Butaforlar üçün funksional diferensial və qismən törəmələr. Qismən törəmə, ümumi diferensial FNP

Funksiya bəzi (açıq) domendə müəyyən edilsin D xal
ölçülü məkan və
bu sahədə bir nöqtədir, yəni.
D.

Funksiyanın qismən artımı hər hansı bir dəyişən üçün çoxlu dəyişənlərə, bütün digər dəyişənlərin sabit qiymətlərə malik olduğunu fərz etsək, bu dəyişənə artım versək, funksiyanın alacağı artım deyilir.

Məsələn, funksiyanın dəyişən üzərində qismən artımı olacaq

Müstəqil dəyişənə münasibətdə qismən törəmə nöqtədə
funksiyadan qismən artım münasibətinin həddi (əgər varsa) adlanır
artırmaq üçün funksiyalar
dəyişən çalışarkən
sıfıra:

Qismən törəmə simvollardan biri ilə işarələnir:

;
.

Şərh. indeks bu qeyddə aşağıda yalnız törəmənin dəyişənlərdən hansından alındığını və hansı nöqtə ilə əlaqəli olmadığını göstərir
bu törəmə hesablanır.

Qismən törəmələrin hesablanması adi törəmənin hesablanması ilə müqayisədə yeni bir şey deyil, yalnız yadda saxlamaq lazımdır ki, funksiyanı hər hansı dəyişənə görə diferensiallaşdırarkən bütün digər dəyişənlər sabitlər kimi qəbul edilir. Bunu misallarla göstərək.

Misal 1Funksiyaların qismən törəmələrini tapın
.

Həll. Funksiyanın qismən törəməsi hesablanarkən
arqumentlə funksiyasını nəzərdən keçirin yalnız bir dəyişənin funksiyası kimi , yəni. buna inan sabit dəyərə malikdir. Sabit vəziyyətdə funksiyası
arqumentin güc funksiyasıdır . Güc funksiyasını diferensiallaşdırmaq üçün düstura görə alırıq:

Eynilə, qismən törəmə hesablanarkən dəyərin sabit olduğunu güman edirik , və funksiyanı nəzərdən keçirin
arqumentin eksponensial funksiyası kimi . Nəticədə alırıq:

Misal 2. Hqismən törəmələri tapın və funksiyaları
.

Həll. ilə bağlı qismən törəmə hesablanarkən verilmiş funksiya bir dəyişənin funksiyası kimi nəzərdən keçirəcəyik , və ehtiva edən ifadələr , daimi amillər olacaq, yəni.
daimi amil kimi çıxış edir güc funksiyası ilə (
). ilə bağlı bu ifadənin fərqləndirilməsi , alırıq:

İndi, əksinə, funksiyası bir dəyişənin funksiyası kimi qəbul edilir , ifadələri ehtiva edərkən , əmsal kimi çıxış edir
(
).Fərqləndirici triqonometrik funksiyaların diferensiallaşdırılması qaydalarına əsasən, alırıq:

Misal 3 Funksiyanın qismən törəmələrini hesablayın
nöqtədə
.

Həll.Əvvəlcə bu funksiyanın qismən törəmələrini ixtiyari bir nöqtədə tapırıq
onun tərif sahəsi. ilə bağlı qismən törəmə hesablanarkən buna inan
daimidir.

ilə fərqləndirərkən daimi olacaq
:

və qismən törəmələrin hesablanması zamanı və tərəfindən , eynilə, müvafiq olaraq, sabit olacaq,
və
, yəni:

İndi nöqtədə bu törəmələrin dəyərlərini hesablayırıq
, dəyişənlərin xüsusi qiymətlərini ifadələrində əvəz etmək. Nəticədə alırıq:

11. Funksiyanın qismən və tam diferensialları

Əgər indi şəxsi artıma
dəyişənə münasibətdə sonlu artımlara Laqranj teoremini tətbiq edin , sonra, saymaq davamlı olaraq aşağıdakı əlaqələri əldə edirik:

harada
,
sonsuz kiçik kəmiyyətdir.

Funksiyanın qismən diferensialı dəyişən tərəfindən qismən artımın əsas xətti hissəsi adlanır
, bu dəyişənə nisbətən qismən törəmənin hasilinə və bu dəyişənin artımına bərabərdir və işarələnir

Aydındır ki, qismən diferensial qismən artımdan sonsuz kiçik yüksək sıra ilə fərqlənir.

Tam funksiya artımı bir çox dəyişənə onun artımı deyilir, o, bütün müstəqil dəyişənlərə artım verdiyimiz zaman alacaq, yəni.

hamı haradadır
, asılıdır və onlarla birlikdə sıfıra meyllidirlər.

Altında müstəqil dəyişənlərin diferensialları deməklə razılaşdı ixtiyari artımlar
və onları etiketləyin
. Beləliklə, qismən diferensialın ifadəsi aşağıdakı formanı alacaq:

Məsələn, qismən diferensial haqqında belə müəyyən edilir:

tam diferensial
çox dəyişənlərin funksiyaları ümumi artımın əsas xətti hissəsi adlanır
bərabərdir, yəni. onun bütün qismən diferensiallarının cəmi:

Əgər funksiyası
davamlı qismən törəmələrə malikdir

nöqtədə
, sonra o müəyyən nöqtədə diferensiallana bilir.

Diferensiallana bilən funksiya üçün kifayət qədər kiçik üçün
təxmini bərabərliklər var

təxmini hesablamalar üçün istifadə edilə bilər.

Misal 4Funksiyanın tam diferensialını tapın
üç dəyişən
.

Həll.Əvvəlcə qismən törəmələri tapırıq:

Onların bütün dəyərlər üçün davamlı olduğunu qeyd edərək
, Biz tapdıq:

Bir neçə dəyişənli funksiyaların diferensialları üçün diferensialların xassələrinə dair bütün teoremlər doğrudur, bunlar bir dəyişənin funksiyaları üçün sübut edilmişdir, məsələn: əgər və dəyişənlərin davamlı funksiyalarıdır
, bütün dəyişənlərə münasibətdə davamlı qismən törəmələri olan və və ixtiyari sabitlərdir, onda:

(6)

Praktiki iş №2

"Funksiya Diferensial"

Dərsin məqsədi: Verilmiş mövzuya dair misal və problemləri həll etməyi öyrənin.

Nəzəriyyə sualları (ilkin səviyyə):

1. Funksiyaların ifrat həddə qədər öyrənilməsi üçün törəmələrin istifadəsi.

2. Funksiyanın diferensialı, onun həndəsi və fiziki mənası.

3. Bir neçə dəyişənli funksiyanın tam diferensialı.

4. Çox dəyişənlərin funksiyası kimi orqanizmin vəziyyəti.

5. Təxmini hesablamalar.

6. Qismən törəmələrin və tam diferensialın tapılması.

7. Bu anlayışların farmakokinetikada, mikrobiologiyada və s.

(özünü məşq)

1. dərsin mövzusu üzrə suallara cavab vermək;

2. nümunələri həll edin.

Nümunələr

Aşağıdakı funksiyaların diferensiallarını tapın:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Funksiyaları öyrənmək üçün törəmələrdən istifadə

y = f(x) funksiyasının [a, b] seqmentində artma şərti

y=f(x) funksiyasının [a, b] seqmentində azalma şərti.

x= a-da maksimum y=f(x) funksiyasının şərti

f"(a)=0 və f""(a)<0

Əgər x \u003d a üçün f "(a) \u003d 0 və f "(a) \u003d 0 törəmələri varsa, x \u003d a nöqtəsinin yaxınlığında f "(x) i araşdırmaq lazımdır. Funksiya y \u003d f (x) x \u003d a üçün maksimuma malikdir, əgər x \u003d nöqtəsindən keçərkən və f "(x) törəməsi işarəni "+" dan "-" ə dəyişirsə, minimum olduqda - "-"-dən "+"-a x = a nöqtəsindən keçərkən f "(x) işarəsi dəyişməzsə, bu nöqtədə funksiyanın ekstremumu yoxdur.

