Və hətta prosesdə paylama. Davamlı təsadüfi kəmənin paylanmasının vahid və eksponensial qanunları

Ehtimal sıxlığının tərifini xatırlayaq.

İndi vahid ehtimal paylanması anlayışını təqdim edək:

Tərif 2

Təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərini ehtiva edən intervalda paylanma sıxlığı sabit olarsa, paylanma vahid adlanır, yəni:

Şəkil 1.

Paylanma sıxlığının aşağıdakı xassəsindən istifadə edərək $\C$ sabitinin qiymətini tapaq: $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)= 1$

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=\int\limits^a_(-\infty )(0dx)+\int\limits ^b_a(Cdx)+\int\limits^(+\infty )_b(0dx)=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \

Beləliklə, vahid paylanma sıxlığı funksiyası formaya malikdir:

Şəkil 2.

Qrafik belə görünür (Şəkil 1):

Şəkil 3. Ehtimalın vahid paylanma sıxlığı

Vahid ehtimal paylama funksiyası

İndi vahid paylanma üçün paylama funksiyasını tapaq.

Bunun üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edəcəyik: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$

1. $x ≤ a$ üçün düstura görə alırıq:

1. $a-da

1. $x> 2$ üçün düstura görə alırıq:

Beləliklə, paylama funksiyası belə görünür:

Şəkil 4.

Qrafik belə görünür (Şəkil 2):

Şəkil 5. Vahid ehtimal paylanması funksiyası.

Təsadüfi dəyişənin vahid ehtimal paylanması ilə $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ intervalına düşmə ehtimalı

Təsadüfi dəyişənin vahid ehtimal paylanması ilə $(\alpha,\beta)$ intervalına düşmə ehtimalını tapmaq üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edəcəyik:

Gözlənilən dəyər:

Standart sapma:

Ehtimalların vahid paylanması məsələsinin həlli nümunələri

Misal 1

Trolleybuslar arası interval 9 dəqiqədir.

Trolleybus sərnişinlərini gözləyən $X$ təsadüfi dəyişənin paylama funksiyasını və paylanma sıxlığını tərtib edin.

Sərnişinin üç dəqiqədən az müddətdə trolleybus gözləməsi ehtimalını tapın.

Sərnişinin ən azı 4 dəqiqə ərzində trolleybus gözləməsi ehtimalını tapın.

Gözlənilən dəyəri, dispersiyanı və standart kənarlaşmanı tapın

1. Trolleybus gözləməsinin davamlı təsadüfi dəyişəni $X$ bərabər paylandığı üçün $a=0,\ b=9$ olur.

Beləliklə, vahid ehtimal paylama sıxlığı funksiyasının düsturuna görə paylanma sıxlığı aşağıdakı formaya malikdir:

Şəkil 6.

Vahid ehtimal paylama funksiyasının düsturuna görə, bizim vəziyyətimizdə paylanma funksiyası formaya malikdir:

Şəkil 7.

1. Bu sualı aşağıdakı kimi yenidən formalaşdırmaq olar: vahid paylanmanın təsadüfi kəmiyyətinin $\left(6,9\right) intervalına düşmə ehtimalını tapın.

Biz əldə edirik:

\ \ \

Beləliklə, vahid paylanma sıxlığı funksiyası formaya malikdir:

Şəkil 2.

Qrafik belə görünür (Şəkil 1):

Şəkil 3. Ehtimalın vahid paylanma sıxlığı

Vahid ehtimal paylama funksiyası

İndi vahid paylanma üçün paylama funksiyasını tapaq.

Bunun üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edəcəyik: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$

1. $x ≤ a$ üçün düstura görə alırıq:

1. $a-da

1. $x> 2$ üçün düstura görə alırıq:

Beləliklə, paylama funksiyası belə görünür:

Şəkil 4.

Qrafik belə görünür (Şəkil 2):

Şəkil 5. Vahid ehtimal paylanması funksiyası.

Təsadüfi dəyişənin vahid ehtimal paylanması ilə $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ intervalına düşmə ehtimalı

Təsadüfi dəyişənin vahid ehtimal paylanması ilə $(\alpha,\beta)$ intervalına düşmə ehtimalını tapmaq üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edəcəyik:

Gözlənilən dəyər:

Standart sapma:

Ehtimalların vahid paylanması məsələsinin həlli nümunələri

Misal 1

Trolleybuslar arası interval 9 dəqiqədir.

Trolleybus sərnişinlərini gözləyən $X$ təsadüfi dəyişənin paylama funksiyasını və paylanma sıxlığını tərtib edin.

Sərnişinin üç dəqiqədən az müddətdə trolleybus gözləməsi ehtimalını tapın.

Sərnişinin ən azı 4 dəqiqə ərzində trolleybus gözləməsi ehtimalını tapın.

Gözlənilən dəyəri, dispersiyanı və standart kənarlaşmanı tapın

1. Trolleybus gözləməsinin davamlı təsadüfi dəyişəni $X$ bərabər paylandığı üçün $a=0,\ b=9$ olur.

Beləliklə, vahid ehtimal paylama sıxlığı funksiyasının düsturuna görə paylanma sıxlığı aşağıdakı formaya malikdir:

Şəkil 6.

Vahid ehtimal paylama funksiyasının düsturuna görə, bizim vəziyyətimizdə paylanma funksiyası formaya malikdir:

Şəkil 7.

1. Bu sualı aşağıdakı kimi yenidən formalaşdırmaq olar: vahid paylanmanın təsadüfi kəmiyyətinin $\left(6,9\right) intervalına düşmə ehtimalını tapın.

Biz əldə edirik:

\, bu seqmentdə təsadüfi kəmiyyətin ehtimal paylanma sıxlığı sabitdirsə, yəni diferensial paylanma funksiyası f(x) aşağıdakı formaya malikdir:

Bu paylama bəzən adlanır vahid sıxlıq qanunu. Müəyyən bir seqmentdə vahid paylanması olan bir kəmiyyət haqqında, onun bu seqmentdə bərabər paylandığını söyləyəcəyik.

c sabitinin qiymətini tapaq. Paylanma əyrisi və oxu ilə məhdudlaşan sahə olduğundan Oh, 1-ə bərabərdir, onda

harada ilə=1/(b-a).

İndi funksiya f(x)şəklində təmsil oluna bilər

Paylanma funksiyasını quraq F(x ), nə üçün ifadə tapırıq F(x) intervalında [ a, b]:

f (x) və F (x) funksiyalarının qrafikləri belə görünür:

Rəqəmsal xüsusiyyətləri tapaq.

NSV-nin riyazi gözləntisini hesablamaq üçün düsturdan istifadə edərək, əldə edirik:

Beləliklə, [ intervalında bərabər paylanmış təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisi.a, b] bu seqmentin ortasına düşür.

Vahid paylanmış təsadüfi kəmənin dispersiyasını tapaq:

buradan dərhal standart sapma çıxır:

İndi vahid paylanmaya malik təsadüfi kəmiyyətin dəyərinin intervala düşmə ehtimalını tapaq(a, b), tamamilə seqmentə aid olan [a,b ]:

Onlayn xidmət: