirsə və onun törəməsi (a,b) intervalında mənfi və ya 0-a bərabərdirsə, y=f(x) (f"(x)0) azalır. )

Funksiyanın azalmadığı və ya artmadığı intervallara funksiyanın monotonluq intervalları deyilir. Funksiyanın monotonluğu yalnız onun təyin sahəsinin birinci törəmənin işarəsinin dəyişdiyi nöqtələrdə dəyişə bilər. Funksiyanın birinci törəməsinin itdiyi və ya kəsildiyi nöqtələrə kritik deyilir.

Teorem 1 (ekstremumun mövcudluğu üçün 1-ci kifayət qədər şərt).

y=f(x) funksiyası x 0 nöqtəsində müəyyən edilsin və δ>0 qonşuluğu olsun ki, funksiya intervalda fasiləsiz, (x 0 -δ,x 0)u( intervalında diferensial olsun. x 0 , x 0 +δ) və onun törəməsi bu intervalların hər birində sabit işarəni saxlayır. Əgər x 0 -δ,x 0) və (x 0 , x 0 +δ) üzərində törəmənin işarələri fərqlidirsə, x 0 ekstremum nöqtəsidir, əgər üst-üstə düşürsə, x 0 ekstremum nöqtəsi deyildir. . Bundan əlavə, əgər x0 nöqtəsindən keçərkən törəmə işarəni artıdan mənfiyə dəyişirsə (x 0-ın solunda f"(x)>0 təmin edilirsə, onda x 0 maksimum nöqtədir; törəmə işarəni -dən dəyişirsə mənfidən artıya (x 0-ın sağında f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Maksimum və minimum nöqtələrə funksiyanın ekstremum nöqtələri, funksiyanın maksimum və minimumu isə onun ifrat qiymətləri adlanır.

Teorem 2 (yerli ekstremumun zəruri əlaməti).

Əgər y=f(x) funksiyasının x=x 0 cərəyanında ekstremumu varsa, o zaman ya f’(x 0)=0, ya da f’(x 0) mövcud deyildir.
Diferensiallanan funksiyanın ekstremum nöqtələrində onun qrafikinə toxunan Ox oxuna paraleldir.

Ekstremum üçün funksiyanın öyrənilməsi alqoritmi:

1) funksiyanın törəməsini tapın.
2) Kritik nöqtələri tapın, yəni. funksiyanın davamlı olduğu və törəmənin sıfır olduğu və ya mövcud olmadığı nöqtələr.
3) Hər bir nöqtənin qonşuluğunu nəzərdən keçirin və bu nöqtənin solunda və sağında törəmənin işarəsini yoxlayın.
4) Bunun üçün ekstremal nöqtələrin koordinatlarını təyin edin, kritik nöqtələrin qiymətlərini bu funksiya ilə əvəz edin; Ekstremum üçün kifayət qədər şərtlərdən istifadə edərək, müvafiq nəticələr çıxarın.

Misal 18. Ekstremum üçün y=x 3 -9x 2 +24x funksiyasını araşdırın

Həll.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Törəməni sıfıra bərabər tutaraq x 1 =2, x 2 =4 tapırıq. Bu halda törəmə hər yerdə müəyyən edilir; Bu o deməkdir ki, tapılan iki nöqtədən başqa heç bir kritik nöqtə yoxdur.
3) y"=3(x-2)(x-4) törəməsinin işarəsi Şəkil 1-də göstərildiyi kimi intervaldan asılı olaraq dəyişir. x=2 nöqtəsindən keçərkən törəmə işarəni artıdan mənfiyə dəyişir, və x=4 nöqtəsindən keçərkən - mənfidən artıya.
4) x=2 nöqtəsində funksiya maksimum y max =20, x=4 nöqtəsində isə minimum y min =16 olur.

Teorem 3. (ekstremumun mövcudluğu üçün 2-ci kafi şərt).

Qoy f"(x 0) və x 0 nöqtəsində f""(x 0) olsun. Əgər f""(x 0)>0 olarsa, x 0 minimum nöqtədir, əgər f""(x) 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Seqmentdə y=f(x) funksiyası funksiyanın (a;b) intervalında yerləşən kritik nöqtələrində ən kiçik (y ən kiçik) və ya ən böyük (y ən yüksək) qiymətinə çata bilər. seqmentin ucları.

Seqmentdə y=f(x) fasiləsiz funksiyasının ən böyük və ən kiçik qiymətlərinin tapılması alqoritmi:

1) f"(x)-i tapın.
2) f"(x)=0 və ya f"(x)-in olmadığı nöqtələri tapın və onlardan seqmentin daxilində olanları seçin.
3) 2-ci addımda alınan nöqtələrdə, eləcə də seqmentin uclarında y=f(x) funksiyasının qiymətini hesablayın və onlardan ən böyüyünü və ən kiçiyini seçin: onlar müvafiq olaraq ən böyüyüdür (y). intervalda funksiyanın ən böyük) və ən kiçik (y ən kiçik) qiymətləri.

Misal 19. y=x 3 -3x 2 -45+225 kəsilməz funksiyasının ən böyük qiymətini seqmentdə tapın.

1) Seqmentdə y"=3x 2 -6x-45 var
2) y" törəməsi bütün x üçün mövcuddur. y"=0 olan nöqtələri tapaq; alırıq:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 nöqtələrində funksiyanın qiymətini hesablayın.
Seqmentdə yalnız x=5 nöqtəsi var. Funksiyanın tapılmış qiymətlərindən ən böyüyü 225, ən kiçiyi isə 50 ədədidir. Beləliklə, y max = 225, y min = 50.

Qabarıqlıq üzrə funksiyanın tədqiqi

Şəkildə iki funksiyanın qrafikləri göstərilir. Onlardan birincisi yuxarıya doğru qabarıq, ikincisi aşağıya doğru qabarıqdır.

y=f(x) funksiyası intervalda kəsilməzdir və (a;b) intervalında diferensiallana bilir, axb üçün onun qrafiki yuxarıda (aşağı olmayan) deyilsə, bu intervalda yuxarı (aşağı) qabarıq adlanır. istənilən nöqtədə çəkilmiş tangens M 0 (x 0 ;f(x 0)), burada axb.

Teorem 4. y=f(x) funksiyasının seqmentin istənilən daxili x nöqtəsində ikinci törəməsi olsun və bu seqmentin uclarında kəsilməz olsun. Onda f""(x)0 bərabərsizliyi (a;b) intervalında yerinə yetirilirsə, onda funksiya intervalında aşağıya doğru qabarıq olur; f""(x)0 bərabərsizliyi (a;b) intervalında yerinə yetirilirsə, onda funksiya yuxarıya doğru qabarıqdır.

Teorem 5. Əgər y=f(x) funksiyasının (a;b) intervalında ikinci törəməsi varsa və x 0 nöqtəsindən keçərkən işarəsini dəyişirsə, M(x 0 ;f(x 0)) olur. əyilmə nöqtəsi.

Bükülmə nöqtələrini tapmaq qaydası:

1) f""(x)-nin olmadığı və ya yox olduğu nöqtələri tapın.
2) Birinci addımda tapılan hər bir nöqtənin solunda və sağında f""(x) işarəsini yoxlayın.
3) 4-cü teorem əsasında nəticə çıxarın.

Misal 20. y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 funksiyasının qrafikinin ekstremal nöqtələrini və əyilmə nöqtələrini tapın.

Bizdə f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 var. Aydındır ki, x 1 =0, x 2 =1 olduqda f"(x)=0. X=0 nöqtəsindən keçəndə törəmə işarəni mənfidən artıya dəyişir, x=1 nöqtəsindən keçəndə isə işarəni dəyişmir. Bu o deməkdir ki, x=0 minimum nöqtədir (y min =12), x=1 nöqtəsində isə ekstremum yoxdur. Sonra, tapırıq . İkinci törəmə x 1 =1, x 2 =1/3 nöqtələrində yox olur. İkinci törəmənin əlamətləri aşağıdakı kimi dəyişir: (-∞;) şüasında f""(x)>0, (;1) intervalında f""(x) var.<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Buna görə də, x= funksiya qrafikinin əyilmə nöqtəsidir (qabarıqlıqdan aşağı qabarığa yuxarıya doğru keçid) və x=1 eyni zamanda əyilmə nöqtəsidir (qabarıqlıqdan yuxarı qabarığa aşağıya doğru keçid). Əgər x=, onda y=; əgər, onda x=1, y=13.

Qrafikin asimptotunu tapmaq üçün alqoritm

I. X → a kimi y=f(x) olarsa, x=a şaquli asimptotdur.
II. Əgər y=f(x) x → ∞ və ya x → -∞ olarsa, y=A üfüqi asimptotdur.
III. Əyri asimptotu tapmaq üçün aşağıdakı alqoritmdən istifadə edirik:
1) Hesablayın. Əgər limit mövcuddursa və b-yə bərabərdirsə, y=b üfüqi asimptotdur; varsa, ikinci addıma keçin.
2) Hesablayın. Əgər bu limit mövcud deyilsə, deməli asimptot yoxdur; varsa və k-yə bərabərdirsə, üçüncü addıma keçin.
3) Hesablayın. Əgər bu limit mövcud deyilsə, deməli asimptot yoxdur; varsa və b-ə bərabərdirsə, dördüncü addıma keçin.
4) y=kx+b əyri asimptotunun tənliyini yazın.

Misal 21: Funksiya üçün asimptot tapın

1)
2)
3)
4) Maye asimptotun tənliyi formaya malikdir

Funksiyanın tədqiqi və onun qrafikinin qurulması sxemi

I. Funksiyanın təyin olunma oblastını tapın.
II. Funksiya qrafikinin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapın.
III. Asimptotları tapın.
IV. Mümkün ekstremal nöqtələri tapın.
V. Kritik nöqtələri tapın.
VI. Köməkçi rəqəmdən istifadə edərək birinci və ikinci törəmələrin işarəsini araşdırın. Artan və azalan funksiya sahələrini təyin edin, qrafikin qabarıqlıq istiqamətini, ekstremal və əyilmə nöqtələrini tapın.
VII. 1-6-cı bəndlərdə aparılan tədqiqatları nəzərə alaraq qrafik qurun.

Misal 22: Yuxarıdakı diaqrama uyğun olaraq funksiyanın qrafikini qurun

Həll.
I. Funksiya sahəsi x=1 istisna olmaqla bütün həqiqi ədədlərin çoxluğudur.
II. x 2 +1=0 tənliyinin həqiqi kökləri olmadığı üçün funksiyanın qrafikinin Ox oxu ilə kəsişmə nöqtələri yoxdur, Oy oxunu (0;-1) nöqtəsində kəsir.
III. Asimptotların mövcudluğu məsələsinə aydınlıq gətirək. Funksiyanın x=1 kəsilmə nöqtəsi yaxınlığında davranışını öyrənək. y → ∞ x → -∞ kimi, y → +∞ x → 1+ kimi olduğundan, x=1 düz xətti funksiyanın qrafikinin şaquli asimptotudur.
Əgər x → +∞(x → -∞), onda y → +∞(y → -∞); ona görə də qrafikin üfüqi asimptotası yoxdur. Bundan əlavə, məhdudiyyətlərin mövcudluğundan

x 2 -2x-1=0 tənliyini həll edərək iki mümkün ekstremum nöqtəsini alırıq:
x 1 =1-√2 və x 2 =1+√2

V. Kritik nöqtələri tapmaq üçün ikinci törəməni hesablayırıq:

f""(x) itmədiyi üçün kritik nöqtələr yoxdur.
VI. Birinci və ikinci törəmələrin işarəsini araşdıraq. Nəzərə alınacaq mümkün ekstremum nöqtələri: x 1 =1-√2 və x 2 =1+√2, funksiyanın mövcudluq oblastını (-∞;1-√2),(1-√2;1) intervallara bölün. +√2) və (1+√2;+∞).

Bu intervalların hər birində törəmə öz işarəsini saxlayır: birincidə - üstəlik, ikincidə - mənfi, üçüncüdə - üstəgəl. Birinci törəmənin işarələrinin ardıcıllığı aşağıdakı kimi yazılacaq: +,-,+.
Funksiyanın (-∞;1-√2) artdığını, (1-√2;1+√2) azaldığını, (1+√2;+∞) isə yenidən artdığını görürük. Ekstremal nöqtələr: maksimum x=1-√2 və f(1-√2)=2-2√2 minimum x=1+√2 və f(1+√2)=2+2√2. (-∞;1) nöqtəsində qrafik yuxarıya doğru qabarıq, (1;+∞) nöqtəsində isə aşağıya doğru qabarıq olur.
VII Alınan qiymətlərin cədvəlini tərtib edək

VIII Alınan məlumatlar əsasında funksiyanın qrafikinin eskizini qururuq

Funksiyaları öyrənərkən və onların qrafiklərini qurarkən istinad nöqtələri xarakterik nöqtələrdir - kəsilmə, ekstremum, əyilmə, koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri. Diferensial hesablamadan istifadə edərək funksiyaların dəyişməsinin xarakterik xüsusiyyətlərini təyin etmək olar: artım və azalma, maksimum və minimumlar, qrafikin qabarıqlıq və konkavlik istiqaməti, asimptotların olması.

Asimptotları və ekstremum nöqtələrini tapdıqdan sonra funksiyanın qrafikinin eskizini çəkmək olar (və olmalıdır) və tədqiqatın gedişi ilə funksiyanın tədqiqinin xülasə cədvəlini doldurmaq rahatdır.

Aşağıdakı funksiyaların öyrənilməsi sxemi adətən istifadə olunur.

1.Funksiyanın təyinetmə sahəsini, davamlılıq intervallarını və kəsilmə nöqtələrini tapın.

2.Funksiyanı bərabərlik və ya təklik üçün yoxlayın (qrafiyanın eksenel və ya mərkəzi simmetriyası.

3.Asimptotları tapın (şaquli, üfüqi və ya əyri).

4.Funksiyanın artım və azalma intervallarını, onun ekstremum nöqtələrini tapın və öyrənin.

5.Əyrinin qabarıqlıq və qabarıqlıq intervallarını, onun əyilmə nöqtələrini tapın.

6.Əgər varsa, koordinat oxları ilə əyrinin kəsişmə nöqtələrini tapın.

7.Tədqiqatın xülasə cədvəlini tərtib edin.

8.Yuxarıda göstərilən nöqtələrə uyğun olaraq həyata keçirilən funksiyanın öyrənilməsi nəzərə alınmaqla bir qrafik qurulur.

Misal. Funksiyanı araşdırın

və onun qrafikini qurun.

7. Funksiyanı öyrənmək üçün xülasə cədvəlini tərtib edək, burada bütün xarakterik nöqtələri və onlar arasındakı intervalları daxil edəcəyik. Funksiyanın paritetini nəzərə alaraq aşağıdakı cədvəli alırıq:

Bu gün sizi bizimlə bir funksiyanın qrafikini araşdırmağa və qurmağa dəvət edirik. Bu məqaləni diqqətlə öyrəndikdən sonra, bu tip tapşırıqları yerinə yetirmək üçün uzun müddət tərləməli olmayacaqsınız. Bir funksiyanın qrafikini öyrənmək və qurmaq asan deyil, bu, maksimum diqqət və hesablamaların dəqiqliyini tələb edən həcmli bir işdir. Materialı daha asan başa düşmək üçün eyni funksiyanı addım-addım öyrənəcəyik və bütün hərəkətlərimizi və hesablamalarımızı izah edəcəyik. Riyaziyyatın heyrətamiz və füsunkar dünyasına xoş gəlmisiniz! Get!

Domen

Funksiyanı araşdırmaq və qrafikini çəkmək üçün bir neçə tərifi bilməlisiniz. Funksiya riyaziyyatda əsas (əsas) anlayışlardan biridir. Dəyişikliklər zamanı bir neçə dəyişən (iki, üç və ya daha çox) arasında asılılığı əks etdirir. Funksiya həmçinin çoxluqların asılılığını göstərir.

Təsəvvür edin ki, bizdə müəyyən dəyişiklik diapazonuna malik iki dəyişən var. Deməli, ikinci dəyişənin hər bir qiyməti ikincinin bir qiymətinə uyğun gələrsə, y x-in funksiyasıdır. Bu halda y dəyişəni asılı olur və ona funksiya deyilir. X və y dəyişənlərinin içərisində olduğunu söyləmək adətdir. Bu asılılığın daha aydın olması üçün funksiyanın qrafiki qurulur. Bir funksiyanın qrafiki nədir? Bu, koordinat müstəvisində hər bir x dəyərinin bir y dəyərinə uyğun olduğu nöqtələr toplusudur. Qrafiklər müxtəlif ola bilər - düz xətt, hiperbola, parabola, sinus dalğası və s.

Tədqiqat olmadan funksiyanın qrafikini çəkmək mümkün deyil. Bu gün biz tədqiqat aparmağı və funksiyanın qrafikini qurmağı öyrənəcəyik. Tədqiqat zamanı qeydlər aparmaq çox vacibdir. Bu, tapşırığın öhdəsindən gəlməyi xeyli asanlaşdıracaq. Ən əlverişli tədqiqat planı:

1. Domen.
2. Davamlılıq.
3. Cüt və ya tək.
4. Dövrilik.
5. Asimptotlar.
6. Sıfırlar.
7. Daimilik işarəsi.
8. Artan və azalan.
9. İfrat.
10. Qabarıqlıq və qabarıqlıq.

Birinci nöqtədən başlayaq. Tərif dairəsini, yəni funksiyamızın hansı intervallarda mövcud olduğunu tapaq: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Bizim vəziyyətimizdə funksiya x-in istənilən qiymətləri üçün mövcuddur, yəni tərif sahəsi R-ə bərabərdir. Bunu aşağıdakı xÎR kimi yazmaq olar.

Davamlılıq

İndi kəsilmə funksiyasını araşdıracağıq. Riyaziyyatda “davamlılıq” termini hərəkət qanunlarının öyrənilməsi nəticəsində yaranmışdır. Sonsuz nədir? Məkan, zaman, bəzi asılılıqlar (məsələn, hərəkət məsələlərində S və t dəyişənlərinin asılılığını göstərmək olar), qızdırılan obyektin temperaturu (su, tava, termometr və s.), davamlı xətt (yəni vərəq qələmindən qaldırmadan çəkmək olar).

Qrafik müəyyən nöqtədə qırılmırsa, davamlı hesab olunur. Belə bir qrafikin ən bariz nümunələrindən biri sinusoiddir, onu bu bölmədəki şəkildə görə bilərsiniz. Bir sıra şərtlər yerinə yetirilərsə, funksiya x0 nöqtəsində davamlıdır:

• funksiya verilmiş nöqtədə müəyyən edilir;
• bir nöqtədə sağ və sol sərhədlər bərabərdir;
• limit funksiyanın x0 nöqtəsindəki qiymətinə bərabərdir.

Ən azı bir şərt yerinə yetirilmədikdə, funksiyanın uğursuz olduğu deyilir. Və funksiyanın kəsildiyi nöqtələr adətən qırılma nöqtələri adlanır. Qrafik olaraq göstərildikdə “qırılacaq” funksiyaya misal: y=(x+4)/(x-3). Üstəlik, x = 3 nöqtəsində y mövcud deyil (çünki sıfıra bölmək mümkün deyil).

Öyrəndiyimiz funksiyada (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) qrafik davamlı olacağı üçün hər şey sadə oldu.

Hətta, qəribə

İndi funksiyanı paritet üçün yoxlayın. Birincisi, bir az nəzəriyyə. Cüt funksiya x dəyişəninin istənilən qiyməti üçün (qiymətlər diapazonundan) f(-x)=f(x) şərtini ödəyən funksiyadır. Nümunələr daxildir:

• modul x (qrafik şəfəq, qrafikin birinci və ikinci rüblərinin bissektrisasına bənzəyir);
• x kvadratı (parabola);
• kosinus x (kosinus).

Qeyd edək ki, bu qrafiklərin hamısı y oxuna (yəni y oxuna) görə baxdıqda simmetrikdir.

O zaman tək funksiya nə adlanır? Bunlar şərti ödəyən funksiyalardır: x dəyişəninin istənilən qiyməti üçün f(-x)=-f(x). Nümunələr:

• hiperbola;
• kub parabola;
• sinusoid;
• tangens və s.

Nəzərə alın ki, bu funksiyalar nöqtəyə (0:0), yəni mənşəyə görə simmetrikdir. Məqalənin bu bölməsində deyilənlərə əsasən, cüt və tək funksiyanın xassələri olmalıdır: x təriflər çoxluğuna aiddir və -x də.

Paritet üçün funksiyanı araşdıraq. Onun heç bir təsvirə uyğun gəlmədiyini görə bilərik. Buna görə də bizim funksiyamız nə cüt, nə də təkdir.

Asimptotlar

Bir təriflə başlayaq. Asimptot qrafikə mümkün qədər yaxın olan əyridir, yəni müəyyən nöqtədən olan məsafə sıfıra meyllidir. Ümumilikdə üç növ asimptot var:

• şaquli, yəni y oxuna paralel;
• üfüqi, yəni x oxuna paralel;
• meylli.

Birinci növə gəldikdə, bu xətləri bəzi məqamlarda axtarmaq lazımdır:

• boşluq;
• tərif sahəsinin sonları.

Bizim vəziyyətimizdə funksiya fasiləsizdir və təyinetmə sahəsi R-ə bərabərdir. Buna görə də şaquli asimptotlar yoxdur.

Funksiya qrafiki aşağıdakı tələbə cavab verən üfüqi asimptota malikdir: əgər x sonsuzluğa və ya mənfi sonsuzluğa meyllidirsə və limit müəyyən ədədə bərabərdirsə (məsələn, a). Bu halda y=a üfüqi asimptotdur. Öyrəndiyimiz funksiyada heç bir üfüqi asimptot yoxdur.

Bir əyri asimptot yalnız iki şərt yerinə yetirildikdə mövcuddur:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Sonra onu aşağıdakı düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar: y=kx+b. Yenə bizim vəziyyətimizdə əyri asimptotlar yoxdur.

Funksiya sıfırları

Növbəti addım funksiyanın qrafikini sıfırlar üçün yoxlamaqdır. Onu da qeyd etmək çox vacibdir ki, funksiyanın sıfırlarının tapılması ilə bağlı tapşırıq təkcə funksiyanın qrafikinin öyrənilməsi və qurulması zamanı deyil, həm də müstəqil tapşırıq və bərabərsizliklərin həlli üsulu kimi baş verir. Sizdən qrafikdə funksiyanın sıfırlarını tapmaq və ya riyazi qeydlərdən istifadə etmək tələb oluna bilər.

