И равномерного распределения в процессе. Равномерный и показательный законы распределения непрерывной случайной величины

Напомним определение плотности вероятности.

Введем теперь понятие равномерного распределения вероятностей:

Определение 2

Распределение называется равномерным, если на интервале, содержащем все возможные значения случайной величины, плотность распределения постоянна, то есть:

Рисунок 1.

Найдем значение константы $\ C$, используя следующее свойство плотности распределения: $\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\varphi \left(x\right)dx}=1$

\[\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\varphi \left(x\right)dx}=\int\limits^a_{-\infty }{0dx}+\int\limits^b_a{Cdx}+\int\limits^{+\infty }_b{0dx}=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \

Таким образом, функция плотности равномерного распределения имеет вид:

Рисунок 2.

График имеет следующий вид (рис. 1):

Рисунок 3. Плотность равномерного распределения вероятности

Функция равномерного распределения вероятностей

Найдем теперь функцию распределения при равномерном распределении.

Для этого будем использовать следующую формулу: $F\left(x\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\varphi (x)dx}$

1. При $x ≤ a$, по формуле, получим:

1. При $a

1. При $x> 2$, по формуле, получим:

Таким образом, функция распределения имеет вид:

Рисунок 4.

График имеет следующий вид (рис. 2):

Рисунок 5. Функция равномерного распределения вероятности.

Вероятность попадания случайной величины в интервал $({\mathbf \alpha },{\mathbf \beta })$ при равномерном распределении вероятностей

Для нахождения вероятности попадания случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta)$ при равномерном распределении вероятностей будем пользоваться следующей формулой:

Математическое ожидание:

Среднее квадратическое отклонение:

Примеры решения задачи на равномерное распределение вероятностей

Пример 1

Интервал движения между троллейбусами составляет 9 минут.

Составить функцию распределения и плотность распределения случайной величины $X$ ожидания пассажирами троллейбуса.

Найти вероятность того, что пассажир дождется троллейбус меньше чем через три минуты.

Найти вероятность того, что пассажир дождется троллейбус не менее чем через 4 минуты.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение

1. Так как непрерывная случайная величина ожидания троллейбуса $X$ равномерно распределена, то $a=0,\ b=9$.

Таким образом, плотность распределения, по формуле функции плотности равномерного распределения вероятности, имеет вид:

Рисунок 6.

По формуле функции равномерного распределения вероятности, нашем случае функция распределения имеет вид:

Рисунок 7.

1. Данный вопрос можно переформулировать следующим образом: найдем вероятность попадания случайной величины равномерного распределения в интервал $\left(6,9\right).$

Получаем:

\ \ \

Таким образом, функция плотности равномерного распределения имеет вид:

Рисунок 2.

График имеет следующий вид (рис. 1):

Рисунок 3. Плотность равномерного распределения вероятности

Функция равномерного распределения вероятностей

Найдем теперь функцию распределения при равномерном распределении.

Для этого будем использовать следующую формулу: $F\left(x\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\varphi (x)dx}$

1. При $x ≤ a$, по формуле, получим:

1. При $a

1. При $x> 2$, по формуле, получим:

Таким образом, функция распределения имеет вид:

Рисунок 4.

График имеет следующий вид (рис. 2):

Рисунок 5. Функция равномерного распределения вероятности.

Вероятность попадания случайной величины в интервал $({\mathbf \alpha },{\mathbf \beta })$ при равномерном распределении вероятностей

Для нахождения вероятности попадания случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta)$ при равномерном распределении вероятностей будем пользоваться следующей формулой:

Математическое ожидание:

Среднее квадратическое отклонение:

Примеры решения задачи на равномерное распределение вероятностей

Пример 1

Интервал движения между троллейбусами составляет 9 минут.

Составить функцию распределения и плотность распределения случайной величины $X$ ожидания пассажирами троллейбуса.

Найти вероятность того, что пассажир дождется троллейбус меньше чем через три минуты.

Найти вероятность того, что пассажир дождется троллейбус не менее чем через 4 минуты.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение

1. Так как непрерывная случайная величина ожидания троллейбуса $X$ равномерно распределена, то $a=0,\ b=9$.

Таким образом, плотность распределения, по формуле функции плотности равномерного распределения вероятности, имеет вид:

Рисунок 6.

По формуле функции равномерного распределения вероятности, нашем случае функция распределения имеет вид:

Рисунок 7.

1. Данный вопрос можно переформулировать следующим образом: найдем вероятность попадания случайной величины равномерного распределения в интервал $\left(6,9\right).$

Получаем:

\, если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, т. е. если дифференциальная функция распределения f (х) имеет следующий вид:

Иногда это распределение называют законом равномерной плотности . Про величину, которая имеет равномерное распределение на некотором отрезке, будем говорить, что она распределена равномерно на этом отрезке.

Найдем значение постоянной с. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, равна 1, то

откуда с =1/(b - a ).

Теперь функцию f (x ) можно представить в виде

Построим функцию распределения F (x ), для чего найдем выражение F (x ) на интервале [ a , b ]:

Графики функций f (x ) и F (x ) имеют вид:

Найдем числовые характеристики.

Используя формулу для вычисления математического ожидания НСВ, имеем:

Таким образом, математическое ожидание случайной вели­чины, равномерно распределенной на отрезке [ a , b ] совпадает с серединой этого отрезка.

Найдем дисперсию равномерно распределенной случайной величины:

откуда сразу же следует, что среднее квадратическое отклонение:

Найдем теперь вероятность попадания значения случайной величины, имеющей равномерное распределение, на интервал (a , b ) , принадлежащий целиком отрезку [ a , b ]:

Онлайн сервис: