y sin funksiyalarının qrafikləri. Sinus (sin x) və kosinus (cos x) – xassələr, qrafiklər, düsturlar

Bu dərsdə y = sin x funksiyasını, onun əsas xassələrini və qrafikini ətraflı nəzərdən keçirəcəyik. Dərsin əvvəlində koordinat çevrəsində y = sin t triqonometrik funksiyasının tərifini verəcəyik və funksiyanın çevrə və xətt üzərində qrafikini nəzərdən keçirəcəyik. Qrafikdə bu funksiyanın dövriliyini göstərək və funksiyanın əsas xassələrini nəzərdən keçirək. Dərsin sonunda funksiyanın qrafikindən və onun xassələrindən istifadə etməklə bir neçə sadə məsələni həll edəcəyik.

Mövzu: Triqonometrik funksiyalar

Dərs: y=sinx funksiyası, onun əsas xassələri və qrafiki

Bir funksiyanı nəzərdən keçirərkən, hər bir arqument dəyərini bir funksiya dəyəri ilə əlaqələndirmək vacibdir. Bu yazışma qanunu və funksiya adlanır.

üçün yazışma qanununu müəyyən edək.

İstənilən real ədəd vahid çevrənin tək nöqtəsinə uyğun gəlir.

Hər bir arqument dəyəri bir funksiya dəyəri ilə əlaqələndirilir.

Aşkar xüsusiyyətlər sinusun tərifindən irəli gəlir.

Şəkil bunu göstərir çünki vahid çevrəsindəki nöqtənin ordinatıdır.

Funksiyanın qrafikini nəzərdən keçirək. Arqumentin həndəsi şərhini xatırlayaq. Arqument radyanla ölçülən mərkəzi bucaqdır. Ox boyunca həqiqi ədədləri və ya bucaqları radyanla, ox boyunca funksiyanın müvafiq dəyərlərini çəkəcəyik.

Məsələn, vahid dairədəki bucaq qrafikdəki nöqtəyə uyğun gəlir (şək. 2).

Biz sahədə funksiyanın qrafikini əldə etmişik, lakin sinusun dövrünü bilməklə, funksiyanın qrafikini bütün təyinetmə dairəsi üzərində təsvir edə bilərik (şək. 3).

Funksiyanın əsas dövrü o deməkdir ki, qrafiki seqment üzrə əldə etmək və sonra bütün tərif sahəsi boyunca davam etdirmək olar.

Funksiyanın xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirin:

1) Tərifin əhatə dairəsi:

2) Dəyərlər diapazonu:

3) Tək funksiya:

4) Ən kiçik müsbət dövr:

5) Qrafikin absis oxu ilə kəsişmə nöqtələrinin koordinatları:

6) Qrafikin ordinat oxu ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatları:

7) Funksiyanın müsbət qiymətlər aldığı intervallar:

8) Funksiyanın mənfi qiymətlər aldığı intervallar:

9) Artan intervallar:

10) azalan intervallar:

11) Minimum ballar:

12) Minimum funksiyalar:

13) Maksimum xallar:

14) Maksimum funksiyalar:

Biz funksiyanın xassələrinə və onun qrafikinə baxdıq. Problemlərin həlli zamanı xassələr dəfələrlə istifadə olunacaq.

İstinadlar

1. Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 10-cu sinif (iki hissədə). Ümumi təhsil müəssisələri üçün dərslik (profil səviyyəsi), red. A. G. Mordkoviç. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 10-cu sinif (iki hissədə). Təhsil müəssisələri üçün problem kitabı (profil səviyyəsi), red. A. G. Mordkoviç. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., İvaşev-Musatov O.S., Şvartsburd S.İ. 10-cu sinif üçün cəbr və riyazi analiz (riyaziyyatı dərindən öyrənən məktəb və sinif şagirdləri üçün dərslik - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Qalitski M.L., Moşkoviç M.M., Şvartsburd S.İ. Cəbr və riyazi analizin dərindən öyrənilməsi.-M.: Təhsil, 1997.

5. Ali təhsil müəssisələrinə abituriyentlər üçün riyaziyyatdan məsələlər toplusu (red. M.İ.Skanavi - M.: Ali məktəb, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cəbri simulyator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Qoldman A.M., Denisov D.V. Cəbr və təhlil prinsipləri üzrə problemlər (ümumi təhsil müəssisələrinin 10-11-ci sinif şagirdləri üçün dərs vəsaiti - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Cəbr və təhlil prinsipləri üzrə problemlər toplusu: dərslik. 10-11-ci siniflər üçün müavinət. dərinliyi ilə oxudu Riyaziyyat.-M.: Təhsil, 2006.