Bu dəyərləri tapmaq funksiyanın qrafikini daha dəqiq çəkməyə kömək edəcək. Sadə dillə desək, funksiyanın sıfırı y = 0 olan x dəyişəninin qiymətidir. Əgər siz qrafikdə funksiyanın sıfırlarını axtarırsınızsa, onda qrafikin x oxu ilə kəsişdiyi nöqtələrə diqqət yetirməlisiniz.

Funksiyanın sıfırlarını tapmaq üçün aşağıdakı tənliyi həll etmək lazımdır: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Lazımi hesablamaları apardıqdan sonra aşağıdakı cavabı alırıq:

Daimilik işarəsi

Funksiyanın (qrafik) tədqiqi və qurulmasının növbəti mərhələsi sabit işarəli intervalların tapılmasıdır. Bu o deməkdir ki, biz müəyyən etməliyik ki, funksiya hansı intervallarda müsbət qiymət alır, hansı intervallarda isə mənfi qiymət alır. Sonuncu bölmədə tapılan sıfır funksiyalar bizə bunu etməyə kömək edəcək. Beləliklə, bir düz xətt qurmalıyıq (qrafikdən ayrı) və onun boyunca funksiyanın sıfırlarını düzgün ardıcıllıqla kiçikdən böyüyə paylamalıyıq. İndi ortaya çıxan intervallardan hansının “+” işarəsi, hansının isə “-” işarəsi olduğunu müəyyən etməlisiniz.

Bizim vəziyyətimizdə funksiya intervallarda müsbət qiymət alır:

• 1-dən 4-ə qədər;
• 9-dan sonsuza qədər.

Mənfi məna:

• mənfi sonsuzluqdan 1-ə qədər;
• 4-dən 9-a qədər.

Bunu müəyyən etmək olduqca asandır. Funksiyaya intervaldan istənilən ədədi əvəz edin və cavabın hansı işarəyə (mənfi və ya artı) malik olduğuna baxın.

Artan və azalan funksiya

Funksiyanı araşdırmaq və qurmaq üçün qrafikin harada artacağını (Oy oxu boyunca yuxarı qalxın) və harada düşəcəyini (y oxu boyunca aşağı sürün) bilməliyik.

Funksiya yalnız x dəyişəninin daha böyük dəyəri y-nin daha böyük dəyərinə uyğun gələrsə artır. Yəni x2 x1-dən, f(x2) isə f(x1)-dən böyükdür. Və biz azalan funksiya ilə tamamilə əks bir fenomen müşahidə edirik (x nə qədər çox olarsa, y o qədər azdır). Artım və azalma intervallarını müəyyən etmək üçün aşağıdakıları tapmaq lazımdır:

• tərif sahəsi (bizdə artıq var);
• törəmə (bizim halda: 1/3(3x^2-28x+49);
• 1/3(3x^2-28x+49)=0 tənliyini həll edin.

Hesablamalardan sonra nəticəni alırıq:

Alırıq: funksiya mənfi sonsuzluqdan 7/3-ə və 7-dən sonsuza qədər olan intervallarda artır və 7/3-dən 7-ə qədər olan intervalda azalır.

İfrat

Tədqiq olunan y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) funksiya davamlıdır və x dəyişəninin istənilən qiyməti üçün mövcuddur. Ekstremum nöqtəsi verilmiş funksiyanın maksimum və minimumunu göstərir. Bizim vəziyyətimizdə heç biri yoxdur, bu da tikinti işini çox asanlaşdırır. Əks halda, onları törəmə funksiyasından istifadə etməklə də tapmaq olar. Tapıldıqdan sonra onları diaqramda qeyd etməyi unutmayın.

Qabarıqlıq və qabarıqlıq

Biz y(x) funksiyasını daha da tədqiq etməyə davam edirik. İndi onu qabarıqlıq və konkavlik üçün yoxlamaq lazımdır. Bu anlayışların təriflərini başa düşmək olduqca çətindir, nümunələrdən istifadə edərək hər şeyi təhlil etmək daha yaxşıdır. Test üçün: funksiya azalmayan funksiyadırsa, qabarıqdır. Razılaşın, bu anlaşılmazdır!

İkinci dərəcəli funksiyanın törəməsini tapmalıyıq. Alırıq: y=1/3(6x-28). İndi sağ tərəfi sıfıra bərabərləşdirək və tənliyi həll edək. Cavab: x=14/3. Biz əyilmə nöqtəsini, yəni qrafikin qabarıqlıqdan konkavliyə və ya əksinə dəyişdiyi yeri tapdıq. Mənfi sonsuzluqdan 14/3-ə qədər olan intervalda funksiya qabarıq, 14/3-dən üstəgəl sonsuzluğa qədər isə konkav olur. Qrafikdəki əyilmə nöqtəsinin hamar və yumşaq olmasını, kəskin künclərin olmamasını da qeyd etmək çox vacibdir.

Əlavə nöqtələrin müəyyən edilməsi

Bizim vəzifəmiz araşdırmaq və funksiyanın qrafikini qurmaqdır. Biz tədqiqatı başa çatdırdıq, funksiyanın qrafikini qurmaq indi çətin deyil. Bir əyri və ya düz xəttin koordinat müstəvisində daha dəqiq və ətraflı reproduksiyası üçün bir neçə köməkçi nöqtə tapa bilərsiniz. Onları hesablamaq olduqca asandır. Məsələn, x=3 götürürük, yaranan tənliyi həll edirik və y=4-ü tapırıq. Və ya x=5, və y=-5 və s. Tikinti üçün lazım olan qədər əlavə xal götürə bilərsiniz. Onların ən azı 3-5-i tapılır.

Qrafikin çəkilməsi

(x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y funksiyasını araşdırmalı olduq. Hesablamalar zamanı bütün lazımi işarələr koordinat müstəvisində aparılmışdır. Yalnız bir qrafik qurmaq, yəni bütün nöqtələri birləşdirmək qalır. Nöqtələri birləşdirmək hamar və dəqiq olmalıdır, bu bacarıq məsələsidir - bir az təcrübə və cədvəliniz mükəmməl olacaq.

Funksiyanı tam öyrənmək və onun qrafikini çəkmək üçün aşağıdakı sxem tövsiyə olunur:
A) tərif sahəsini, kəsilmə nöqtələrini tapın; kəsilmə nöqtələrinin yaxınlığında funksiyanın davranışını araşdırın (bu nöqtələrdə sol və sağda funksiyanın hədlərini tapın). Şaquli asimptotları göstərin.
B) funksiyanın cüt və ya tək olduğunu müəyyən edin və simmetriyanın olması qənaətinə gəlin. Əgər , onda funksiya OY oxuna görə bərabər və simmetrikdir; funksiya mənşəyə görə tək, simmetrik olduqda; və əgər ümumi formanın funksiyasıdır.
C) funksiyanın OY və OX koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapın (mümkünsə), funksiyanın sabit işarəsinin intervallarını təyin edin. Funksiyanın sabit işarəli intervalların sərhədləri funksiyanın sıfıra bərabər olduğu (funksiyanın sıfırları) və ya mövcud olmadığı nöqtələr və bu funksiyanın təyin olunma oblastının sərhədləri ilə müəyyən edilir. Funksiya qrafikinin OX oxundan yuxarı, harada isə bu oxun altında yerləşdiyi intervallarda.
D) funksiyanın birinci törəməsini tapın, onun sıfırlarını və sabit işarəli intervallarını təyin edin. Funksiyanın artdığı və azaldığı intervallarda. Ekstremaların (funksiya və törəmənin mövcud olduğu və keçərkən işarəni dəyişdiyi nöqtələr. Əgər işarə artıdan mənfiyə dəyişirsə, bu zaman funksiya maksimuma, mənfidən isə artıya keçərsə) nəticə çıxarın. , sonra minimum). Ekstremal nöqtələrdə funksiyanın qiymətlərini tapın.
D) ikinci törəməni, onun sıfırlarını və sabit işarəli intervalları tapın. Fasilələrlə harada< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) tənlikləri formaya malik olan maili (üfüqi) asimptotları tapın. ; Harada
.
At funksiyanın qrafikində iki maili asimptot olacaq və x-in hər bir dəyəri at və həmçinin b-nin iki dəyərinə uyğun ola bilər.
G) qrafiki aydınlaşdırmaq üçün əlavə nöqtələr tapın (lazım olduqda) və qrafiki qurun.

Misal 1 Funksiyanı araşdırın və onun qrafikini qurun. Həlli: A) tərif sahəsi; funksiya öz təyinat sahəsində davamlıdır; – qırılma nöqtəsi, çünki ; . Sonra - şaquli asimptot.
B)
olanlar. y(x) ümumi formanın funksiyasıdır.
C) Qrafikin OY oxu ilə kəsişmə nöqtələrini tapın: x=0 təyin edin; onda y(0)=–1, yəni. funksiyanın qrafiki oxunu (0;-1) nöqtəsində kəsir. Funksiyanın sıfırları (qrafikin OX oxu ilə kəsişmə nöqtələri): y=0 təyin edin; Sonra
.
Kvadrat tənliyin diskriminantı sıfırdan kiçikdir, yəni sıfırlar yoxdur. Onda sabit işarəli intervalların sərhədi funksiyanın mövcud olmadığı x=1 nöqtəsidir.
Hər bir intervalda funksiyanın işarəsi qismən qiymətlər üsulu ilə müəyyən edilir:

Diaqramdan aydın olur ki, intervalda funksiyanın qrafiki OX oxunun altında, intervalda isə OX oxunun üstündə yerləşir.
D) Kritik nöqtələrin mövcudluğunu aşkar edirik.
.
Biz və bərabərliklərindən kritik nöqtələri (harada və ya yoxdur) tapırıq.

Alırıq: x1=1, x2=0, x3=2. Köməkçi cədvəl yaradaq

Cədvəl 1

(Birinci sətir kritik nöqtələri və bu nöqtələrin OX oxu ilə bölündüyü intervalları ehtiva edir; ikinci sətir kritik nöqtələrdə törəmənin dəyərlərini və intervallardakı işarələri göstərir. İşarələr qismən dəyərlə müəyyən edilir. Üçüncü sətir y(x) funksiyasının kritik nöqtələrdəki dəyərlərini göstərir və ədədi oxun müvafiq intervallarında artan və ya azalan funksiyanı göstərir Göstərilmiş.
D) Funksiyanın qabarıqlıq və qabarıqlıq intervallarını tapın.
; D bəndində olduğu kimi cədvəl qurun); Yalnız ikinci sətirdə işarələri yazırıq, üçüncüdə isə qabarıqlığın növünü göstəririk. Çünki ; Bu kritik nöqtə bir x=1.
cədvəl 2

x=1 nöqtəsi əyilmə nöqtəsidir.
E) Çap və üfüqi asimptotları tapın

Onda y=x əyri asimptotdur.
G) Alınan məlumatlara əsasən funksiyanın qrafikini qururuq

1). Funksiyanın əhatə dairəsi.
Aydındır ki, bu funksiya “” və “” nöqtələrindən başqa bütün say xəttində müəyyən edilmişdir, çünki bu nöqtələrdə məxrəc sıfıra bərabərdir və buna görə də funksiya mövcud deyil və düz xətlər və şaquli asimptotlardır.