Funksiya diferensialı.

Müstəqil dəyişənin diferensialı onun artımına bərabərdir:

Funksiya diferensialı y=f(x)

İki funksiyanın cəminin (fərqinin) diferensialı y=u±v

İki funksiyanın hasilinin diferensialı y=uv

İki funksiyanın bölünmə diferensialı y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

Funksiya artımı

Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) ≈ dy ≈ f "(x) Δx

burada Δx: arqumentin artımıdır.

Funksiya dəyərinin təxmini hesablanması:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f "(x) Δx

Diferensialın təxmini hesablamalarda tətbiqi

Diferensial u = f(x, y, z.) dolayı ölçmələrdə mütləq və nisbi xətaları hesablamaq üçün istifadə olunur. Ölçmə nəticəsinin mütləq səhvi

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Ölçmə nəticəsinin nisbi xətası

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

FUNKSİYA DIFFERENTİAL.

Funksiya artımının əsas hissəsi kimi funksiya diferensialı və. Funksiyanın diferensialı anlayışı törəmə anlayışı ilə sıx bağlıdır. Qoy funksiya olsun f(x) verilmiş dəyərlər üçün davamlı X və törəməsi var

D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), buradan funksiya artımı Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, harada a(Dx) ® 0 saat Dx ® 0. Sonsuz kiçiklərin sırasını təyin edək f¢(x)Dx Dx.:

Buna görə də sonsuz kiçik f¢(x)Dx və Dx eyni böyüklük sırasına malikdir, yəni f¢(x)Dx = O.

Sonsuz kiçiklərin sırasını təyin edək a(Dх)Dх sonsuz kiçikə münasibətdə Dx:

Buna görə də sonsuz kiçik a(Dх)Dх sonsuz kiçikdən daha yüksək kiçiklik sırasına malikdir Dx, yəni a(Dx)Dx = o.

Beləliklə, sonsuz kiçik artım Df diferensiallanan funksiya iki termin şəklində təqdim edilə bilər: sonsuz kiçik f¢(x)Dx ilə eyni kiçiklik sırası Dx və sonsuz kiçik a(Dх)Dх sonsuz kiçiklə müqayisədə daha yüksək kiçiklik sırası Dx. Bu bərabərlik deməkdir Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx saat Dx® 0 ikinci termin birincidən "daha sürətli" sıfıra meyl edir, yəni. a(Dx)Dx = o.

Birinci dövr f¢(x)Dx, ilə əlaqədar xətti Dx, çağırdı funksiya diferensialı f(x) nöqtədə X və işarə edir dy və ya df("de game" və ya "de ef" oxuyun). Belə ki,

dy = df = f¢(x)Dx.

Diferensialın analitik mənası ondan ibarətdir ki, funksiyanın diferensialı funksiyanın artımının əsas hissəsidir Df, arqumentin artımına görə xətti Dx. Funksiyanın diferensialı funksiyanın artımından daha yüksək kiçiklik sırasına malik sonsuz kiçik ilə fərqlənir. Dx. Həqiqətən, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx və ya Df = df + a(Dx)Dx . Arqument diferensialı dx onun artımına bərabərdir Dx: dx=Dx.

Misal. Funksiyanın diferensialının qiymətini hesablayın f(x) = x 3 + 2x, nə vaxt X 1-dən 1.1-ə qədər dəyişir.

Həll. Bu funksiyanın diferensialının ümumi ifadəsini tapaq:

Əvəzedici dəyərlər dx=Dx=1,1–1= 0,1 və x=1 sonuncu düsturda diferensialın istənilən qiymətini alırıq: df½ x=1; = 0,5.

QISMİ TÖRƏVVƏLƏR VƏ DİFERFENSİALLAR.

Birinci dərəcəli qismən törəmələr. z = f(x,y) funksiyasının birinci dərəcəli qismən törəməsi ) arqumentlə X nəzərə alınan nöqtədə (x; y) hədd adlanır

varsa.

Funksiyanın qismən törəməsi z = f(x, y) arqumentlə X aşağıdakı simvollardan biri ilə işarələnir:

Eynilə, qismən törəmə ilə əlaqədar saat düsturla işarələnir və müəyyən edilir:

Qismən törəmə bir arqumentin funksiyasının adi törəməsi olduğundan onu hesablamaq çətin deyil. Bunun üçün hər bir halda arqumentlərdən hansının “sabit ədəd” kimi qəbul edildiyini, hansının isə “diferensiasiya dəyişəni” kimi xidmət etdiyini nəzərə alaraq, indiyə qədər nəzərdən keçirilən bütün diferensiallaşdırma qaydalarından istifadə etmək lazımdır.

Şərh. Məsələn, arqumentə münasibətdə qismən törəmə tapmaq üçün x – df/dx, funksiyanın adi törəməsini tapmaq kifayətdir f(x,y), sonuncunun bir arqumentin funksiyası olduğunu fərz etsək X, a saat- daimi; tapmaq df/dy- əksinə.

Misal. Bir funksiyanın qismən törəmələrinin qiymətlərini tapın f(x,y) = 2x2 + y2 nöqtədə P(1;2).

Həll. Saymaq f(x,y) tək arqument funksiyası X və fərqləndirmə qaydalarından istifadə edərək tapırıq

nöqtədə P(1;2) törəmə dəyər

f(x; y)-ni bir y arqumentinin funksiyası kimi nəzərə alsaq, tapırıq

nöqtədə P(1;2) törəmə dəyər

TƏLƏBƏNİN MÜSTƏQİL İŞİ ÜÇÜN TOPŞURU:

Aşağıdakı funksiyaların diferensiallarını tapın:

Aşağıdakı vəzifələri həll edin:

1. Yanı x = 10 sm olan kvadratın tərəfi 0,01 sm kiçilsə, onun sahəsi nə qədər azalacaq?

2. Bədənin hərəkət tənliyi verilmişdir: y=t 3 /2+2t 2 , burada s metrlə, t saniyələrlə ifadə edilir. Hərəkətin başlanğıcından t=1,92 s-də cismin keçdiyi yolu tapın.

ƏDƏBİYYAT

1. Lobotskaya N.L. Ali riyaziyyatın əsasları - M .: "Ali məktəb", 1978.C198-226.

2. Bailey N. Biologiya və tibbdə riyaziyyat. Per. ingilis dilindən. M.: Mir, 1970.

3. Remizov A.N., İsakova N.X., Maksina L.G. Tibbi və bioloji fizikada problemlər toplusu - M .: "Ali məktəb", 1987. C16-20.

özəl törəmə z = f(x, y) funksiyaları x dəyişəni ilə bu funksiyanın törəməsi y dəyişəninin sabit qiymətində çağırılır, o, və ya z "x ilə işarələnir.

özəl törəmə z = f(x, y) funksiyaları y dəyişəni ilə y dəyişəninin sabit qiymətində y-ə münasibətdə törəmə adlanır; və ya z "y ilə işarələnir.

Bir neçə dəyişənli funksiyanın bir dəyişənə görə qismən törəməsi, digər dəyişənlərin sabit hesab edilməsi şərti ilə bu funksiyanın müvafiq dəyişənə görə törəməsi kimi müəyyən edilir.

tam diferensial M(X, y) nöqtəsində z = f(x, y) funksiyası ifadə adlanır

Burada və M(x, y) və dx =, dy = y nöqtəsində hesablanır.

Misal 1

Funksiyanın tam diferensialını hesablayın.

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 M nöqtəsində (1; 2)

Həll:

1) qismən törəmələri tapın:

2) M(1; 2) nöqtəsində qismən törəmələrin qiymətini hesablayın.

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

Özünə nəzarət üçün suallar:

1. Antitörəmə nə adlanır? Antiderivativin xüsusiyyətlərini sadalayın.

2. Qeyri-müəyyən inteqrala nə deyilir?

3. Qeyri-müəyyən inteqralın xassələrini sadalayın.

4. Əsas inteqrasiya düsturlarını sadalayın.

