4 triqonometrik funksiyalar. Əsas triqonometrik eyniliklər

Bu yazıda hərtərəfli nəzərdən keçirəcəyik. Əsas triqonometrik eyniliklər sinus, kosinus, tangens və bir bucağın kotangensi arasında əlaqə quran və bunlardan hər hansı birini tapmağa imkan verən bərabərliklərdir. triqonometrik funksiyalar məlum başqası vasitəsilə.

Bu yazıda təhlil edəcəyimiz əsas triqonometrik şəxsiyyətləri dərhal sadalayaq. Gəlin onları cədvəldə yazaq və aşağıda bu düsturların çıxışını verəcəyik və lazımi izahatları verəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

Bir bucağın sinüsü ilə kosinusu arasında əlaqə

Bəzən yuxarıdakı cədvəldə sadalanan əsas triqonometrik eyniliklər haqqında deyil, bir tək haqqında danışırlar əsas triqonometrik eynilik növü . Bu faktın izahı olduqca sadədir: bərabərliklər əsas triqonometrik eynilikdən onun hər iki hissəsini müvafiq olaraq, və bərabərliklərə böldükdən sonra əldə edilir. Və sinus, kosinus, tangens və kotangensin təriflərindən əməl edin. Bu barədə növbəti paraqraflarda daha ətraflı danışacağıq.

Yəni, əsas triqonometrik eyniliyin adı verilən bərabərlik xüsusi maraq doğurur.

Əsas triqonometrik eyniliyi sübut etməzdən əvvəl onun formulunu veririk: bir bucağın sinusunun və kosinusunun kvadratlarının cəmi eyni şəkildə birinə bərabərdir. İndi bunu sübut edək.

Əsas triqonometrik şəxsiyyət çox vaxt istifadə olunur transformasiya triqonometrik ifadələr . Bu, bir bucağın sinus və kosinusunun kvadratlarının cəmini bir ilə əvəz etməyə imkan verir. Əsas triqonometrik eynilik daha az tez-tez istifadə olunur tərs qaydada: vahid istənilən bucağın sinus və kosinusunun kvadratlarının cəmi ilə əvəz olunur.

Sinus və kosinus vasitəsilə tangens və kotangens

Tangens və kotangensi bir baxış bucağının sinus və kosinusu ilə birləşdirən eyniliklər və sinus, kosinus, tangens və kotangensin təriflərindən dərhal əməl edin. Həqiqətən də, tərifə görə sinus y-nin ordinatıdır, kosinus x-in absisidir, tangens ordinatın absissə nisbətidir, yəni. , və kotangens absislərin ordinata nisbətidir, yəni .

Kimliklərin belə aşkarlığı sayəsində və Tangens və kotangens çox vaxt absis və ordinat nisbəti ilə deyil, sinus və kosinus nisbəti ilə müəyyən edilir. Deməli, bucağın tangensi sinusun bu bucağın kosinusuna, kotangens isə kosinusun sinusuna nisbətidir.

Bu məqamı yekunlaşdırarkən qeyd etmək lazımdır ki, şəxsiyyətlər və onlara daxil olan triqonometrik funksiyaların məna kəsb etdiyi bütün bucaqlar üçün baş verir. Beləliklə, düstur (əks halda məxrəc sıfır olacaq və biz sıfıra bölməni təyin etməmişik) və düsturdan başqa hər hansı biri üçün etibarlıdır. - hamı üçün , fərqli , burada z hər hansıdır .

Tangens və kotangens arasındakı əlaqə

Daha da aydın triqonometrik eynilikəvvəlki iki ilə müqayisədə, formanın bir bucağının tangensini və kotangensini birləşdirən eynilikdir . Aydındır ki, -dən başqa hər hansı bucaqlar üçün uyğundur, əks halda ya tangens, ya da kotangens müəyyən edilmir.

Düsturun sübutu çox sadə. Tərifinə görə və haradan . Sübut bir az fərqli həyata keçirilə bilərdi. ildən , Bu .

Beləliklə, onların məna verdiyi eyni bucağın tangensi və kotangensi .

Düzbucaqlı üçbucağın həlli ilə bağlı məsələlər nəzərdən keçirildikdə, sinus və kosinusun təriflərini əzbərləmək üçün bir texnika təqdim etməyə söz verdim. Bundan istifadə edərək, hipotenuzaya hansı tərəfin aid olduğunu həmişə tez xatırlayacaqsınız (bitişik və ya əks). Qərara gəldim ki, bunu çox da təxirə salma, tələb olunan material aşağıda oxuyun 😉

Fakt budur ki, 10-11-ci sinif şagirdlərinin bu tərifləri xatırlamaqda necə çətinlik çəkdiklərini dəfələrlə müşahidə etmişəm. Ayağın hipotenuza aid olduğunu çox yaxşı xatırlayırlar, amma hansıdır- unudurlar və qarışıq. İmtahanda bildiyiniz kimi səhvin qiyməti itirilmiş xaldır.