2). Arqument kimi funksiyanın davranışı sonsuzluğa, kəsilmə nöqtələrinin mövcudluğuna və əyri asimptotların mövcudluğunun yoxlanmasına meyllidir.
Əvvəlcə funksiyanın sonsuzluğa sola və sağa yaxınlaşarkən necə davrandığını yoxlayaq.

Beləliklə, funksiya 1-ə meyl etdikdə, yəni. - üfüqi asimptot.
Kəsiklik nöqtələrinin yaxınlığında funksiyanın davranışı aşağıdakı kimi müəyyən edilir:


Bunlar. Solda kəsilmə nöqtələrinə yaxınlaşdıqda funksiya sonsuz azalır, sağda isə sonsuz artır.
Bərabərliyi nəzərə alaraq əyri asimptotun mövcudluğunu müəyyən edirik:

Heç bir əyri asimptot yoxdur.

3). Koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri.
Burada iki vəziyyəti nəzərdən keçirmək lazımdır: Ox oxu və Oy oxu ilə kəsişmə nöqtəsini tapın. Ox oxu ilə kəsişmə əlaməti funksiyanın sıfır dəyəridir, yəni. tənliyi həll etmək lazımdır:

Bu tənliyin kökləri yoxdur, buna görə də bu funksiyanın qrafikinin Ox oxu ilə kəsişmə nöqtələri yoxdur.
Oy oxu ilə kəsişmə əlaməti x = 0 qiymətidir.Bu halda
,
olanlar. – funksiya qrafikinin Oy oxu ilə kəsişmə nöqtəsi.

4).Ekstremum nöqtələrinin və artım və azalma intervallarının təyini.
Bu məsələni öyrənmək üçün birinci törəməni təyin edirik:
.
Birinci törəmənin qiymətini sıfıra bərabərləşdirək.
.
Kəsr onun payı sıfıra bərabər olduqda sıfıra bərabərdir, yəni. .
Funksiyanın artım və azalma intervallarını təyin edək.

Beləliklə, funksiyanın bir ekstremum nöqtəsi var və iki nöqtədə mövcud deyil.
Beləliklə, funksiya intervallarda artır və intervallarda azalır və.

5). Bükülmə nöqtələri və qabarıqlıq və qabarıqlıq sahələri.
Funksiyanın davranışının bu xarakteristikası ikinci törəmə ilə müəyyən edilir. Əvvəlcə əyilmə nöqtələrinin mövcudluğunu müəyyən edək. Funksiyanın ikinci törəməsi bərabərdir

Nə vaxt və funksiya konkavdır;

zaman və funksiya qabarıqdır.

6). Bir funksiyanın qrafiki.
Tapılan dəyərləri nöqtələrdə istifadə edərək, sxematik olaraq funksiyanın qrafikini quracağıq:

Həll
Verilmiş funksiya ümumi formanın dövri olmayan funksiyasıdır. Onun qrafiki koordinatların başlanğıcından keçir, çünki .
Verilmiş funksiyanın tərif dairəsi, kəsrin məxrəcinin sıfıra çevrildiyi istisna olmaqla, dəyişənin bütün qiymətləridir.
Nəticə etibarilə, nöqtələr funksiyanın kəsilmə nöqtələridir.
Çünki ,

Çünki ,
, onda nöqtə ikinci növ kəsilmə nöqtəsidir.
Düz xətlər funksiyanın qrafikinin şaquli asimptotlarıdır.
Əyri asimptotların tənlikləri, burada, .
At ,
.
Beləliklə, for və funksiyasının qrafiki bir asimptota malikdir.
Funksiyaların və ekstremal nöqtələrin artım və azalma intervallarını tapaq.
.
at funksiyasının birinci törəməsi və deməli, at və funksiyası artır.
Nə zaman, buna görə də, nə zaman, funksiyası azalır.
üçün mövcud deyil.
, buna görə də, nə vaxt Funksiyanın qrafiki konkavdır.
At , buna görə də, nə vaxt Funksiyanın qrafiki qabarıqdır.

Nöqtələrdən keçərkən , , işarəsini dəyişir. , funksiya müəyyən edilmədikdə, funksiyanın qrafiki bir əyilmə nöqtəsinə malikdir.
Funksiyanın qrafikini quraq.

Tam araşdırma aparın və funksiyanın qrafikini çəkin

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Funksiyanın əhatə dairəsi. Funksiya kəsr olduğundan məxrəcin sıfırlarını tapmalıyıq.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Yeganə x=1x=1 nöqtəsini funksiyanın təyini sahəsindən çıxarırıq və alırıq:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Kesiklik nöqtəsi yaxınlığında funksiyanın davranışını öyrənək. Gəlin birtərəfli məhdudiyyətlər tapaq:

Sərhədlər sonsuzluğa bərabər olduğundan x=1x=1 nöqtəsi ikinci növ kəsikdir, x=1x=1 düz xətti şaquli asimptotdur.

3) Funksiya qrafikinin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini təyin edək.

X=0x=0 bərabərləşdirdiyimiz OyOy ordinat oxu ilə kəsişmə nöqtələrini tapaq:

Beləliklə, OyOy oxu ilə kəsişmə nöqtəsi (0;8)(0;8) koordinatlarına malikdir.

y=0y=0 təyin etdiyimiz OxOx absis oxu ilə kəsişmə nöqtələrini tapaq:

Tənliyin kökləri yoxdur, ona görə də OxOx oxu ilə kəsişmə nöqtələri yoxdur.

Qeyd edək ki, istənilən xx üçün x2+8>0x2+8>0. Buna görə də x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) üçün y>0y>0 funksiyası (müsbət qiymətlər alır, qrafik x oxundan yuxarıdır), x∈(1;+∞) üçün )x∈(1; +∞) funksiyası y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funksiya nə cüt, nə də tək deyil, çünki:

5) Gəlin funksiyanı dövriliyə görə yoxlayaq. Bu funksiya kəsr rasional funksiya olduğu üçün dövri deyil.