5. Hansı inteqrasiya üsullarını bilirsiniz?

6. Nyuton-Leybnits düsturunun mahiyyəti nədir?

7. Müəyyən inteqralın tərifini verin.

8. Əvəzetmə üsulu ilə müəyyən inteqralın hesablanmasının mahiyyəti nədir?

9. Müəyyən inteqralın hissələrə görə hesablanması metodunun mahiyyəti nədir?

10. Hansı funksiyaya iki dəyişənli funksiya deyilir? Necə təyin olunur?

11. Hansı funksiyaya üç dəyişənli funksiya deyilir?

12. Hansı çoxluğa funksiyanın oblastı deyilir?

13. Müstəvidə qapalı D bölgəsini hansı bərabərsizliklərin köməyi ilə təyin etmək olar?

14. z \u003d f (x, y) funksiyasının x dəyişəninə görə qismən törəməsi nə adlanır? Necə təyin olunur?

15. y dəyişəninə münasibətdə z \u003d f (x, y) funksiyasının qismən törəməsi nə adlanır? Necə təyin olunur?

16. Hansı ifadə funksiyanın tam diferensialı adlanır

Mövzu 1.2 Adi diferensial tənliklər.

Diferensial tənliklərə aparan problemlər. Ayrılan dəyişənlərlə diferensial tənliklər. Ümumi və özəl həllər. Birinci dərəcəli homogen diferensial tənliklər. Sabit əmsallı ikinci dərəcəli xətti homogen tənliklər.

Praktiki dərs № 7 “Ayrılan dəyişənli diferensial tənliklərin ümumi və xüsusi həllərinin tapılması” *

Praktiki məşğələ No8 “Xətti və bircins diferensial tənliklər”

Praktiki dərs № 9 “Sabit əmsallı 2-ci tərtibli diferensial tənliklərin həlli” *

L4, fəsil 15, səh. 243 - 256

Təlimatlar

transkript

1 MÜHAZİRƏ N Yüksək tərtibli tam diferensial, qismən törəmələr və diferensiallar Tam diferensial Qismən diferensiallar Yüksək tərtibli qismən diferensiallar Ali tərtibli diferensiallar 4 Kompleks funksiyaların törəmələri 4 Tam diferensial Qismən diferensiallar Əgər z=f(,) funksiyası diferensiallana bilirsə, onda onun cəmi diferensial dz bərabərdir dz= a +B () z z A=, B = olduğunu qeyd edərək () düsturunu aşağıdakı formada yazırıq z z dz= + () diferensial funksiya anlayışını müstəqil dəyişənlərə genişləndiririk, təyin edirik. müstəqil dəyişənlərin diferensialları onların artımlarına bərabərdir: d= ; d= Bundan sonra funksiyanın tam diferensialının düsturu z z dz= d + d () d + d n dəyişən formasını alacaq, sonra du= d (d =) = d z=f (,)d ifadəsi. (4) z=f(,) funksiyasının dəyişənə görə qismən diferensialı adlanır; d z=f (,)d (5) ifadəsi z=f(,) funksiyasının dəyişənə görə qismən diferensialı adlanır. (), (4) və (5) düsturlarından belə çıxır ki, tam diferensial funksiya onun qismən diferensiallarının cəmidir: dz=d z+d z artım z= z z + + α (,) + β (,) onun xətti hissəsindən dz= z z + yalnız sonuncu α hədlərinin cəmi ilə fərqlənir. + β, hansılar ki, 0 və 0-da xətti hissənin şərtlərindən sonsuz kiçik düzülür. Buna görə də dz 0 üçün diferensiallanan funksiyanın artımının xətti hissəsi funksiyanın artımının əsas hissəsi və təqribi z düsturu adlanır. dz istifadə olunur, bu, daha dəqiq olarsa, arqumentlərin artımlarının mütləq dəyəri bir o qədər kiçik olar,97 Misal Təxminən hesablayın arctg(),0

2 Həlli f(,)=arctg() funksiyasını nəzərdən keçirək f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0) + dz düsturundan istifadə edərək arctg(+) arctg() + [ alırıq. arctg() ] + [ arctg()] və ya + + arctg() arctg() () + () =, =, sonra =-0,0, =0,0 Odur ki, (0,0 0,0 arctg) arctg( ) + (0,0) 0,0 = arctan 0,0 = + 0,0 + () + () π = 0,05 0,0 0,75 4 Göstərmək olar ki, təxmini z dz düsturunun tətbiqi nəticəsində yaranan xəta = M (+) rəqəmindən çox deyil, burada M. Arqumentlər +-dan +-a və +-ya dəyişdikdə ikinci qismən törəmələrin mütləq qiymətlərinin ən böyük qiyməti f (,), f (,), f (,) Daha yüksək səviyyəli qismən törəmələr Əgər u =f funksiyası olarsa. (, z) bəzi (açıq) D sahəsində dəyişənlərdən birinə nisbətən qismən törəməyə malikdir, onda tapılan törəmə özü z funksiyası olmaqla, öz növbəsində hansısa nöqtədə (0, 0) qismən törəmələrə malik ola bilər. , z 0) eyni və ya hər hansı digər dəyişənə münasibətdə İlkin u=f(, z) funksiyası üçün bu törəmələr ikinci dərəcəli qismən törəmələr olacaq Əgər birinci törəmə götürülübsə, məs. ep, in, onda onun, z-ə nisbətən törəməsi aşağıdakı kimi işarələnir: f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) = ; = ; = və ya u, u, u z z z Üçüncü, dördüncü və s. sıraların törəmələri eyni şəkildə müəyyən edilir.Qeyd edək ki, müxtəlif dəyişənlərə münasibətdə yüksək dərəcəli qismən törəmə götürülür, məsələn, ; qarışıq qismən törəmə adlanır Nümunə u= 4 z, onda, u =4 z ; u = 4z; u z = 4 z; u = z u=64z; uzz = 4; u = z u = z u z = 4 z; u z =8 z; u z =6 4 z; u z =6 4 z f(,) funksiyası (açıq) D oblastında müəyyən edilmişdir,) bu sahədə birinci f və f törəmələri, həmçinin ikinci qarışıq f və f törəmələri və nəhayət,) bu sonuncu törəmələr var. f və f, u-nun funksiyaları kimi, bölgənin bəzi (0, 0) nöqtəsində fasiləsizdir D Onda bu nöqtədə f (0, 0)=f (0, 0) Sübut İfadəsini nəzərdən keçirin.

3 f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 + f (0, 0) W=, burada sıfırdan fərqlidir, məsələn, müsbətdir və üstəlik, o qədər kiçikdir ki, D bütün düzbucaqlını ehtiva edir [ 0, 0 +; 0, 0 +] 0 +) (, 0) ()= və buna görə də davamlıdır Bu funksiya ilə f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0) W=-ə bərabər olan f (0, 0) ifadəsi W= belə yenidən yazmaq olar: ϕ (0 +) ϕ (0) W= belə ki: W=ϕ (0 + θ, 0 f (0 + θ, 0) (0 + θ)= (0<θ<) Пользуясь существованием второй производной f (,), снова применим формулу конечных приращений, на этот раз к функции от: f (0 +θ,) в промежутке [ 0, 0 +] Получим W=f (0 +θ, 0 +θ), (0<θ <) Но выражение W содержит и, с одной стороны, и и, с другой, одинаковым образом Поэтому, можно поменять их роли и, введя вспомогательную функцию: Ψ()= f (0 +,) f (0,), путем аналогичных рассуждений получить результат: W=f (0 +θ, 0 +θ) (0<θ, θ <) Из сопоставления () и (), находим f (0 +θ, 0 +θ)=f (0 +θ, 0 +θ) Устремив теперь и к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу В силу ограниченности множителей θ, θ, θ, θ, аргументы и справа, и слева стремятся к 0, 0 А тогда, в силу (), получим: f (0, 0)=f (0, 0), что и требовалось доказать Таким образом, непрерывные смешанные производные f и f всегда равны Общая теорема о смешанных производных Пусть функция u=f(, n) от переменных определена в открытой n-мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-)-го порядка включительно и смешанные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D При этих условиях значение любой n-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования Дифференциалы высших порядков Пусть в области D задана непрерывная функция u=f(, х), имеющая непрерывные частные производные первого порядка Тогда, du= d + d + + d