Ev tapşırığı

Cəbr və təhlilin başlanğıcı, 10-cu sinif (iki hissədə). Təhsil müəssisələri üçün problem kitabı (profil səviyyəsi), red.

A. G. Mordkoviç. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Əlavə veb resursları

3. İmtahanlara hazırlaşmaq üçün tədris portalı ().

y=sin x funksiyasının qrafiki necə çəkilir? Əvvəlcə intervalda sinus qrafikinə baxaq.

Notebookda 2 hüceyrə uzunluğunda bir seqment götürürük. Oy oxunda birini qeyd edirik.

Rahatlıq üçün π/2 rəqəmini 1,5-ə yuvarlaqlaşdırırıq (yuvarlaqlaşdırma qaydalarına uyğun olaraq 1,6-ya deyil). Bu halda π/2 uzunluğunda seqment 3 hüceyrəyə uyğun gəlir.

Ox oxunda biz tək seqmentləri deyil, π/2 uzunluqlu seqmentləri (hər 3 hüceyrə) qeyd edirik. Müvafiq olaraq, uzunluğu π olan seqment 6 hüceyrəyə, π/6 uzunluqlu seqment isə 1 hüceyrəyə uyğundur.

Vahid seqmentin bu seçimi ilə qutudakı notebook vərəqində təsvir olunan qrafik y=sin x funksiyasının qrafikinə mümkün qədər uyğun gəlir.

İnterval üzrə sinus dəyərləri cədvəlini yaradaq:

Yaranan nöqtələri koordinat müstəvisində qeyd edirik:

y=sin x tək funksiya olduğundan sinus qrafiki mənşəyə - O(0;0) nöqtəsinə görə simmetrikdir. Bu faktı nəzərə alaraq, qrafiki sola, sonra -π nöqtələrini çəkməyə davam edək:

y=sin x funksiyası dövri T=2π ilə dövridir. Buna görə də [-π;π] intervalında alınan funksiyanın qrafiki sonsuz sayda sağa və sola təkrarlanır.

, "Dərs üçün təqdimat" müsabiqəsi

Dərs üçün təqdimat

Geri İrəli

Diqqət! Slayd önizləmələri yalnız məlumat məqsədi daşıyır və təqdimatın bütün xüsusiyyətlərini əks etdirməyə bilər. Bu işlə maraqlanırsınızsa, tam versiyanı yükləyin.

Dəmir heç bir fayda tapmadan paslanır,
daimi su soyuqda çürüyür və ya donur,
və insanın zehni özünə heç bir fayda tapa bilməyib zəifləyir.
Leonardo da Vinçi

İstifadə olunan texnologiyalar: problem əsaslı öyrənmə, tənqidi düşüncə, kommunikativ ünsiyyət.

Məqsədlər:

Öyrənməyə bilişsel marağın inkişafı.
y = sin x funksiyasının xassələrinin öyrənilməsi.
Öyrənilmiş nəzəri material əsasında y = sin x funksiyasının qrafikinin qurulması üzrə praktiki bacarıqların formalaşdırılması.

Tapşırıqlar:

1. y = sin x funksiyasının xassələri haqqında mövcud bilik potensialından konkret situasiyalarda istifadə edin.

2. y = sin x funksiyasının analitik və həndəsi modelləri arasında əlaqənin şüurlu qurulmasını tətbiq edin.

Təşəbbüs, müəyyən bir istək və həll tapmağa maraq inkişaf etdirmək; qərar qəbul etmək, orada dayanmamaq və öz nöqteyi-nəzərini müdafiə etmək bacarığı.

Şagirdlərdə idrak fəaliyyətini, məsuliyyət hissini, bir-birinə hörmət, qarşılıqlı anlaşma, qarşılıqlı dəstək və özünə inamı inkişaf etdirmək; ünsiyyət mədəniyyəti.

Dərsin gedişatı

Mərhələ 1. Əsas bilikləri yeniləmək, yeni materialı öyrənməyə həvəsləndirmək

"Dərsə girmək."

Lövhədə 3 ifadə yazılmışdır:

sin t = a triqonometrik tənliyinin həmişə həlli var.
Tək funksiyanın qrafiki Oy oxu ətrafında simmetriya çevrilməsindən istifadə etməklə qurula bilər.
Bir əsas yarım dalğadan istifadə edərək triqonometrik funksiyanın qrafiki çəkilə bilər.

Şagirdlər cüt-cüt müzakirə edirlər: ifadələr doğrudurmu? (1 dəqiqə). İlkin müzakirənin nəticələri (bəli, yox) daha sonra "Əvvəl" sütununda cədvələ daxil edilir.

Müəllim dərsin məqsəd və vəzifələrini müəyyən edir.