6) Funksiyanı ekstremal və monotonluq üçün araşdıraq. Bunun üçün funksiyanın birinci törəməsini tapırıq:

Birinci törəməni sıfıra bərabərləşdirək və stasionar nöqtələri tapaq (burada y′=0y′=0):

Üç kritik nöqtə əldə etdik: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Gəlin, funksiyanın bütün tərif sahəsini bu nöqtələrlə intervallara bölək və hər intervalda törəmənin əlamətlərini təyin edək:

x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) üçün y′ törəməsi<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) y′>0y′>0 törəməsi üçün funksiya bu intervallarda artır.

Bu halda x=−2x=−2 lokal minimum nöqtədir (funksiya azalır və sonra artır), x=4x=4 lokal maksimum nöqtədir (funksiya artır və sonra azalır).

Bu nöqtələrdə funksiyanın qiymətlərini tapaq:

Beləliklə, minimum nöqtə (−2;4)(−2;4), maksimum nöqtə (4;−8)(4;−8).

7) Gəlin əyilmə və qabarıqlıq funksiyasını araşdıraq. Funksiyanın ikinci törəməsini tapaq:

İkinci törəməni sıfıra bərabərləşdirək:

Yaranan tənliyin kökləri yoxdur, ona görə də əyilmə nöqtələri yoxdur. Üstəlik, x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 ödənildikdə, yəni funksiya konkav olur, x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) y′′ ilə təmin edilir<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Funksiyanın sonsuzluqda, yəni -də davranışını araşdıraq.

Sərhədlər sonsuz olduğundan, üfüqi asimptotlar yoxdur.

y=kx+by=kx+b formasının əyri asimptotlarını təyin etməyə çalışaq. Məlum düsturlardan istifadə edərək k,bk,b dəyərlərini hesablayırıq:

Biz tapdıq ki, funksiyanın bir əyri asimptot y=−x−1y=−x−1 var.

9) Əlavə nöqtələr. Qrafiki daha dəqiq qurmaq üçün bəzi digər nöqtələrdə funksiyanın qiymətini hesablayaq.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) Alınan məlumatlara əsasən, qrafik quracağıq, onu x=1x=1 (mavi), y=−x−1y=−x−1 (yaşıl) asimptotlarla tamamlayacağıq və xarakterik nöqtələri (ordinata ilə bənövşəyi kəsişmə) qeyd edəcəyik. ox, narıncı ekstremal, qara əlavə nöqtələr):

Tapşırıq 4: Həndəsi, İqtisadi məsələlər (nə olduğunu bilmirəm, burada həlli və düsturları olan problemlərin təxmini seçimi var)

Misal 3.23. a

Həll. x Və y y
y = a - 2×a/4 =a/2. x = a/4 yeganə kritik nöqtə olduğundan, bu nöqtədən keçərkən törəmənin işarəsinin dəyişib-dəyişmədiyini yoxlayaq. xa/4 S " > 0 və x >a/4 S " üçün< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет ən yüksək dəyər funksiyaları. Beləliklə, məsələnin verilmiş şərtlərində saytın ən əlverişli aspekt nisbəti y = 2x-dir.

Misal 3.24.

Həll.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Misal 3.22. f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 funksiyasının ekstremumunu tapın.

Həll. f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3) olduğundan x 1 = 2 və x 2 = 3 funksiyasının kritik nöqtələri. Ekstrema yalnız burada ola bilər. bu nöqtələr x 1 = 2 nöqtəsindən keçərkən törəmə işarəsini artıdan mənfiyə dəyişdirdiyi kimi, bu nöqtədə x 2 = 3 nöqtəsindən keçəndə törəmə işarəsini mənfidən dəyişir üstəgəl, buna görə də x 2 = 3 nöqtəsində funksiya dəyərlərini hesabladıqdan sonra funksiya minimuma malikdir
x 1 = 2 və x 2 = 3 olduqda, funksiyanın ekstremumunu tapırıq: maksimum f(2) = 14 və minimum f(3) = 13.

Misal 3.23. Yaxınlıqda düzbucaqlı bir platforma qurmalıyıq daş divar belə ki, üç tərəfdən məftillə hasarlanıb, dördüncü tərəfi isə divara bitişik olsun. Bunun üçün var a xətti metr torlar Sayt hansı aspekt nisbətində olacaq ən böyük ərazi?

Həll. Platformanın tərəflərini ilə işarə edək x Və y. Saytın sahəsi S = xy-dir. Qoy y- bu divara bitişik tərəfin uzunluğudur. Sonra şərtə görə 2x + y = a bərabərliyi olmalıdır. Buna görə də y = a - 2x və S = x(a - 2x), burada
0 ≤ x ≤ a/2 (padin uzunluğu və eni mənfi ola bilməz). S " = a - 4x, a - 4x = 0 at x = a/4, haradandır
y = a - 2×a/4 =a/2. x = a/4 yeganə kritik nöqtə olduğundan, bu nöqtədən keçərkən törəmənin işarəsinin dəyişib-dəyişmədiyini yoxlayaq. xa/4 S " > 0 və x >a/4 S " üçün< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Misal 3.24. V=16p ≈ 50 m 3 tutumu olan qapalı silindrik çənin istehsalı tələb olunur. Tankın ölçüləri (radius R və hündürlüyü H) hansı olmalıdır ki, onun istehsalı üçün ən az miqdarda material istifadə olunsun?

Həll. Silindirin ümumi səth sahəsi S = 2pR(R+H) təşkil edir. Biz silindrin həcmini bilirik V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Bu S(R) = 2p(R 2 +16/R) deməkdir. Bu funksiyanın törəməsini tapırıq:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). R 3 = 8 üçün S " (R) = 0, buna görə də,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Əlaqədar məlumat.