4 Görürük ki, du da funksiyasıdır, Əgər u üçün ikinci dərəcəli davamlı qismən törəmələrin mövcud olduğunu fərz etsək, o zaman du birinci dərəcəli davamlı qismən törəmələrə sahib olacaq və bu du diferensialının tam diferensialından danışmaq olar. , d(du), u ikinci dərəcəli diferensial (və ya ikinci diferensial) adlanır; d u ilə işarələnir Biz vurğulayırıq ki, d, d, d artımları sabit sayılır və bir diferensialdan digərinə keçərkən eyni qalır (bundan əlavə, d, d sıfır olacaq) Deməli, d u=d(du)=d. (d + d + + d) = d() d + d() d + + d() d və ya d u = (d + d + d + + d) d + + (d + d + = d + d + + d + dd + dd + + dd + + Eynilə üçüncü dərəcəli diferensial d u müəyyən edilir və s.. Əgər u funksiyasının n-ci ilə qədər və o cümlədən bütün düzənli kəsimli qismən törəmələri varsa, o zaman mövcudluğu n-ci diferensial zəmanət verilir.Lakin onlar üçün ifadələr getdikcə mürəkkəbləşir Biz qeydi sadələşdirə bilərik Birinci diferensialın ifadəsindəki “u” hərfini çıxaraq Onda qeyd simvolik olacaq: du=(d + d + + d) u ; d u=(d + d + + d) u ; d n n u=(d + d + + d) u, bunu aşağıdakı kimi başa düşmək lazımdır: birincisi, mötərizədə olan “polinom” formal olaraq gücə yüksəldilir. cəbr qaydalarına uyğun olaraq, onda bütün yaranan terminlər u ilə “çorpılır” (bu, saydakı n-ə əlavə olunur) , və yalnız bundan sonra bütün simvollar törəmələr və diferensiallar kimi öz qiymətini u d) d u t dəyişəninə hansısa intervalda qaytarır: =ϕ(t), =ψ(t), z=λ(t) Bundan əlavə, t kimi olsun. dəyişdikdə (, z) nöqtələri regiondan kənara çıxmır D Qiymətləri və z-i u funksiyasına əvəz etməklə, kompleks funksiya əldə edirik: u=f(ϕ(t), ψ(t), λ(t)) Tutaq ki, u-nun davamlı qismən u, u və u z in və z törəmələri var və t, t və z t mövcuddur Onda mürəkkəb funksiyanın törəməsinin mövcudluğunu sübut etmək və onu hesablamaq olar.. t dəyişəninə müəyyən artım t veririk. , onda və z müvafiq olaraq artımlar alacaq və z, u funksiyası artım alacaq u funksiyasının artımını aşağıdakı formada təqdim edək: (biz davamlı qismən törəmələrin mövcudluğunu qəbul etdiyimiz üçün bunu etmək olar. u, u və u z) u=u +u +u z z+α +β +χ z, burada α, β, χ 0 at, z 0 Hər ikisini bölürük. t-də bərabərliyin bir hissəsini alırıq, u z z = u + u + uz + α + β + χ t t t t t t t 4 alırıq.

5 İndi t artımının sıfıra yaxınlaşmasına icazə verək: onda z sıfıra meyl edəcək, çünki t-nin z funksiyaları davamlıdır (biz t, t, z t törəmələrinin mövcudluğunu fərz etdik) və buna görə də, α, β, χ sıfıra da meyl edirik Limitdə u t =u t +u t +u z z t alırıq () Verilən fərziyyələrə əsasən kompleks funksiyanın törəməsinin mövcud olduğunu görürük.Diferensial qeyddən istifadə etsək, du d d dz () görünəcək. kimi , z bir neçə dəyişəndə t: =ϕ(t, v), =ψ(t, v), z=χ(t, v) f(, z) funksiyasının qismən törəmələrinin mövcudluğu və davamlılığı ilə yanaşı, biz burada t və v-ə münasibətdə z funksiyalarının törəmələrinin mövcudluğunu fərz edək ki, bu hal artıq nəzərdən keçiriləndən əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənmir, çünki iki dəyişənli funksiyanın qismən törəməsi hesablanarkən biz dəyişənlərdən birini təyin edirik və biz yalnız bir dəyişənin funksiyası qalırsa, () düsturu eyni z olacaq və () aşağıdakı kimi yenidən yazılmalıdır: = + + (a) t t t z t z = + + (b) v v v z v Misal u= ; =ϕ(t)=t ; =ψ(t)=cos t u t = - t + ln t = - t- ln sint 5

Bir neçə dəyişənlərin funksiyaları Təbiət elmlərinin və digər fənlərin həndəsəsinin bir çox suallarında iki üç və ya daha çox dəyişənin funksiyaları ilə məşğul olmaq lazımdır Nümunələr: a əsas olduğu S a h üçbucağının sahəsi

13. Daha yüksək dərəcəli qismən törəmələr Let = var və D O-da müəyyən edilsin. Funksiyalar və həmçinin funksiyanın birinci dərəcəli qismən törəmələri və ya funksiyanın birinci qismən törəmələri adlanır. və ümumiyyətlə

Tətbiq törəməsinin tərifi Arqumentin qiymətləri olsun və olsun və f) və f) - ((f () funksiyasının müvafiq qiymətləri Fərq arqumentin artımı adlanır və fərq seqmentdə funksiyanın artımı,

Praktiki məşğələ KOMPLEKS VƏ ZİYARƏT FUNKSİYASININ DİFERENSİYASI Kompleks funksiyanın diferensiallaşdırılması Bir tənliklə verilmiş gizli funksiyanın diferensiallaşdırılması Gizli və parametrik verilmiş sistemlər

ÇOXLU DƏYƏNƏNLƏRİN FUNKSİYALARI Bir müstəqil dəyişənin funksiyaları təbiətdə mövcud olan bütün asılılıqları əhatə etmir. Buna görə də məlum funksional asılılıq anlayışını genişləndirmək və təqdim etmək təbiidir

6 Gizli funksiyalar 6.1 Təriflər, fon

1. Əsas anlayışlar. Bir neçə dəyişənin funksiyaları. İki və üç dəyişənli funksiyaların nümunələrindən istifadə edərək bir neçə dəyişənin funksiyasını öyrənəcəyik, çünki bütün bu təriflər və əldə edilən nəticələr

2.2.7. Diferensialın təxmini hesablamalara tətbiqi. y = funksiyasının diferensialı x-dən asılıdır və x artımının əsas hissəsidir. Siz həmçinin formuladan istifadə edə bilərsiniz: dy d Sonra mütləq səhv:

Mühazirə 9. Yüksək tərtibli törəmələr və diferensiallar, onların xassələri. Funksiyanın ekstremal nöqtələri. Fermat və Rol teoremləri. y funksiyası hansısa [b] intervalında diferensiallanan olsun. Bu halda, onun törəməsi

5 F F F və ya bu törəmələrdən ən azı birinin mövcud olmadığı nöqtə səthin tək nöqtəsi adlanır.Belə bir nöqtədə səthin toxunan müstəvisi olmaya bilər.

MÜƏYYƏN İNTEQRAL. İnteqral Cəmlər və Müəyyən İnteqral [, b ] seqmentində müəyyən edilmiş y = f () funksiyası olsun, burada< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

BİRİNCİ TƏRTƏBLİ ADİ DİFFERENSİAL TƏNLƏR.Əsas anlayışlar Diferensial tənlik törəmə və ya diferensial işarəsi altında naməlum funksiyanın daxil olduğu tənlikdir.

6. Funksiyanın diferensialı 1. Tərif və həndəsi məna TƏYİF. y = f(x) funksiyası x 0 nöqtəsində diferensiallanan adlanır, əgər onun bu nöqtədəki artımı xətti funksiyanın cəmi kimi yazıla bilər

Mühazirələr Fəsil Bir neçə dəyişənin funksiyaları Əsas anlayışlar Bir neçə dəyişənin bəzi funksiyaları yaxşı məlumdur Gəlin bəzi nümunələr verək Üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün Heronun S düsturu məlumdur.