2. Biliklərin yenilənməsi (triqonometrik dairənin modelində cəbhədən).

Biz artıq s = sin t funksiyası ilə tanış olmuşuq.

1) Dəyişən t hansı dəyərləri qəbul edə bilər. Bu funksiyanın əhatə dairəsi nədir?

2) sin t ifadəsinin qiymətləri hansı intervaldadır? s = sin t funksiyasının ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapın.

3) sin t = 0 tənliyini həll edin.

4) Birinci rüb boyunca hərəkət edən nöqtənin ordinatı ilə nə baş verir? (ordinata artır). İkinci rüb boyunca hərəkət edən nöqtənin ordinatı ilə nə baş verir? (ordinata tədricən azalır). Bunun funksiyanın monotonluğu ilə necə əlaqəsi var? (s = sin t funksiyası seqmentdə artır və seqmentdə azalır).

5) s = sin t funksiyasını bizə tanış olan y = sin x şəklində yazaq (onu adi xOy koordinat sistemində quracağıq) və bu funksiyanın qiymətlərinin cədvəlini tərtib edək.

X	0
saat	0			1			0

Mərhələ 2. Qavrama, anlama, ilkin konsolidasiya, qeyri-ixtiyari yadda saxlama

Mərhələ 4. Biliklərin və fəaliyyət metodlarının ilkin sistemləşdirilməsi, onların köçürülməsi və yeni situasiyalarda tətbiqi

6. № 10.18 (b,c)

Mərhələ 5. Yekun nəzarət, düzəliş, qiymətləndirmə və özünüqiymətləndirmə

7. İfadələrə qayıdırıq (dərsin əvvəli), y = sin x triqonometrik funksiyasının xassələrindən istifadə edərək müzakirə edirik və cədvəldə “Sonra” sütununu doldururuq.

8. D/z: bənd 10, № 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

>>Riyaziyyat: y = sin x, y = cos x funksiyaları, onların xassələri və qrafikləri

y = sin x, y = cos x funksiyaları, onların xassələri və qrafikləri

Bu bölmədə y = sin x, y = cos x funksiyalarının bəzi xassələrini müzakirə edəcəyik və onların qrafiklərini quracağıq.

1. y = sin X funksiyası.

Yuxarıda, § 20-də biz hər bir t nömrəsini cos t sayı ilə əlaqələndirməyə imkan verən bir qayda tərtib etdik, yəni. y = sin t funksiyasını xarakterizə etmişdir. Onun bəzi xüsusiyyətlərini qeyd edək.

u = sin t funksiyasının xassələri.

Tərif sahəsi real ədədlərin K çoxluğudur.
Buradan belə nəticə çıxır ki, istənilən 2 rəqəmi ədəd çevrəsində dəqiq müəyyən edilmiş ordinata malik olan M(1) nöqtəsinə uyğundur; bu ordinat cos t.

u = sin t tək funksiyadır.

Bu ondan irəli gəlir ki, § 19-da sübut olunduğu kimi, istənilən t üçün bərabərlik
Bu o deməkdir ki, u = sin t funksiyasının qrafiki hər hansı tək funksiyanın qrafiki kimi tOi düzbucaqlı koordinat sistemində başlanğıca görə simmetrikdir.

u = sin t funksiyası intervalda artır
Buradan belə nəticə çıxır ki, nöqtə ədəd çevrəsinin birinci rübü boyunca hərəkət etdikdə ordinat tədricən artır (0-dan 1-ə qədər – şək. 115-ə bax), nöqtə isə ədəd dairəsinin ikinci rübü boyunca hərəkət etdikdə isə ordinat ordinat tədricən azalır (1-dən 0-a - Şəkil 116-a baxın).

u = sint funksiyası həm aşağıda, həm də yuxarıda məhduddur. Bu ondan irəli gəlir ki, § 19-da gördüyümüz kimi, istənilən t üçün bərabərsizlik

(funksiya formanın istənilən nöqtəsində bu dəyərə çatır (funksiya formanın istənilən nöqtəsində bu dəyərə çatır
Alınan xassələrdən istifadə edərək bizi maraqlandıran funksiyanın qrafikini quracağıq. Amma (diqqət!) u - sin t əvəzinə y = sin x yazacağıq (axı biz u = f(t) yox, y = f(x) yazmağa daha çox öyrəşmişik). Bu o deməkdir ki, biz adi xOy koordinat sistemində (tOy deyil) qrafik quracağıq.

y - sin x funksiyasının qiymətlərinin cədvəlini yaradaq:

Şərh.

“Sinus” termininin mənşəyinə dair versiyalardan birini verək. Latın dilində sinus əyilmə (yay ipi) deməkdir.