Birbaşa təqdim edəcəyim məlumatların riyaziyyatla heç bir əlaqəsi yoxdur. O, obrazlı təfəkkür və şifahi-məntiqi ünsiyyət üsulları ilə əlaqələndirilir. Mən bunu birdəfəlik xatırlayıramtərif məlumatları. Onları unutsanız, təqdim olunan üsullardan istifadə edərək həmişə asanlıqla xatırlaya bilərsiniz.

Düzbucaqlı üçbucaqda sinus və kosinusun təriflərini xatırlatmağa icazə verin:

Kosinus Düzbucaqlı üçbucaqdakı iti bucaq bitişik ayağın hipotenuzaya nisbətidir:

Sinus Düzbucaqlı üçbucaqdakı iti bucaq qarşı tərəfin hipotenuzaya nisbətidir:

Beləliklə, kosinus sözü ilə hansı assosiasiyalarınız var?

Yəqin ki, hər kəsin öz var 😉Linki yadda saxla:

Beləliklə, ifadə dərhal yaddaşınızda görünəcək -

«… BONŞU ayağın hipotenuzaya nisbəti».

Kosinusun təyini ilə bağlı problem həll edildi.

Düzbucaqlı üçbucaqda sinusun tərifini xatırlamaq lazımdırsa, kosinusun tərifini xatırlayaraq, düzgün üçbucaqdakı kəskin bucağın sinüsünün əks tərəfin hipotenuzaya nisbəti olduğunu asanlıqla müəyyən edə bilərsiniz. Axı, yalnız iki ayaq var, əgər bitişik ayaq kosinus tərəfindən "zəbt edilib", onda yalnız əks ayaq sinus ilə qalır;

Tangens və kotangens haqqında nə demək olar? Qarışıqlıq eynidir. Şagirdlər bunun ayaqların əlaqəsi olduğunu bilirlər, lakin problem hansının hansıya aid olduğunu xatırlamaqdır - ya bitişikin əksinə, ya da əksinə.

Təriflər:

Tangens Düzbucaqlı üçbucaqdakı iti bucaq qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbətidir:

Kotangent Düzbucaqlı üçbucaqdakı iti bucaq qonşu tərəfin əks tərəfə nisbətidir:

Necə xatırlamaq olar? İki yol var. Biri həm də şifahi-məntiqi əlaqədən, digəri isə riyazi əlaqədən istifadə edir.

RİYASİ METOD

Belə bir tərif var - kəskin bucağın tangensi bucağın sinusunun onun kosinusuna nisbətidir:

*Düsulu əzbərlədikdən sonra siz həmişə düzgün üçbucaqdakı iti bucağın tangensinin qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbəti olduğunu müəyyən edə bilərsiniz.

Eynilə.Kəskin bucağın kotangensi bucağın kosinusunun sinusuna nisbətidir:

Belə ki! Bu düsturları xatırlayaraq, həmişə müəyyən edə bilərsiniz:

- düzbucaqlı üçbucaqdakı kəskin bucağın tangensi qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbətidir

- düzbucaqlı üçbucaqdakı iti bucağın kotangensi bitişik ayağın əks tərəfə nisbətidir.

SÖZ-MƏNTİQ METOD

Tangens haqqında. Linki yadda saxla:

Yəni bu məntiqi əlaqədən istifadə edərək tangensin tərifini xatırlamaq lazımdırsa, onun nə olduğunu asanlıqla xatırlaya bilərsiniz

“...qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbəti”

Kotangens haqqında danışırıqsa, onda tangensin tərifini xatırlayaraq, kotangensin tərifini asanlıqla səsləndirə bilərsiniz -

“... bitişik tərəfin qarşı tərəfə nisbəti”

Veb saytında tangens və kotangensi yadda saxlamaq üçün maraqlı bir hiylə var " Riyazi tandem " , bax.

UNIVERSAL METOD

Siz sadəcə yadda saxlaya bilərsiniz.Ancaq təcrübədən göründüyü kimi, şifahi-məntiqi əlaqələr sayəsində insan yalnız riyazi deyil, məlumatları uzun müddət xatırlayır.

Ümid edirəm material sizin üçün faydalı oldu.

Hörmətlə, Aleksandr Krutitskix

P.S: Sosial şəbəkələrdə sayt haqqında məlumat versəniz minnətdar olaram.

Mən sizi fırıldaqçı vərəqlər yazmamağa inandırmağa çalışmayacağam. Yaz! O cümlədən triqonometriya üzrə fırıldaqçı vərəqlər. Daha sonra fırıldaqçı vərəqlərin nə üçün lazım olduğunu və fırıldaqçı vərəqlərin nə üçün faydalı olduğunu izah etməyi planlaşdırıram. Və burada necə öyrənməmək barədə məlumat var, ancaq bəzilərini xatırlayın triqonometrik düsturlar. Beləliklə - fırıldaqçı vərəqsiz triqonometriya Biz əzbərləmə üçün assosiasiyalardan istifadə edirik!

1. Əlavə düsturları:

Kosinuslar həmişə “cüt-cüt gəlir”: kosinus-kosinus, sinus-sinus. Və daha bir şey: kosinuslar "qeyri-kafidir". Onlar üçün "hər şey düzgün deyil" və buna görə də işarələri dəyişdirirlər: "-" "+" və əksinə.

Sinuslar - "qarışdırmaq": sinus-kosinus, kosinus-sinus.

2. Cəm və fərq düsturları:

kosinüslər həmişə “cüt-cüt gəlir”. İki kosinusu - "koloboks" əlavə edərək, bir cüt kosinus - "koloboks" alırıq. Çıxarmaqla, mütləq heç bir kolobok əldə etməyəcəyik. Bir neçə sinüs alırıq. Həm də irəlidə bir mənfi ilə.

Sinuslar - "qarışdırmaq" :

3. Məhsulun cəmi və fərqə çevrilməsi üçün düsturlar.

Kosinus cütünü nə vaxt əldə edirik? Kosinusları əlavə etdikdə. Buna görə də

Nə vaxt bir neçə sinus alırıq? Kosinusları çıxdıqda. Buradan:

“Qarışdırma” həm sinusları toplayanda, həm də çıxdıqda əldə edilir. Daha əyləncəli nədir: əlavə etmək və ya çıxmaq? Düzdü, qatla. Və formula üçün əlavə edirlər:

Birinci və üçüncü düsturlarda cəmi mötərizə içərisindədir. Şərtlərin yerlərinin dəyişdirilməsi cəmi dəyişmir. Sifariş yalnız ikinci düstur üçün vacibdir. Ancaq çaşqın olmamaq üçün, yadda saxlamaq asanlığı üçün ilk mötərizədə hər üç düsturda fərqi götürürük.

ikincisi - məbləğ

Cibinizdəki fırıldaqçı vərəqlər sizə rahatlıq verir: düsturu unutsanız, onu kopyalaya bilərsiniz. Və onlar sizə güvən verir: fırıldaqçı vərəqdən istifadə edə bilmirsinizsə, düsturları asanlıqla xatırlaya bilərsiniz.

• 2. Dəyərlər diapazonu: [-1;1]
• 3. Tək funksiya.
• 7. Funksiyanın müsbət olduğu intervallar: (2*pi*n; pi+2*pi*n)
• 8. Funksiyanın mənfi olduğu intervallar: (-pi + 2*pi*n; 2*pi*n)
• 9. Artan intervallar: [-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n]
• 10. Azalan intervallar:
• 11. Minimum ballar: -pi/2 +2*pi*n
• 12. Minimum funksiya: -1
• 13. Maksimum ballar: pi/2 +2*pi*n
• 14. Maksimum funksiya: 1

Kosinusun xassələri

• 1. Tərif sahəsi: tam ədəd oxu
• 2. Dəyərlər diapazonu: [-1;1]
• 3. Hətta funksiyası.
• 4. Ən kiçik müsbət dövr: 2*pi
• 5. Funksiya qrafikinin Ox oxu ilə kəsişmə nöqtələrinin koordinatları: (pi/2 +pi*n; 0)
• 6. Funksiya qrafikinin Oy oxu ilə kəsişmə nöqtələrinin koordinatları: (0;1)
• 7. Funksiyanın müsbət olduğu intervallar: (-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n)
• 8. Funksiyanın mənfi olduğu intervallar: (pi/2 +2*pi*n; 3*pi/2 +2*pi*n)
• 9. Artan intervallar: [-pi + 2*pi*n; 2*pi*n]
• 10. Azalan intervallar:
• 11. Minimum ballar: pi+2*pi*n
• 12. Minimum funksiya: -1
• 13. Maksimum xal: 2*pi*n
• 14. Maksimum funksiya: 1

Tangensin xassələri

• 1. Tərif sahəsi: (-pi/2 +pi*n; pi/2 +pi*n)
• 3. Tək funksiya.
• 5. Funksiya qrafikinin Ox oxu ilə kəsişmə nöqtələrinin koordinatları: (pi*n; 0)
• 6. Funksiya qrafikinin Oy oxu ilə kəsişmə nöqtələrinin koordinatları: (0;0)
• 9. Funksiya fasilələrlə artır (-pi/2 + pi*n; pi/2 + pi*n)