~ 1 ~ ÇOXÇAĞLI DƏYİŞƏNLƏRİN FUNKSİYASI 3 İki dəyişənin funksiyası, təyin olunma sahəsi, dəqiqləşmə yolları və həndəsi məna. Tərif: z f, iki dəyişənin funksiyası adlanır, əgər hər bir qiymət cütü,

Törəmə ilə bağlı həll olunan birinci dərəcəli diferensial tənliklər Həll üçün mövcudluq və təklik teoremi Ümumi halda birinci dərəcəli diferensial tənlik F () formasına malikdir.

Mühazirə 3 Bir neçə dəyişənli funksiyanın ekstremumu D oblastında bir neçə dəyişənli u = f (x, x) funksiyası müəyyən edilsin və x (x, x) = nöqtəsi bu oblasta aid olsun Funksiya u = f ( x, x) var

Modul Mövzu Funksiya ardıcıllıqları və seriyaları Ardıcıllıqların və silsilənin vahid yaxınlaşmasının xassələri Güc seriyaları Mühazirə Funksiya ardıcıllıqlarının və sıralarının tərifləri Birmənalı

9 Törəmə və diferensial 91 Məsələlərin həlli üçün əsas düsturlar və təriflər Tərif y f () funksiyası bəzi f (Δ) f () Δy nöqtəsinin qonşuluğunda müəyyən edilsin Δ Δ Δ üçün əlaqə həddi, əgər

1 Mövzu 1. Birinci dərəcəli diferensial tənliklər 1.0. Əsas təriflər və teoremlər Birinci dərəcəli diferensial tənlik: müstəqil dəyişən; y = y() istənilən funksiyadır; y = y () onun törəməsi.

Mühazirə 8 Mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması Mürəkkəb funksiyanı nəzərdən keçirək t t t f burada ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t t

MOSKVA DÖVLƏT TEXNIKİ UNİVERSİTETİ V.M. Lyubimov, E.A. Jukova, V.A. Uxova, Yu.A. Şurinov

II DİFFERENSİAL TƏNLƏR Birinci dərəcəli Diferensial tənliklər Tərif Naməlum dəyişənlərin və onların funksiyalarının törəmə və ya diferensial işarəsi altında olduğu əlaqələrə deyilir.

6 Törəmə anlayışına aparan məsələlər Maddi nöqtə s f (t) qanununa uyğun olaraq düz xətt üzrə bir istiqamətdə hərəkət etsin, burada t vaxt, s isə t zaman nöqtəsinin keçdiyi yoldur Müəyyən bir anı qeyd edin.

Mühazirə 3. Qeyri-müəyyən inteqral. Antitörəmə və qeyri-müəyyən inteqral Diferensial hesablamada məsələ həll olunur: verilmiş f () funksiyası üçün onun törəməsini (və ya diferensialını) tapın. İnteqral hesablama

1 Mühazirə 7 Yüksək tərtibli törəmələr və diferensiallar Xülasə: Diferensiallanan funksiya anlayışı təqdim edilir, birinci diferensialın həndəsi şərhi verilir və onun dəyişməzliyi sübuta yetirilir.

Bir neçə arqumentin funksiyaları Bəzi qanuna uyğun olaraq X dəstindən hər bir x elementi üçün bir funksiya anlayışı y \u003d f (x) y dəyişəninin Y dəstindən hər bir cüt ədədə qədər bir dəyəri ilə əlaqələndirilir.

V.P.Belkin tərəfindən tərtib edilmişdir 1 Mühazirə 1 Bir neçə dəyişənlərin funksiyası 1 Əsas anlayışlar Dəyişənin 1, n dəyişənlərindən asılılığı \u003d f (1, n) n arqumentinin funksiyası adlanır 1, n Sonrakıları nəzərdən keçirəcəyik.

DİFFERENTİAL TƏNLƏRLƏR Ümumi anlayışlar Diferensial tənliklərin mexanika, fizika, astronomiya, texnologiya və ali riyaziyyatın digər sahələrində çoxsaylı və çox müxtəlif tətbiqləri var (məsələn,

I Bir neçə dəyişənli funksiyanın tərifi Tərif sahəsi Bir çox hadisələri öyrənərkən iki və ya daha çox müstəqil dəyişənin funksiyaları ilə məşğul olmaq lazımdır.Məsələn, verilmiş andakı bədən istiliyi

Mühazirə 8 Ferma, Rol, Koşi, Laqranj və L'Hospital teoremləri

S.A.Lavrençenko wwwlawrencenkoru Mühazirə 4 Mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması Gizli diferensiallaşdırma Bir dəyişənli funksiyalar üçün diferensiasiya qaydasını xatırlayın, zəncir qaydası da adlanır (bax.

Bölmə Bir və bir neçə dəyişənli funksiyaların diferensial hesabı Həqiqi arqument funksiyası Həqiqi ədədlər Müsbət tam ədədlərə natural ədədlər deyilir Natural ədədlərə əlavə edin

Seminar: “Funksiyanın diferensiallığı və diferensialı” Əgər y f () funksiyasının nöqtədə sonlu törəməsi varsa, bu nöqtədə funksiyanın artımı aşağıdakı kimi göstərilə bilər: y (,) f () () (), harada

Mühazirə 3-cü dərəcəli diferensial tənliklər. 3-cü dərəcəli diferensial tənliklərin əsas növləri və onların həlli Diferensial tənliklər riyazi elmin ən geniş yayılmış vasitələrindən biridir.

MÖVZU 1 TÖRƏVVƏ FUNKSİYA DİFFERENTİAL FUNKSİYA PROQRAMI SUALLARI: 11 Funksional əlaqə Funksiya həddi 1 Funksiya törəməsi 1 Törəmənin mexaniki fiziki və həndəsi mənası 14 Əsas.

M İ N İ S T E R S T O E D U R A O V A N İ A İ A N A U K I R O S I O Y FEDERAL DÖVLƏT MUXTAR TƏHSİL MÜƏSSİSƏSİ “Milli Tədqiqatlar

“Ali riyaziyyat” FƏNNİ, kurs, semestr Qiyabi təhsil forması MÖVZU Matris Cəbr

V.V. Juk, A.M. Kamaçkin Bir neçə dəyişənli funksiyaların diferensiallığı. Bir nöqtədə funksiyanın diferensiallığı. Qismən törəmələr baxımından diferensiallaşma üçün kifayət qədər şərtlər. Kompleks fərqləndirmə

Fəsil 4 Funksiya Limiti 4 1 FONKSİYANIN HƏDDİ ANLAYIŞI Bu fəsil funksiyanın həddi anlayışına diqqət yetirir. Sonsuzluqda funksiyanın həddi, sonra isə nöqtədəki həddi, limitləri müəyyən edilmişdir

MÜHAZİRƏ 23 KANONİK ÇEVİRİLMƏLƏR. LİUVİL TEOREMİ FAZA HƏCMİNİN QORUNMASI HAQQINDA. PULSUZ TRANSFORMASIYA YARATMA FUNKSİYASI Biz kanonik çevrilmələri öyrənməyə davam edirik. Əvvəlcə əsası xatırlayaq

Riyaziyyat və İnformatika Kafedrası Riyazi təhlil Distant texnologiyaları ilə təhsil alan HPE tələbələri üçün tədris-metodiki kompleks Modul 3 Bir funksiyanın diferensial hesablanması

55 ρ n (,) ilə müqayisədə daha yüksək kiçiklik sırasının sonsuz kiçik qiymətindədir, burada ρ () + (), o zaman Peano formasında n R, ρ ilə təmsil oluna bilər. Nümunə ilə n üçün Taylor düsturunu yazın.

Mövzu Müəyyən inteqral Müəyyən inteqral Müəyyən inteqral anlayışına aparan problemlər Əyrixətti trapezoidin sahəsinin hesablanması problemi Oksi koordinat sistemində əyrixətti trapezoid verilmişdir,

5 Qüdrət silsiləsi 5 Qədər seriyası: tərifi, yaxınlaşma oblastı (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) formasının funksiya seriyası ədədlər dərəcə sıraları adlanır.

Ədədi sıra Ədədi ardıcıllıq Opr Ədədi ardıcıllıq x natural ədədlər çoxluğunda müəyyən edilmiş ədədi funksiyadır - ardıcıllığın ümumi üzvü x =, x =, x =, x =,

Diferensial tənliklər mühazirə 4 Ümumi diferensiallarda tənliklər. İnteqrasiya faktoru Müəllim Anna İqorevna Şerstneva 9. Ümumi diferensiallarda tənliklər d + d = 14 tənliyi tənlik adlanır.

Metallurgiya Fakültəsi Ali Riyaziyyat Bölümü

Riyazi analiz Bölmə: Bir neçə dəyişənlərin funksiyası Mövzu: FNP-nin diferensiallığı (son. Kompleks FNP-nin qismən törəmələri və diferensialları. Gizli funksiyaların diferensiallaşdırılması Mühazirəçi Rojkova S.V.

(Fermat teoremi - Darbu teoremi - Rol teoremi - Laqranj teoremi orta qiymət teoremi - orta qiymət teoreminin həndəsi şərhi - Koşi teoremi - sonlu artım düsturu - L'Hopital qaydası

Fəsil 4 Diferensial hesabın əsas teoremləri Qeyri-müəyyənliklərin açıqlanması Diferensial hesablamanın əsas teoremləri Ferma teoremi (Pierre Ferma (6-665) Fransız riyaziyyatçısı) Əgər funksiya y f

MÜHAZİRƏ 7 BİR DƏYƏNƏNLİ FUNKSİYASININ DİFERFENSİAL HESABASI 1 Funksiyanın törəməsi anlayışı.

Belarus Respublikası Təhsil Nazirliyi Vitebsk Dövlət Texnoloji Universiteti Mövzu. Nəzəri və tətbiqi riyaziyyat kafedrası “Sətirlər”. Dos tərəfindən hazırlanmışdır. E.B. Dunina. Əsas

Mühazirə 3 Taylor və Maclaurin seriyası Güc seriyalarının tətbiqi Funksiyaların dərəcə seriyalarına genişləndirilməsi Taylor və Maclaurin seriyası Tətbiqlər üçün verilmiş funksiyanı güc seriyasına, həmin funksiyalara genişləndirə bilmək vacibdir.

58 Müəyyən inteqral () funksiyası intervalda verilsin.Bu lazım olmasa da, funksiyanı fasiləsiz hesab edəcəyik.3, n- intervalında şərti ödəməklə ixtiyari ədədlər seçirik:

Yüksək tərtibli diferensial tənliklər. Konev V.V. Mühazirə konturları. Mündəricat 1. Əsas anlayışlar 1 2. Sıraların azaldılmasına imkan verən tənliklər 2 3. Daha yüksək dərəcəli xətti diferensial tənliklər

Mühazirə 20 KOMPLEKS FUNKSİYASININ TƏRƏVƏSİ HAQQINDA TEOREM. y = f(u) və u= u(x) olsun. X arqumentindən asılı olaraq y funksiyasını alırıq: y = f(u(x)). Sonuncu funksiya funksiyanın funksiyası və ya mürəkkəb funksiya adlanır.

Gizli funksiyanın diferensiallaşdırılması (,) = C (C = const) funksiyasını nəzərdən keçirək Bu tənlik gizli funksiyanı təyin edir () Tutaq ki, biz bu tənliyi həll etdik və açıq ifadəni = () tapdıq.

Moskva Aviasiya İnstitutu (Milli Tədqiqat Universiteti) Ali Riyaziyyat Departamenti Limitlər Törəmələri Bir neçə dəyişənin funksiyaları Təlimatlar və nəzarət variantları

LABORATORİYA İŞİ 7 ÜMUMİLƏŞDİRİLMİŞ FUNKSİYALAR I. ƏSAS KONSEPSİYA VƏ TEOREMƏLƏR Həqiqi dəyişənin bütün sonsuz diferensiallana bilən sonlu funksiyalarının çoxluğunu D ilə işarələyin. o

Fəsil 3. Törəmələrin köməyi ilə funksiyaların tədqiqi 3.1. Ekstremumlar və monotonluq Bəzi I R intervalında müəyyən edilmiş y = f () funksiyasını nəzərdən keçirək. Onun nöqtədə lokal maksimuma malik olduğu deyilir.

N.E. adına Moskva Dövlət Texniki Universiteti. Bauman Fundamental Elmlər Fakültəsi Riyazi Modelləşdirmə Bölməsi А.Н. Kanatnikov,

Mövzu üzrə RGR-nin təlimatları və variantları Dizayn ixtisası tələbələri üçün bir neçə dəyişən funksiyası. Əgər kəmiyyət kəmiyyətlərin dəyərlərini təyin etməklə və bir-birindən asılı olmayaraq unikal şəkildə müəyyən edilirsə,

N.E. adına Moskva Dövlət Texniki Universiteti. Bauman Fundamental Elmlər Fakültəsi Riyazi Modelləşdirmə Bölməsi А.Н. Kanatnikov, A.P. Krişenko

ALİ RİYYAZİYYAT KURSU ÜZRƏ HESABLAMA TƏLİMATLARI ÜÇÜN METODOLOJİ TƏLİMATLAR “ADİ DİFFERENTİAL TƏNLİKLƏR SERİSİ QOŞ İNTEQRALS” III HİSSƏ MÖVZUSU SERİYA Mündəricat Seriya Ədədi silsilələr Konvergensiya və fərqlilik.

Funksiya həddi. Nömrə Ardıcıllığı Limit Tərifi. Sonsuz ədədi ardıcıllıq (və ya sadəcə ədədi ardıcıllıq) bütün çoxluqda müəyyən edilmiş f f ( funksiyasıdır.

Mühazirə 19 TÖRƏVVƏ VƏ ONUN TƏTBİQİ. TÖRƏMƏNİN TƏRİFİ. Hansısa intervalda müəyyən edilmiş y=f(x) funksiyası olsun. Bu intervaldan x arqumentinin hər bir qiyməti üçün y=f(x) funksiyası

Bir neçə dəyişənin funksiyalarının diferensial hesabı Bir neçə dəyişənin funksiyaları Əgər hansısa X çoxluğuna aid olan hər bir M n nöqtəsi təyin edilərsə, kəmiyyət n dəyişənlərinin funksiyası adlanır.

MÜHAZİrə N 7 .Güc

Mühazirə 3 Skayar tənliyin həlli üçün mövcudluq və yeganəlik teoremi Problemin ifadəsi Əsas nəticə Koşi məsələsini nəzərdən keçirək d f () d =, () =

Federal Təhsil Agentliyi Moskva Dövlət Geodeziya və Xəritəçəkmə Universiteti (MIIGAiK) ALİ RİYAZİYYAT kursu üzrə MÜSTƏQİL İŞ ÜÇÜN METODOLOJİ TƏLİMATLAR VƏ TAPŞIQLAR

İki dəyişənli funksiyaların qismən törəmələri.
Konsepsiya və həllərin nümunələri

Bu dərsdə biz iki dəyişənin funksiyası ilə tanışlığımızı davam etdirəcəyik və bəlkə də ən çox yayılmış tematik tapşırığı - tapmağı nəzərdən keçirəcəyik. birinci və ikinci tərtibin qismən törəmələri, həmçinin funksiyanın tam diferensialı. Qiyabi təhsil alan tələbələr, bir qayda olaraq, 1-ci kursda 2-ci semestrdə qismən törəmələrlə üzləşirlər. Üstəlik, müşahidələrimə görə, imtahanda demək olar ki, həmişə qismən törəmələrin tapılması tapşırığı olur.

Aşağıdakı materialı səmərəli öyrənmək üçün siz zəruri bir dəyişənli funksiyanın “adi” törəmələrini az-çox inamla tapa bilmək. Dərslərdə törəmələri düzgün idarə etməyi öyrənə bilərsiniz Törəməni necə tapmaq olar? və Mürəkkəb funksiyanın törəməsi. Bizə elementar funksiyaların törəmələri və diferensiasiya qaydaları cədvəlinə də ehtiyacımız var, o, çap şəklində olsa, ən əlverişlidir. Səhifədə istinad materialı tapa bilərsiniz Riyazi düsturlar və cədvəllər.

İki dəyişənli funksiya anlayışını tez bir zamanda təkrarlayaq, özümü minimum həddə məhdudlaşdırmağa çalışacağam. İki dəyişənin funksiyası adətən kimi yazılır, dəyişənlər çağırılır müstəqil dəyişənlər və ya arqumentlər.

Misal: - iki dəyişənin funksiyası.

Bəzən qeydlərdən istifadə olunur. Elə tapşırıqlar da var ki, hərf əvəzinə hərf istifadə olunur.

Həndəsi nöqteyi-nəzərdən iki dəyişənin funksiyası çox vaxt üçölçülü fəzanın səthidir (müstəvi, silindr, top, paraboloid, hiperboloid və s.). Amma, əslində, bu, artıq daha çox analitik həndəsədir və gündəmimizdə universitet müəllimimin heç vaxt “atım” olduğunu yazmağa icazə vermədiyi riyazi analiz var.

Birinci və ikinci sıraların qismən törəmələrinin tapılması məsələsinə müraciət edirik. Bir neçə fincan kofe içmiş və ağlasığmaz dərəcədə çətin material üçün əhval-ruhiyyədə olanlar üçün yaxşı xəbərim var: qismən törəmələr bir dəyişənin funksiyasının "adi" törəmələri ilə demək olar ki, eynidir.

Qismən törəmələr üçün bütün fərqləndirmə qaydaları və elementar funksiyaların törəmələri cədvəli etibarlıdır. İndi tanış olacağımız yalnız bir neçə kiçik fərq var:

... bəli, yeri gəlmişkən, bu mövzu üçün yaratdım Kiçik pdf kitab, bu, yalnız bir neçə saat ərzində "əlinizi doldurmağa" imkan verəcəkdir. Ancaq saytdan istifadə edərək, əlbəttə ki, nəticə əldə edəcəksiniz - bəlkə də bir az yavaş:

Misal 1

Funksiyanın birinci və ikinci tərtibinin qismən törəmələrini tapın

Birincisi, birinci sıranın qismən törəmələrini tapırıq. Onlardan ikisi var.

Qeyd:
və ya - "x"-ə münasibətdə qismən törəmə
və ya - "y" ilə əlaqədar qismən törəmə

ilə başlayaq. "x"-ə münasibətdə qismən törəmə tapdıqda, dəyişən sabit hesab olunur (sabit ədəd).

Görülən tədbirlərlə bağlı şərhlər:

(1) Qismən törəməni taparkən etdiyimiz ilk şey nəticə çıxarmaqdır hamısı tire altındakı mötərizədə funksiya altyazı ilə.

Diqqət vacibdir! Alt yazılar həll prosesində İTİRMİR. Bu vəziyyətdə, hardasa "vuruş" çəksəniz, müəllim, heç olmasa, tapşırığın yanına qoya bilər (diqqətsizlik üçün xalın bir hissəsini dərhal dişləyin).

(2) Fərqləndirmə qaydalarından istifadə edin , . Bu kimi sadə bir nümunə üçün hər iki qayda eyni addımda tətbiq oluna bilər. Birinci terminə diqqət yetirin: o vaxtdan bəri sabit hesab olunur və törəmənin işarəsindən istənilən sabiti çıxarmaq olar, sonra onu mötərizələrdən çıxarırıq. Yəni, bu vəziyyətdə, adi bir nömrədən yaxşı deyil. İndi üçüncü terminə baxaq: burada, əksinə, çıxaracaq bir şey yoxdur. Sabit olduğundan, həm də sabitdir və bu mənada sonuncu termindən - “yeddi”dən yaxşı deyil.

(3) Cədvəl törəmələrindən və istifadə edirik.

(4) Cavabı sadələşdiririk və ya demək istədiyim kimi, “birləşdiririk”.

İndi . "y"-ə münasibətdə qismən törəməni tapdıqda, dəyişənsabit hesab olunur (sabit ədəd).

(1) Eyni fərqləndirmə qaydalarından istifadə edirik , . Birinci hədddə törəmənin işarəsindən kənarda olan sabiti çıxarırıq, ikinci hədddə isə heç nə çıxarıla bilməz, çünki o, artıq sabitdir.

(2) Elementar funksiyaların törəmələri cədvəlindən istifadə edirik. Cədvəldə zehni olaraq bütün "X"ləri "Y"-yə dəyişdirin. Yəni, bu cədvəl eyni dərəcədə etibarlıdır (və əslində demək olar ki, hər hansı bir məktub üçün). Xüsusilə istifadə etdiyimiz düsturlar belə görünür: və .

Qismən törəmələrin mənası nədir?

Əsas etibarilə 1-ci dərəcəli qismən törəmələrə bənzəyir "adi" törəmə:

- bu funksiyaları, xarakterizə edən dəyişmə dərəcəsi oxlar istiqamətində və müvafiq olaraq funksiyaları yerinə yetirir. Beləliklə, məsələn, funksiya "dırmaşmaların" və "yamacların" dikliyini xarakterizə edir səthlər absis oxu istiqamətində, funksiya isə ordinat oxu istiqamətində eyni səthin “relyefindən” xəbər verir.

! Qeyd : burada olan istiqamətlərə aiddir paraleldirlər koordinat oxları.

Daha yaxşı başa düşmək üçün təyyarənin müəyyən bir nöqtəsini nəzərdən keçirək və içindəki funksiyanın (“hündürlük”) dəyərini hesablayaq:
- və indi burada olduğunuzu təsəvvür edin (ÇOX səthdə).

Verilmiş nöqtədə "x"-ə görə qismən törəmə hesablayırıq:

"X" törəməsinin mənfi işarəsi bizə məlumat verir enən x oxu istiqamətində bir nöqtədə fəaliyyət göstərir. Yəni kiçik-kiçik etsək (sonsuz kiçik) oxun ucuna doğru addımlayın (bu oxa paralel), sonra səthin yamacından aşağı enin.

İndi y oxu istiqamətində "relyef"in təbiətini öyrənirik:

"y" ilə bağlı törəmə müsbətdir, buna görə də ox boyunca bir nöqtədə funksiya artır. Əgər bu olduqca sadədirsə, deməli burada biz yoxuşa dırmaşmağı gözləyirik.

Bundan əlavə, bir nöqtədə qismən törəməni xarakterizə edir dəyişmə dərəcəsi müvafiq istiqamətdə fəaliyyət göstərir. Nəticə dəyər nə qədər böyük olar modulu- səth nə qədər dikdirsə və əksinə, sıfıra nə qədər yaxındırsa, səth daha düzdür. Deməli, bizim nümunəmizdə absis oxu istiqamətindəki “maililik” ordinat oxu istiqamətində “dağ”dan daha sıldırımdır.

Ancaq bunlar iki şəxsi yol idi. Tamamilə aydındır ki, olduğumuz nöqtədən (və ümumiyyətlə verilmiş səthin istənilən nöqtəsindən) başqa istiqamətdə hərəkət edə bilərik. Beləliklə, səthin "landşaftı" haqqında bizə məlumat verəcək ümumi "naviqasiya cədvəli" tərtib etməyə maraq var. Əgər mümkünsə hər nöqtədə bu funksiyanın əhatə dairəsi bütün mövcud yollarla. Bu və digər maraqlı şeylər haqqında növbəti dərslərin birində danışacağam, amma hələlik məsələnin texniki tərəfinə qayıdaq.

Elementar tətbiq olunan qaydaları sistemləşdiririk:

1) ilə fərqləndirdiyimiz zaman dəyişən sabit hesab olunur.