Qurulmuş qrafik bu terminologiyanı müəyyən dərəcədə əsaslandırır.

y = sin x funksiyasının qrafiki kimi xidmət edən xətt sinus dalğası adlanır. Şəkildə göstərilən sinusoidin həmin hissəsi. 118 və ya 119 sinus dalğası adlanır və sinus dalğasının Şəkil 1-də göstərilən hissəsi. 117 sinus dalğasının yarım dalğası və ya qövsü adlanır.

2. y = cos x funksiyası.

y = cos x funksiyasının tədqiqi təxminən yuxarıda y = sin x funksiyası üçün istifadə edilən eyni sxemə əsasən aparıla bilər. Amma hədəfə aparan yolu daha tez seçəcəyik. Birincisi, biz özlüyündə vacib olan iki düsturu sübut edəcəyik (bunu orta məktəbdə görəcəksiniz), lakin hələlik məqsədlərimiz üçün yalnız köməkçi əhəmiyyətə malikdir.

t-nin istənilən dəyəri üçün aşağıdakı bərabərliklər etibarlıdır:

Sübut. t ədədi n ədədi çevrənin M nöqtəsinə, * + sayı isə P nöqtəsinə uyğun gəlsin (şək. 124; sadəlik üçün birinci rübdə M nöqtəsini götürdük). AM və BP qövsləri bərabərdir, OKM və OLBP sağ üçbucaqları isə müvafiq olaraq bərabərdir. Bu O K = Ob, MK = Pb deməkdir. Bu bərabərliklərdən və OCM və OBP üçbucaqlarının koordinat sistemindəki yerindən iki nəticə çıxarırıq:

1) P nöqtəsinin ordinatı mütləq qiymətdə üst-üstə düşür və M nöqtəsinin absisi ilə işarələnir; bu o deməkdir ki

2) P nöqtəsinin absisi mütləq qiymətinə görə M nöqtəsinin ordinatına bərabərdir, lakin işarəsinə görə ondan fərqlənir; bu o deməkdir ki

Təxminən eyni əsaslandırma M nöqtəsinin birinci rübə aid olmadığı hallarda həyata keçirilir.
Düsturdan istifadə edək (bu, yuxarıda sübut edilmiş düsturdur, lakin t dəyişəninin əvəzinə x dəyişənindən istifadə edirik). Bu formula bizə nə verir? Bu funksiyaları təsdiq etməyə imkan verir

eynidir, yəni onların qrafikləri üst-üstə düşür.
Funksiyanın qrafikini çəkək Bunun üçün başlanğıc nöqtəsi olan köməkçi koordinat sisteminə keçək (şəkil 125-də nöqtəli xətt çəkilmişdir). y = sin x funksiyasını yeni koordinat sisteminə bağlayaq - bu funksiyanın qrafiki olacaq. (Şəkil 125), yəni. y - cos x funksiyasının qrafiki. O, y = sin x funksiyasının qrafiki kimi, sinus dalğası adlanır (bu olduqca təbiidir).

y = cos x funksiyasının xassələri.

y = cos x cüt funksiyadır.

Tikinti mərhələləri Şəkildə göstərilmişdir. 126:

1) y = cos x funksiyasının qrafikini qurun (daha dəqiq desək, bir yarımdalğalı);
2) qurulmuş qrafiki x oxundan 0,5 əmsalı ilə uzatmaqla tələb olunan qrafikin bir yarım dalğasını alırıq;
3) yaranan yarımdalğadan istifadə edərək y = 0,5 cos x funksiyasının bütün qrafikini qururuq.

Dərsin məzmunu dərs qeydləri dəstəkləyən çərçivə dərsi təqdimatı sürətləndirmə üsulları interaktiv texnologiyalar Təcrübə edin tapşırıqlar və məşğələlər özünü sınamaq seminarları, təlimlər, keyslər, kvestlər ev tapşırığının müzakirəsi suallar tələbələrin ritorik sualları İllüstrasiyalar audio, video kliplər və multimedia fotoşəkillər, şəkillər, qrafika, cədvəllər, diaqramlar, yumor, lətifələr, zarafatlar, komikslər, məsəllər, kəlamlar, krossvordlar, sitatlar Əlavələr abstraktlar məqalələr maraqlı beşiklər üçün fəndlər dərsliklər əsas və əlavə terminlər lüğəti digər Dərsliklərin və dərslərin təkmilləşdirilməsidərslikdəki səhvlərin düzəldilməsi dərslikdəki fraqmentin yenilənməsi, dərsdə yenilik elementləri, köhnəlmiş biliklərin yeniləri ilə əvəz edilməsi Yalnız müəllimlər üçün mükəmməl dərslər il üçün təqvim planı, müzakirə proqramları; İnteqrasiya edilmiş Dərslər