Kotangensin xassələri

• 1. Tərif sahəsi: (pi*n; pi +pi*n)
• 2. Dəyər diapazonu: bütün nömrə oxu
• 3. Tək funksiya.
• 4. Ən kiçik müsbət dövr: pi
• 5. Funksiya qrafikinin Ox oxu ilə kəsişmə nöqtələrinin koordinatları: (pi/2 + pi*n; 0)
• 6. Funksiya qrafikinin Oy oxu ilə kəsişmə nöqtələrinin koordinatları: yox
• 7. Funksiyanın müsbət olduğu intervallar: (pi*n; pi/2 +pi*n)
• 8. Funksiyanın mənfi olduğu intervallar: (-pi/2 +pi*n; pi*n)
• 9. Funksiya fasilələrlə azalır (pi*n; pi +pi*n)
• 10. Maksimum və minimum xal yoxdur.

Aşağıdakı şəkildə müxtəlif koordinat kvartallarında sinus, kosinus, tangens və kotangensin əlamətlərini göstərən bir neçə vahid çevrə göstərilir.

1. Triqonometrik funksiyalar təqdim etmək elementar funksiyalar, kimin arqumentidir künc. Triqonometrik funksiyalardan istifadə edərək, tərəflər arasındakı əlaqələr və kəskin künclər düz üçbucaqda. Triqonometrik funksiyaların tətbiq sahələri son dərəcə müxtəlifdir. Məsələn, istənilən dövri proseslər triqonometrik funksiyaların cəmi kimi təqdim oluna bilər (Furye seriyası). Bu funksiyalar çox vaxt diferensial və funksional tənliklərin həlli zamanı ortaya çıxır.

2. Triqonometrik funksiyalara aşağıdakı 6 funksiya daxildir: sinus, kosinus, tangens,kotangent, sekant Və kosekant. Hər biri üçün müəyyən edilmiş funksiyalar tərs triqonometrik funksiya var.

3. Həndəsi tərif triqonometrik funksiyalar istifadə edərək rahat şəkildə daxil edilə bilər vahid dairə. Aşağıdakı şəkildə r=1 radiusu olan dairə göstərilir. Dairənin üzərində M(x,y) nöqtəsi qeyd olunub. OM radius vektoru ilə Ox oxunun müsbət istiqaməti arasındakı bucaq α-ya bərabərdir.

4. Sinusα bucağı M(x,y) nöqtəsinin y ordinatının r radiusuna nisbətidir:
sinα=y/r.
r=1 olduğundan, sinus M(x,y) nöqtəsinin ordinatına bərabərdir.

5. Kosinusα bucağı M(x,y) nöqtəsinin x absissinin r radiusuna nisbətidir:
cosα=x/r

6. Tangensα bucağı M(x,y) nöqtəsinin y ordinatının onun x absissinə nisbətidir:
tanα=y/x,x≠0

7. Kotangentα bucağı M(x,y) nöqtəsinin x absissinin onun y ordinatına nisbətidir:
cota=x/y,y≠0

8. Sekantα bucağı r radiusunun M(x,y) nöqtəsinin x absissinə nisbətidir:
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Kosekantα bucağı r radiusunun M(x,y) nöqtəsinin y ordinatına nisbətidir:
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. Vahid çevrədə x, y proyeksiyaları, M(x,y) nöqtələri və r radiusu düzbucaqlı üçbucaq əmələ gətirir, burada x,y ayaqları, r isə hipotenuzdur. Buna görə də, əlavədə triqonometrik funksiyaların yuxarıdakı tərifləri düz üçbucaq aşağıdakı kimi formalaşdırılır:
Sinus bucaq α qarşı tərəfin hipotenuzaya nisbətidir.
Kosinus bucaq α bitişik ayağın hipotenuzaya nisbətidir.
Tangensα bucağı bitişik birinə əks ayaq adlanır.
Kotangentα bucağı qarşı tərəfə bitişik tərəf adlanır.
Sekant bucaq α hipotenuzanın bitişik ayağa nisbətidir.
Kosekantα bucağı hipotenuzanın əks ayağına nisbətidir.

11. Sinus funksiyasının qrafiki
y=sinx, tərif sahəsi: x∈R, qiymət diapazonu: −1≤sinx≤1

12. Kosinus funksiyasının qrafiki
y=cosx, domen: x∈R, diapazon: −1≤cosx≤1

13. Tangens funksiyasının qrafiki
y=tanx, domen: x∈R,x≠(2k+1)π/2, diapazon: −∞

14. Kotangent funksiyasının qrafiki
y=cotx, domen: x∈R,x≠kπ, diapazon: −∞

15. Sekant funksiyasının qrafiki
y=secx, domain: x∈R,x≠(2k+1)π/2, diapazon: secx∈(−∞,−1]∪∪)