2) diferensiallaşdırma uyğun olaraq aparıldıqda, onda sabit hesab olunur.

3) Qaydalar və elementar funksiyaların törəmələri cədvəli etibarlıdır və differensasiyanın aparıldığı hər hansı dəyişən (və ya hər hansı digər) üçün tətbiq edilir.

İkinci addım. İkinci dərəcəli qismən törəmələri tapırıq. Onlardan dördü var.

Qeyd:
və ya - "x"-ə münasibətdə ikinci törəmə
və ya - "y" ilə bağlı ikinci törəmə
və ya - qarışıq törəmə "x by y"
və ya - qarışıq törəmə "Y ilə X"

İkinci törəmə ilə bağlı heç bir problem yoxdur. Sadə dillə desək, ikinci törəmə birinci törəmənin törəməsidir.

Rahatlıq üçün, artıq tapılmış birinci dərəcəli qismən törəmələri yenidən yazacağam:

Əvvəlcə qarışıq törəmələri tapırıq:

Gördüyünüz kimi, hər şey sadədir: biz qismən törəmə götürürük və onu yenidən fərqləndiririk, lakin bu vəziyyətdə artıq "y" ilə.

Oxşar:

Praktik nümunələrdə aşağıdakı bərabərliyə diqqət yetirə bilərsiniz:

Beləliklə, ikinci dərəcəli qarışıq törəmələr vasitəsilə birinci dərəcəli qismən törəmələri düzgün tapıb tapmadığımızı yoxlamaq çox rahatdır.

"x"-ə münasibətdə ikinci törəməni tapırıq.
İxtira yoxdur, alırıq və yenidən "X" ilə fərqləndirin:

Oxşar:

Qeyd etmək lazımdır ki, taparkən , göstərmək lazımdır diqqəti artırdı, çünki onları sınamaq üçün möcüzəvi bərabərliklər yoxdur.

İkinci törəmələr də geniş praktik tətbiq tapır, xüsusən də tapma problemində istifadə olunur iki dəyişənli funksiyanın ekstremumları. Ancaq hər şeyin öz vaxtı var:

Misal 2

Nöqtədə funksiyanın birinci dərəcəli qismən törəmələrini hesablayın. İkinci dərəcəli törəmələri tapın.

Bu, özünü həll etmək üçün bir nümunədir (dərsin sonunda cavablar). Kökləri fərqləndirməkdə çətinlik çəkirsinizsə, dərsə qayıdın Törəməni necə tapmaq olar?Ümumiyyətlə, tezliklə oxşar törəmələri tez tapmağı öyrənəcəksiniz.

Əlimizi daha mürəkkəb nümunələrlə doldururuq:

Misal 3

Bunu yoxlayın. Birinci sıranın tam diferensialını yazın.

Həlli: Birinci dərəcəli qismən törəmələri tapırıq:

Alt işarəyə diqqət yetirin: “x”in yanında onun sabit olduğunu mötərizədə yazmaq qadağan deyil. Bu işarə yeni başlayanlar üçün həll yolu ilə getməyi asanlaşdırmaq üçün çox faydalı ola bilər.

Əlavə şərhlər:

(1) Törəmə işarəsindən kənar bütün sabitləri çıxarırıq. Bu halda, və, və, deməli, onların hasilatı sabit ədəd hesab olunur.

(2) Kökləri necə düzgün ayırd etməyi unutmayın.

(1) Törəmə işarəsindən bütün sabitləri çıxarırıq, bu halda sabit .

(2) Başlıq altında iki funksiyanın məhsulu var, buna görə də məhsulun fərqləndirmə qaydasından istifadə etməliyik .

(3) Unutmayın ki, bu, mürəkkəb bir funksiyadır (mürəkkəb funksiyalardan ən sadəsi olsa da). Müvafiq qaydadan istifadə edirik: .

İndi ikinci dərəcəli qarışıq törəmələri tapırıq:

Bu o deməkdir ki, bütün hesablamalar düzgündür.

Ümumi diferensialı yazaq. Baxılan tapşırığın kontekstində iki dəyişənin funksiyasının tam diferensialının nə olduğunu söyləməyin mənası yoxdur. Bu diferensialın çox vaxt praktiki problemlərə yazılması vacibdir.

Ümumi birinci dərəcəli diferensial iki dəyişənin funksiyaları formaya malikdir:

Bu halda:

Yəni, düsturda sadəcə axmaqcasına birinci sıranın artıq tapılmış qismən törəmələrini əvəz etmək lazımdır. Diferensial nişanlar və bu və buna bənzər hallarda, mümkünsə, rəqəmlərlə yazmaq daha yaxşıdır:

Və oxucuların təkrar xahişi ilə ikinci dərəcəli tam diferensial.

Bu belə görünür:

2-ci sıranın "tək hərfli" törəmələrini DİQQƏTLƏ tapın:

və "canavarı" yazın, kvadratları, məhsulu diqqətlə "birləşdirir" və qarışıq törəməni ikiqat etməyi unutmadan:

Əgər bir şey çətin görünürdüsə, differensiallaşdırma texnikasını əldə etdikdən sonra həmişə törəmələrə qayıda bilərsiniz:

Misal 4

Funksiyanın birinci dərəcəli qismən törəmələrini tapın . Bunu yoxlayın. Birinci sıranın tam diferensialını yazın.

Mürəkkəb funksiyaları olan bir sıra nümunələri nəzərdən keçirin:

Misal 5

Funksiyanın birinci dərəcəli törəmələrini tapın.

Həll:

Misal 6

Funksiyanın birinci dərəcəli qismən törəmələrini tapın .
Ümumi diferensialı yazın.

Bu, özünü həll etmək üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda). Tam həllini dərc etməyəcəyəm, çünki bu, olduqca sadədir.

Çox vaxt yuxarıda göstərilən qaydaların hamısı birlikdə tətbiq olunur.

Misal 7

Funksiyanın birinci dərəcəli qismən törəmələrini tapın .

(1) Biz cəminin fərqləndirmə qaydasından istifadə edirik

(2) Bu halda birinci termin sabit hesab olunur, çünki ifadədə "x" -dən asılı olan heç bir şey yoxdur - yalnız "y". Bilirsiniz, bir kəsri sıfıra çevirmək həmişə xoşdur). İkinci müddət üçün məhsulun fərqləndirmə qaydasını tətbiq edirik. Yeri gəlmişkən, bu mənada yerinə funksiya verilsəydi, heç nə dəyişməzdi - burada olması vacibdir iki funksiyanın məhsulu, HƏR BİRİNDƏN asılıdır "X", və buna görə də, məhsulun fərqləndirmə qaydasından istifadə etməlisiniz. Üçüncü müddət üçün mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasını tətbiq edirik.

(1) Birinci bənddə həm pay, həm də məxrəcdə “y” var, buna görə də bölməni fərqləndirmək üçün qaydadan istifadə etməlisiniz: . İkinci termin YALNIZ "x"-dən asılıdır, yəni o, sabit hesab olunur və sıfıra çevrilir. Üçüncü termin üçün mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasından istifadə edirik.

Dərsin demək olar ki, sonuna cəsarətlə çatan oxucular üçün sizə köhnə Mehmatov lətifəsini danışacağam:

Bir dəfə funksiyalar məkanında pis bir törəmə meydana çıxdı və hər kəsi necə fərqləndirdi. Bütün funksiyalar hər tərəfə səpələnir, heç kim dönmək istəmir! Və yalnız bir funksiya heç bir yerə qaçmır. Törəmə ona yaxınlaşır və soruşur:

– Niyə məndən qaçmırsan?

- Ha. Amma vecimə deyil, çünki mən "x-in gücünə e"yəm və sən mənə heç nə edə bilməzsən!

Buna məkrli təbəssümlə pis törəmə cavab verir:

- Səhv etdiyiniz yer budur, sizi “y” ilə fərqləndirəcəyəm, sizin üçün sıfır olun.

Zarafatı kim başa düşdü, törəmələri mənimsədi, heç olmasa "troyka" üçün).

Misal 8